Lý Thuyết Và Trắc Nghiệm Bài Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Có Lời Giải Và Đáp Án

(1)

Tóm tắt lý thuyết

Ⓐ

§➌. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

➊. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

. Định nghĩa:

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là pt có dạng: at + b

= 0,

 Trong đó a, b là các hằng số (a  0), t là một trong các hàm số lượng giác.

 Ví dụ: 2sinx – 3 = 0; 2cosx – 3 = 0; 3tanx + 1 = 0; cotx -1 = 0

. Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2sinx – 3 = 0; b) 3tanx + 1 = 0

Hướng dẫn giải:

a) 2sinx – 3 = 0 sinx = 3

2> 1: phương trình vô nghiệm b) 3tanx + 1= 0  tanx = –

1

3 x = –6

 k

.PT đưa về PT bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 5cosx – 2sin2x = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 Hướng dẫn giải:

a) 5cosx – 2sin2x = 0 cosx(5 – 4sinx) = 0 b) 8sinx.cosx.cos2x = –1 2sin4x = –1

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 1 = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = 0 c) sinx + cosx

= 1

(2)

➋. PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác

. Định nghĩa: PT bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: at² + bt + c = 0;

trong đó a, b, c là các hằng số (a  0), t là một HSLG.

Ví dụ :

a) 2sin²x + 3sinx – 2 = 0 b) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0 c) 3tan²x – 2 3tanx + 3 = 0 d) 3cot²x – 5cotx – 7 = 0

. Cách giải

 Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx)

 Đưa về PT: at² + bt + c = 0

 Chú ý: Nếu đặt t = sinx (cosx) thì cần có điều kiện –1  t  1 a) 2sin²x + 3sinx – 2 = 0 ²

sin , 1 1

2 3 2 0

   

   



t x t

t t

b) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0 ²

cos , 1 1

3 5 2 0

   

   



t x t

t t

A. ²

tan

3 2 3 3 0

 

   



t x

t t

B. ²

cot

3 5 7 0

 

   



t x

t t C. . Bài tập áp dụng:

D. Giải các phương trình sau:

a)

2sin2 2sin 2 0

2 2 

x x

b) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 c) cos²x + sinx + 1 = 0

d) 3_tan²_{x – (1 +} 3)tanx + 1=0

a) ²

sin , 1 1 2

2 2 2 0

    



   



t x t

t t

b) ²

cos , 1 1

2 3 1 0

   

   



t x t

t t

c) ²

sin , 1 1 2 0

   

   



t x t

t t

(3)

Phân dạng bài tập

Ⓑ

➌. PT bậc nhất đối với sinx và cosx

. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

sinx + cosx =

2sin 4

  

 

x 

=

2cos 4

  

 

x 

sinx – cosx = 2sin 4

  

 

x 

= 2cos 4

  

 x 

asinx+bcosx= a²b² .sin(x+)

với cos = ² ² a

a b , sin = ² ² b a b

. PT dạng asinx + bcosx = c

 Nếu a = 0, b  0 hoặc a0, b=0 thì đưa về PTLG cơ bản.

 Nếu a  0, b  0 thì dùng công thức biến đổi ở trên đưa về PTLG cơ bản.

 Điều kiện có nghiệm: ^a²^^b² ^^c²

Cách giải: Chia hai vế của (1) cho ^a²^^b² , ta được

E.

 

¹ ^ ₂ ₂ ^sin ^ ₂ ₂ ^cos ^ ₂ ₂

  

a b c

x x

a b a b a b

 Vì

2 2

2 2 2 2 1

   

 

   

 

   

a b

a b a b nên ta đặt

2 2

sin cos



 

 



 

 



a a b

b a b

 Phương trình trở thành:^{sin sin}^^^{cos cos}^ ^ ₂ ₂ ^^cos



^^



^ ₂ ₂

 

c c

x x x

a b a b

 Đặt ² ²

cos 

 c

a b ta được phương trình lượng giác cơ bản giải được.

. Bài tập áp dụng:

①. Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo 1 hàm số lượng giác

Câu 1: Phương trình ^2sin^x^{ }^{1 0} có tập nghiệm là

A.

2 ;5 2 ,

6 6

   

 

    

 

S k k k Z

. B.

2 ; 2 2 ,

3 3

   

 

     

 

S k k k Z

.

(4)

C.

2 ; 2 ,

6 6

   

 

     

 

S k k k Z

. D.

