Ứng dụng nguyên hàm tích phân

1 A – NGUYÊN HÀM

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa:

VD 01: (x²) '2x 



2xdxx²C ^{(ln ) 'x 1}_x^{,x0 }



¹_x^{dxln | |x C}

' 1

x  



dx x C ^{(s inx) 'cosx }



^{cosxdxsinx C}

(a^x) 'a^x.lna 



a^xlnadxa^xC ^{( ) 'ex ex }



^{e dxx exC}

Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa…

Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1:



_{f x dx( ) '  f x( )C}

Tính chất 2:



_{k f x dx. ( ) k f x dx k}



_{( ) , const}

Tính chất 3:



_{[ ( )f x g x dx( )] }



_{f x dx( ) }



_{g x dx( )}

VD 02:

a)



xdx ^b)



⁵_x^{dx c)}



^{a dxx}

d)



(cosxsin )x dx ^e)



^_ ¹_x ^ex_^{dx f)}



^{3x dx2}

2. Nguyên hàm một số hàm thường gặp Bảng 1:

kdxkx C



^{1 1} ₁

( 1)

n dx n C

x   n x ^ 





1

, 1

1

n

n x

x dx C n

n

    



 ^{Với n 1:}



^{x dx1 }



¹_x^{dxln | |x C}

ln

x

x a

a dx C

 a



^{Với ae:}



^{e dxx }_ln^ex_e^{ C exC}

VD 03:

a)



x dx^{2 b)}



^{xdx c)}



^{3x dx2}

d)



4x dx^{4 e)}



_x^{13 dx f)}



^{x dx13}

g) ²

2

x dx

x

 

  

 

 



^h)



^{(x1)(x43 )x dx i)}



^_^3x2₂^x_^dx

j)



(2x³5x7)dx ^k)



^_x^{12 x21}₃^_^{dx l)}



^3xdx

m)



10^2xdx ⁿ⁾

 

^{x3 x dx}



^o)



^{x x}_x^{2 x dx}

( ) ( )

f x dxF x C

 với

^_{ C}^{F x'( )}_cons^{ f x}_t^{( )}

2 p)



x x( 1)(x5)dx ^q)

1 3

x dx

x

  

 

 



^r)



^(2x31)2dx

s)



(³ x1)(x x2)dx ^t)



^{(ex1)3dx u)}



^{2xe dxx}

Bảng 2:

1 1

.ln | |

dx ax b C

ax b a  



 ^{( ) 1 (. ) 1}

1

n

n ax b

ax b dx C

a n

 

  



 1.

ln

ax b

ax b k

k dx C

a k

   

 

^{eax b dx1}_a^{.eax b C}

VD 04:

a) ³

2 5dx x



^b)



_2x¹_2^{dx c)}



_x²⁴_^x₂^_x⁴_3^dx

d) ₂ ⁴

2 1

x dx

x x



 



^e)



_x²_^x₂³_x1^{dx f)}



_x^4x_³ ₁^dx

g)



(2x1)⁴dx ^h)



^{2 (x x21)3dx i)}



^{e2xe2x2dx}

Bảng 3:

sinxdx cosx C

 

^{cosxdxsinx C}

2 2

1 (1 cot ) cot

sin dx x dx x C

x     

  

_cos¹²_x^dx



^{(1 tan 2x dx) tanx C}

sin(ax b dx) 1.cos(ax b) C

  a  

 

^{cos(ax b dx ) 1}_a^{.sin(ax b ) C}

2 2

1 [1 cot ( )]

sin ( )

1.cot( )

dx ax b dx

ax b

ax b C a

  



   

 

_{cos (}^{2 1} ₎ ^{[1 tan (2 )]}

1. tan( )

dx ax b dx

ax b

ax b C a

  



  

 

VD 05:

a)



sin² xdx ^b)



^{cos2xdx c)}



^{4(cos2xsin2x dx)}

d)



tan² xdx ^e)



^{cot2xdx f)}



^sin3xdx

g)



cos³xdx ^h)



