Giải chi tiết bài toán Nguyên hàm - Tích phân Vận dụng cao thường xuất hiện trong đề thi

CHỦ ĐỀ 1: MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Lời giải Chọn D

Ta có

 

^{1 d}

f x 1 x

 x



 ^{ln x 1 C}

   

¹

2

ln 1 khi 1

ln 1 khi 1

x C x

x C x

   

 

  

 .

Lại có ^f

 

^{0 2017} ln 1 0



 



C2 2017 C₂ 2017.

 

^{2 2018}

f  ln 2 1



 



C12018C₁ 2018.

Do đó ^{S }_^{ln 3 1}



^{ }



^{2018 2018 }_{ }^{ln 1}



^{ }

 

¹



^{2017 2017 }_ ^{ln 22 .}

Lời giải Chọn D

Ta có ^{9 2 1 2 ln}



^{2 1}



^{5ex 92} ₁ ^{21 22 1}₁ ^5ex

x

x x

x x x

x x x

  

         

 

    

2 2

9 2 5e 1

1

x x x

x

  

  .

Do đó a9, b2, c5. Suy ra M    a b c 16.

Lời giải Chọn A

Ta có ^{F x}

 

^



^{f x g x dx}

   

^.

Mà

   

^1;

 

²

 

4 2

x x

f x dx  x C f x  g x dx  C g x 

 

Vậy

 

²

2 4

x x

F x 



dx C ^{mà F}

 

^{2 5 suy ra C4.}

Hay

 

^{2 4.}

4 F x  x 

 VÍ DỤ 1 : Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 1 thỏa mãn

   

¹

f x 1

  x

 , ^f

 

^{0 2017,,}

 

^{2 2018}

f  . Tính ^{S }



^f

 

^{3 2018}

 

^f

 

^{ 1 2017}



^.

A. S1 B. S 1 ln 2² C. S2ln 2 D. Sln 2²

 VÍ DỤ 2: Cho 2 ^{2 2}



²



e 1

d 9 1 2 ln 1 5e

1

x

ax b c x x

x x x x C

x

           

 

  

 



. Tính giá trị

biểu thức M   a b c.

A. 6 B. 20 C. 16 D. 10

 VÍ DỤ 3: Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x g x}

   

^{. , biết F}

 

^{2 5,}

 

^d

f x x x C



^và



^{g x}

 

^{dx x}₄^{2 C.}

A.

 

^{2 4.}

4

F x  x  B.

 

^{2 5.}

4

F x  x  C.

 

^{3 5.}

4

F x  x  D.

 

^{3 3.}

4 F x  x 

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 150

Lời giải Chọn A

Ta có:

   

^d

f x 



f x x ^



_x²¹_1^{dx 1}₂



^_x¹_1^_x¹_1^_^dx

1 1 1

d d

2 1 x 1 x

x x

 

 



 



  ^1₂^{ln x}_x^_¹₁ ^C. Do đó:

 

³

 

^{3 0}

f   f  1 1 1

ln 2 ln 0

2 C 2 2 C

   

        C 0. Như vậy:

 

^{1ln 1}

2 1

f x x

x

 

 .

 

^{2 1ln 2 1}

2 2 1

f  



1ln 3

 2 ;

 

^{0 1ln 0 1 0}

2 0 1

f   

 ;

 

^{4 1ln 4 1}

2 4 1

f  

    ¹



^{ln 5 ln 3}



2  .

Từ đó: ^{T  f}

 

^{2  f}

 

^{0  f}

 

^{4 1ln 3 0 1}



^{ln 5 ln 3}



2 2

     1

ln 5 ln 3

2  .

Lời giải Chọn A

2 2

tanⁿ .tan d

In 



^ x x x



^{tann2x.}_cos¹² _x^{1 d}_ ^x



^{tann2 x. tan}



^x



^{dxIn2}

1

2

tan 1

n

n

x I C

n



   



1 2

tan 1

n

n n

I I x C

n



    

 .

 

0 1 2 2 3 ... 8 9 10

I  I I   I I  I I =



I10I8

 

 I9I7



 ...



I3I1

 

 I2I0



9 8 2

tan tan tan

.... tan

9 8 2

x x x

     x C ⁹

1

tan^r

r

x C

 r





 ^.

