50 bài toán về phương trình mũ (có đáp án 2022) – Toán 12

PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình mũ cơ bản: ^{ax =b a}

(

^{0, a 1}

)

^.

* Với b 0 , ta có a^x =  =b x log b_a

* Với b 0 , phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

( ) ( )

f x g x

a =a  =a 1 hoặc

( ) ( )

0 a 1 f x g x

  

 =

 .

+ Đặt ẩn phụ:

( )

( )

^{( )}

( )

g x

g x t a 0

f a 0 0 a 1

f t 0

 = 

  =    

   = .

Ta thường gặp các dạng:

( ) ( )

2f x f x

m.a +n.a + =p 0

( ) ( )

f x f x

m.a +n.b + =p 0, trong đó a.b 1= . Đặt t =a^{f x( )}, t0, suy ra b^{f x( ) 1}

= t.

( )

( )

^{f x( ) ( )}

2f x 2f x

m.a +n. a.b +p.b =0. Chia hai vế cho b^{2f x( )} và đặt

( )

a f x

t 0 b

  = 

   .

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

( )( )

u+ =v uv 1+  u 1 v 1− − =0 với đặt u=a^{f x( )}, v=b^{g x( )}u0, v0

( )( )

Au+Bv=Av+Bu A−B u −v =0 với đặt u=a^{f x( )}, v=b^{g x( )}u0, v0

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn x rồi đưa về tích.

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình + Logarit hóa:

Phương trình ^{( )}

f x

( )

a

0 a 1, b 0

a b

f x log b

  

=   = .

Phương trình

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

a a

a =b log a =log b f x

( ) ( )

=g x .log ba

hoặc log ab ^{f x( )} =log bb ^{g x( )} f x .log a

( )

b =g x .

( )

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

( )

ax =f x

(

^{0 a 1}

)

^.

( )

^*

Xem phương trình

( )

^* là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị y=a^x

(

^{0 a 1}

)

^{và y=f x}

( )

. Khi đĩ ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

( ) ( )

y=ax 0 a 1 vày=f x .

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến) trên

( )

^a;b

thì số nghiệm của phương trình ^{f x}

( )

^=ktrên

( )

^a;b khơng nhiều hơn một và

( ) ( ) ( )

f u =f v  = u v, u, v a;b .

Tính chất 2. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

liên tục và luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến);

hàm số ^{y=g x}

( )

liên tục và luơn nghịch biến (hoặc luơn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình ^{f x}

( ) ( )

^{=g x} khơng nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến) trên D thì bất phương trình ^{f u}

( ) ( )

^{f v}  ^u v hoặc u

(

v , u, v

)

 D.

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình ^{f x}

( ) ( )

^{=g x .}

Nếu ta đánh giá được

( ) ( )

f x m g x m

 

 

 thì

( ) ( ) ( )

( )

f x m f x g x

g x m

 =

=   = . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản A. Phương pháp

( )

ax =b a0, a1 . Để giải pt trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

* Với b 0 , ta có a^x =  =b x log b_a

* Với b 0 , phương trình vô nghiệm.

B. Ví dụ minh họa Câu 1. Phương trình

1

3x =4 có nghiệm là

A. x =log 3₂ . B. x=log 2₃ . C. x=log 3₄ . D. x =log 4₃ . Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

1 x

3 4

3 4 1 log 4 x log 3

=  =x  = . Câu 2. Phương trình 8^x =4 có nghiệm là A. x ²

= 3. B. 1

x= −2. C. 1

x= 2. D. x= −2. Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: 8^x =4  =x log 4₈ 3

2 2

x log 2 2

 = = 3

Câu 3. Nghiệm của phương trình 2^x +2^{x 1+} =3^x +3^{x 1+} là:

A. ₃

2

x log 3

= 4. B. x 1= . C. x=0. D. ₄

3

x log 2

= 3. Hướng dẫn giải

x

x x 1 x x 1 x x

3 2

3 3 3

2 2 3 3 3.2 4.3 x log

2 4 4

+ +  

+ = +  =    =  = Chọn A.