^{sin2x.cosxdx i)}



^{cos(3x4)dx}

k)



sin 2xdx ^l)



^cos₂^{xdx m)}



^{sin cosx xdx}

n) ₂ ¹

cos (3 2)dx x



^o)



^{sin4xdx p)}



^cos4xdx

q)



sin cosx ²xdx ^r)



^{sin 3xdx s)}



^{cos4 xsinxdx}

II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Một số kết quả thường gặp khi tính nguyên hàm

( ) ( )

f x dx f t dt

 

^{1 1 1} ₁

( )ⁿ dx ( 1)( )ⁿ C

ax b  a n ax b ^ 

  



' ln | |

u dx u C

u  



^{'. 1}

1

n

n u

u u dx C

n

  





3

Nếu



f x dx( ) F x( )C ^thì



^{f ax b dx(  )  1}_a^{. (F ax b ) C}

2. Các phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến:

Bước 1: Đặt tu x( ), ta được dtu x dx( ) ' Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t.

Bước 3: Thay tu x( ) để được kết quả theo biến x.

VD 06:

a)



(x1)¹⁰⁰dx ^b)



_1^x_x^{2 dx c)}



_x²²_{ }^x_x¹₁^dx

d) ₂^{4 4}

2 3

x dx

x x



 



^e)



^x2_18^{x3 1}_^{dx f)}



^sin4xcosxdx

g)



e^sinxcosxdx ^h)



^{x e. 1x2dx i)}



_5x¹_4^dx

j)

2 3

9 1

x dx

x



^k)



^{x41x dx2 l)}



_x(1¹ _x)^{2 dx}

m)



3x 7 3 x dx^{2 n)}



^sin3₂^xcos₂^{xdx o)}



^{xcos(x dx2)}

p)



tanxdx ^q)



^{cotxdx r)}



₃^{xe dx2x}

b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:

( ) ( ) I 



f x g x dx

Đặt ^{( )}

( ) u f x dv g x dx

 

 

( ) ' ( ) du f x dx

v g x

 

  



Khi đó: ^I^uv



^vdu

VD 07:

a)



xcosxdx ^b)



^{lnxdx c)}



^{x e dx2 x}

d)



ln²xdx ^e)



^xsin₂^{xdx f)}



^{xe dxx}

g)



x²cosxdx ^h)



^{x2sinxdx i)}



^{x2cos 2xdx}

j)



x³ln(2 )x dx ^l)



^{e 3x9dx}

LUYỆN TẬP

Phương Pháp: nguyên hàm hữu tỉ ^{( )} ( ) P x dx



Q x

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x):

1

1 1 1 1

( )ⁿ dx ( 1) ( )ⁿ C

ax b  a n ax b ^ 

  



1 1 1

( )( )

dx dx

x a x b a b x a x b

 

   

      

 

4

2 2

1 1 1

2

dx dx

x a a x a x a

 

   

    

 

1) Tính các nguyên hàm sau:

a) ₂¹

1dx x 



^b)



_x^x2_¹₄^{dx c)}



_x²_¹_3x2^dx

d)

2 2

1

3 2

x x x x dx

 

 



^e)



³_x^x32_^₃³_x^x_^₂^{3dx f)}



_x²_^dx_6x9

g) ₂

5 6

dx x  x



^h)



_x²_{ }^dx_{x 2} ⁱ⁾



_x²⁴_^x₅^_x¹¹_6^dx

j)

3

1 x dx x



^k)



_1^x5_x^{2 dx l)}



_(x1)(^x2_x^2x₂₎₍^3_x3)^dx

m) ¹

( 1)dx x x



ⁿ⁾



_4x²_¹_4x1^{dx o)}



_(1^x_x²₎^100dx

p) ₃ ¹

1 x dx x





 ^q)



^_^3x2_x^{23 }_^{2dx r)}



^{x x( 1)(x2)dx}

s)

2

3 x dx x



^t)