 VÍ DỤ 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên ^\

 

^1;1 và thỏa mãn

 

2

1 f x 1

  x

 . Biết rằng ^f

 

^{ 3 f}

 

^{3 0. Tính T  f}

 

^{2  f}

 

^{0  f}

 

^{4 .}

A. ¹ln 5 ln 3

T  2  . B. ln 3 ¹ln 5 2

T  2  . C. ¹ln 5 ln 3 1

T 2   . D. ¹ln 5 ln 3 2 T  2   .

 VÍ DỤ 5: Cho I_n 



tanⁿx xd ^{với n . Khi đó I0 I1 2}



^{I2  I3 ... I8}



^{ I9 I10 bằng} A. ⁹

 

1

tan ^r

r

x C

 r



 ^{. B. 9}

 

¹

1

tan 1

r

r

x C

r





 



^{. C. 10}

 

1

tan ^r

r

x C

 r



 ^{. D. 10}

 

¹

1

tan 1

r

r

x C

r





 



^.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 151

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CÂU 1: Xác định a, b, c để hàm số ^{F x}

 

^



^{ax2bx c}



^ex là một nguyên hàm của

  

^{2 3 2 e}



^x

f x  x  x ^ .

A. a1, b 3, c2. B. a1, b 1, c1. C. a 1, b1, c 1. D. a 1, b 5, c 7.

CÂU 2: Biết ^{F x}

 

^



^{ax2 bx c}



^2x3



^{a b c, , }



là một nguyên hàm của hàm số

 

^{20 2 30 11}

2 3

x x

f x

x

 

  trên khoảng 3

2;

 

 

 . Tính T  a b c.

A. T8. B. T5. C. T6. D. T7.

CÂU 3: Biết hàm số ^{y f x}

 

^{có f}

 

^{x 3x22x m 1, f}

 

^{2 1} và đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

^cắt

trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. Hàm số ^{f x}

 

^là

A. x³x²3x5. B. x³2x²5x5. C. 2x³x²7x5. D. x³x²4x5. CÂU 4: Biết ^{F x}

 

là nguyên hàm của hàm số

 

^{1 1}

2 1

f x m

 x  

 thỏa mãn ^F

 

^{0 0 và F}

 

^{3 7.}

Khi đó, giá trị của tham số m bằng

A. 2. B. 3 . C. 3. D. 2. CÂU 5: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1

 x

 thỏa mãn ^F

 

^{5 2 và F}

 

^{0 1. Mệnh}

đề nào dưới đây đúng?

A. ^F

 

^{  1 2 ln 2. B. F}

 

^{2  2 2 ln 2. C. F}

 

^{3  1 ln 2. D. F}

 

^{ 3 2.}

CÂU 6: Gọi ^{F x}

 

^



^{ax3bx2 cx d e}



^x là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^



^{2x39x22x5}



^ex.

Tính a²b²c²d².

A.247. B.246. C.245. D.244.

CÂU 7: Biết hàm số ^{F x}

 

^ax3



^{a b x}



^2



^{2a b c x }



^1 là một nguyên hàm của hàm số

 

^{3 26 2}

f x x x . Tổng a b c  là:

A.3. B.2. C.4. D.5.

CÂU 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để bất phương trình

 

0

1 2 1 d 1

2

x

t a t

     

 

 



^nghiệm

đúng với mọi giá trị thực của x.

A. 3 1

2; 2

a   . B. ^a

 

^{0;1 . C. a  }



^{2; 1}



^{. D. a0.}

CÂU 9: Biết rằng ₂ 3

d ln 1

2 1 1

x b

x a x C

x x x

    

  



^{với a b, } . Chọn khẳng định đúng trong các

khẳng định sau:

A. ¹

2 2

a

b   . B. b 2

a . C. ²a 1

b   . D. a2b.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 152

CÂU 10: Biết



^{sin 2x cos 2x}



^{2dx x acos 4x C}

  b 



^{, với a, b} là các số nguyên dương, ^a

b là phân số tối giản và C . Giá trị của a b bằng

A. 5 . B. 4. C. 2. D. 3 .

CÂU 11: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên thỏa mãn ^f

 

^{x  exex2, f}

 

^{0 5 và ln1 0}

f  4 

  . Giá trị của biểu thức ^{S f}



^ln16



^{ f}

 

