Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ của tác giả Vũ Hồng Phong

KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG

Tỏc giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIấN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016)

(đõy là một dạng trong tài liệu:

MỘT HƯỚNG MỚI TẠO RA PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ ) Từ bài viết của tỏc giả:

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ ĐẶC BIỆT

Toán học và tuổi trẻ (thỏng 9 năm 2015)

Khi gặp một ph-ơng trình có dạng

u.^mP v.ⁿ Q w

(với u,v, w,P,Q là các biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc các hằng số e,f và các biểu thức

P₀

,

Q₀

chứa ẩn thoả mãn:















Q f P e Q f P e

w Q v P u

n

m .( ) . .

) .(

. .

0 0

0

0

(*)

thì ta xử lí ph-ơng trình đó nh- sau:

Đặt

^mP a

;

ⁿ Q b

suy ra

a^m P

;

bⁿ Q

Ta có hệ PT:















Q f P e b f a e

w b v a u

n

m . . .

. .

.

(**)

Giải hệ PT(**) ta tìm đ-ợc các nghiệm (a;b)

Đến đây PT,hệ PT đã cho sẽ trở nên đơn giản hơn !

L-u ý: từ (*) ta thấy hệ PT(**) luôn có nghiệm (a,b) =

(P₀;Q₀)

Sau đây là các ví dụ

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

1 7

6 2 4

2 xx² ³ x²  x  x

Phân tích:

Ta có:





























) 7 6 2 ( ) 4

2 ( 2 ) 1 (

1 2

1

2 2

3

2 x x x x

x

x x

nên PT này ta nhẩm đ-ợc e =f =1 và

(P₀;Q₀)

=

(x1;2)

Lời giải

Đặt

24xx² a

;

³ 2x² 6x7 b

Suy ra

a² b³ x²2x9

(1)

Từ PT đã cho ta có

ab x1ax1b

(2) Thay vào (1) ta đ-ợc:

9 2 )

1

(x b ²b³  x² x

9 2 2

2 2

1 ^{2 3 2}

2        

x b x b bx b x x

0 4 2 2

8 ²

3     

b b b bx x

0 ) 2 4 3 )(

2

(  ²    

 b b b x

2

b

hoặc

b² 3b42x

(3)

+Từ (2) có

xab1

thay vào PT(3) đ-ợc

b²3b42(ab1) b² b62a

(4)

Có

5

4 ) 23 2 ( 1 ) 4

(  b ²   VT

VP(4)2 24xx² 2 6(x2)² 2 6 5

Suy ra PT(4) vô nghiệm. Do đú PT(3) vụ nghiệm +Với b = 2 thay vào (2) đ-ợc

ax1

Suy ra





















2 7 6 2

1 4

2

3 2

2

x x

x x x



























8 7 6 2

) 1 ( 4

2

0 1

2

2 2

x x

x x x x











 

0 1 6 2

1

2 x

x x

2 11 3



 x

Vậy PT đã cho có 1 nghiệm

2 11 3

 x

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

7x²20x86x. 314xx² 3x2

Phân tích: Với PT này ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 và

(P₀;Q₀)

=

(2x2;1)

vì





























) 4

31 .(

3 ) 86 20 7

( 1 . 3 ) 2 2 (

2 3 1 . 2 2

2 2

2

2 x x x x

x

x x x

Lời giải Đặt a =

7x² 20x86

, b =

314xx²

Suy ra

a²3b² 4x²8x7

(1)

Từ PT đã cho có: a +xb = 2x + 3



a = 3x + 2 – bx Thay vào (1) ta đ-ợc

(3x2bx)²3b² 4x²8x7

9x²4b²x²12x4bx6bx²3b² 4x² 8x7

 (x²3)b²(6x²4x)b5x²4x30

 (b1)[(x² 3)b5x²4x3]0















 



3 3 4 5 1

2 2

x x b x

b

+Với b = 1 thì a = 2x+2, khi đó có hệ





















1 4

31

2 2 86 20 7

2 2

x x

x x

x 

























1 4

31

) 2 2 ( 86 20 7

0 2 2

2

2 2

x x

x x

x x



























0 30 4

0 90 12 3

1

2 2

x x

x x

x

 











