Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập | Toán lớp 10

(1)

Dạng 2: Giá trị lượng giác của một cung và cách giải bài tập 1. Lý thuyết

a. Định nghĩa:

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM=, khi đó:

+) Tung độ của M gọi là sin của , kí hiệu là sin: sin =OQ +) Hoành độ của M gọi là cosin của , kí hiệu là cos: cos =OP +) Nếu cos 0, tỉ số ^sin

cos



 gọi là tang của , kí hiệu là tan: tan ^sin cos

 = 



+) Nếu sin 0, tỉ số ^cos sin



 gọi là côtang của , kí hiệu là cot: cot ^cos sin

 = 

 Các giá trị sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

b. Hệ quả:

+) sin ,cos  xác định với mọi giá trị của  và − 1 sin  − 1, 1 cos 1. +) tan được xác định khi k

2

  +  , cot xác định khi   k

+) ^sin^{ =}^sin

(

^{ +}^k2^

)

^{, cos}^{ =}^cos

(

^{ +}^k2^

)

^tan^{ =}^tan

(

^{ + }^k

)

^{, cot}^{ =}^cot

(

^{ + }^k

)

(2)

+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan + – + –

cot + – + –

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

 0

6



4



3



2

 2

3

 3

4

  3

2

 2

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin 0 1

2

2 2

3

2 1 3

2

2 0 –1 0

cos 1 3

2

2 2

1

2 0 1

−2 2

− 2 –1 0 1

tan 0 ³

3 1 3 || − 3 –1 0 || 0

cot || 3 1 ³

3 0 ³

− 3 –1 || 0 ||

d. Các công thức lượng giác cơ bản:

2 2

) sin cos 1

+  +  =

2

) 1 tan 1 ( k , k )

cos 2

+ +  =   +  



(3)

2

) 1 cot 1 ( k , k )

+ +  =sin    



) tan .cot 1 ( k , k ) 2

+   =    

e. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:

Góc (cung) đối nhau ( và −)

Góc (cung) bù nhau ( và  − )

Góc (cung) phụ nhau ( và

2

− )

cos(− =) cos sin( −  =) sin sin cos 2

 −  = 

 

 

sin(− = −) sin cos( −  = −) cos cos sin 2

 −  = 

 

 

tan(− = −) tan tan( −  = −) tan tan cot 2

 −  = 

 

 

cot(− = −) cot cot( −  = −) cot cot tan 2

−  = 

 

 

Góc (cung) hơn kém  ( và  + )

Góc (cung) hơn kém 2

 ( và

2

+ )

sin( +  = −) sin sin cos 2

+  = 

 

 

cos( +  = −) cos cos sin 2

 +  = − 

 

 

tan( +  =) tan tan cot 2

 +  = − 

 

 

(4)

cot( +  =) cot cot tan 2

 +  = − 

 

 

2. Các dạng bài

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị a. Phương pháp giải:

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cos ⁴

 = 5 với 0

2

   . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc

.

Hướng dẫn:

Ta có:

2

2 2 4 9

sin 1 cos 1

5 25

 = −  = −    =

sin 3

  = 5. Do 0

2

   nên sin 0. Suy ra, sin ³

 =5. Từ đó, suy ra: tan ^sin ^{3 4}: ³

cos 5 5 4

 =  =

 = ;

3

co cos :

n

4 3 i

t 4

s  = 5 5

 =

 = .

Ví dụ 2: Cho tan ⁴

 = −5với 3 2 2

   . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .

Hướng dẫn:

Ta có:

+) cot ¹ ⁵

tan 4

=  = −



(5)

+) 1 tan² ¹₂ +  =cos

 ²

16 1

1 25 cos

 + =

 ²

1 41

cos 25

 =



2 25

cos 41

  =

cos 5

  =  41

+) ² ² 25 16

sin 1 cos 1

41 41

 = −  = − =  4

sin =  41

Do 3 2 2

   

cos 0 cos 5

41 sin 0 sin 4

41

     =

 

     = −

 .