Câu 4. Nghiệm của phương trình 12.3^x +3.15^x −5^{x 1+} =20 là:

A. x=log 5 1₃ − . B. x=log 5₃ . C. x=log 5 1₃ + . D. x=log 3 1₅ − .

Hướng dẫn giải

x x x 1

12.3 +3.15 −5 ⁺ =20 ^{3.3 5x}

(

^{x +4}

) (

^{−5 5x +4}

)

^{=0 }

(

^{5x +4 3}

)(

^{x 1+ −5}

)

⁼⁰

3x 1⁺ 5

 =  =x log 5 1₃ − . Chọn A.

Câu 5. Phương trình 3^{x 2 3}_x 9

− = có nghiệm là

A. x 1= . B. x=0. C. x= −1. D. x=3. Hướng dẫn giải

Chọn A.

x 2 x

3 3

9

− = 3^{x 2−} =3^{1 2x−}  − = −x 2 1 2x =x 1. Nghiệm của phương trình là x 1= .

Câu 6. Tập nghiệm của phương trình 2^{x2 x 4 1} 16

− − = là

A.



^{−2; 2 .}



^B. ^. C.

 

^{2; 4 . D.}

 

^{0;1 .}

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có 2^{x2− −x 4}=2⁻⁴ x² − − = −x 4 4 x² − =x 0 x 0 x 1

 =

  = .

Câu 7. Giải phương trình

3x 1

x 4 1

3 .

9

−

− =   

  A. x ⁶.

= 7 B. x 1.= C. x ¹.

= 3 D. x ⁷.

= 6 Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

3x 1

x 4 1

3 9

−

− =   

 

x 4 6x 2

3 ⁻ 3^{− +}

 =  − = − +x 4 6x 2 6

x .

 =7 Câu 8. Phương trình 3 .5^{x x 1−} =7có nghiệm là

A. log 35.₁₅ B. log 5.₂₁ C. log 35.₂₁ D. log 21.₁₅ Hướng dẫn giải

Chọn A.

• PT  15^x =35 x=log 35₁₅

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số A. Phương pháp

( ) ( )

f x g x

a =a  =a 1 hoặc

( ) ( )

0 a 1 f x g x

  

 =

 .

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Tìm tập nghiệm của phương trình ^{( )}

x 12 x

2 ⁻ =4 . A.



^{4+ 3, 4− 3}



^.

B.



^{2+ 3, 2− 3}



^.

C.



^{− +4 3, 4− − 3}



^.

D.



^{− +2 3, 2− − 3}



^.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có ^{2(x 1)2 4x 2(x 1)2 22x}

(

^{x 1}

)

^{2 2x x2 4x 1 0 x 2 3}

x 2 3

− −  = +

=  =  − =  − + =  

 = − . Vậy tập ngiệm của phương trình: S 2 3;2 3 .

Câu 2. Nghiệm của phương trình

x 1

1 x

25 125

  =+

 

  là:

A. ²

−5. B. 4 . C. ¹

−8. D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có ^{1 x 1 125x 5 2 x 1( ) 53x 2 x 1}

( )

^{3x x 2}

25 5

+

− +

  =  =  − + =  = −

 

  .

Vậy phương trình có nghiệm là x ²

= −5 .

Câu 3. Phương trình

( )

^{0.2 x 2+ =}

( )

^{5 4x 4−} tương đương với phương trình:

A. 5^{− +x 2} =5^{2x 2−} . B. 5^{− −x 2} =5^{2x 2−} . C. 5^{− −x 2} =5^{2x 4−} . D. 5^{− +x 2} =5^{2x 4−} .

Hướng dẫn giải Chọn B.

( )

^{0.2 x 2+ =}

( )

^{5 4x 4−   }_{ }¹₅ ^{x 2+ =52x 2− 5− −x 2 =52x 2− .}

Câu 4. Phương trình 2^{2x 1 1} 0 8

− − = có nghiệm là

A. x= −1. B. x=2. C. x= −2. D. x 1.= Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có 2^{2x 1 1} 0 2^{2x 1} 2 ³ x 1 8

− − =  − = −  = − . Vậy phương trình có nghiệm là x = -1.

