MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

29-7-2020

1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình cĩ dạng

0 at   b

trong đĩ a b, là các hằng số



^a0



^{và t} là một hàm số lượng giác.

Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2) Phương trình bậc nhất đối với sin x

và

cos x

Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sinxvàcosx là phương trình cĩ dạng

sin cos a x  b x  c

Cách giải. Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a² b² c². Chia hai vế phương trình cho a²b² , ta đựợc

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2 .

a b  a b  a b

  

Do

2 2

2a 2 2b 2 1

a b a b

   

   

    

   

   

      nên đặt

2a 2 cos 2b 2 sin .

a b   a b  

 

Khi đĩ phương trình trở thành

 

2 2 2 2

cos sin sin cos c sin c .

x x x

a b a b

      

 

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình cĩ dạng

2

0

at    bt c

trong đĩ a b c, , là các hằng số



^a⁰



^và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu cĩ) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

4) Phương trình bậc hai đối với sin x

và

cos x

Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sinxvàcosx là phương trình cĩ dạng

2 2

sin sin cos cos 0

a x  b x x  c x 

Cách giải.

● Kiểm tra cosx0 cĩ là nghiệm của phương trình.

● Khi cosx0, chia hai vế phương trình cho cos²x ta thu được phương trình

tan2 tan 0.

a xb x c

Đây là phương trình bậc hai đối với tanx mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng asin²xbsin cosx xccos²xd ta làm như sau:

Phương trình asin²xbsin cosx xccos²xd.1

 

   

2 2 2 2

2 2

sin sin cos cos sin cos

sin sin cos cos 0.

a x b x x c x d x x

a d x b x x c d x

    

     

5) Phương trình chứa sin x  cos x

^và

sin . cos x x

Định nghĩa. Phương trình chứa sinxcosx và sin .cosx x

 sin co s  s i n co s 0

a x  x  b x x   c

Cách giải. Đặt tsinxcosx (điều kiện   2 t 2) Biểu diễn sin .cosx x theo t ta được phương trình cơ bản.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 cosx 30. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5

6S. B. 11

6S. C. 13

6S. D. 13 6 S.

 

Câu 2. Hỏi 7

x 3 là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2 sinx 30. B. 2 sinx 30.

C. 2 cosx 30. D. 2 cosx 30.

Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sin 4 1 0.

x 3

 

   

 

 

A. .

x4 B. 7 24.

x  C. .

x8 D. .

x12 Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2 3 0

x 3

 

   

 

  trên đường

tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 5. Hỏi trên đoạn



^0;2018



, phương trình 3 cotx 3 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.

Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 cos2x1?

A. 2

sin .

x 2 B. 2 sinx 20. C. tanx1. D. tan²x1.

Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2x3?

A. 1

cos .

x 2 B. 4 cos²x1. C. 1

cot .

x 3 D. 1

cot .

x  3 Câu 8. Giải phương trình 4 sin²x3.

A. ^{3 2 ,}

 

^.

3 2

x k

k

x k

 

 

  

 

   

  B. ₂^{3 2 ,}

 

^.

3 2

x k

k

x k

 

 

  

 

  

 

C. ^{3 3 ,}

 

^.

3 x k

k k

 

  

 

 



  

D. ^{3 ,}

 

^.

3 x k

k k

  

 

 



  

Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 2

3 sin xcos x? A. sin 1.

x2 B. cos 3.

x 2 C. sin² 3.

x4 D. cot²x3.

Câu 10. Với x thuộc

 

^0;1 , hỏi phương trình ^{cos 62}



^x



^3₄ có bao nhiêu nghiệm?

A. 8. B. 10. C. 11. D. 12.

Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx  m 1 0 có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^2108;2018



để phương trình mcosx 1 0 có nghiệm?

A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038.

Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình



^m^{2 sin 2}



^x ^{m 1 nhận x}₁₂^ làm nghiệm.

A. m2. B. ²



^{3 1}



_.

m 3 2

  C. m 4. D. m 1.

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



^{m1 sin}



^{x  2 m 0 có}

nghiệm.