34 2 1 x

x  x2 34

+Với b =

3 3 4 5

2 2





 x

x

x



3 15 4 4

) 15 4 (

16 ₂

2 2





 







 x

x x x

x

(2)

+ Nếu

x²4x150

thì VT(2) < 4 < VP(2)

+ Nếu

x²4x150

thì VT(2) = 4 = VP(2) Khi

x²4x150

thì













x x

a b

4 2 3

4 





















x x

x

x x

2 86 20 7

4 4

31

2

2



























2 2

2

) 2 ( 86 20 7

16 4

31 0 2

x x

x

x x x

 























0 ) 15 4 ( 6

0 15 4 2

2 2

x x

x x x















19 2 2 x x



x=

2 19

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm

x2 34,x2 19

Ví dụ 3: Giải hệ ph-ơng trình



 















) 2 .(

. 2

1

) 1 .(

4 11 20

3 2 2

2 3

x y x y xy

y x x

Phân tích:

Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 và

(P₀;Q₀)

=

(xy;1)

vì





















) (

) 2 1 ( 1 ) (

1 .

2 2 2

2 xy x y

y x

x y y x

Lời giải: điều kiện

12xy0

Đặt

12xy a

;

³ x² y² b

Suy ra

a²b³  x²y²2xy1

(3)

Từ (2) ta có a + yb = x

axyb

(4) thay vào (3) đ-ợc

(xby)²b³  x²y²2xy1

b³12xy(b1)y²(b²1)0

(b1)[b²b12xy y²(b1)]0

b1

hoặc

b²b12xyy²(b1)0

(5) +Có

³ x²  y² b0

nên

b² b0

;

b10

Nếu

12xy  y²(b1)0

thì









 0

2 1 y

xy

(vô lý)

Vậy 2 số không âm

12xy

và

y²(b1)

không đồng thời bằng 0 nên

12xy y²(b1)0

do đó

VT(5)0

Suy ra PT(5) vô nghiệm +Với b = 1 thay vào (4) đ-ợc

axy

Suy ra

















1 2

1

3 2 2

y x

y x xy























1 ) ( 2 1

0

2 2

2

y x

y x xy y x









 

2 1

2 y

x y

x

(*)

kết hợp hệ PT(*) với PT(1) ta có hệ:

















1 4 11 20

2 2

2 3

y x

y x x

y x





















2 2

2 3

1

) 1 ( 4 11 20

x y

x x

x y x























2 2

2 3

1

0 4 11 4

20

x y

x x x

y x





















2 2

2

1

0 ) 4 5 ( ) 1 2 (

x y

x x

y x

















 





4 3 2

1

y2

x y x

(I) hoặc





















25 9 5 4

y2

x y x

(II)

Giải hệ PT (I) và (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) là:

) 2

; 3 2 (1 

;

)

5

;3 5

(4

và

)

5

; 3 5 (4 

Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm (x;y) là :

) 2

; 3 2 (1 

;

)

5

;3 5

(4

và

)

5

; 3 5 (4 

bài tập

bài 1 Giải ph-ơng trình

a)

⁴

3 3

2

3 2 4

4

9 12

12     x 

x x x

c) 1

2 2 1 7

. 2 6

3  x

2

 x

3

x

2

 x  

b)

3x² 5x6  x(x1) x² x4

d)

2x²48x27x. 2x²24x67 4x6

bài 2 Giải hệ ph-ơng trình a)





















x xy

y y

x y x

1 2 . 2 8 65

2 2

3 3

b)

























y xy

x y

x

y x y x

4 2 4

35 3

3

2 2

2

3 3 3 3

c)

 

 



 

 









3 2 . 2

4 5

1 2 8

3

2 2 2

2

y x x

y x

x xy

Sau đõy là phần bổ xung thờm cỏc thớ dụ dạng này:

Dạng :đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong

Một số thớ dụ của dạng này tỏc giả đó nờu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trờn. Sau đõy là cỏc thớ dụ bổ xung

Thớ dụ 1 Giải phương trỡnh

1 2

1

3 ^{3 2 4 3}

4 x x   x x  x

x

1 2

1

3 ^{3 2 4 3}

4 x x   x x  x

x

Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình Xét x1

Đặt x⁴3x³x²1a0; x⁴x³2 b0

Suy ra mối liên hệ: a²b² 2x³x²1(x1)(2x²x1)(*) Pt đã cho trở thành: abx1(**)

Giải (*) và (**) suy ra:























1

) 1 2

)(

1 ( ) )(

( ²

x b a

x x x

b a b a

















 

1 1 2 ²

x b a

x x b a













 

2 1

2

x b

x x a































2 2 3

4

2 2 2

3 4 2

) 1 ( 2

) 1 ( 1 3

0

x x

x

x x

x x

x x

2 5 1 0

) 1 )(

1 (

0

2

2   

















  x

x x x

x x

PT đã cho có 2 nghiệm

2 5

; 1 1  

 x x

Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn

Việc tạo ra phương trình loại này cũng không quá khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương trình đơn giản của dạng này như sau:

Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng x² 1

Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :

1 2

; 1

3 ^{3 2 2 4 3 2}

4 x x   x x x x  x 

x

Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả xin nêu ra một liên hệ đơn giản là:

(*) 2 4 2 ) 1 ( ) 1

( ^{2 2 2 2 4 2}

2

2b  x   x   x  x 

a

Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :

) 1 2

)(

1 ( 1

2 ^{3 2 2}

2

2b  x x   x x x

a

Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý muốn.

Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :

2 1

4  

 x x x a

Từ (*) suy ra b x⁴3x²x1

Song song

với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau khi biến đổi hợp lí.

Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau:

Thí dụ 2 Giải phương trình

2 2 1 3

1 ^{4 2 2}

2

4x x  x  x x  x 

x

Hướng dẫn.

Đặta  x⁴x² x1

1 3 ²

4  

 x x x

b

Suy ra mối liên hệ:

^{( 1) 2 4 2(*)}

) 1

( ^{2 2 2 2 4 2}

2

2b  x   x   x  x 

a

Pt đã cho trở thành: ab x²1(**)

Giải hệ gồm (*) và (**) bằng phương pháp thế ta được

1

1 ²

2

4    

 x x x x

a

1 1

3 ^{2 2}

4    

 x x x x

b

Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx1;x0

Chú ý:

Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ như:

...

2a²b² 2a²3b² ...2a²3b² ...2a²b² ...

...

3 2 2

1a2  b2 

Việc chọn phương trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ như:

...

2 

 b

a 3a2b...3a2b... 2 ...

3

1a b ...

2 ) 1

(x a b axb...

Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hướng tạo ra tương tự

Một số thí dụ khó hơn

Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằngx⁴;x² 1 Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Chọn a x⁸x⁴2x²x 0

0 1 2 ⁴   

 x x b

Thí dụ 3 Giải phương trình

1 2

) 1 ( 1

2 ^{2 2 4}

4

8x  x x   x  x x

x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn chi tiết tạo PT.

Chọn dạng m(x²1) n p

Chọn các căn sau khi biến đổi: m x⁴; n x²1;p1 Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Chọn: n  x²1;n2x⁴x1 Từ(*) suy ra: mx⁸x⁴2x²x

Việc chọn n hay n trước cần hợp lí.

Đến đây tác giả tin rằng mọi người sẽ tự tạo ra được rất nhiều phương trình dạng này

!!!