Câu 5. Gọi Slà tổng các nghiệm của phương trình

( )

^{3x x 1− =64} thì giá trị của S là A. 1

2. B. −6. C. −3. D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có

( )

^{2x x 1 64 2x x 1( ) 64 x2 x 6 x2 x 6 0 x 3 S 1}

x 2

− −  =

=  =  − =  − − =  = −  = Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình 5^2x2−x =5.

A. S= . B. S 0;¹ 2

 

=  

 . C. ^S=

 

^{0; 2 . D. S 1; 1}

2

 

=  − 

  Hướng dẫn giải

Chọn D.

Phương trình đã cho tương đương với 2x² − =x 12x²− − =x 1 0 1 x 1 x

 =  = −2 Vậy tập nghiệm của phương trình : S 1; ¹

2

 

= − 

 . Câu 7. Nghiệm của phương trình 4^{2x m−} =8^x là

A. x = −m. B. x= −2m. C. x=2m. D. x=m. Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: ^{42x m− =8x }

( )

^{22 2x m− =}

( )

^{23 x 24x 2m− =23x 4x−2m=3x =x 2m.}

Vậy nghiệm của phương trình x = 2m.

Câu 8. Tập nghiệm của phương trình

2 2x x 2

3 8

2 27

− −

  = 

   

    là A. ⁸

5

  

 . B. ⁸

3

  

 . C.

 

^{4 . D.}

 

^{2 .}

Hướng dẫn giải Chọn C

( )

2 2x x 2 2 2x 3.(x 2)

3 8 3 3

2 2x 3 x 2

2 27 2 2

− − − − −

  =    =   − = − −

       

       

3x 2x 6 2 x 4

 − = −  =

Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {4}.

Dạng 3. Phương pháp đăt ẩn phụ A. Phương pháp

( )

( ) ( )

^{( )}

g x

g x t a 0

f a 0 0 a 1

f t 0

 = 

  =    

   = .

Ta thường gặp các dạng:

( ) ( )

2f x f x

m.a +n.a + =p 0

( ) ( )

f x f x

m.a +n.b + =p 0, trong đó a.b 1= . Đặt t =a^{f x( )}, t0, suy ra b^{f x( ) 1}

= t.

( )

( )

^{f x( ) ( )}

2f x 2f x

m.a +n. a.b +p.b =0. Chia hai vế cho b^{2f x( )} và đặt

( )

a f x

t 0 b

  = 

   .

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

( )( )

u+ =v uv 1+  u 1 v 1− − =0 với đặt u=a^{f x( )}, v=b^{g x( )}u0, v0

( )( )

Au+Bv=Av+Bu A−B u −v =0 với đặt u=a^{f x( )}, v=b^{g x( )}u0, v0

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn x rồi đưa về tích.

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Đặt ẩn phụ sau đó dựa vào các điều kiện để đưa phương trình đã cho về hệ phương trình với các ẩn mới.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho phương trình 4^x −4^{1 x−} =3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4^2x −3.4^x − =4 0. Hướng dẫn giải

Ta có: ^{x 1 x x} 4_x

4 4 3 4 3

4

− − =  − =

Đặt t =4^x (t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2 t 4 x

t 4 3 t 3t 4 0 4 4 x 1.

t 1(L) t

 =

− =  − − =  = −  =  =

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm, nghiệm này lớn hơn 0. Do đó A sai.

Chọn A.

Câu 2. Cho phương trình ^{32x 10+ −6.3x 4+ − =2 0 1}

( )

^{. Nếu đặt t=3x 5+}

(

^t0

)

^thì

( )

^{1 trở}

thành phương trình nào?

A. 9t² −6t− =2 0. B. t² −2t− =2 0.

C. t² −18t− =2 0. D. 9t² −2t− =2 0.

Hướng dẫn giải Chọn B.