A. m1. B. 1

2.

m C. 1

1 .

m 2

   D. m 1.

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



^m^{2 sin 2}



^x ^{m 1 vô} nghiệm.

A. 1

2;2 .

m    B. ^m ^ ^;1₂^ 



^2;



^.

C. ^m¹₂^;2^{ }



^2;



^. D. 1

; .

m2 

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x

Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2xsin 2x1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .

4 S

 B. . 2 S

 C. 3

4S. D. 5

4S. Câu 17. Số nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 3 trên khoảng 0;

2

 

 

 

  là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 18. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos²xsin 2x 2sin²x trên khoảng



^{0;2 .}



A. 7 .

T  8 B. 21 .

T  8 C. 11 .

T  4 D. 3 . T  4 Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x₀ của 3sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 .³ x

A. ₀ .

x 2 B. ₀ .

x 18 C. ₀ .

x 24 D. ₀ .

x 54 Câu 20. Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2 sin 7x trên khoảng 0;

2

 

 

 

  là?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 21. Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .

2 2

x  x  x

   

     

   

 

   

A.

5 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

  

  B.

7 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

   

 

C.

5 2

6 , .

7 2

6

x k

k

x k

 

 

  

 

  

  D.

2

18 3 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

   

 

Câu 22. Gọi x₀ là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos7xsin 7x 3 cos 9x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ₀ ;0 .

x   12  B. ₀ ; . 6 12

x      C. ₀ ; .

3 6

x       D. ₀ ; .

2 3

x       Câu 23. Biến đổi phương trình ^{cos 3xsinx 3 cos}



^{xsin 3x}



về dạng

   

sin ax b sin cxd ^{với b, d} thuộc khoảng ; 2 2

  

 

 

 . Tính b d .

A. .

b d 12 B. .

b d 4 C. .

b d  3 D. . b d 2

Câu 24. Giải phương trình cos 3 sin 0.

sin 1 2

x x

x

 



A. , .

x 6 k k B. 2 , .

x 6 k  k

C. 7 2 , .

x 6k  k D. 7 , .

x 6k k Câu 25. Hàm số 2 sin 2 cos 2

sin 2 cos 2 3

x x

y x x

 

  có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 26. Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ₀ 0; .

x  12 B. ₀ ; .

x  12 6  C. ₀ ; .

x  6 3 D. ₀ ; . x  3 2

Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x  x  m

   

     

   

 

    vô nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình



²



cosxsinx 2 m 1 vô nghiệm.

A. ^m    



^{; 1}

 

^1;



^{. B. m }



^{1;1 .}



C. ^m  



^;



^{D. m}   



^;0

 

^0;



^.

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình



^{m1 sin}



^{x m cosx 1 m} có nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^2018;2018



để phương trình



^{m1 sin}



^{2xsin 2xcos 2x0} có nghiệm.

A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.

Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 31. Hỏi trên 0;

2

 

 

 

 , phương trình 2 sin²x3sinx 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 32. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2 cos²x5cosx 3 0 trên đường tròn lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 33. Cho phương trình cot 3² x3cot 3x 2 0. Đặt tcotx, ta được phương trình nào sau đây?

A. t²  3t 2 0. B. 3t²  9t 2 0. C. t²  9t 2 0. D. t²  6t 2 0.

Câu 34. Số nghiệm của phương trình ^{4 sin 22 x2 1}



^{ 2 sin 2}



^{x 20 trên}

 

^{0; là?}

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 35. Số nghiệm của phương trình sin 2² xcos 2x 1 0 trên đoạn



 ^;4



^là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Câu 36. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin² 3cos 0

4 4

x x

  trên đoạn



^{0;8 .}



A. T 0. B. T 8 . C. T 16 . D. T 4 . Câu 37. Số nghiệm của phương trình _sin¹²_x^



^{3 1 cot}



^x



^{3 1 }



^{0 trên}

 

^{0; là?}

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 38. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x2 cosx 20 trên đoạn



^0;3



^.

A. 17

4 .

T   B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 .

Câu 39. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2x3 sinx 4 0 trên đường tròn lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 40. Cho phương trình cos cos 1 0 2

x x  . Nếu đặt cos 2

t x, ta được phương trình nào sau đây?