1 2 ,

2 

 

   

 

S k k Z

. Lời giải

Ta có:

1 6 2

2sin 1 0 sin sin sin

5

2 6

6 2

 



 

  

       

  



x k

x x x k

x k

Z . Câu 2: Phương trình cotx 3 0 có các nghiệm là

A. ^.2

 

3

 

  

x k k Z

. B. ^.

 

6

 

  

x k k Z

.

C. ^.2

 

6

 

   

x k k Z

. D. ^.

 

6

 

   

x k k Z

. Lời giải

Ta có: ^cot ^{3 0} ^cot ³ ^cot ^cot ^.

 

6 6

  

 

            

 

x x x x k k Z

. Câu 3: Phương trình ^sin^x^^cos^x có số nghiệm thuộc đoạn



^^{ }^;



_là

A. ³. B. ⁵. C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Ta có sin cos tan 1

4

 

     

x x x x k

, (^k^^Z).

Theo đề



^;



⁵ ³

4 4 4

     

          

x k k

. Mà ^k^{   }^Z ^k



^1; 0



_.

Vậy có 2 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4: Số nghiệm trên đoạn



^0;2



của phương trình ^sin2^x^^2cos^x^⁰ là

A. 4 . B. ³. C. 2 . D. 1.

Lời giải

Ta có: ^sin2^x^^2cos^x^{ }⁰ ^{2sin cos}^x ^x^^2cos^x^{ }⁰ ^{2cos sin}^x



^x^{ }¹



⁰

cos 0

sin 1 2

 

 

    

x x k

x , ^k^^Z.

(5)

Nghiệm trên đoạn



^0;2



_ứng với⁰^{ }^₂ ^k^ ^²^ ^{   }¹₂ ^k ³₂_.

Vì ^k^^Z nên chọn ^k^⁰, ^k ^¹ .

Vậy trên đoạn



^{0; 2}^



phương trình đã cho có 2 nghiệm.

②. Dạng 2: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác

. Bài tập minh họa:

Câu 1: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin²x3sinx 1 0 thỏa điều kiện 0

2

 x  là A. 6



x . B. 2



x . C. 3



x D.

5 6

 

x .

Lời giải

A.

2

2 2 sin 1

2sin 3sin 1 0 1 2 ; .

6

sin 2 5

6 2

 

  

 

 

        



   



x k

x

x x x k k

x

x k

Z

Vì 0

2

 x 

nên chỉ có nghiệm 6



x .

Câu 2: Tập nghiệm ^S của phương trình cos²x3cosx0 là

A. 2

 

  

  S

. B.

2 2 ,

 

 

   

 

S k k Z

.

C. 2

 

   S  

. D.

2 ,

 

 

   

 

S k k Z

. Lời giải Chọn D

2 cos 0

 

cos 3cos 0 ,

cos 3 2

 

 

       

x x x x k k

x L Z

. Câu 3: Tập nghiệm của phương trình sin²x5sinx 4 0 là

A. 2 ,

2

 

 

   

 

S k k Z

. B. ^S^



^k^{2 ,}^ ^k^^Z



_.

C. ^S ^



^{k k}^^, ^^Z



_. _~_. 2 ^,

 

 

   

 

S k k Z

. Lời giải

Ta có: sin²x5sinx 4 0 ^{ }^_^sin^sin^x^x^^¹⁴

 

^L _.

(6)

sin 1 2 , 2

 

    

x x k k Z

.

Câu 4: Tổng các nghiệm thuộc khoảng



^0;



của phương trình 2cos 5² x3cos5x 5 0 là A. 5



. B.

6 5



. C.

3 5

π

. D.

9 5

π Lời giải

B. ²

 

cos5 1

2cos 5 3cos5 5 0 5 5 2 2 ;

cos5 5 2

 

 

        

  



x k

x x x k x k

x L Z

Vì x thuộc khoảng



^0;



nên có 2 nghiệm thỏa mãn là 2

5

 

x ;

4 5

  x

Vậy tổng các nghiệm bằng 6

5

 .

③. Dạng 3: Phương trình a.sinx+b.cosx=c

Câu 1: Nghiệm của phương trình ^cos^x^^sin^x^¹là

A.

4

 



  



 

x k

x k . B.

2 2

 



  



 

x k

x k . C.

2 2 2

 



  



 

x k

x k . D.

2 2

 



  



 

x k

x k .