^{ln 4 bằng}

A. ³¹

S  2 . B. ⁹

S 2. C. ⁵

S 2. D. ⁷

S  2. CÂU 12: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 0 và thỏa mãn

 

^f

 

^x ₃ ¹ ₅

x x

 

 , ^f

 

^{1 a và f}

 

^{ 2 b .}

Tính ^f

 

^{ 1 f}

 

^{2 .}

A. ^f

 

^{ 1 f}

 

^{2  a b . B. f}

 

^{ 1 f}

 

^{2   a b .}

C. ^f

 

^{ 1 f}

 

^{2  a b. D. f}

 

^{ 1 f}

 

^{2  b a.}

CÂU 13: Cho hàm số ^{y f x}

 

đồng biến trên



^0;



^{; y f x}

 

liên tục, nhận giá trị dương trên



^0;



và thỏa mãn

 

^{3 2}

f 3 và ^_^{f '}

 

^{x }_^{2 }



^{x1 .}

  

^{f x} . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{2613 f2}

 

^{8 2614. B. 2614 f2}

 

^{8 2615.}

C. ^{2618 f2}

 

^{8 2619. D. 2616 f2}

 

^{8 2617.}

CÂU 14: Giả sử hàm số ^{y f x}

 

liên tục, nhận giá trị dương trên



^0;



và thỏa mãn ^f

 

^{1 1,}

   

^{. 3 1}

f x  f x x , với mọi x0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^{2 f}

 

^{5 3. B. 1 f}

 

^{5 2. C. 4 f}

 

^{5 5. D. 3 f}

 

^{5 4.}

GIẢI CHI TIẾT

CÂU 1: Chọn C

Ta có: ^{F x}

  

^{ 2ax b}



^.ex



^{ax2bx c}



^{.ex }_ ^ax2



^{2a b x b c}



^{  }_^.ex

Có

   

1 1

2 3 1

2 1

a a

F x f x a b b

b c c

   

 

 

       

     

 

Vậy a 1, b1, c 1. CÂU 2: Chọn D

Ta có ^{F x}

 

^{ f x}

 

^.

Tính

  

²



^{2 3}



²



^{. 1}

2 3

      

F x ax b x ax bx c 

x



²



^{2 3}



²

2 3

ax b x ax bx c

x

    

 

 

5 2 3 6 3

2 3

ax b a x b c

x

   

  .

Do đó ^{5 2}



^{3 6}



³

2 3

ax b a x b c

x

   



20 2 30 11

2 3

x x

x

 

 

 

2 2

5ax 3b 6a x 3b c 20x 30x 11

       

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 153

5 20

3 6 30

3 11

a

b a

b c

 

   

  



4 2 5 a b c

 

  

 

7

 T . CÂU 3: Chọn A

Ta có ^{f x}

 

^

 

^{3x22x m 1 d}



^{xx3x2 }



^{1 m x C}



^{ .}

Theo đề bài, ta có

 

 

^{2 1 2 1}

 

^{12 1 4}

 

^{3 2 3 5}

0 5 5 5

f m C m

f x x x x

f C C

        

       

        

 



. CÂU 4: Chọn B

Ta có ^{F x}

 

^{1 1 d}

2 1 m x

x

 





     ^{ x 1}



^m1



^{x C .} Theo giả thiết, ta có

 

 

0 0

3 7

F F

 

 



1 0

3 8

C

C m

  

   

1 3 C m

  

   . Vậy ^{F x}

 

^{ x 1 2x1.}

CÂU 5: Chọn B

TXĐ: ^{D \ 1}

 

^.

Ta có:

 

^{1 d ln 1}

F x 1 x x C

 x   





   

¹

2

ln 1 khi 1

ln 1 khi 1

x C x

x C x

  

     .

 

^{5 2}

F  ln 4C₁ 2 C₁  2 ln 4 2 2 ln 2.

 

^{0 1}

F  ln1C₂ 1C₂ 1.

Do đó:

 

^{1 d}

F x 1 x

 x



 ^{ }_^ln



^x_{ln 1}^{  }



¹



_x^{2 2 ln 2}



_1 ^khi_khi ^x_x^_¹₁^.

 

^{1 ln 2 1}

F    . ^F

 

^{2  2 2 ln 2.F}

 

^{3  2 ln 2.F}

 

^{ 3 2 ln 2 1 .}

CÂU 6: Chọn B

Ta có



^{2x39x22x5}



^{ex  f x}

 

^{F x}^{ }^ax3



^{3a b x}



²



²b c x c d e



   ^x.