A. 2t² t 0. B. 2t²  t 1 0. C. 2t²  t 1 0. D. 2t² t 0.

Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

3 6 2

x   x

   

     

   

 

    thuộc



^0;2



^là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanxmcotx8 có nghiệm.

A. m16. B. m16. C. m16. D. m16.

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

cos 2x 2m1 cosx  m 1 0 có nghiệm trên khoảng 3 2 2;

 

 

 

 .

A.   1 m 0. B.   1 m 0. C.   1 m 0. D. 1

1 m 2

   . Câu 44. Biết rằng khi mm₀ thì phương trình ^{2 sin2x}



^{5m1 sin}



^{x2m22m0 có}

đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3

 2

 

 

 

 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m 3. B. 1

m2. C. ₀ 3 7

; .

m 5 10 D. ₀ 3 2

; .

5 5

m      Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

2 cos 32 x 3 2m cos 3x  m 2 0 ^{có đúng 3} nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3

  

 

 

  A.   1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2.

Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x

Câu 46. Giải phương trình ^sin2x



3 1 sin cos



x x 3 cos²x0.

A. ^{x }₃^{ k2 }



^k



^{. B. x }₄^{ k}



^k



^.

C. ^{3 2}

 

^.

4 2

x k

k

x k

 

 

  

 

  

  D. ³

 

^.

4

x k

k

x k

 

 

  

 

  

 

Câu 47. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 sin²x3 3 sin cosx xcos²x2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ; .

3 S

 

 

 

 

 

 

  B. ; .

6 2 S

 

 

 

 

 

 

  C. ;5 .

4 12 S

 

 

 

 

 

 

  D. ;5 .

2 6 S

 

 

 

 

 

 

 

Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

 

2 2

sin x 3 1 sin cos x x 3 cos x 3.

A. sinx0. B. sin 1

x 2

 

  

 

  .

C.



^{cosx1 tan}



^ ^x₁^{3 1 }₃^^0. D.



^{tanx 2 3 cos}

  2x 1 0.

Câu 49. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin2x 3 sin cosx x1?

A. ^cosx



^{cot2x 3}



^{0. B. sin}^x₂^^{. tan} ^^{x  }₄^ ^{2 3}^0. C. ^^{cos2}^{x }₂^ ^{1 . tan}



^{x 3}



^0. D.



^{sinx1 cot}

  x 30.

Câu 50. Cho phương trình cos²x3sin cosx x 1 0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. xk không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos²x thì ta được phương trình tan2x3 tanx 2 0.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin²x thì ta được phương trình 2 cot2x3cotx 1 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x3sin 2x 3 0.

Câu 51. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin²x4 sin cosx x4 cos²x5 trên đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 52. Số nghiệm của phương trình cos²x3sin cosx x2 sin²x0 trên



^{2 ;2 }



^?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4 sin²x3 3 sin 2x2 cos²x4 là:

A. 12

 . B.

6

. C.

4

. D.

3

.

Câu 54. Cho phương trình



^{2 1 sin}



^{2xsin 2x}



^{2 1 cos}



^{2x 20}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. 7

x 8 là một nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos²x thì ta được phương trình tan2x2 tanx 1 0.

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin²x thì ta được phương trình cot2x2 cotx 1 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2xsin 2x1.

Câu 55. Giải phương trình ^{2 sin2x }



^{1 3 sin cos}



^{x x }



^{1 3 cos}



^2x1.

A. 6

. B.

4

. C. 2

3

 . D.

12

 .

Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^10;10



để phương trình

 

2 2

11sin x m 2 sin 2x3cos x2 có nghiệm?

A. 16. B. 21. C. 15. D. 6.

Câu 57. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình

   

2 2

sin x2 m1 sin cosx x m 1 cos xm có nghiệm?

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Câu 58. Tìm điều kiện để phương trình asin²xasin cosx xbcos²x0 với a0 có nghiệm.

A. a4b. B. a4b. C. 4 b 1

a  . D. 4

b 1 a  .

Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sin²xmsin 2x2m vô nghiệm.

A. 4

0 m 3 . B. m0, 4

m3. C. 4

0 m 3. D. 4

m3, m0.