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a. cos sin cos sin 2sin

2 2 2 2

   

 −  +  −  −  +  −  +  = 

       

       

b. ^sin

(

^{x +cos}

)

^x ^{cot 2}

(

^x

)

^tan ³ ^x ^{2sin x}

2 2

 

   

 +  − +  − +  − = −

Hướng dẫn:

a. Ta có:

(6)

VT cos sin cos sin

2 2 2 2

   

       

=  −  +  −  −  +  −  + 

sin cos sin cos 2sin VP

=  +  +  −  =  = Suy ra đpcm.

b. Ta có:

( ) ( )

³

VT sin x cos x cot 2 x tan x

2 2

 

   

=  + −  − +  − +  − 

sin x sin x cot( x) tan x

2 

 +  −   

= − − + +   + − 

sin x sin x cot( ) a x x t n 2

 −  

= − − + +  − 

2sin x cot x cot x 2sin x VP

= − − + = − =

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: c ₃ ³ ² 1

sin a

tan t

s an

os t n

co

 +  = +  +  +

 với

k ,k 2

  +   . Hướng dẫn:

Ta có:

3 2

cos 1 cos

VT .

cos c

sin s

os cos

= in



 +   + 

= 



2 ).(1 tan ) (1 tan

= +  + 

3 2

tan tan 1

tan  +  +  + =VP

=

Suy ra đpcm.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác a. Phương pháp giải:

(7)

Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

a.

2

1 cos

A cot .tan

1 sin 2

( )

2 ( )

( ) 2 2

− +    

= − −  − −  − 

b. B=sin⁶x+cos x⁶ +3sin x cos² ²x Hướng dẫn:

a. Ta có:

2

1 cos

A cot .tan

1 sin 2

( )

2 ( )

( ) 2 2

− +    

= − −  − −  − 

2 2

1 sin

tan .cot 1 cos

− 

= +  

− 

2 2 2

cos cos sin 1

1

sin sin sin

  + 

= + = =

   .

b. Ta có:

6 6 2 2

B=sin x+cos x+3sin x cos x

(

^{sin x}²

) (

³ ^{cos x}²

)

³ 3sin x cos x² ²

= + +

(

^{sin x}² ^{cos x}²

)

³ ³sin x.cos x sin x² ²

(

² cos x²

)

3sin x cos x² ²

= + − + +

2 2 2 2

1

sin x.cos x

1 3 3sin x cos x

= − +

=

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

( )

cos 288 .cot 72

tan18 A ta

n 162 .sin108

−  

− 

 

= − .

(8)

Hướng dẫn:

Ta có:

( )

cos 288 .cot 72

tan18 A ta

n 162 .sin108

−  

− 

 

= −

( )

( ) ( )

cos 72 360 .cot 72

tan18 tan 18 180 .sin 90 18

 −  

= − 

 −   + 

cos 72 .cot 72

tan18 tan18 .cos18

 

= − 

 

2

o

cos 72

tan18 sin 72 .sin18

=  − 



2 o

o o

sin 18

tan18 0 cos18 .sin18

= −  =

3. Bài tập tự luyện a. Tự luận

Câu 1: Cho cot = −3 2 với 2

   . Tính giá trị sin +cos. Hướng dẫn:

2 2

1 1 cot 1 18 19

sin = +  = + =



2 1

sin 19

  = 1

sin 19

  = 

Vì: sin 0 sin ¹

2 19

          =

1 3 38

cot .sin 3 2.

1 19 cos =   = − 9 = −



Suy ra: cos ¹ ^{3 38} ^{3 38} ¹⁹

19 19

sin 19

− +

 +  = − = .

(9)

Câu 2: Cho 1 sin x cos x

+ = 2 và 0 x 2

 . Tính giá trị của sin x. Hướng dẫn:

Từ 1 1

sin x cos x cos x sin x (1)

2 2

+ =  = −

Mặt khác: sin x² +cos x² =1 (2). Thế (1) vào (2), ta được:

2

2 1

sin x sin x 1

2

 

+ −  =

2 3

2sin x sin x 0

 − − =4

1 7

sin x

4

1 7

sin x

4

 = +



 = −

Vì 0 x sin x 0 sin x ¹ ⁷

2 4

 +

     = .

Câu 3: Cho 1

sinx= 2 và cos x nhận giá trị âm, tính giá trị của biểu thức sin x cos x

A sin x cox

= −

+ . Hướng dẫn:

Vì cos x nhận giá trị âm.

Ta có: cos x 1 sin x² 1 ¹ ³

4 2

= − − = − − = −

Suy ra:

1 3

2 2

A 2 3

1 3 1 3

2 2

+ +

= = = − −

− −

.

(10)

Câu 4: Rút gọn biểu thức A =

2 2

tan a sin a cot a cos a

−

− .

Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

tan a sin a A cot a cos a

= −

−

2

2 2 4

2

6 2

2 2

2

sin a 1 1

tan a.tan a tan a cos a

A tan a

1 cot a 1

cos a 1

sin a tan a

 − 

 

 

 = = = =

 −   

   

   

.