( )

2 x 5

2x 10 x 4 x 5

3 ⁺ −6.3 ⁺ − = 2 0 3 ⁺ −2.3 ⁺ − =2 0

Vậy khi đặt ^{t=3x 5+}

(

^t0

)

^thì

( )

¹ trở thành phương trình t² −2t− =2 0.

Câu 3. Phương trình 9^x −5.3^x + =6 0 có tổng các nghiệm là:

A. log 6₃ . B. log₃ ²

3. C. ₃ 3

log 2. D. −log 6₃ . Hướng dẫn giải

x x

9 −5.3 + =6 0

( )

¹

( )

^{1 }

( )

^{32 x −5.3x + = 6 0}

( )

^{3x 2 −5.3x + =6 0 1'}

( )

Đặt t =3^x 0. Khi đó:

( ) ( )

2 t 2 N

( )

1' t 5t 6 0

t 3 N

=

 − + =  

 = Với t= 2 3^x =  =2 x log 2₃ .

Với t= 3 3^x =  =3 x log 3 1₃ = . Suy ra 1 log 2+ ₃ =log 3 log 2₃ + ₃ =log 6₃ . Chọn A.

Câu 4. Cho phương trình 2^{1 2x+} +15.2^x − =8 0, khẳng định nào sau dây đúng?

A. Có một nghiệm. B. Vô nghiệm.

C. Có hai nghiệm dương. D. Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

1 2x x

2⁺ +15.2 − =8 0

( )

²

( )

^{2 2.22x +15.2x − = 8 0 2. 2}

( )

^{x 2 +15.2x − =8 0 2'}

( )

Đặt t =2^x 0. Khi đó:

( ) ( )

( )

2

t 1 N 2

2' 2t 15t 8 0

t 8 L

 =

 + − =  

 = −

Với 1 ^x 1 ₂ 1

t 2 x log x 1 0

2 2 2

=  =  =  = −  . Do đó A đúng.

Chọn A.

Câu 5. Phương trình ^{5x 1− +5. 0, 2}

( )

^{x 2− =26} có tổng các nghiệm là:

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

( )

^{x 2}

x 1 x 1 2 x

5 ⁻ +5. 0, 2 ⁻ =265 ⁻ +5.5 ⁻ =26.

x 1 1 x

5 ⁻ 25.5⁻ 26

 + = .

Đặt ^{t =5x 1−}

(

^{t 0}

)

, phương trình trở thành: t ²⁵ 26 t² 26t 25 0 + t =  − + = .

x 1 x 1

t 1 5 1 x 1

t 25 5 25 x 3

−

−

=  = =

 

 =  =  = . Vậy tổng các nghiệm là 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào máy tính ^{5x 1− +5. 0, 2}

( )

^{x 2− −26}. Nhấn dấu = để lưu phương trình.

Shift→ Solve →0→ =. Ra nghiệm x 1= . Shift→ Solve →4→ =. Ra nghiệm x=3.

Câu 6. Cho phương trình 9^{x2+ −x 1}−10.3^{x2+ −x 2} + =1 0. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A. −2. B. 2 . C. 1. D. 0 .

Hướng dẫn giải

Đặt t =3^{x2+ −x 1} (t0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

x x 1

2 2

x x 1 2

x 2

t 3 3 3 x x 1 1 x 1

3t 10t 3 0 t 1 3 1 x x 1 1 x 0

3 3

x 1

+ −

+ −

 = −

= 

  =  + − =  =

 

− + =  =   =   + − = −   = = −

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 2.−

Câu 7. Tìm tích các nghiệm của phương trình

(

^{2 1−}

) (

^{x + 2+1}

)

^{x −2 2 =0.}

A. 2 . B. −1. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có:

(

^{2 −1}

)(

^{2 + =1}

)

¹

Đặt ^{t =}

(

²⁺¹

)

^x, điều kiện t0. Suy ra

(

^{2 1−}

)

^{x =1}_t

Phương trình trở thành:

( )

( ) ( ) ( )

2

x

x x 1

1 t 2 2 0 t 2 2t 1 0 t

t 2 1 2 1 2 1 x 1

t 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ⁻ x 1

+ − =  − + =

 = +  + = +  =

 

= −  + = −  + = +  = −



Vậy tích của hai nghiệm x x1 2 =1.

