Tính giá trị của hàm số khi cho trước các tích phân liên quan - TOANMATH.com

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Tính chất nguyên hàm, tích phân thường sử dụng

1.



^f

 

^{x dx f x}

 

^{C 2.}



^{u vd uv}



^{v ud 3.}



^{f u x u x}

   

^

 

^dx



^{f u}

 

^du

4. ²

 

^{d 0}

 

⁰

b

a

f x x  f x 



^.

Tổng quát:

 

⁰



^;



^,

 

⁰

 

^0,



^;



b

a

f x   x a b



f x dx  f x   x a b 2. Nhị thức Niuton



xy



ⁿ C xn^{0 n} C x¹n ^n1y^...C xn^{k n k} y^k ^...C yn^{n n}

 Lưu ý:

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ ¹ 2

  

   thỏa mãn

 

²

2 1 f x

  x

 , ^f

 

^{0 1 và f}

 

^{1 2. Giá trị}

của biểu thức ^f

 

^{1  f}

 

³

Lời giải

Ta có

 

^{d 2 d ln 2 1}

2 1

f x x x x C

  x   

 

 . Hàm số gián đoạn tại điểm ¹

x 2 Nếu ¹

 

^{ln 2}



¹



x 2 f x  x C mà ^f

 

^{1 2C2. Vậy f x}

 

^{ln 2}



^x1



^{2 khi 1}

x 2 Nếu ¹

 

^{ln 1 2}

 

x2 f x   x C mà ^f

 

^{0  1 C1. Vậy f x}

 

^{ln 1 2}



^{ x}



^{1 khi 1}

x2 Do đó f

 

¹  f

 

³ ln 3 1 ln 5 2   ln15 3.

Bài 2. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên ^\



^1;1



và thỏa mãn

 

2

1 f x 1

  x

 . Biết rằng

 

³

 

^{3 0}

f   f  . Tính ^{T  f}

 

^{2  f}

 

^{0  f}



^4



^.

Lời giải Ta có:

   

^d

f x 



f x x ^



_x²¹_1^{dx 1}₂



^_x¹_1^_x¹_1^_^{dx 1}₂^



_x¹₁^dx



_x¹₁^dx

1 1

2ln 1

x C

x

  

 .

CHUYÊN ĐỀ

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

Do đó: ^f

 

^{3  f}

 

^{3 0 1ln 2 1ln1 0}

2 C 2 2 C

   

     

    C0.

Như vậy:

 

^{1ln 1}

2 1

f x x

x

 

 .

 

^{2 1ln 2 1}

2 2 1

f 

 

1ln 3

 2 ;

 

^{0 1ln 0 1 0}

2 0 1

f 

 

 ;

 

^{4 1ln 4 1}

2 4 1

f  

 

  ¹



^{ln 5 ln 3}



2  . Từ đó: ^{T  f}

 

^{2  f}

 

^{0  f}



^4



^{1ln 3 0 1}



^{ln 5 ln 3}



2 2

     1

ln 5 ln 3

 2  . Bài 3. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^\



^1;1



^{thỏa mãn}

 

₂²

f x 1

  x

 , ^f

 

^{2  f}

 

^{2 0 và}

1 1

2 2 2

f   f  

  

   

    . Tính ^f

 

^{3  f}

 

^{0  f}

 

^{4 .}

Lời giải

Ta có ^{f x}

 

^



^f

 

^{x dx }



_x²²_1^{dx }



^_x¹_1^_x¹_1^_^dx

1

2

3

ln 1 1

1

ln 1 1 1

1

ln 1 1

1

 

  

 



 

    

 

 

 

 



khi khi khi

x C x

x

x C x

x

x C x

x

.

Khi đó

   

_{1 3}

1 3

2

2 2

2 2 0 ln 3 ln1 0

3 0

1 1

1 1

2 ln 3 ln 2

2 2

3

   

        

 

 

      

    

   

         

 

f f C C

C C

f f C

C C

Do đó

     

1 2 3

3 6

3 0 4 ln 2 ln ln 1

5 5

         

f f f C C C .