2; 3; 8; 13

a b c d

      a²b²c²d² 246. CÂU 7: Chọn D

 

^{3 2 2}

  

²



      

F x ax a b x a b c .

Ta có:

     

3 3 1

2 6 2

2 2 2

 

 

 

      

     



a a

F x f x a b b

a b c c

   a b c 5.

CÂU 8: Chọn A

 

²

 

²

   

0

1 2 1 d 1 2 1 1 2 1 1 0 1

2 4 4

x x x

t a t a x a x

               

 

 



^.

Bất phương trình

 

1 nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi



¹



^{2 1 0 1 1 1 3 1}

4 2 2 2 2

a            a a CÂU 9: Chọn B.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 154

Ta có

 

²

 

²

2

3 3 1 2 2

d d d d ln 1

2 1 1 1 1 1

x x

x x x x x C

x x x x x x

         

     

   

^.

Suy ra ₂ 3 2

d ln 1 ln 1 ln 1

2 1 1 1 1

x b b

x a x C a x C x C

x x x x x

            

    



^.

Suy ra 1

2 2

a b

b a

 

   

 .

CÂU 10: Chọn A Ta có



^{sin 2xcos 2x}



^2dx





 

1 2sin 2 cos 2 x x



dx^

 

^{1 sin 4 x}



^{dx x 1}₄^{cos 4x C .}

Mà



^{sin 2x cos 2x}



^{2dx x acos 4x C}

  b 



^{nên }_{ }^a_b^1₄^{  a b 5.}

CÂU 11: Chọn C

Ta có ^f

 

^{x  exex2 e 1}

e

x x

  ^{2 2}

2 2

e e khi 0

e e khi 0

x x

x x

x x





  

 

  



.

Do đó

 

^{2 2 1}

2 2

2

2e 2e khi 0

2e 2e khi 0

x x

x x

C x

f x

C x





   

 

   



.

Theo đề bài ta có ^f

 

^{0 5 nên} 2e⁰2e⁰C1 5 C₁1.

 

^{ln 4 2eln 42 2e ln 42 1}

f ^

    6

Tương tự 1

ln 0

f  4  nên

1 1

ln ln

4 4

2 2

2e 2e C2 0

   

   

   

     C₂ 5.



^ln16



^{2e  ln162  2e ln162  5}

f

 

       ⁷

 2. Vậy



^ln16

  

^{ln 4 5}

S  f   f 2. CÂU 12: Chọn A

Ta có:

 

₃ ¹ ₅ ¹₃ ¹ ₂

1 f x x

x x x x x

    

  .

     

   

2 2 1

2 2 2

1 1

ln ln 1 0

2 2

1 1

ln ln 1 0

2 2

x x C x

f x x

x x C x

x

      

        



Ta có:

 

1

1 1

1 ln 2

2 2

f  a C   a ,

 

2

1 1

2 ln 2 ln 5

8 2

f   b C   b 

Ta có:

   

2 1

1 1 1 1

1 2 ln 2 ln 2 ln 5

2 2 8 2

f f  C C a b

           .

CÂU 13: Chọn A

Hàm số ^{y f x}

 

đồng biến trên



^0;



nên suy ra ^f

 

^{x   0, x}



^0;



^.

Mặt khác ^{y f x}

 

liên tục, nhận giá trị dương trên



^0;



^nên

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 155

 

²



¹

     

¹

  

f x  x f x  f x  x f x

 

  , ^{ x}



^0;



 

  

¹



f x

x f x

    , ^{ x}



^0;



^;

 

  

¹



f x

dx x dx

f x





 



 ^{ f x}

 

^1₃



^x1



^{3 C;}

Từ

 

^{3 3}

f 2 suy ra 2 8

3 3

C  

Như vậy

   

2

1 3 2 8

3 1 3 3

f x  x 

     Bởi thế:

   

2 2

1 3 2 8 2 8

8 8 1 9

3 3 3 3 3

f    

        

   

 

4

2 2 8

8 9 2613, 26

3 3

f  

     

  .