Lời giải

Ta có

cos sin 1 2cos 1 cos 1

4 4 2

 

   

         

x x x x

2 2

4 4 2 ,

2 2

4 4

    

   

    

   

       

x k x k

k

x k x k

Z . Câu 2: Nghiệm của phương trình sinx 3cosx 2 là

A.

2 ; 3 2

4 4

   

    

x k x k

. B.

2 ; 5 2

12 12

   

    

x k x k

.

C.

2 ; 2 2

3 3

   

   

x k x k

. D.

2 ; 5 2

4 4

   

     

x k x k

. Lời giải

(7)

Ta có

1 3 2

sin 3cos 2 sin cos cos sin sin cos sin

2 2 2 3 3 4

  

       

x x x x x x

2 2

3 4 12

sin sin

3 5

3 4

2

2 3 12

3 4

    

 

   

       

 

 

           

x k x k

x

x k

,



^k^^Z



Câu 3: Tìm số nghiệm

3 ;

2 2

 

 

    x

của phương trình

3sin cos 3 2 2

  

   

 

x x

?

A. 4 . B. ^3. C. ^1. D. ^2.

Lời giải Ta có:

C.

 

3sin cos 3 2 3sin sin2 0 3sin 2sin cos 0

2

sin 0

sin 3 2cos 0 5 5 2 , .

cos cos 6

6 5

6 2



 



 

 

        

 

  

 

         

   



x x x x x x x

x x k

x x x k k

x

x k

Z

+ Ta có:

D. ³ ^; ³ ³ ¹ ¹





^.

2 2 2 2 2 2

   

   

                 

x k k k k do k Z

E. ⁵ ² ³ ^; ³ ⁵ ² ¹⁴ ⁸ ¹





^.

6 2 2 2 6 2 12 12

         

                   

x k k k k do k Z

F. ⁵ ² ³ ^; ³ ⁵ ² ⁴ ² ⁰





^.

6 2 2 2 6 2 12 12

        

                   

x k k k k do k Z

Vậy phương trình

3sin cos 3 2 2

  

   

 

x x

có 3 nghiệm

3 ;

2 2

 

 

    x

.

④. Dạng 4: Phương trình lượng giác có chứa tham số.

Câu 1: Điều kiện để phương trình: 3sinx mcosx 5  vô nghiệm là

A.

m 4

  

  . B. m 4 . C. m 4. D.   4 m 4. Lời giải

Phương trình ^3sin^{x m}^ ^cos^x^⁵ vô nghiệm khi và chỉ khi

2 2 2 2

3 m 5 m 16   4 m 4.

Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình



m1 sinx 3cos



 x m 2

có nghiệm là

(8)

Bài tập rèn luyện

Ⓒ

A.



^3;^



_. _B.



^^; 3



_. _C.



^3;^



_. _D.



^^; 3



_.

Lời giải

Phương trình có nghiệm khi



^m^¹



² ^³² ^



^m^²



² ^{ }²^m^{   }⁶ ^m ³_.

Câu 3: Điều kiện của m để phương trình ^m^sin^x^^3cos^x^⁵ có nghiệm là.

A. m 34. B. ^{  }⁴ ^m ⁴. C.

4 4

  

  m m

. D. ^m^⁴. Lời giải

Điều kiện có nghiệm của phương trình là: ^m^sin^x^^3cos^x^⁵ là

2 4

9 25 4

  

     m m

m .

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x msin x²  2 2m vô nghiệm?

A.

0 4 3

 

 

 m m

. B.

0 4

 m 3

. C.

0 4

 m 3

. D.

0 4 3

 

 

 m m

. Lời giải.

Ta có: 2sin x msin x²  2 2mmsin x cos x2  2 2m1

 

¹

Điều kiện phương trình

 

¹ vô nghiệm là:

 

²

2 2

0

1 2 1 3 4 0 4

3

 

    

  m

m m m m

m .

Vậy với

0 4 3

 

 

 m m

thì phương trình trên vô nghiệm.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^0;10



để phương trình



^m^^{1 sin}



^x^^cos^x^{ }¹ ^m có nghiệm.

A. 21. B. ¹⁸. C. ²⁰. D. 11.

Lời giải

Phương trình



^m^^{1 sin}



^x^^cos^x^{ }¹ ^m_{có nghiệm}



¹

   

² ¹ ² ¹



² ¹

 m    m   m 4 .