Bài 4. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^{\ 1}

 

^{thỏa mãn}

 

¹

f x 1

  x

 , ^f

 

^{0 2017, f}

 

^{2 2018.}

Tính ^{S f}

 

^{3  f}

 

^{1 .}

Lời giải Ta có

 

^{d 1 d ln}



¹



f x x 1 x x C

 x   

 

 ^.

Theo giả thiết ^f

 

^{0 2017, f}

 

^{2 2018 nên}

   

   

ln 1 2017 khi 1

ln 1 2018 khi 1

f x x x

f x x x

    

    



. Do đó ^{S f}

 

^{3  f}

 

^1 ln 2 2018 ln 2 2017 1    .

Bài 5. Giả sử hàm số ^{y f x}

 

liên tục, nhận giá trị dương trên



^{0; }



và thỏa mãn điều kiện

 

^{1 1}

f  , ^{f x}

 

^{ f}

 

^{x 3x1 với mọi x0.Tính f}



²⁰¹⁸



^.

Lời giải Ta có:

   

^{3 1}

f x  f x x

 

 

1 3 1 f x

f x x

  



 

 

d d

3 1

f x x

f x x x

  

 

 ^{ln f x}

 

^2₃ ^{3x 1 C}

 

2 3 1

e3 ^{x C}

f x ^{ }

  .

Mặt khác ta lại có ^f

 

^{1 1 nên}

4

3 4

1 e 3

C C

     .

Vậy

 

2 4

3 1

3 3

e ^x

f x  ^{ }

 

2 4

3 6055 3

2018 e

f ^

  .

Bài 6. Cho hàm số ^{f x}

 

^0 thỏa mãn điều kiện ^f

  

^{x  2x1}



^f2

 

^{x và}

 

^{1 1.}

f  2 Tính tổng

 

¹

 

²

 

^{3 ...}



²⁰¹⁸



f  f  f   f .

Lời giải Ta có :

  

^{2 1}



²

 

f x  x f x

 

 

2 2 1

f x f x x

   

 

   

2 d 2 1 d

f x

x x x

f x





 





   

 

2 2

d f x

x x C

f x





  

 

1 2

x x C

  f x   

 

2

f x 1

x x C

  

  . Mặt khác theo giả thiết ta lại có

 

^{1 1}

f  2

 

^{1 1 1}

2 2

f C

    

 C0.

Vậy

 

2

1 1 1

1 . f x  x x  x x

 

Khi đó ^f

 

^{1  f}

 

^{2  f}

 

^{3 ... f}



²⁰¹⁸



1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 2 2018 2017 2019 2018

         1

2019 1

  2018

 2019.

Bài 7. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  thỏa mãn f x( ) 2018 ( ) f x 2018.x²⁰¹⁷.e^2018x với mọi x và (0)f 2018. Tính giá trị (1).f

Lời giải Ta có:

2017 2018

( ) 2018 ( ) 2018. . ^x

f x  f x  x e

   

2017

2018

2018.

2018.

x

f x f x

e x

 

 

   

1 1

2017 2018

0 0

2018.

2018.

x

f x f x

dx x dx

e

 







  

¹

Xét tích phân ¹

   

2018 0

2018.

x

f x f x

I dx

e

 



    

1 1

2018 2018

0 0

. ^x 2018. . ^x

f x e^ dx f x e^ dx









Xét

 

1

2018 1

0

2018. . ^x

I 



f x e^ dx^{. Đặt u}_dv ^{f x}_2018.

 

_e^2018x_dx ^du_{v e}^f2018

 

^{x dxx}

    

 

 

  

 

 

.

Do đó

       

1

2018 1 2018 2018

1 0

0

. ^x . ^x 1 . ^x 2018

I  f x e^ 



f x e^ dxI  f e^  Khi đó

 

¹  f

 

1 .e^2018x2018x^{2018 1}0 ^{ f}

 

^{1 2019.e2018.}

Bài 8. Giả sử hàm số ( )f x liên tục, dương trên ; thỏa mãn ^f

 

^{0 1 và}

 

 

^{2 1}

f x x

f x x

 

 . Tính ^f



²⁰¹⁸



^.