( )

− = −1 1

Câu 8. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( )

x x 2

4 + −1 3m 2 +2m − =m 0 có nghiệm.

A.

(

^{− +;}

)

^{. B.}

(

^−;1

) (

^{ 1;+}

)

^{. C.}

(

^0;+

)

^{. D.}

1; 2

 +

 

 .

Hướng dẫn giải Chọn C.

Xét phương trình ^{4x + −}

(

^{1 3m 2}

)

^{x +2m2− =m 0 1}

( )

Đặt t =2 , t^x 0. Phương trình

( )

¹ trở thành ^{t2 + −}

(

^{1 3m t}

)

^{+2m2 − =m 0 2}

( )

Phương trình

( )

² luôn có 2 nghiệm x=m; x=2m 1, m.− 

Phương trình

( )

¹ có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình

( )

² có nghiệm t0.

Từ đó suy ra ^{m 0 m}

(

^0;

)

^.

2m 1 0

 

  +

 − 



Dạng 4. Phương pháp logarit hóa A. Phương pháp:

+ Phương trình ^{af x( ) b 0f x}

( )

^{a 1, blog b}_a ⁰

  

=   = .

+ Phương trình

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

a a

a =b log a =log b f x

( ) ( )

=g x .log ba

hoặc log ab ^{f x( )} =log bb ^{g x( )} f x .log a

( )

b =g x .

( )

B. Ví dụ minh họa:

Câu 1. Biết rằng phương trình 2^x2−1=3^{x 1+} có 2 nghiệm là a, b. Khi đó a b ab+ + có giá trị bằng

A. − +1 2 log 3₂ . B. 1 log 3+ ₂ . C. −1. D. 1 2log 3+ ₂ . Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Ta có ^{2x2−1=3x 1+ log2}

( )

^{2x2−1 =log2}

( )

^{3x 1+}

( )

2

x 1 x 1 log 32

 − = +

2

2 2

x x.log 3 1 log 3 0

 − − − =

2

x 1

x 1 log 3

 = −

  = +

Vậy ta có a+ +b ab= − + +1 1 log 3 1 log 3₂ − − ₂ = −1.

Câu 2. Phương trình 2^{x 3−} =3^{x2− +5x 6} có hai nghiệm x , x_{1 2} trong đó x₁ x₂, hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x₁−2x₂ =log 8₃ . B. 2x₁−3x₂ =log 8₃ .

C. 2x₁+3x₂ =log 54.₃ D. 3x₁+2x₂ =log 54.₃

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

( )

3 log 22 ^{x 3−} =log 32 ^{x2− +5x 6}

(

^{x 3 log 2}

)

²

(

^{x2 5x 6 log 3}

)

²

(

^{x 3}

) (

^{x 2 x}

)(

^{3 log 3}

)

^{2 0}

 − = − +  − − − − =

( ) ( )

²

( )

2

x 3 0 x 3 . 1 x 2 log 3 0

1 x 2 log 3 0

 − =

 −  − − =  − − =

( )

2

2

x 3 x 3

x 2 1 x 2 log 3 1

log 3

 =

 = 

 − =   − =

3 3 3 3

x 3 x 3 x 3

x log 2 2 x log 2 log 9 x log 18

= = =

  

 = +  = +   =

Câu 3. Cho hai số thực dương a,b lớn hơn 1 và biết phương trình a b^{x2 x 1+} =1 có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a

( )

a

P log ab 4

log b

= + .

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với: x² +

(

x 1 log b+

)

a = 0 x² +x log ba +log ba =0 Điều kiện để phương trình có nghiệm là

(

log ba

)

² 4log ba 0 log ba 4 log b

(

a 0

)

 = −    

Khi đó a

( )

_4; ₎

( ) ( )

a

4 4

P log b 1 f t t 1 min f t f 4 6

log b t ^+

= + + = = + +  = =

Với t=log b_a 4. Chọn C.