_1^x2_x^{2 dx u)}



^x_x^22_³₁^dx

2) Tính:

a)



e^x 2^xdx ^b)



^3.2x₂^{x2.3x dx c)}



^{(2x3 )x 2dx}

d)

1 1

2 6

10

x x

x dx

  



^e)



_e^xe_^x ₁^{dx f)}



^(lnx_x^{1)2 dx}

g)

x x

x x

e e e e dx









 ^h)



^{sin(ln )}_x ^{x dx i)} 2

4 4

x

x x

e dx

e  e 



j)

ln |3 1 | 1 x dx x





 ^k)



_e^x_¹_e^{2x dx l)}



_e^x_^ex_e^{x dx}

3) Tính các nguyên hàm sau:

a)



x x x dx ^b) 4 3

5 1

dx

x x

 

  

 



^c)



^{( x1)(x x1)dx}

d) x ^{1 3} x.⁴ x dx x

  

 

 



^e)



^x13_x^{x22x e2 xdx f)}



^{x4x42dx}

g)



x 2 5 xdx ^h)



₂^x_² _x ^{dx i)} 3

2 2

1 (1 )

x dx

x x

  



j)



x 1xdx ^k) 2

1 1

1

x x

dx x

  



 ^l)



_x¹ _x1^dx

m) 2

2 1 x dx x x 



ⁿ⁾



_{4 x}^xdx _4x ^o)



³⁽¹₄^_x⁶_^{2 )}₅^x_x^_ ^x_x^1dt

4) Tính:

a) ₂ ⁴ ₂

sin cos dx

x x



^b)



_sin^2cos2_xcos^x2 _x^{dx c)}



^_^4sin₂^xcos₂^xtan2 ₂^x_^dx

d)

3 2

sin 2

3sin x dx

x



 ^e)



^{tan2 xdx f)}



^tan3xdx

- 5 -

g)



tan⁴ xdx ^h)



^{tan5xdx i)}



^{tan6 xdx}

j)



cot²xdx ^k)



^{cot3xdx l)}



^{tannxdx n, }

5) Tính các nguyên hàm sau:

a)

1 cos2

1 cos 2 xdx x





 ^b)



^{1 sin 2 xdx c)}



sin 2 cos 8x xdx

d)



cos³xsin 8xdx ^e)



^sin_sin^x_x^_^cos_cosx^{xdx f)}



sin sin 2 sin 3x x xdx g) ^{cos cos 2 cos 3}

sin sin 2 sin 3

x x x

x x x dx

 

 



^h)



^{sin cos}_{1 cos}^{x 23}_x^{xdx i)}



^sin4xcosxdx

j) _{5 3}

cos sin dx

x x



^k)



^{sin2xcos2xdx l)}



^sin7xcos3xdx

m)



cos²xsin³xdx ⁿ⁾



_cos^sin24x_x^{dx o)}



_sin^dx4_x

p)



sin cosx ³xdx ^q)



_{2 sinx}^dx_cosx1 ^r)



_acos²_{x b}^dx_{ sin}² _x^{, cosx0}

s) ^sin

sin cos

I x dx

x x





 ^{và J }



_sin^cos_xcos^x _x^dx. Tính I, J 6) Tính nguyên hàm các hàm số sau:

a)

lnx 2

x dx

 

 

 



^b)



_cos^x2_x^{dx c)}



^xtan2xdx

d)



cos ln(1 cos )x  x dx ^e)



²



2

ln 1

1

x x x

dx x

 



 ^f)



_a²_sin^{sin cos2}_{x b}^x_ ²_cos^{x 2}_x^dx

B – TÍCH PHÂN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân. Ok! 