Lời giải Ta có '( )

( ) d f x x

f x 

 

_x^2x_1^dx

   

 



²



2

d 1

d 1

2 1

f x x

f x x

 

 

 ^ln

   

^1ln



^{2 1}



f x 2 x C

    .

Mặt khác ^f

 

^{0  1 C0. Do đó f x}

 

^{ x21. Vậy f}



²⁰¹⁸



^{ 2019.}

Bài 9. Xét hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^0;1



^{và thỏa 2f x}

 

^3f



^1x



^{ 1x2 . Tính}

 

1

0

d f x x



Lời giải

Ta có:

   

1

0

2f x 3f 1x dx

 

 



1

2 0

1 x dx





 ^{ A B C.}

Tính:

1

2 0

1 d C 



x x^.

Đặt xsint suy ra dxcos dt t. Đổi cận: x  0 t 0; 1

x t 2

   .

Vậy:

2 2 0

cos d

C t t







2

0

1 cos2t 2 dt









2

0

1 1

sin 2

2t 4 t 4



  

   

  .

Tính:

 

1

0

3 1 d B



f x x^.

Đặt t  1 x dt dx. Đổi cận: x   0 t 1; x  1 t 0.

Vậy:

 

1

0

3 d

B



f t t

 

1

0

3f x dx





^.

Do đó:

   

1

0

2 3 d

f x f x x 4

 

 

 

  

1

0

5 d

f x x 4







 

1

0

d 20 f x x 





 ^.

Bài 10. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên 0;

2

 

 

  thỏa mãn

   

2 2 0

2 2 sin d 2

4 2

f x f x x x



 

   

    

 

 

 



^.

Tính tích phân

 

2

0

d f x x





^.

Lời giải Ta có:

2 2 0

2sin d

x 4 x



  

  

 



2

0

1 cos 2 d

x 2 x





  

     

 

 

  

2

0

1 sin 2x dx









2

0

1cos 2

x 2 x



 

  

 

2 2



 .

Do đó:

   

2 2 0

2 2 sin d

f x f x x 4 x





  

   

 

 

 



2 2 0

2 sin d

x 4 x



  

   

 



^2₂^{ }₂^20

   

2

2 2

0

2 2 sin 2 sin d 0

4 4

f x f x x x x



 

    

         

   

 

  

2 2

0

2 sin d 0

f x x 4 x





  

      

 

 



Suy ra

 

^{2 sin 0}

f x x 4

   

  , hay

 

^{2 sin}

f x x 4

   

 . Bởi vậy:

 

2 2

0 0

d 2 sin d

f x x x 4 x

 

 

   

 

 

2

0

2 cos 0

x 4



  

     

  .

Bài 11. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục, không âm trên đoạn 0;

2



 

 

 

, thỏa mãn ^f

 

^{0  3và}

 

^{. }

 

^{cos . 1 2}

 

f x f x x f x , 0;

x  2

   

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số ^{f x}

 

trên đoạn ;

6 2

 

 

 

 

.

Lời giải Từ giả thiết ^{f x f}

 

^{. }

 

^{x cos . 1x  f2}

 

^x

   

 

2

. cos

1

  

 f x f x

x f x

   

 

2

. d sin

1

f x f x

x x C

f x

   



 Đặt ^{t 1 f2}

 

^{x t2  1 f2}

 

^{x t td  f x f}

   

^{ x dx.}

Thay vào ta được



dtsinx C  t sinx C ^{ 1 f2}

 

^{x sinx C .} Do ^f

 

^{0  3 C2.}

Vậy ^{1 f2}

 

^{x sinx 2 f2}

 

^{x sin2x4sinx3.}

 

^{sin2 4sin 3}

f x x x

    , vì hàm số ^{f x}

 

liên tục, không âm trên đoạn 0;

2

 

 

 .

Ta có ¹ sin 1

6 x 2 2 x

 

     , Do hàm số ^{g t}

 

^{t24t3} đồng biến trên ¹;1 2

 

 

 . Suy ra

   

1;1 2

maxg t g 1 8

 

 

 

  , ₁

 

2;1

1 21 ming t g 2 4

 

 

 

   

  .