CÂU 14: Chọn D

   

. 3 1

f x  f x x

 

 

^{31 1}

f x

f x x

  



   

^{d 31 1d}

f x

x x

f x x

  

 



   

 

d 1

d

3 1

f x x

f x x

 

 

 ^{ln f x}

 

^2₃ ^{3x 1 C  f x}

 

^{e23 3x 1 C} Mà ^f

 

^{1 1 nên e43C 1 4}

C 3

   . Suy ra ^f

 

^{5 e43 3, 794.}

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 156

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Lời giải Chọn B

Chọn

   

sin cos

u f x du f x dx

v xdx v

d    x

  

 

 

 

 

  .

     

( ) sin d ( ) cos cos d

ln

x

f x x x f x x f x x x f x x f x 

  

      

 

^.

Lời giải

Ta có:



^f

 

^{x .}_^{f x}

 

^_^2018dx



^{x.e dx x}



^_^{f x}

 

^_^{2018df x}

  

^{ x1 .e}



^xC

 

²⁰¹⁹

   

²⁰¹⁹

 

1 . 1 .e 2019 1 .e 2019

2019

x x

f x x C f x x C

           .

Do ^f

 

^{1 1 nên 2019C1 hay }_^{f x}

 

^_^{2019 2019}



^{x1 .e}



^x1.

Ta có:

   

²⁰¹⁹ 2019

 

2019

1 1 1

2019 1 .e 1 0

e e e

f x   f x     x x   . Xét hàm số

 

²⁰¹⁹



^{1 .e}



¹ ₂₀₁₉¹

e

g x  x x  trên .

 

^{2019 .ex}

g x  x , ^{g x}

 

^{  0 x 0,}

 

^{0 2019 1} ₂₀₁₉^{1 0}

g    e  , ^lim

 

x g x

  ,

 

₂₀₁₉¹

lim 1 0

e

x g x

    .

Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình

 

¹

f x  e có đúng 2 nghiệm .

 VÍ DỤ 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

thỏa mãn hệ thức:

 

^{sin d}

 

^{cos xcos d}

f x x x  f x x  x x

 

^{. Hỏi y f x}

 

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.

 

ln

x

f x 

   . B.

 

ln

x

f x 

  . C. ^{f x}

 

^{x.ln . D. f x}

 

^{ x.ln .}

 VÍ DỤ 2: Cho hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn ^f

 

^{x .}_^{f x}

 

^_^{2018 x.ex} với mọi x và

 

^{1 1}

f  . Hỏi phương trình

 

¹

f x  e có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 157

Lời giải Chọn C

Ta có

   

^d



¹



^{d 1 d ln}

 

^{ln ln 1}

ln 1 ln 1

f x f x x x x x C

x x x

      

 

  

   

 

1 2

ln 1 ln khi 0 e

ln ln 1 khi e

x C x

f x x C x

   

  

  

 .

Do 1₂ 1_{2 1 1 1}

ln 6 ln 1 ln ln 6 ln 3 ln 6 ln 2

e e

f       C   C  C 

   

Đồng thời ^f

 

^{e2  3 ln ln e}



^{2 1}



^{C2  3 C2 3}

Khi đó: ¹

 

^{e3 ln ln1 1} ln 2 ln ln e³ 1 3 3 ln 2 1

 

e e

f     f        

  .

Lời giải Chọn C

Ta có

 

 

^{2 2}

f x f x x

  

 

 

^d



^{2 2}



^d

f x

x x x

f x





 



 ^.

 

²

ln f x 2x x C

    ^{ f x}

 

^{A e. 2x x 2. Mà f}

 

^{0 1 suy ra f x}

 

^{e2x x 2.}

Ta có ^{2xx2  1}



^x22x1



^{  1}



^{x 1}



^{2 1. Suy ra 0e2x x 2 e} và ứng với một giá trị thực 1

t thì phương trình 2xx² t sẽ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy để phương trình ^{f x}

 

^{m có 2} nghiệm phân biệt khi 0 m e¹e.