Câu 4. Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình a^x2+1 =b^x có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} và phương trình ^{bx2−1 =}

( )

^{9a x} có hai nghiệm phân biệt x , x_{3 4} thỏa mãn

(

^x₁^+x₂

)(

^x₃^+x₄

)

^3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 3a= +2b.

A. 12 B. 46 C. 44 D. 22

Hướng dẫn giải Chọn B.

Với a^x2+1 =b^x, lấy logarit cơ số a hai vế ta được:

2 2

a a

x + =1 x log bx −x log b 1 0+ = .

Phương trình này cĩ hai nghiệm phân biệt, khi đĩ

(

a

)

² a ²

Δ= log b −  4 0 log b 2  b a .

Tương tự b^x2−1=

( )

9a ^x  x²− =1 x log 9ab

( )

 =Δ

(

log 9ab

( ) )

² + 4 0. Khi đĩ theo Vi-ét ta cĩ

( ) ( ) ( )

1 2 a 3

a b a

3 4 b

x x log b

log b log 9a 3 log 9a 3 9a a a 4

x x log 9a

+ =

        

 + =

 .

Vì vậy b 16  S 3.4+2.17=46.

Dạng 5. Phương pháp đồ thị, hàm số, đánh giá A. Phương pháp

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

( )

ax =f x

(

^{0 a 1}

)

^.

( )

^*

Xem phương trình

( )

^* là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị y=a^x

(

^{0 a 1}

)

^{và y=f x}

( )

. Khi đĩ ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

( )

y=ax 0 a 1 và ^{y=f x}

( )

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến) trên

( )

^a;b

thì số nghiệm của phương trình ^{f x}

( )

^=ktrên

( )

^a;b khơng nhiều hơn một và

( ) ( ) ( )

f u =f v  = u v, u, v a;b .

Tính chất 2. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

liên tục và luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến);

hàm số ^{y=g x}

( )

liên tục và luơn nghịch biến (hoặc luơn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình ^{f x}

( ) ( )

^{=g x} khơng nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số ^{y=f x}

( )

luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến) trên D thì bất phương trình ^{f u}

( ) ( )

^{f v}  ^u v hoặc u

(

v , u, v

)

 D.

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình ^{f x}

( ) ( )

^{=g x .}

Nếu ta đánh giá được

( ) ( )

f x m g x m

 

 

 thì

( ) ( ) ( )

( )

f x m f x g x

g x m

 =

=   = .

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình

(

^{x 1 .2−}

)

^{x = +x 1} có bao nhiêu nghiệm thực

A. ₁. B. 0 . C. 3 . D. ₂.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Vì _{x 1}= không là nghiệm của phương trình nên ta có

(

^{x 1 .2}

)

^{x x 1 2x x 1}

x 1

− = +  = +

− Hàm số y=2^x đồng biến trên _R, hàm số x 1

y x 1

= +

− nghịch biến trên

(

^−;1

)

^và

(

^1;+

)

^.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 2. Với giá trị nào của tham sốm thì bất phương trình 2^{sin x2} +3^{cos x2} m.3^{sin x2} có nghiệm?

A. m4. B. m4. C. m 1. D. m 1.

Hướng dẫn giải Chia hai vế của bất phương trình cho 3^{sin x2} 0, ta được

2 2

sin x sin x

2 1

3. m

3 9

  +   

   

   

Xét hàm số

2 2

sin x sin x

2 1

y 3.