Vậy

 

6 2;

max 2 2

f x f 2

 



 

 

 

 

  

  ,

 

6 2;

min 21

6 2

f x g

 



 

 

 

 

  

  .

Bài 12. Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{và g x}

 

có đạo hàm trên đoạn



^{1; 4}



và thỏa mãn hệ thức

   

       

1 1 4

. ; .

f g

g x x f x f x x g x

 



      



.Tính

   

4

1

d I 



f x g x  x Lời giải

Ta có ^{f x}

 

^{g x}

 

^{ x f}_ ^

 

^{x g x}

 

^_

   

   

f x g x 1

f x g x x

   

  

   

   

d 1d

f x g x

x x

f x g x x

   

  

 

^{ln f x}

 

^{g x}

 

^{ ln x C}

Theo giả thiết ta có ^{Cln 1ln f}

 

^{1 g}

 

^{1 Cln 4.}

Khi đó

   

   

4 4 f x g x

x f x g x

x

  





   



, vì ^f

 

^{1 g}

 

^{1 4nên f x}

 

^{g x}

 

⁴

  x.

Vậy

   

4

1

d 8ln 2 I 



f x g x  x ^.

Bài 13. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

^{0;1 thỏa f x}

 

^{mãn f}

 

^{1 1,}

 

1 2

0

d 9

f x x

 

 



^và

 

1 3 0

d 1 x f x x 2



. Tích phân

 

1

0

d f x x



Lời giải Ta có:

 

1 2

0

d 9

f x x

 

 

  

¹

- Tính

 

1 3 0

d 1. x f x x 2



^Đặt

 

3

d .d

u f x v x x

 

 



 

4

d d

4

u f x x v x

  

 

 



 

1 3 0

1 d

2 x f x x

 

  

4 1

0

4 . x f x

 

  

 

 

1 4 0

1 . d

4 x f x x



  

1 4 0

1 1

. d

4 4 x f x x

 



 

1 4 0

. d 1

x f x x





 

 

1 4 0

18 x f.  x dx 18





 

 

²

Mặt khác

1 91

8

0 0

d 1

9 9

x x x 



1 8 0

81 x xd 9







 

³

Cộng vế với vế các đẳng thức

 

^{1 ,}

 

^{2 và}

 

3 ta được:

   

1 2 4 8

0

18 . 81 d 0

f x x f x x x

       

 

  

1

4 0

9 d 0

f x x x

 





   

 

1

4 0

. f x 9x dx 0

 ^{  }





   

 

^{9 4 0}

f x x

   ^{ f}

 

^{x  9x4 f x}

 

^



^f

 

^{x .dx 9}₅^x4C.

Mà ^f

 

^{1 1 14}

C 5

 

 

^{9 5 14}

5 5

f x x

   

 

1

0

d f x x







1

5 0

9 14

5x 5 dx

 

 

 

 



1 6

0

3 14 5

10x 5 x 2

 

    

  .

Bài 14. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

1; 2 thỏa mãn

   

2

2 1

1 d 1

x f x x 3



^,

 

^{2 0}

f  và

 

2 2

1

d 7

f x x

  

 



^{. Tính f   }_{ }³₂ ^.

Lời giải

Đặt ^{u f x}

 

^{du f}

 

^{x dx,}

 

²



¹



³

d 1 d

3

v x x v x

   

Ta có

   

2

2 1

1 1 d

3 x f x x

 





       

3 2 2 3

1 1

1 1

. d

3 3

x x

f x f x x

 

 





   

2

3 1

1 1

1 d

3 3 x f x x

   





   

2

3 1

1 d 1

x f x x





 

   

2

3 1

2.7 x 1 f x dx 14

 



  

Tính được

 

2

6 1

49 x1 dx7

  

2 2

1

d f x x

 

 





   

2

3 1

2.7 x 1 f x dx







 

2

6 1

49 x 1 dx 0





 

   

2 3 2

1

7 x 1 f x dx 0

  

   

 



^{ f}

 

^{x 7}



^x1



³

   

7 14

4

f x x C

   .