Định nghĩa: ( ) ( ) | ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



VD 08:

a)

5

3

1dx



x ^{b) 4}

2

x 1 dx x

  

 

 



^{c) 1 2010}

0

(1 7 ) x dx



Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1 ^{( ) 0}

a

a

f x dx



Tính chất 2 ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

 

Tính chất 3 ^{( ) ( ) ( )}

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

  

VD 09:

a)

1

3 2

0

(x 3x 2)dx



^{b) 4 2}

1

1 1

t dt

t t

   

 

 



^{c) 1 4}

1

(5x 2)dx



6 d)

2

0

(2 cosx sin 2 )x dx





 ^{e) 1 2}

0

(3^y2 )^y dy



^{f) 1 2 3 9}

0

. . ...

s s s s ds



g)

5

4 sin cos

1 sin 2

x x

dx x









 ^{h) 3 2}

0

|x  x 2 |dx



ⁱ⁾

3 5

3 2 2

0 3

3 2

cos 3xdx cos 3xdx cos 3xdx

  

 

 

  

II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến dạng 1

Bước 1: Đặt tu x( ), ta được dtu x dx( ) ' Bước 2: Đổi cận

1 2

x a b t t t

Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.

Tính tích phân trên theo định nghĩa.

VD 10:

a)

3

1

2x3dx



^{b) 2 2}

1

xe dxx



^{c) 1}

0

1 x dx



d)

1

3 4

0

(1 ) t t dt



^{e) 4 2}

0

tan cos

x dx x





^{f) 1 2 2}

0

5

( 4)

x dx x 



g)

3 2 0

4 1 x dx x 



^{h) 6}

0

(1 cos 3 ) sin 3x xdx





 ^{i) 1 5 4}

0

2 (2 5 ) t  t  t dt



2. Phương pháp đổi biến dạng 2

Bước 1: Đặt xu t( ), ta được dxu t dt( ) ' Bước 2: Đổi cận

1 2

x a b t t t

Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.

Tính tích phân trên theo định nghĩa.

VD 11:

a)

1

2 0

1x dx



^b)

1 2

2

0 1

dx

x



^{c) 1 2}

01 dx

x



d)

1 4

4

0 1

x dx x 



^{e) 1 4}

0 1

x dx x 



^{f) 1 2 2}

0

1 x x dx



3. Phương pháp tích phân từng phần ( ) ( )

b

a

I 



f x g x dx

Đặt ^{( )}

( ) u f x dv g x dx

 

 

( ) ' ( ) du f x dx

v g x

 

  



Khi đó:  |^ba 



^b

a

I uv vdu VD 12:

a)

1

0

xe dxx



^{b) 2}

1

ln x xdx



^{c) 2}

0

sin x xdx





7 d)

2

0

cos x xdx





^{e) 2 5}

1

ln x xdx



^{f) 1}

0

(x1)e dx^x



g)

2

0

sin cos

x x xdx





^h)

0 xcos

e xdx





^{i) 3 3}2

0 1

x dx x 



LUYỆN TẬP

Phương pháp: Tích phân hàm hữu tỉ ^{( )} ( ) P x dx



Q x



Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được ( ) ^{( )} ( ) A x R x dx

Q x

 

  

 





Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính ^{( )} ( ) R x dx



Q x + Xét Q x( )ax²bx c (có bậc 2) thì R x( )mx n

TH 1: Q x( )a x( x₁)(xx₂) (x₁, x₂ là hai nghiệm của Q(x) = 0)

1 2

( ) ( )

R x A B

dx dx

Q x x x x x

 

     

 

^với



_{(x a x b )(}^k _{ )}^dx_{a b}^k_



^_{x a}¹_ ^_{x b}¹_ ^_^dx

TH 2: Q x( )a x( x_o)² (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0)

2

( )

( ) _o ( _o)

R x A B

dx dx

Q x x x x x

 

     

 

TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để R x( ) A Q x. ( ) 'B và khi đó:

( ) . ( ) '

( ) ( ) ( )

R x A Q x B

dx dx

Q x Q x Q x

 

   

 

 

Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.