Vì m nhận giá trị nguyên thuộc đoạn



^0;10



nên có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(9)

Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. 3 sinx2. B.

1 1

cos 4

4 x2

.

C. ^2sin^x^^3cos^x^¹. D. cot² xcotx 5 0. Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình ^2sin^x^{ }^{3 0}.

A. ^x^. B.

 

arcsin 3 2 2



 

    

  

 

    

   





x k

k

x k

.

C.

 

arcsin 3 2 2



    

  

 

    

  

  



x k

k

x k

. D. ^x^^ . Câu 3: Nghiệm của phương trình sin²x4sinx 3 0 là

A. 2 ,

2

 

   

x k k

. B. x  k2 , k .

C. 2 ,

2

 

  

x k k

. D. x k 2 , k

Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. ^tan^x^³. B. ^sin^x^{ }^{3 0}.

C. ^3sin^x^{ }^{2 0}. D. 2cos²xcosx 1 0. Câu 5: Giải phương trình 3sin²x2 cosx 2 0.

A. ,

2

 

  

x k k

. B. x k k ,  .

C. x k 2 , k . D. 2 ,

2

 

  

x k k

. Câu 6: Nghiệm của phương trình lượng giác sin²x2sinx0 có nghiệm là:

A. x k ². B. x k  . C. 2

 

 

x k

. D. 2

2

 

 

x k

.

Câu 7: Nghiệm của phương trình 2sin²x– 3sinx 1 0 thỏa điều kiện: 0

2

 x  . A. 6



x . B. 4



x . C. 2



x . D. 2

 

x .

Câu 8: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin²x5sinx 3 0 là:

A. 6



x . B. 2



x . C.

3 2

 

x . D.

5 6

 

x .

Câu 9: Phương trình ^{cos 2}^x^^4sin^x^{ }^{5 0} có bao nhiêu nghiệm trên khoảng



^0;10



_?

A. ⁵. B. 4. C. 2. D. ³.

(10)

Câu 10: Phương trình lượng giác cos²x2 cosx 3 0 có nghiệm là:

A. x k ^{2 .} B. ^x^⁰. C. 2

2

 

 

x k

. D. Vô nghiệm.

Câu 11: Cho phương trình: ^{cos 2}^x^^sin^x^{ }^{1 0}

 

^* . Bằng cách đặt ^t^^sin^x



^{  }¹ ^t ¹



thì phương trình

 

^* trở thành phương trình nào sau đây?

A. 2t² t 0. B. t²  t 2 0. C. 2t²  t 2 0. D.   t² t 0. Câu 12: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn



^0;10



của phương trình sin 2² x3sin 2x 2 0.

A.

105 2



. B. S ABCD. . C.

297 4



. D.

299 4

 . Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2sin 2² xcos 2x 1 0 trong



^{0; 2018}^



_là

A. ¹⁰⁰⁹. B. ¹⁰⁰⁸. C. ²⁰¹⁸. D. ²⁰¹⁷.

Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos²xcosx0 thỏa mãn điều kiện ⁰ x  . A. 2



x . B. ^x^⁰. C. x . D. 4



x .

Câu 15: Nghiệm của phương trình 3cos² x– 8cos – 5x là

A. x k  . B. x  k² . C. x k ². D. 2 2

 

  

x k

. Câu 16: Giải phương trình 2sin² x 3 sin 2x3

A. 3

 

  

x k

. B. 3

 

 

x k

. C.

2 3

 

 

x k

. D.

5 3

 

 

x k

. Câu 17: Giải phương trình sin² xsin²xtan² x3.

A. ⁶

 

 

x k

. B. x^⁶ k2

. C. ³

 

 

x k

. D. x^³ k2 . Câu 18: Giải phương trình ^{4 sin}



⁴ ^x^^cos⁴ ^x



^^{5cos 2 .}^x

A. ⁶

 

 

x k

. B. ²⁴ ²

 

 ^k

x . C. ¹² ²

 

 ^k

x . D. ⁶ ²

 

 ^k

x .

Câu 19: Giải phương trình 4 2

cos cos

3x 

x.

A.

3 4 3

5 3

4



 

 

   



   

 x k

x k

. B.

4 5 4



 

 

   



   

 x k

x k

. C.

3 4 3



 

 

   

 x k

x k

. D.

3

5 3

4



 

 

   

 x k

x k

. Câu 20: Nghiệm của phương trình: ^sin^x^^cos^x^¹ là

(11)

A. x k ². B.

2 2 2



 

 

  

 x k

x k

. C. 2

4

 

 

x k

. D.