Do ^f

 

^{2 0}

 

⁷



¹



^{4 7}

4 4

f x x

   . Vậy ^{3 105}

2 64

f   

 

  .

Bài 15. Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn}



^f

 

^x



^{2  f x f}

 

^{. }

 

^{x 15x4 12x,  x  và f}

 

^{0  f}

 

^{0 1}

Tính ^f2

 

^{1 .}

Lời giải Ta có:



^f

 

^x



^{2 f x f}

 

^{. }

 

^{x 15x4 12x}_^f

   

^{x f x. }_^{ 15x412x}

   

. 3 ⁵ 6 ² 1

f x f x x x C

   

Do ^f

 

^{0  f}

 

^{0 1} nên ta có C₁ 1. Do đó:

   

^{. 3 5 6 2 1}

f x f x  x  x  ^{1 2}

 

^{3 5 6 2 1}

2 f x x x

 

    

   f²

 

x x⁶4x³2x C 2. Mà ^f

 

^{0 1} nên ta có C₂ 1.

Vậy ^f2

 

^{x x64x32x1 suy ra f2}

 

^{1 8.}

Bài 16. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

^{0;1 và f}

 

^{0  f}

 

^{1 0. Biết}

     

1 1

2

0 0

d 1, cos d

2 2

f x x f x x x 



  

 

^{. Tính} lim0

 

x

f x x

 .

Lời giải

Đặt

 

 

 

 

cos d sin d

d d

u x u x x

v f x x v f x

  

  

 

 

 

  

 

 

. Khi đó

           

1 1

1 0

0 0

cos d cos sin d

f x x x x f x  f x x x

 

   

     

1

0

1 0 sin d

f f  f x x x

   



^.

       

1 1

0 0

sin d sin d 1

f x x x f x x x 2

  











Ta có

           

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 0

sin d d 2 sin d sin d

f x k x x f x x k f x x xk x x

 

 

   

1 2

0 1

2 2

k k k

      .

Do đó

       

1 2

0

sin d 0 sin

f x  x x  f x  x

 

 



^.

Vậy

 

0

lim

x

f x

x 

  .

Bài 17. Cho

  0 1

f  2

và

   

3

0

[ 'f x  f ' 3x ].dx5



^{. Tính}

f

^{(3) .}

Lời giải

     

3 3

0 0

[ 'f x dx f ' 3 x d 3 x 5









  

 f x  

³⁰

 f  3  x 

³⁰

 5

  3   0   0   3 5

f f f f

      2 f   3  6  f   3  3

^.

Vậy

f   3  3

^.

Bài 18. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm và liên tục trên

 

1, 2 thỏa mãn

 

2

1

10 f x dx



^và

 

 

2

1

f x ln 2 f x dx

 



^{Biết rằng f x}

 

^{0,  x}



^{1, 2}



^{. Tính f}

 

^{2 .}

Lời giải

Ta có

       

2

2 1 1

2 1

f x dx f x  f  f



^,

 

2

1

10 f x dx



^{ f}

 

^{2  f}

 

^{1 10}

 

^{1 .}

 

 

2

1

f x ln 2 f x dx

 



^{ln f x}

 

^{12 ln 2 ln} ^f_f

   

²₁ ^^{ln 2}

 

(Vì ^{f x}

 

^{0,  x}



^{1, 2}



⁾

 

^{1 1}

 

²

f 2 f

 

 

^{2 .}

Từ

 

^{1 và}

 

^{2 ta có f}

 

^{2 20.}

Bài 19. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên^{\ 0}

 

^{thỏa mãn}

  

²



²

3

1 f x x

x

   , f( 1) 1 và ^f

 

^{1  4.}

Tính giá trị của biểu thức ^f

 

^{2  f}

 

^{2 .}

Lời giải Ta có

  

²



²

3

1 f x x

x

   x ¹₃ ²

x x

   nên

  

²



²

3

1 d

f x x x

x





 ^



^_^x_x^{13 2}_x^_^dx

2 2

1 2 ln

2 2

x x C

  x  

 

2 2 2

2

1 2 ln 0

2 2

1 2 ln 0

2 2

x x C khi x

x

x x C khi x

x

    



 

     



.