Câu 5: Rút gọn biểu thức

2 2

cos x sin y

B cot x.cot y

sin x.sin y

= − − .

Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

cos x sin y

B cot x.cot y

sin x.sin y

= − −

2 2 2 2

cos x sin y cos x.cos y sin x sin y sin x.sin y

= − −

( )

2 2 2

2 2

cos x 1 cos y sin y sin x sin y

− −

=

2 2 2

2 2

cos x sin y sin y sin x sin y

= −

( )

2 2

sin y cos x 1 1 cos x sin y 1

= − = −

− .

Câu 6: Rút gọn biểu thức:

( ) ( )

A cos 26 2sin 7 cos1,5 cos 2003

2

cos 1,5 .cot 8

 

=  +  −  −  −  −  +  +  −   − 

(11)

Hướng dẫn:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A cos 26 2sin 7 cos 1,5 cos 2003

2

cos 1,5 .cot 8

 

=  +  −  −  −  −  + 

 

+  −   − 

( )

cos 2sin cos cos( cos .cot

2 2 2

  

     

=  −  −  +   −  − +  +  

cos 2sin 0 sin sin .cot

=  +  + −  −  

cos sin cos sin

=  +  −  = . Câu 7: Chứng minh rằng

2

1 sin a 1 sin a 2

4 tan a 1 sin a 1 sin a

 + − 

− =

 − + 

  với sin  1,

cos 0. Hướng dẫn:

1 sin a 1 sin a

VT 2

1 sin a 1 sin a

+ −

= + −

− +

( ) (

²

)

²

2

1 sin a 1 sin a 1 sin a 2

+ + −

= −

−

2 2

2 2sin a cos a 2

= + −

2

2 2

2

1 sin

2 1 2

cos cos

4 tan a VP

 

=  − +

=

 

=



Suy ra đpcm.

Câu 8: Chứng minh đẳng thức sau:

2 2

sin cos 1 cot

cos sin cos sin 1 cot

 −  = + 

 +   −  − .

Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

(cos sin ) c

V os (cos sin )

sin T sin

cos

  −  −   + 

=  −



(12)

2 2

sin cos

cos sin

−  − 

=  − 

2 2 2

sin cos 1 cot

sin cos 1 cot VP

 +  + 

= = =

 −  − 

Câu 9: Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x =2. Giá trị của biểu thức

3 3

sin x 3cos x M 5sin x 2cos x

= −

− .

Hướng dẫn:

Do tan x= 2 cos x0. Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho cos x³ , ta được:

3 2

3 3

2

tan x. 1 3 sin x 3cos x cos x M 5sin x 2cos x 5 tan x 2

cos x

− −

= =

− −

( )

2

3 2

tan x 1 tan x 3 7 5 tan x 2 1 tan x 30

+ −

= =

− + .

Câu 10: Rút gọn biểu thức

2cos x 12

sin x cos x

A −

= + .

Hướng dẫn:

Ta có

2cos x 12

sin x cos x

A −

= +

( )

2 2 2 2 2

2cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x

− + −

= =

+ +

(

^{cos x} sin x cos x

)(

sin x

)

cos x sin x sin x cos x

− +

= = −

+ .

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:

(13)

A. sin x cos x 2

 − =

 

  .

B. sin x cos x 2

+ =

 

  .

C. tan x cot x 2

 − =

 

  .

D. tan x cot x 2

 + =

 

  .

Câu 2: Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau:

A. tan ³ x cot x 2

 − =

 



 .

B. ^{sin 3}

(

^{ −}^x

)

⁼^sin^x^.

C. ^{cos 3}

(

^{ −}^x

)

⁼^cos^x^.

D. ^cos

( )

^{− =}^x ^{cos x}^.

Câu 3: Cho cos15⁰ ² ³ 2

= + . Giá trị của tan15^ bằng:

A. 3−2. B. ² ³

2

− .

C. 2− 3. D. 2 3

4 + .

Câu 4: Biểu thức

(

⁰ ⁰

)

⁰ 0 0

0

cot 44 tan 226 .cos 406

B cot 72 .cot18

cos316

= + − có kết quả rút

gọn bằng:

(14)

A. -1.

B. 1.

C. 1 2

− .

D. 1 2 .

Câu 5: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. sin² +cos² =1.

B. 1 tan² ¹₂ k , k

cos 2

  

+  =    +   .

C. ² 2

( )

1 cot 1 k , k

+  = sin    

 .

D. tan cot 1 ^k , k 2

  

 +  =    . Đáp án:

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5

D C C B D