+ Xét Q x( )ax³bx² cx d ( có bậc 3) thì R x( )mx²nxp TH 1: Q x( )(xx₁)(xx₂)(xx₃)

1 2 3

( ) ( )

R x A B C

dx dx

Q x x x x x x x

 

       

 

TH 2: Q x( ) (x x₁) (² xx₂)

2

1 1 2

( )

( ) ( )

R x A B C

dx dx

Q x x x x x x x

 

       

 

TH 3: Q x( ) (x x_o)³

2 3

( )

( ) _o ( _o) ( _o)

R x A B C

dx dx

Q x x x x x x x

 

       

 

TH 4: Q x( ) (x x_o)(ax²bx c )

2

( )

( ) _o

R x A Bx C

dx dx

Q x x x ax bx c

  

      

 

+ Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản.

1) Tính các tích phân sau a)

1

5 3 6

0

(1 ) x x dx



^{b) 1 19}

0

(1 ) x x dx



^{c) 1 2 3}

0

(1 )ⁿ , 1,

x x dx n n



8 d)

1 4

2 1

2

1 ( 1) dx





x x ^{e) 1 2 2}

04

x dx

x



^{f) 1 2}

04

x dx

x



g)

3 4

3 2

2

x dx

x x





 ^{h) 1 2}

0 3 2

dx x  x



^{i) 3 2 3}

0 2 1

x dx

x  x



j)

1 2

4 1 2

1 1

x dx x





 ^{, đặt t 1}_x ^{k) 2 5}

1

(1 ) x x dx



^{l) 2 24}

1

1 1

x dx x





 m)

5

2

1 1

xdx x





 ^{n) 4 2}

3 3 2

dx x  x



^{o) 1 2}

0 3

dx x 



p)

2

2 1

(2 x1) dx



^{q) 1 10}

0

(x2) dx



^{r) 3 22}

0

2 1

1

x dx

x





 s)

4 2

0 4

xdx x 



^{t) 1 2}

2 2 2

xdx

x x





  ^{u) 2 2 3}

0 2 1

x dx x  x



v)

4

7 1

(3x1) dx



^{w) 2 2}

0 4

dx x 



^{x) 2 2}

0 4 5

dx x  x



y)

2 2

0 4 5

xdx x  x



^z)



_{(x1)(x2)(x}^xdx_{3)(x4)(x5)}

Phương pháp: Tích phân hàm lượng giác

 Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)

 Đổi biến số

+ Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số) + Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác. Quy tắc chung: Đặt ,

t  x t 2 x (Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân)

+ Đổi biến qua tan 2

t  x . Khi đó: sin ² ₂ 1 x t

 t



2 2

cos 1 1 x t

t

 



2

tan 2 1 x t

 t



1 2

cot 2

x t t

  Tích phân lượng giác tổng quát: ^{sin cos}

sin cos

a x b x c

d x e x f dx

 

 



, ta biến đổi

sin cos ( sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos sin cos

a x b x c d x e x f d x e x

A B A B

d x e x f d x e x f d x e x f

        

     

 Sử dụng công thức tích phân từng phần Chú ý các công thức lượng giác:

2sin .sinx ycos(xy) cos( xy) 2cos .cosx ycos(xy) cos( xy) 2sin .cosx ysin(xy) sin( xy)

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

4 4

a_ a_ a_ _  _a

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

4 4

a a x   x

     

sin sin 2sin . os

2 2

x y x y

x y  c 

sin sin 2 sin . os

2 2

x y x y

x y  c 

cos cos 2 cos cos

2 2

x y x y

x y  

 

cos cos 2 sin sin

2 2

x y x y

x y  

  

9 2) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản)

a)



(cos⁴xsin⁴ x dx) ^{b) 2 4}

0

cos xdx





^{c) 2 4 4}

0

cos 2 (sinx x cos x dx)





 d)

2

01 sin 2 dx

x





 ^{e) 2 4}

0

sin xdx





^f)



^{(sin3xcos 3xcos3xsin 3 )x dx}

g)

2

4 4

0

os2 (sin os )

c x x c x dx





 ^{h) 2}

2

cos 5 cos 3x xdx







ⁱ⁾

01 sin dx

x





 đổi sin ra cos j)