3 9

   

=   +    là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0sin x 1²  nên 1 y 4

Vậy bất phương trình có nghiệm khi _m₄. Chọn A.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình

( )

²

( )

²

2 2 x 3x 6 2 x x 3

2x +2x− =9 x − −x 3 .8 ^{+ −} + x +3x−6 .8 ^{− −} là

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình đã cho

( )

²

( )

²

2 2 2 x 3x 6 2 x x 3

x 3x 6 x x 3 x x 3 .8 ^{+ −} x 3x 6 .8 ^{− −}

 + − + − − = − − + + −

v u

u v u.8 v.8

 + = + (với u=x² +3x−6;v=x² − −x 3)

(

^{8u 1 v}

) (

^{8v 1 u}

)

⁰

( )

^{* .}

 − + − =

TH1. Nếu u=0, khi đó

( )

^{* v 0 x2}₂ ^{3x 6 0}

x x 3 0

 + − =

 =  

− − =

 TH2. Nếu v=0,tương tự TH1.

TH3. Nếu u 0; v0 ,khi đó

(

^{8u −1 v}

) (

^{+ 8v −1 u}

)

^{ 0}

( )

^* vô nghiệm.

TH4. Nếu u0; v0 ,tương tự TH3.

TH5. Nếu u 0; v0 , khi đó

(

^{8u −1 v}

) (

^{+ 8v −1 u}

)

^{ 0}

( )

^* vô nghiệm.

TH6. Nếu u0; v0 , tương tự TH5.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Hoặc biến đổi

( )

^{* 8u 1 8v 1 0,}

u v

− −

 + = dễ thấy

8u 1

0; u 0 u

−    (Table = Mode 7).

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3^x =mx 1+ có hai nghiệm phân biệt?

A. m0. B. m 0

m ln 3

 

  . C. m2. D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có: 3^x =mx 1+ là phương trình hoành độ giao điểm của y=3^x và y=mx 1+ .

Ta thấy y=mx 1+ luôn đi qua điểm cố định

( )

^{0; 1 nên}

+ Nếu m0 thì y=mx 1+ là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y=3^x tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m0 thì để đồ thị hàm số y=mx 1+ cắt đồ thị hàm số y=3^x tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =3^x tại điểm

( )

^{0; 1 , tức là}

mln 3. Vậy m 0

m ln 3.

 

 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tìm các nghiệm của phương trình 2^{x 2−} =8¹⁰⁰.

A. x=204. B. x 102= . C. x=302. D. x=202. Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình ^{2x =}

( )

^{3 x.}

A. x 1= . B. x= −1. C. x=0. D. x=2. Câu 3. Số nghiệm của phương trình 2^{2x2− +7x 5} =1 là:

.ln 3 1 y=x +

3^x y=

A. 3 . B. 0 . C. ₁. D. ₂. Câu 4. Cho phương trình: 3^x = +m 1. Chọn phát biểu đúng

A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

B. Phương trình có nghiệm với _m −₁.

C. Phương trình có nghiệm dương nếu m 0 .

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất x=log3

(

m 1+

)

. Câu 5. Phương trình 2^{x2−9 x 16+} =4có nghiệm là

A. _x=₂, x =7. B. _x=₄, x=5. C. _{x 1}= , x=8. D. x=3, x=6.

Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình 3^x4−3x2 =81.

A. 0 . B. ₁. C. 3 . D. ₄.

Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình

2x 6 x

3 1

27 3 .

− =   

 

A. x=4. B. x=2. C. x=5. D. x=3. Câu 8. Tìm nghiệm của phương trình .

A. B. C. D.

Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng:

A. B. C. D.

Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình bằng

A. B. C. D.

Câu 11. Cho phương trình:2.3^{x 1+} −15^x +2.5^x =12, giá trị nào gần với tổng 2 nghiệm của phương trình trên nhất?

A. 1.75 B. 1.74 C. 1.73 D. 1.72

Câu 12. Số nghiệm của phương trình ^{x−3x2−x =}

(

^x−3

)

^{12 là:}

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình 2^{2x 3−} −3.2^{x 2−} + =1 0 là

A. 6. B. 3. C. 5. D. −₄.

Câu 14. Giải phương trình 4^x −6.2^x + =8 0.