Hướng dẫn giải:

Đặt a  x⁸x⁴2x²x 0

0 1 2 ⁴  

 x x b

Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a1(x²1)b(**) Thay a vào (*) ta được



^{1(x21)b}



^{2b2 x8x42x21}



^{1( 21)2}



^{22( 21) ( 21) 2( 4 22)0}

 x b x b x x x x









 







 





 0

) 1 ( 1

) 2 (

1

2 2

2 4 2 2

x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2

2 4

2   









 x

x x x x

X=0 không làm cho b=0 Suy ra

1 1

2 ⁴   ²

 x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

4 2

4

8 x 2x x x

x

a    

Suy ra

2 5

; 1 1

;

0    

 x x

x

PT đã cho có 4 nghiệm

2 5

; 1 1

;

0    

 x x x

Thí dụ 4 Giải phương trình

3 2 )

1 ( 1

2 ^{2 4 3 2}

3

8x    x  x x  x 

x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt a  x⁸x³20

0 3 2 ²

3

4   

 x x x

b

Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a1(x²1)b(**) Thay a vào (*) ta được



^{1(x21)b}



^{2b2 x8x42x21}



^{1( 21)2}



^{22( 21) ( 21) 2( 4 22)0}

 x b x b x x x x









 







 







) 0 1 ( 1

) 2 (

1

2 2

2 4 2 2

x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2

2 4

2   









 x

x x x x

X=0 không làm cho b=0 Suy ra

1 3

2 ^{2 2}

3

4    

 x x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

4 3

8 x 2 x

x

a   

Suy ra

3 2

 x

PT đã cho có 1 nghiệmx³ 2

Thí dụ 5 Giải phương trình

3 2 )

1 ( 1

2 ^{2 5 4 2}

5

8x    x  x x  x 

x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x⁸x⁵2 a0

0 3

2 ²

4

5x  x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a1(x²1)b(**) Thay a vào (*) ta được



^{1(x21)b}



^{2b2 x8x42x21}



1( ²1)²



²2( ²1) ( ²1) ²( ⁴ ²2)0

 x b x b x x x x









 







 





 0

) 1 ( 1

) 2 (

1

2 2

2 4 2 2

x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2

2 4 2





 







 x

x x x x

X=0không làm cho b=0 Suy ra

1 3

2 ^{2 2}

4

5x  x   x 

x

Thay vào (**) đƣợc:

4 5

8 x 2 x

x   

Suy ra

5 2



 x

PT đã cho có 1 nghiệmx⁵ 2 Thí dụ 6 Giải phương trình

1 1 3 )

1 (

3 ^{4 2 4 2}

2

12x  x  x x  x x  x 

x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x¹²x² 3x a0

0 1

2 3

4x  x b x

Suy ra mối liên hệ:

^{2 2 1(*)}

4 12 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a(x⁴x²1)b1(**) Thay a vào (*) ta được



^{(x4 x21)b1}



^{2b2 x12x42x21}



1( ⁴ ²1)²



²2( ⁴ ²1) ( ²1) ²( ⁸ ⁶ ⁴ ²2)0

 x x b x x b x x x x x x









 













 





 0

) 1 (

1

) 2 (

1

2 2 4

2 4 6 8 2 2

x x

x x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 (

1

) 2 (

2 2 4

2 4 6 8

2   















 x

x x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy ra

1 1

3 ²

2

4x  x x 

x

Thay vào (**) đƣợc:

6 2

12 x 3x x

x   

Suy ra

3

; 0 

 x x

PT đã cho có 2 nghiệm x0;x 3 Thí dụ 7 Giải phương trình

1 1 3 2 )

1 (

3

2 ^{4 4 2 4 2}

12 x  x  x x  x  x  x 

x

Hướng dẫn.

Đặt x¹²2x⁴3x a0

0 1

3 2 ²

4    

x x x b

Suy ra mối liên hệ:

^{2 2 1(*)}

4 12 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a(x⁴x²1)b1(**) Thay a vào (*) ta được



^{(x4 x21)b1}



^{2b2 x12x42x21}



^{1( 4 21)2}



^{22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0}

 x x b x x b x x x x x x









 













 





 0

) 1 (

1

) 2 (

1

2 2 4

2 4 6 8 2 2

x x

x x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 (

1

) 2 (

2 2 4

2 4 6 8

2   















 x

x x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy ra

1 1

3

2 ^{2 2}

4    

x x x x

Thay vào (**) đƣợc:

6 4

12 2x 3x x

x   

Suy ra

3

2

; 3 0 

 x x

PT đã cho có 2 nghiệm ³ 2

; 3 0 

 x x Thí dụ 8 Giải phương trình

1 2 )

1 (

1

2 ^{2 4 2 4}

12 x x  x x  x x 

x

Hướng dẫn.