• Trên khoảng



^0;



^{, ta có f}

 

^{1  4C 4.}

Do đó

 

2 2

1 2 ln 4

2 2

f x x x

  x   . Suy ra

 

^{2 2 1 2 ln 2 4}

f  8  .

• Trên khoảng



^;0



^{, ta có f}

 

^{1 1 C1}

Do đó

   

2 2

1 2 ln 1

2 2

f x x x

  x    . Suy ra



²



^{2 1 2 ln 2 1}

f   8  . Vậy



²

  

^{2 3 4 ln 2.}

f   f  4

Bài 20. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^{\ 0;1}

 

^{thỏa mãn}

 

 

' 1 f x 1

 x x

 ; ^f

 

^{1  f}

 

^{2 0 và}

1 2

f  2

 

 

. Tính giá trị biểu thức:



²



¹

 

³

f f  4 f

   

 

. Lời giải

Ta có ^{f x}

 

 

1 d

1 x

 x x



 ^



^_x¹_1^1_x^_^{dx ln x 1 ln x C.}

Như vậy ^{f x}

 

     

   

   

1 2 3

ln 1 ln , ;0

ln 1 ln , 0;1

ln 1 ln , 1;

x x C x

x x C x

x x C x

      



     

      



. Trên khoảng



^;0



^{, ta có} f

 

1 ln 2C1.

Trên khoảng



0;1 , ta có



¹ 2 f  2

 

  ²

1 1

ln ln 2

2 2 C

    C₂ 2. Do đó: ^{f x}

 

^{ln 1}



^x



^{lnx2. Suy ra: 1 ln3 ln1 2}

4 4 4

f  

  

   .

Trên khoảng



^{1; }



^{, ta có} f

 

2  ln 2C3.

Lại có: ^f

 

^{1  f}

 

^{2 0}ln 2C1ln 2C3 0C₁C₃ 0. Khi đó:



²



¹

 

³

f f  4 f

   

 



1



2



3



3 1

ln 3 ln 2 ln ln ln 2 ln 3

4 4

C  C  C

        

 

1 2 3

ln 3 C C C ln 3 2

      . Vậy



²



¹

 

³

f f  4 f

   

  =ln 3 2 .

Bài 21. Cho ^f6

 

^{x f. '}

 

^{x 12x13,}

f   0  2

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  f x  

trên đoạn



^{0; 1 .}



Lời giải

Ta có ^f6

 

^{x f. '}

 

^{x 12x13 6}

     

0 0

. d 12 3 d

t t

f x f x x x x











 

7 2

1 6 3

7 f t t t C

   

hay ^f7

 

^{x 42x2 21x7C. Do f}

 

^{0 2 nên}

7 2 2

C C 7 . Do đó ^{f x}

 

^{ 742x221x2.}

 _0;1

   

Max f x  f 1 ,

 _0;1

   

Min f x  f 0 hay

 _0;1

 

⁷

Max f x  65 và

 _0;1

 

⁷

Min f x  2. Bài 22. Cho ^{f x}

 

^{ với  x } và thỏa mãn điều kiện

f x f   . '   x  2 x f

²

  x  1

^,

  0 0

f 

. Tính giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y  f x  

trên [1;3].

Lời giải

Đặt

   

²

 

0 0

. ' d 2 1d

t t

I 



f x f x x



x f x  x^.

* Ta tính

   

0

. ' d

t

I 



f x f x x

     

0

.d

t

f x f x





²

 

0

1 2

t

f x



1

²

 

2 f t



 

^{1 .}

* Ta tính ²

 

0

2 1d

t

I 



x f x  x^.

Đặt

u  f

²

  x  1

^

   

2

 

d . d

1 f x f x

u x

f x

 



2 d x x



, dv2 dx x chọn vx².