4 2 4 2

 

  



   



x k

. Câu 21: Phương trình 2sin²x 3 sin 2x3 có nghiệm là

A. 3

 

 

x k

. B.

2 3

 

 

x k

. C.

4 3

 

 

x k

. D.

5 3

 

 

x k

. Câu 22:

Điều kiện có nghiệm của pt

.sin 5  .cos5  a x b x c là

A.

2 2  2

a b c . B. a² b² c². C. a² b² c². D. a²b² c². Câu 23: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. 3 sinx2. B.

1 1

cos 4

4 x 2

.

C. ^2sin^x^^3cos^x^¹. D. cot² xcotx 5 0.

Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ^5sin^x^^12cos^{x m}^ có nghiệm?

A. ¹³. B. Vô số. C. ²⁶. D. ²⁷.

Câu 25: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sinx sin( ) 3

  

y x

bằng a và ^b. Khi đó

  

S a b ab có giá trị bằng

A. 3 B. 2 C. ^³ D.  3

Câu 26: Cho phương trình 2 sin cosm x x4 cos²x m 5, với m là một phần tử của tập hợp



3; 2; 1;0;1; 2



   

E . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. ³. B. 2. C. ⁶. D. 4.

Câu 27: Số nghiệm thuộc

3 ; 2 

  

 

  của phương trình

3 sin cos 3 2 2

  

   

x x

là:

A. ³. B. 1. C. 2. D. ⁰.

Câu 28: Nghiệm của phương trình sinx 3 cosx 2 là:

A.

2 ; 5 2

12 12

   

    

x k x k

. B.

2 ; 3 2

4 4

   

    

x k x k

. C.

2 ; 2 2

3 3

   

   

x k x k

. D.

2 ; 5 2

4 4

   

     

x k x k

.

Câu 29: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình asin²x2sin 2x3 cosa ²x2 có nghiệm

A. â^³ B. â^² C. â^¹ D. â^{ }¹

Câu 30: Nghiệm của phương trình ^cos^x^^sin^x^¹ là:

A. 2 ; 2

2

  

  

x k x k

. B. ; 2

2

  

   

x k x k

.

(12)

C. ; 2 6

  

  

x k x k

. D. ;

4

  

  

x k x k

.

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin cos 5 2 2

x x

m có nghiệm.

A.

2 2

 

  

 m

m . B.

2 2

 

  

 m

m . C. ^{  }² ^m ². D. ^{  }² ^m ². Câu 32: Phương trình



^{3 1 sin}^



^x^



^{3 1 cos}^



^x^ ^{3 1 0}^{ } có các nghiệm là:.

A.

4 2 6 2

 

   



  



x k

. B.

2 2 3 2

 

   



  



x k

. C.

6 2 9 2

 

   



  



x k

. D.

8 2 12 2

 

   



  



x k

. Câu 33: Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình ^m^cos^x^



^m^^{2 sin}



^x^²^m^{ }^{1 0}_có

nghiệm.

A. ⁰ B. ³ C. vô số D. 1

Câu 34:

Nghiệm của p

hương trình 3sinxcosx0 là:

A.

6

 

  

x k

. B. 3

 

  

x k

. C. 3

 

 

x k

. D. 6

 

 

x k

.

Câu 35: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng



^0;



của phương trình:

2 cos3xsinxcosx. A. 2



. B. ³ . C.

3 2



. D.  _.

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^^10;10



để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

 

     

   

x  x  m

vô nghiệm.

A. ^21. B. ^20. C. ^18. D. ^9.

Câu 37: Cho phương trình ^m^sin^x^^4cos^x^²^m^⁵ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

A. 4. B. ⁷. C. ⁶. D. ⁵.

Câu 38: Phương trình: 3sin 3x 3 sin 9x 1 4sin 3³ x có các nghiệm là:

A.

2

6 9

7 2

6 9

 

   



  



x k

. B.

2

9 9

7 2

9 9

 

   



  



x k

. C.

2

12 9

7 2

12 9

 

   



  



x k

. D.

54 9

2

18 9

 

    



  



x k

.

(13)

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình ^sin



^{1 .cos}



⁵

2x  2x 

m vô

nghiệm?