Đặt x¹²2x²x1a0

0

4x2 b x

Suy ra mối liên hệ:

^{2 2 1(*)}

4 12 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a(x⁴x²1)b1(**) Thay a vào (*) ta được



^{(x4 x21)b1}



^{2b2 x12x42x21}



^{1( 4 21)2}



^{22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0}

 x x b x x b x x x x x x









 













 





 0

) 1 (

1

) 2 (

1

2 2 4

2 4 6 8 2 2

x x

x x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 (

1

) 2 (

2 2 4

2 4 6 8

2   















 x

x x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy ra

1

2 ²

4x x  x

Thay vào (**) đƣợc:

6 2

12 2x x 1 x

x    

Suy ra

2

; 1 1 



 x x

PT đã cho có 2 nghiệm

2

; 1 1 



 x x

Thí dụ 9 Giải phương trình

1 3 )

1 (

2

2 ^{2 4 2 4}

12 x x  x x  x x 

x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x¹²2x²x2 a0

0

4 x3 b x

Suy ra mối liên hệ:

^{2 2 1(*)}

4 12 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a(x⁴x²1)b1(**) Thay a vào (*) ta được



^{(x4 x21)b1}



^{2b2 x12x42x21}



^{1( 4 21)2}



^{22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0}

 x x b x x b x x x x x x









 













 





 0

) 1 (

1

) 2 (

1

2 2 4

2 4 6 8 2 2

x x

x x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 (

1

) 2 (

2 2 4

2 4 6 8

2   















 x

x x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy ra

1

3 ²

4x x  x

Thay vào (**) đƣợc:

6 2

12 2x x 2 x

x    

Suy ra

4 17 1

  x

PT đã cho có 2 nghiệm

4 17 1

  x Thí dụ 10 Giải phương trình

3 3 )

1 ( 1 2 3

2 ^{2 2 4}

8 x  x   x  x  x

x

Hướng dẫn.

Đặt x⁸2x²3x2 a0

0 3

43x b x

Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a1(x²1)b(**) Thay a vào (*) ta được



^{1(x21)b}



^{2b2 x8x42x21}



1( ²1)²



²2( ²1) ( ²1) ²( ⁴ ²2)0

 x b x b x x x x









 







 





 0

) 1 ( 1

) 2 (

1

2 2

2 4 2 2

x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2

2 4

2   









 x

x x x x

x=0không làm cho b=0 Suy ra

1 3

3 ²

4 x  x 

x

Thay vào (**) đƣợc:

4 2

8 2x 3x 2 x

x    

Suy ra

2

; 1 2 



 x x

PT đã cho có 2 nghiệm

2

; 1 2 



 x x

Thí dụ 11 Giải phương trình

4 3 )

1 ( 1 3 3

2 ^{2 2 4}

8 x  x   x  x  x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt x⁸2x²3x3 a0

0 4

43x b x

Suy ra mối liên hệ:

^1(*)

2 ²

4 8 2

2b x x  x 

a

Pt đã cho trở thành: a1(x²1)b(**) Thay a vào (*) ta được



^{1(x21)b}



^{2b2 x8x42x21}



1( ²1)²



²2( ²1) ( ²1) ²( ⁴ ²2)0

 x b x b x x x x









 







 





 0

) 1 ( 1

) 2 (

1

2 2

2 4 2 2

x x x b x

x b

Dễ thấy

0 ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2

2 4

2   









 x

x x x x

x=0không làm cho b=0 Suy ra

1 4

3 ²

4 x  x 

x

Thay vào (**) đƣợc:

4 2

8 2x 3x 3 x

x    

Suy ra

4 33 3

  x

PT đã cho có 2 nghiệm

4 33 3

  x Thí dụ 12 Giải phương trình

3 )

1 ( 3

2 ^{3 4 2}

6 x  x x x x 

x

Hướng dẫn.