Lời giải Chọn A

 

¹

 

^e

e ln d e ln d d

x

x x

I ax x ax x x

x x

 

     

 

  

⁽¹⁾

 Tính



^{e lnx}

 

^{ax dx:}

 VÍ DỤ 3: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên khoảng



^{0; }

  

^{\ e} thỏa mãn

  

^{ln1 1}



f x

x x

 

 , 1₂ e ln 6

f    và ^f

 

^{e2 3}. Giá trị của biểu thức ¹

 

^e3

f     e f bằng A. 3ln 2 1. B. 2ln 2. C. ^{3 ln 2 1 .}



^



^{D. ln 2 3.}

 VÍ DỤ 4: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn ^{f x}

 

^{0,  x .}

Biết ^f

 

^{0 1 và}

 

 

' 2 2

f x

f x   x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

f x m có hai nghiệm thực phân biệt.

A. me. B. 0 m 1. C. 0 m e. D. 1 m e.

 VÍ DỤ 5: Cho a là số thực dương. Biết rằng ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

^{ex ln}

 

¹

f x ax

x

 

    thỏa mãn 1 0

F    a và ^F



²⁰¹⁸



^e2018. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 1

2018;1

a  

 . B. 1 0;2018

a  

 . C. ^a



^{1; 2018}



^{. D. a}



^2018;



^.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 158

Đặt ^ln

 

^{d 1d}

d e d

e

x

x

u ax u x

x

v x

v

   

 

 

  

  

   

^e

e ln d e ln d

x

x x

ax x ax x





 



x

 Thay vào (1), ta được: ^{F x}

 

^{e lnx}

 

^{ax C.}

Với

 

²⁰¹⁸

1 0

2018 e F a

F

    

  

 



 

1

2018 2018

e .ln1 0

e ln .2018 e

a C

a C

  

  



 

0

ln .2018 1 C

a

 

 



e a2018.

 Vậy 1 2018;1

a  

 .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CÂU 1: Biết ¹

 

0

. x d 3 x f x



^{. Khi đó 2}

 

0

sin 2 .x f cosx dx





^bằng:

A. 3. B. 8. C. 4. D. 6.

CÂU 2: Biết rằng ^{F x}

 

là một nguyên hàm trên của hàm số

 



^{20172 1}



^x2018

f x x

  thỏa mãn ^F

 

^{1 0.}

Tìm giá trị nhỏ nhất m của ^{F x}

 

^.

A. ¹

m 2. B.

2017 2018

1 2

m 2 . C.

2017 2018

1 2

m 2 . D. ¹ m 2. CÂU 3: Biết rằng trên khoảng 3

2;

  

 

 , hàm số

 

^{20 2 30 7}

2 3

x x

f x

x

 

  có một nguyên hàm

  

²



^{2 3}

F x  ax bx c x (a b c, , là các số nguyên). Tổng S  a b c bằng

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6

CÂU 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục, không âm trên thỏa mãn ^{f x f}

   

^{.  x 2x}



^{f x}

  

^{21 và}

 

^{0 0}

f  . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số ^{y f x}

 

trên đoạn

 

^{1;3 lần}

lượt là

A. M 20; m2. B. M 4 11; m 3. C. M 20; m 2. D. M 3 11; m 3. CÂU 5. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ln2 x 1.lnx}

  x và

 

^{1 1}

F  3. Tính ^_^{F e}

 

^_^2.

A.

 

^{2 8}

F e 3

  

  . B.

 

^{2 8}

F e 9

  

  . C.

 

^{2 1}

F e 3

  

  . D.

 

^{2 1}

F e 9

  

  .

CÂU 6: Với mỗi số thực dương x, kí hiệu

 

1

ln dt





^x

f x t . Tính đạo hàm của hàm số ^{y f x}

 

^.

A.

 

^ln

2

  x

f x

x . B. ^f

 

^{x ln x}

x . C. ^f

 

^{x ln x. D.}

 

^ln

  2x f x

x . CÂU 7: Biết

 

3

2 1

3 ln 1

d ln

1

x a c

x b b d

x

  



 ^{với a, b, c, d} là các số nguyên dương và ^a b ; ^c

d là các phân số tối giản. Giá trị của biểu thức M ac bd là :

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 159

A. 17 . B. 20 . C. 145 . D. 11. CÂU 8. Biết

 

3

2 1

3 ln d 1

I x x

x

 



 ^a



^{1 ln 3}



^{bln 2. Khi đó a2b2 bằng:}

A. ^{2 2 7}

a b 16. B. ^{2 2 16}

a b  9 . C. ^{2 2 25}

a b 16. D. ^{2 2 3} a b 4. CÂU 9: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e3x và F}

 

^{0 2}. Hãy tính ^F

 