A. ^m^³ hoặc ^m^{ }¹. B. ^{  }¹ ^m ³. C. ^m^³ hoặc ^m^{ }¹. D. ^{  }¹ ^m ³.

Câu 40: Hàm số

2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3

 

 

x x

y x x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. ^1.. B. ^2. C. ^3. D. ^4.

Câu 41: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình ^4sin^x⁺

(

^m^- ^{4 cos}

)

^x^- ²^m^{+ =}⁵ ⁰

có nghiệm là:

A. 5 B. 6 C. 10 D. 3

Câu 42: Tìm m để phương trình ^m^sin^x^^5cos^{x m}^{ }¹ có nghiệm.

A. ^m^¹². B. ^m^⁶ C. ^m^²⁴. D. ^m^³.

Câu 43: Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin² x2sin 2x3 cosa ²x2 có nghiệm?

A. 2. B.

11

3 . C. 4. D.

8 3. Câu 44: Để phương trình ^m^{sin 2}^{x c}^ ^os2^x^² có nghiệm thì m thỏa mãn

A. ^m^^1. B.

3 . 3

 

   m

m C.

2 . 2

 

   m

m D. ^m^^1.

Câu 45: Tìm ⁸ để phương trình ^2sin^{x m}^ ^cos^x^{ }¹ ^m có nghiệm

2 2;

  

   x

A. ^{  }¹ ^m ³. B.

3

 2 m

. C. ¹^{ }^m ³. D.

3

 2

m .

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x+ msin2x = 2m² vô nghiệm?

A.

0 4 3

 

 

 m

m . B.

0 4

 m 3

. C.

0 4

 m 3

. D.

0 4 3

 

 

 m

m .

Câu 47: Điều kiện để phương trình ^m^.sin^x^^3cos^x^⁵ có nghiệm là:

A. ^m^⁴. B. ^{  }⁴ ^m ⁴. C. m 34. D.

4 4

  

  m

m .

Câu 48: Tìm m để phương trình

cos 2sin 3 2cos sin 4

 

  

x x

m x x có nghiệm.

A. ^{  }² ^m ⁰ B. ⁰^{ }^m ¹ C.

2 2

11 m

D. ^{   }² ^m ¹

Câu 49: Để phương trình: ^sin²^x^²



^m^^{1 sin}



^x^³^{m m}



^²



^⁰ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

(14)

A.

1 1

2 2

1 2

  



   m

m . B.

1 1

3 3

1 3

  



   m

m . C.

2 1

0 1

   

  

 m

m . D.

1 1

3 4

  

  

 m

m .

Câu 50: Cho phương trình: ^{sin cos}^x ^x^^sin^x^^cos^{x m}^{ }⁰, trong đó ^m là tham số thựC. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A.

2 1 2

    m 2

. B.

1 2 1

 2  m . C.

1 1 2

  m 2

. D.

1 2 1

 2  m . ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

C A C B C B A A A A A A C A B B C A A

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A C D C A C A B A A B D A C C C D D B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

A A D B A D A C B D

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

Lời giải Chọn C

Phương trình ^2sin^x^^3cos^x^¹có 2² 3² 1². Vậy phương trình ^2sin^x^^3cos^x^¹có nghiệm.

Câu 2.

Lời giải Chọn A

Ta có:

2sin 3 0 sin 3 1

    2

x x

nên phương trình vô nghiệm.

Câu 3.

sin2x4sinx 3 0

sin 1 sin 3

 

   x x .

(15)

Với ^sin^x^¹ 2 , 2

 

  x k k . Với ^sin^x^³ phương trình vô nghiệm.

Câu 4.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{ }^{1 sin}^x^¹ nên phương trình ^sin^x^{  }^{3 0} ^sin^x^{ }³ vô nghiệm.

Câu 5.

Ta có 3sin²x2 cosx 2 0 3cos²x2cosx 5 0cosx1 x k2 , k . Câu 6.

Ta có

 

2 sin 0

sin 2sin 0 sin sin 2 0 .

sin 2

 

       

x x x x x

x Vì ^{ }^{1 sin}^x^¹ nên chỉ có ^sin^x^⁰ thỏa mãn. Vậy ta có

sinx  0 x k,



k^



^.

Câu 7.

2sin2 x– 3sinx 1 0

 

2 2 sin 1

1 2

6

sin 2 5

6 2

 

  

 

 

     



   





x k

x

x k k

x

x k

Vì 0

2

 x 

nên nghiệm của phương trình là 6



x .

Câu 8.