 

2 0

2 1d

t

I 



x f x  x  ^{2 2}

 

0 ³ 0

1 2 d

t t

x f x x x

   

 

  

4

2 2

1 2

t f t t

  

 

^{2 .}

* Từ

 

^{1 và}

 

^{2 ta có}

   

4

2 2 2

1 1

2 2

f t t f t  t ^{ f2}

 

^{t 2t2 f2}

 

^{t  1 t4 0}

 

 

2 2

2 2

1 1

1 1

f t t

f t t

   



   



.

Do ^{f t}

 

^{0 với  t  nên f2}

 

^{t  1 1 với  t .Vậy f2}

 

^{t  1 t21 hay}

 

^{4 2 2}

f x  x  x

  

²



4 2

2 1 2

0

2 2

x x

f x

x x

 

  



với

 

^1;3

Vậy ^{Max f x} _1;3

 

^{ f}

 

^{3 hay}

 _1;3

 

^{3 11}

Max f x  ,

 _1;3

 

³

Min f x  . Bài 23. Cho hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn

 

^{1 1}

f  2 và ^f

 

^{x  f2}

 

^{x 2x1}



^0. Tính tổng

 

2018

1 k

S f k







^.

Lời giải Ta có

 

 

2 2 1

f x f x x

   

 

 

2 1

d

t f x

f x x

 







    

²



₁

1 1

2 1 d 1

t t

t

x x x x

  f t  



   

1 1 2

1 t t 2 f t f

    

 

2

f t 1

t t

 

 hay

 

2

f x 1

x x

  . Khi đó

 

^{1 1}

f x 1

x x

 

 .

 

2018

1

1 1 1 1 1 1 1 1 2018

1 ... 1

2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2019

k

S f k



       

              

       



^.

Bài 24. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên 0;

2

 

 

  thỏa mãn 0

f 2

 

  ,

 

3

2 2

0 f x dx 48 8



 

  

 

 



^,

   

3 2

0

sin cos

48 8 x x x f x dx



 

   



^{. Tính f }_^₂^_^.

Lời giải Bằng công thức tích phân từng phần ta có:

           

2 2

2 0

0 0

sin cos sin sin

 





   



^{x x x f x dx x x f x}



^{x x f x dx.}

Suy ra

   

3 2

0

sin 48 8



 

  



^{x x f x dx .}

Hơn nữa ta tính được

     

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0

1 cos 2

sin sin

2

  

  



^{x x dx}



^{x x dx}



^{x x dx}

 

2 2 2

2 2 2

0 0 0

1 cos 2 cos 2

2 2 2

  





^x  ^{x dx}



^{x dx}



^{x xdx}

3

48 8

 

  .

Do đó

       

2 2 2

2 2

0 0 0

2 sin sin 0

f x dx x x f x dx x x dx

  

    

 

 

    

2 2

0

sin 0

f x x x dx







     Suy ra ^f

 

^{x xsinx, do đó f x}

 

^{sinxxcosx C . Vì 0}

2

 

 

 

f nên C 1. Vậy f 2 2

 

  .

Bài 25. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trong khoảng



^{0; }



đồng thời

 



^{1 .}

  

f x x

x f x

 



. Biết ^{f x}

 

^{0 với  x}



^{0; }



^{và f}

 

^{0 1}. Tính giá trị ^f

 

^{3 .}

Lời giải Ta có

 

^.

 

1 f x f x x

x

 



   

0 0

. d d

1

t t

f x f x x x x

x

  

 



   

3 2

0 0

2 2

2 1

3 3

t t

f x x x

   

   

3 2

0 0

2 2

2 1

3 3

t t

f x x x

   

   

3

2 2 2 2 4

1 1

3 f t 3 3 t t 3

     

   

3

2 2 2 2 4

1 1

3 f t 3 3 t t 3

     

   

3

2 1 1 3

f t t t

     ^{ f t}

 

^{3 }_



^t1



^{t 1 6}_^{2 .}

Vậy ^f

 

^{3  3100 .}

Bài 26. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{có f}

 

^x liên tục trên nửa khoảng



^0;



^{thỏa mãn}

   

²

3f x  f x  1 3.e ^{ x} . Tính giá trị biểu thức ^Ae3