Câu 60. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^3;3



để phương trình



^{m22 cos}



^{2x2 sin 2m x 1 0} có nghiệm.

A. 3. B. 7. C. 6. D. 4.

Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sin x  cos x và sin cos . x x

Câu 61. Giải phương trình^{sin cosx x}^{2 sin}



^x^cosx



^2. A. x 2 k , .

k x k

 



  

 

   B. 2

, . 2

2

x k

k x k

 



  

 

  

C. 2

, . 2

2

x k

k x k

 



  

 

   D. x 2 k , .

k x k

 



  

 

  

Câu 62. Cho phương trình ^{3 2 sin}



^xcosx



^{2 sin 2x 4 0. Đặt t}^sinx^cosx, ta được phương trình nào dưới đây?

A. 2t²3 2t 2 0. ^B. 4t²3 2t 4 0.

C. 2t²3 2t 2 0. ^D. 4t²3 2t 4 0.

Câu 63. Cho phương trình 5 sin 2xsinxcosx 6 0. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A. 2

sin .

4 2

x 

 

  

 

  B. 3

cos .

4 2

x 

 

  

 

 

C. tanx1. D. 1 tan ²x0.

Câu 64. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin cos 1 1sin 2 x x 2 x là:

A. . 2

 B. . C. 3

2 .

  D. 2 .

Câu 65. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2xsinxcosx1. Tính sin . x 4

 

  

 

 

A. sin 0

x 4

 

  

 

  hoặc sin 1

x 4

 

  

 

  . B. sin 0 x 4

 

  

 

  hoặc 2

sin  x 4 2 .

C. sin 2

4 2

x 

 

  

 

  . D. sin 0

x 4

 

  

 

  hoặc sin 2

4 2

x 

 

  

 

  .

Câu 66. Từ phương trình ^{5sin 2x16 sin}



^xcosx



^{ 16 0}, ta tìm được sin x 4

 

  

 

  có giá trị bằng:

A. 2

2 . B. 2

2 .

 C. 1. D. 2

2 .



Câu 67. Cho x thỏa mãn ^{6 sin}



^xcosx



^{sin cosx x 6 0. Tính cos}  ^{x }₄^^.

A. cos 1.

x 4

 

  

 

  B. cos 1.

x 4

 

  

 

 

C. 1

cos .

4 2

x 

 

  

 

  D. 1

cos .

4 2

x 

 

   

 

 

Câu 68. Từ phương trình



^{1 3 cos}

  xsinx2 sin cosx x 3 1 0, nếu ta đặt cos sin

t x x thì giá trị của t nhận được là:

A. t1 hoặc t 2. B. t1 hoặc t 3 .

C. t1. D. t 3.

Câu 69. Nếu



^{1 5 sin}

  xcosxsin 2x 1 50 thì sinx bằng bao nhiêu?

A. sin 2

x 2 . B. sin 2

x 2 hoặc sin 2 x  2 . C. sinx 1 hoặc sinx0. D. sinx0 hoặc sinx1. Câu 70. Nếu



^{1 sin x}



^{1 cos x}



^{2 thì cos}  ^x ₄^ bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 1. C. 2

2 . D. 2

2 .

 Câu 71. Cho x thỏa mãn 2 sin 2x3 6 sinxcosx  8 0. Tính sin 2 .x

A. sin 2 1.

x 2 B. sin 2 2.

x  2 C. sin 2 1.

x2 D. sin 2 2.

x 2

Câu 72. Hỏi trên đoạn



^0;2018



, phương trình sinxcosx 4 sin 2x1 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.

Câu 73. Từ phương trình ^{2 sin}



^xcosx



^{tanxcotx}, ta tìm được cosx có giá trị bằng:

A. 1. B. 2.

 2 C. 2.

2 D. 1.

Câu 74. Từ phương trình ^{3 3} 3

1 sin cos sin 2

x x 2 x

   , ta tìm được cos

x 4

 

  

 

  có giá trị bằng:

A. 1. B. 2

2 .

 C. 2

2 . D. 2

2 .



Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx xsinxcosx m 0 có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.