A. x 1= . B. x=0;x=2. C. x 1;x= =2. D. x=2. Câu 15. Phương trình 9^x −3.3^x + =2 0 có hai nghiệm x , x_{1 2}với x₁ x₂. Giá trị

1 2

A=2x +3x là

A. 2 log 3₂ . B. 1. C. 3log 2₃ . D. 4 log 2₃ .

2 5 2

4 ^x+ =2 ^−x 8.

−5 12

5 . 3. ⁸.

5

2

3 2 1

5 5

x x

−

−  

=   

0. 5. 2. 3.

4 3 2

3^{x− x} =81

0. 1. 3. 4.

Câu 16. Phương trình

(

^{3+ 5}

) (

^{x + −3 5}

)

^{x =3.2x} có tổng các nghiệm là

A. 0 . B. ₁. C. −₁. D. ₂.

Câu 17. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình ^{log 100x}( ²) ^{log 10x}( ) 1 log x

4.3 +9.4 =13.6⁺

.

A. 100 . B. 10 . C. 1. D. ¹ .

10

Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4^{x2− +3x 2} +4^{x2+ +6x 5} =4^{2x2+ +3x 7} +1 .

A. −3 B. −2 C. −7 D. 7

Câu 19. Cho phương trình

(

^{7+4 3}

) (

^{x + 2+ 3}

)

^{x =6}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ. B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Tích của hai nghiệm bằng −6. Câu 20. Tìmm để phương trình 4^x2 −2^x2+2+ =6 m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. m3. B. m=3. C. 2 m 3. D. m=2. Câu 21. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để phương trình

có đúng nghiệm thực phân biệt.

A. B. C. D.

Câu 22. Hỏi phương trình 3.2^x +4.3^x +5.4^x =6.5^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

Câu 23. Biết phương trình

1 3

x x

x 2 2 2x 1

9 −2 ⁺ =2 ⁺ −3 ⁻ có nghiệm là a . Tính giá trị biểu

thức ₉

2

P a 1log 2.

= + 2 A. 1

P .

=2 B. ₉

2

P 1 log 2.= − C. P 1.= D.

9 2

P 1 1log 2.

= − 2

Câu 24. Cho số thực a 1,b 1  . Biết phương trình a b^{x x2−1} =1 có hai nghiệm phân biện

1 2

x , x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^{1 2 2}

(

1 2

)

1 2

S x x 4 x x

x x

 

= +  − + .

A. 4 B. 3 2³ C. 3 4 ³ D. ³ 4

m

2 3 2 4 2 6 3

.3^{x x} 3 ^x 3 ^x

m ^{− +} + ⁻ = ⁻ +m 3

1. 2. 3. 4.

Câu 25. Phương trình

(

^{3− 2}

) (

^{x + 3+ 2}

) ( )

^{x = 10 x} có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. ₁. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 26. Phương trình ^{32x +2x 3}

(

^{x + −1}

)

^{4.3x − =5 0} có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 27. Tìm số nghiệm của phương trình 2^x +3^x +4^x + +... 2016^x +2017^x =2016−x

A. 1. B. 2016 . C. 2017 . D. 0 .

Câu 28. Tìm các giá trị của m để phương trình: 3^x + +3 5 3− ^x =m có 2 nghiệm phân biệt:

A. 3+ 5 m 4. B. 2 2  m 4. C. 2 2 m 3. D. m2 2. Câu 29. Phương trình 4^x2 −2^{(x 1+)2} =2x 1 x+ − ² có bao nhiêu nghiệm dương.

A. 3 . B. 1. C. 2. D. 0 .

Câu 30. Cho phương trình 5^{x2+2mx 2+} −5^{2x2+4mx 2+} −x² −2mx=0. Tìm m để phương trình vô nghiệm?

A. m0. B. m 1 . C. Không có m. D. m 1

m 0

 

  Đáp án

1C 2C 3D 4C 5A 6A 7D 8A 9B 10A

11B 12A 13B 14C 15C 16A 17C 18A 19A 20B 21A 22C 23C 24C 25A 26A 27A 28A 29B 30C