(16)

2

sin 3

2sin 5sin 3 0 1

sin 2

  

   

 

 x

x x

x

1 6 2

sin 2 5

6 2

 

  

   

  



x k

x

x k

. Câu 9.

PT đã cho  2sin²x4sinx 6 0

 

sin 1

sin 3

  

   x

x VN ^{2 ,}

 

2

 

   x k k .

Theo đề: ^x^



^0;10



^{   }⁰ ^₂ ^k²^ ^¹⁰^ ^{  }¹₄ ^k ²¹₄ _.

Vì k^ nên ^k^



^{1; 2;3;4;5}



. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng



^0;10



_.

Câu 10.

Ta có cos²x2cosx 3 0. Đặt cosx t với điều kiện 1  t 1, ta được phương trình bậc hai theo t là

2  2 3 0.

t t

 

^*

Phương trình

 

^* có hai nghiệm t¹ 1 và t²  3 nhưng chỉ có t¹ thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có cos x 1  x k2 ,



k^



^.

Câu 11.

2 2 2

cos 2xsinx   1 0 1 2sin xsinx   1 0 2sin xsinx  0 2t  t 0. Câu 12.

(17)

Ta cĩ: sin 2² x3sin 2x 2 0

sin 2 1 sin 2 2

  

    x

x (loại)__{sin 2}_x_{ }₁ 4

 

   x k

, k^ .

Theo đề bài: 0 10

4

  

  k  1 41

4 4

  k  k 1, 2,...,10.

Vậy tổng các nghiệm là:

3 3 3

... 9

4 4 4

      

      

S 105

2

  . Câu 13.

Ta cĩ 2sin 2² xcos 2x 1 0 ^^{2 1 cos 2}



^ ² ^x



^^{cos 2}^x^{ }^{1 0} __{2cos 2}² _x__{cos 2}_x_{ }_{3 0}

cos 2 1 cos 2 3( / )

2

  



 



x

x ko t m

cos 2 1

 x  ^²^x^{ }^ ^k²^



^{k Z}^



^{  }^x ^₂ ^k^

Để ^x^



^0;2018



^{  }⁰ ^₂ ^k^ ^^{2018 ,}^ ^{k Z}^ ^{   }¹₂ ^k ²⁰¹⁸^¹₂^,^{k Z}^



^{0;2017 ,}



 k k Z .

Khi đĩ phương trình cĩ 2018 nghiệm.

Vậy chọn đáp án ^C^. Câu 14.

Lời giải Chọn A.

Ta cĩ

2 cos 0

cos cos 0 2

cos 1

2

 



   

 

      

x x k

x x

x x k



k^



.

Với 2

 

 

x k

, do ⁰ x  nên ta được 2



x .

Với x k ², do ⁰ x  nên khơng cĩ x nào thỏa mãn.

Câu 15.

3cos2x– 8cos – 5x

 

2

cos 1

3cos 8cos 5 0 5 2

cos 1

3

 



  

       

    



 x

x x x k k

x

.

(18)

Câu 16.

Ta có 2sin² x 3 sin 2x3 1 cos 2x 3 sin 2x3 3 sin 2 cos 2 2

 x x

3 1

sin 2 cos 2 1

2 2

 x x

sin 2 1

6

  

  x  2 2

6 2 3

    

 x  k   x k . Câu 17.

ĐK: cos 0

2

 

   

x x k

.

 

4 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

sin sin cos

sin sin tan 3 3 sin sin cos 3cos

cos

   x x x   

x x x x x x x

x

tan2 3 tan 3

3

 

 x  x     x k

(tm).

Câu 18.



⁴ ⁴

 

² ²



4 sin xcos x 5cos 2x4 1 2sin xcos x 5cos 2x

 

2 2 2

4 2sin 2 5cos 2 4 2 1 cos 2 5cos 2 2cos 2 5cos 2 2 0

  x x   x  x x x 

cos 2 1

cos 2 cos 2 2

2 3 3 6

cos 2 2 ( )

    

 

          

 



x x x k x k

x l .

Câu 19.

4 2 4 1 cos 2 2 2

cos cos cos 2cos 2. 1 cos3.