Đặt x⁶2x³3 a0

0

2 3

4x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



x(x1)b



²b² x⁶ x⁴2x³x²



1( 1)²



²2 ( 1) ( ² ) ²( ² 2)0

 x b x x b x x x x x









 







 







) ( ) 0

1 ( 1

) 2 (

2 2 2 2

x loai x x b x

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy ra

x x x

x⁴ ²3 ²

Thay vào (**) đƣợc:

3 3

6 2x 3 x

x   

Suy ra

3

2

 3 x

PT đã cho có 1 nghiệm ³ 2

 3 x Thí dụ 13 Giải phương trình

20 )

1 ( 20

2 ^{3 2 4}

6 x x  x x x 

x

Hướng dẫn.

Đặt x⁶2x³x²20a0

0

420b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



x(x1)b



²b² x⁶ x⁴2x³x²



1( 1)²



²2 ( 1) ( ² ) ²( ² 2)0

 x b x x b x x x x x









 







 





 0( )

) 1 ( 1

) 2 (

2 2 2 2

x loai x x b x

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy ra

x x x⁴ 20  ² 

Thay vào (**) đƣợc:

3 2

3

6 2x x 20 x

x    

Suy ra

2 x

PT đã cho có 1 nghiệmx2 Thí dụ 14 Giải phương trình

3 )

1 ( 3

2x³ x x x⁶x⁴x²  Hướng dẫn.

Đặt 2x³3 a0

0

2 3

4

6x x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



x(x1)b



²b² x⁶ x⁴2x³x²



1( 1)²



²2 ( 1) ( ² ) ²( ² 2)0

 x b x x b x x x x x









 







 





 0( )

) 1 ( 1

) 2 (

2 2 2 2

x loai x x b x

x x b

(vìx=0không làm cho b=0) Suy ra

x x x

x

x⁶ ⁴ ² 3 ²

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 3

2x   x

Suy ra

3 3 3

62x 30(x 0)x1(loai);x 3 x

PT đã cho có 1 nghiệmx³ 3

Thí dụ 15 Giải phương trình

1 )

1 ( 1

2x³  x x x⁶ x⁴x²

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn.

Đặt 2x³1a0

0

2 1

4

6x x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



x(x1)b



²b² x⁶ x⁴2x³x²



1( 1)²



²2 ( 1) ( ² ) ²( ² 2)0

 x b x x b x x x x x









 







 





 0( )

) 1 ( 1

) 2 (

2 2 2 2

x loai x x b x

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy ra

x x x

x

x⁶ ⁴ ²1 ²

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 1

2x  x

Suy ra

3 2

3 3

62x 10(x 0,x x0)x 1 2 x

PT đã cho có 1 nghiệmx³1 2 Thí dụ 16 Giải phương trình

1 )

1 ( 1

3x³  x x x⁶x⁴x³x² Hướng dẫn.

Đặt 3x³1a0

0

2 1

3 4

6x x x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



^x^(x^1)b



²^b2 ^x6 ^x4^2x3^x2



^{1( 1)2}



^{22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0}

 x b x x b x x x x x









 







 





 0( )

) 1 ( 1

) 2 (

2 2 2 2

x loai x x b x

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy ra

x x x

x x

x⁶ ⁴ ³ ²1 ²

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 1

3x  x

Suy ra

2 3 3

3 6

2 5 ) 3

0 ,

0 ( 0 1

3        

 x x x x x

x

PT đã cho có 2 nghiệm ³ 2

5 3

 x Thí dụ 17 Giải phương trình

2 )

1 ( 2

3x³ x x x⁶x⁴x³x² Hướng dẫn.

Đặt 3x³2 a0

0

2 2

3 4

6x x x  b x

Suy ra mối liên hệ:

^{3 2}

4 6 2

2 b x x 2x x

a     

Pt đã cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta được



x(x1)b



²b² x⁶ x⁴2x³