^{1 .}

A. 6 ¹⁵

 e . B. 4 ¹⁰

 e . C. ¹⁵ 4

e  . D. ¹⁰

e . CÂU 10: Biết a, b thỏa mãn



^{32x1dxa}



^2x1



^{bC }_^{x 1}₂^_^{. Khi đó:}

A. ¹⁶

ab  9 . B. ¹

ab 2. C. ¹⁶

ab 9 . D. ⁹

ab16 CÂU 11: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^\

 

^1;1 thỏa mãn

 

₂²

f x 1

  x

 , ^f

 

^{ 2 f}

 

^{2 0 và}

1 1

2 2 2

f  f   

    . Tính ^f

 

^{ 3 f}

 

^{0  f}

 

⁴ được kết quả A. ln⁶ 1

5 . B. ln⁶ 1

5 . C. ln⁴ 1

5 . D. ln⁴ 1 5 . CÂU 12: Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn x f. }

 

^{x  f x}

 

^{,  x 1 và}

 

^{e 1}

f  2. Tính ^f

 

^{e2 .}

A.

 

^{e2 1}

f 3. B.

 

^{e2 1}

f  4. C.

 

^{e2 1}

f  4. D.

 

^{e2 1}

f  3.

CÂU 13: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên đoạn



^{2; 2}



^{thỏa mãn f}

 

^{0 1 và f x f}

   

^{.  x e2x}. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ^{h x}

 

^{xf x}

 

trên đoạn



^{2; 2}



^.

A.

   

²

[ 2;2] [ 2;2]

minh x 1; maxh x 2e

    . B.

 

¹

 

[ 2;2] [ 2;2]

minh x e^; maxh x 1

     .

C.

 

¹

 

²

[ 2;2] [ 2;2]

minh x e^; maxh x 2e

     . D.

 

²

 

²

[ 2;2] [ 2;2]

minh x 2e^ ; maxh x 2e

     .

GIẢI CHI TIẾT

CÂU 1: Chọn D

Ta có ²

 

0

sin 2 . cos d

I x f x x







^{ 2}

 

0

2sin .cos .x x f cosx dx





^.

Đặt cosx t sin dx x dt. Khi x0 thì t1.

Khi x_2

thì t0.

Do đó ²

 

0

2sin .cos . cos d

I x x f x x







^{ 0}

 

1

2 .t f t dt





 ¹

 

0

2 .



t f t dt ^{ 1}

 

0

2



x f. x dx2.36^.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 160

CÂU 2: Chọn B

Ta có

 



^{20172 1}



^2018x

f x dx dx

x

 

 

²⁰¹⁷



^{2 1}



²⁰¹⁸



^{2 1}



2 x ^ d x





  2017



^{2 1}



²⁰¹⁷

2 . 2017

x C

 

 





²¹



²⁰¹⁷

2 1

C x

  

 ^{F x}

 

Mà ^F

 

^{1 0} 2017 2018

1 1

2.2 C 0 C 2

      =>

 



²¹



^{2017 220181}

2. 1

F x

x

  

 suy ra

 

F x đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi



^{2 1}



²⁰¹⁷

2 x 1 lớn nhất ^



^x21



^{nhỏ nhất x 0. Vậy}

2017

2018 2018

1 1 1 2

2 2 2

m     . CÂU 3: Chọn B

Đặt t 2x  3 t² 2x 3 dxt td

Khi đó

20 2 30 7

2 3 d

x x

x x

 





2 2 2

3 3

20 30 7

2 2

d

t t

t t t

      

   

   





^

 

^{5t415t27 d}



^{t  t5 5t3 7t C}



^{2x 3}



^{5 5}



^{2x 3}



^{3 7 2x 3 C}

       ^



^2x3



^{2 2x 3 5 2}



^x3



^{2x 3 7 2x 3 C}



^{4x2 2x 1}



^{2x 3 C}

    

Vậy ^{F x}

 

^



^4x22x1



^{2x3. Suy ra S   a b c 3.}

CÂU 4: Chọn D

Ta có ^{f x f}

   

^{.  x 2x}



^{f x}

  

^21

   

   

²

. 2

1 f x f x

x f x

  

 .

Lấy nguyên hàm hai vế ta có



^{f x}

  

^{2 1 x2C, do f}

 

^{0 0 nên C1}