3 3 2 3 3

      

x x x x x

x

22 32 2 3 2 2 2 2

2 2 cos 1 1 4 cos 3cos 4cos 4cos 3cos 3 0

3 3 3 3 3 3

 

          

x x x x x x

(19)

2 2

2 3

cos 1

2

3 2

3 6

2 3

cos 3 2 2 5 2

3 6



 

 

  

 

         



x k x

x k

x

x k

3 4 3

5 3

4



 

 

   



   

 x k

x k

. Câu 20.

sin cos 1 2 sin 1

4

  

     

x x x

1 4 4 2

sin 4 2 2

4 4

  



   

   

  

         



x k

x

x k

2 2 2



 

 



  

 x k

x k

. Câu 21.

Phương trình tương đương 3 sin 2xcos 2x2

sin 2 1 2 1

6 6 3

   

 

         

 x  x x k

Câu 22.

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm

Câu 23.

Phương trình ^2sin^x^^3cos^x^¹có 2² 3² 1². Vậy phương trình ^2sin^x^^3cos^x^¹có nghiệm.

Câu 24.

Lời giải Chọn D

(20)

Phương trình ^5sin^x^^12cos^{x m}^ có nghiệm khi và chỉ khi ⁵²^{ }



¹²



² ^^m²__m² _₁₆₉

13 13

   m .

Suy ra có ²⁷ số nguyên m để phương trình ^5sin^x^^{12 cos}^{x m}^ có nghiệm.

Câu 25.

Ta có

1 3 3 3

sinx sinx cos x sinx x

2 2 2 2

    

y cos

.

Gọi y⁰ là một giá trị của hàm số khi đó phương trình ⁰

3 3

sinx x

2 2

 

y cos

có nghiệm khi và chỉ khi

2

0 0

9 3 12

3 3

4 4 4

      

y y

.

Suy ra ^a^{ } ^3,^b^ ³ Vậy ^S^{  }^{a b ab}^{ }³ Câu 26.

Ta có 2 sin cosm x x4cos²x m 5

1 cos 2

sin 2 4 5

2

   x  

m x m

sin 2 2 cos 2 3

m x x m  .

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi ² ⁴



³



² ⁵

9

    

m m m

. Vậy có ba giá trị của ^{m E}^ để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 27.

Ta có

3 sin cos 3 2 2

  

   

x x ^ ^{3 sin}^x^^{sin 2}



^x^^



3 sin sin 2 3 sin 2sin cos

 x  x x  x x sin 0

3 5 5 2

cos cos

2 6 6



  

   

 

       

x x k

x k

x



^k^_



_.

Bài ra

3 ; 2 

 

    x

nên

3 ; 1

2

        

k k x

.

5 3 7

2 ; 1

 k         k x 

(21)

5 3

2 ;

6 2

    

 k       k x .

Do đó số nghiệm thuộc

3 ; 2 

  

 

  của phương trình đã cho là 2. Câu 28.

sinx 3 cosx 2

1 3 2

sin cos cos .sin sin .cos sin

2 2 2 3 3 4

  

 x x  x x

 

2 2

3 4 12

sin sin

3 5

3 4

2 2

3 4 12

    

 

    

       

 

 

           



x k x k

x k

x k x k

. Câu 29.

2 2

sin 2sin 2 3 cos 2

a x x a x

1 cos 2 1 cos 2

2sin 2 3 2

2 2

 

 x  x 

a x a

cos 2 4sin 2 3 3 cos 2 4

 a a x x a a x 4sin 2x2 cos 2a x 4 4a

 

^*

 

^* có nghiệm khi ⁴²^⁴^a² ^



^{4 4}^ ^a



² _₁₂_a²_₃₂_a_₀_₁₂_a²_₃₂_a_₀ ^{  }⁰ ^a ⁸₃_.

Do ^a^^ và là số lớn nhất nên ^a^². Câu 30.

cosxsinx1

2 4 4 2

2 sin 1 sin

3

4 4 2

  

 

  

   

    

            



x k

x x

x k

 

2 2 2



 

 

 

  



 x k

x k k

. Câu 31.

(22)

Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

2 2 2 2 2

1 5 4

2

 

       

m m m

m .

Câu 32.

Phương trình tương đương



^{3 sin}^x^^cos^x

 

^ ^sin^x^ ^{3 cos}^x



^ ^{3 1 0}^{ }

2sin 2sin 1 3 4cos .sin 1 3

6 3 12 3

3 1 5

cos cos cos

12 2 2 12 12

2 2 3 2

   

  

 

       

              

      

         

   

 

  



x x x

x x

x k

Câu 33.

Lời giải Chọn D

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

  

²