2

0

sin 3

cos 1

xdx x





 ^{k) 2 2 2}

0

cos xcos 2xdx





^{và 2 2 2}

0

sin xcos 2xdx





3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác) a) cos 3

dx



x ^b)



^sin(_cos^a2_x^{x)dx c)}



_{sin 2x}^dx_{2 sinx}

d)

0

2 4

sin 2 (2 sin )

x dx

 x





 ^{e) 2 2}

0

sin 2 (1 sinx x dx)





 ^{f) 2 2}

0

sin cos (1 cos )x x x dx







g)

4 3

sin2 dx

x







^{h) 2}

0

sin 3 1 cos

x dx x





 ^{i) 2 3 2}

0

sin 1 cos

x dx x







j)

1 4 0

5(5 4 cos ) sint tdt





 ^{k) 4}

4

tanxdx







^{l) 2}

0

cos 1 sin

x dx x





 m)

6

0

2 1 4sin 3xcos3xdx





 ⁿ⁾

0

sin 4 1 sin

x dx x





 ^{o) 2}

0

cos 2 cos 2

xdx x





 p)

2

0 (2 cos )(3 cos ) dx

x x



 



^{q) 2 5}

0

os c xdx





^{r) 3}

0

sin xdx





s)

2 2 0

sin

cos 3

xdx x





 ^t)



_x^{12 sin1}_x^cos1_x^dx

4) Tính (đổi biến qua tan 2 t x )

a)

2

0sin cos 2

dx

x x



 



^{b) 4}

0

3sin 4 cos 2sin cos

x x

x x dx







 ^{c) 2}

0

sin 7 cos 6

4sin 3cos 5

x x

x x dx



 

 



d)

3

0 cos dx x





^{e) 2}

0

sin cos 2sin

xdx

x x





 ^f)



_sin^cox_x^_{2 cos}^{s inx}_x^dx

g)

2

0

4 cos 3sin 1

4sin 3cos 5

x x

x x dx



 

 



5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần)

10 a)

4

0

cos 2

x xdx





^{b) 2 2}

0

cos

x xdx





^{c) 2 2}

0

cos sin

x x xdx





d)

2

2 0

(2x 1) cos xdx





 ^{e) 2}

0

( sin )x x dx





^{f) 2 2}

0

(x 1) sinxdx





 g)

2

0

cos ln(1 cos )x x dx





 ^{h) 2 sin2 3}

0

sin cos

e x x xdx





^{i) 3}

6

cos x xdx







j)

3 2 4

sin xdx

x







^{k) 2}

0

sin

x xdx





^{l) 2}

0

os xc xdx





m) ²

0

sin x xdx





^{n) 4 2}

0 2 cos xdx

x





^o)

Phương pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)

 Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1

2 b 1

a

dx x a



^{Đặt t x x2a}, (phép thế Ơle)

 Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2)

2 2

b 1

a

a x dx



^{Đặt xatant}

2 2

b 1

a

dx a x



^{Đặt xasint hoặc xacost}

2 2

b

a

a x dx



^{Đặt xasint hoặc xacost}

 Sử dụng tích phân từng phần

2 b

a

x adx



Sử dụng tích phân từng phần

6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ) a)

7

3

3 x dx



^{b) 4}

0 25 3

dx

 x



^{c) 3 2}

0

1 x x dx



d)

1 2 1

2 1

1

x dx

x x







  ^{e) 9 3}

1

1 x xdx



^{f) 1 2 3}

0

1 x x  dx



g)

1 2 8 0

1 x xdx



^h)

7 3 3 0

1

3 1

x dx

x





 ^{i) 3 5} 2 ³

0

2 1

x x

dx x





 j)

1

3 2

0

1 x x dx



^{k) 2 3 2}

0

1 x x  dx



^{l) 2} 2

1 1

dx x 



11 m)

1

2 0

1 x x dx



^{n) 9 3}

1

1 x xdx



^o)

1 2

2

0 1

xdx

x



p)

1

2

0 1

dx x x 



^{q) 5}

2 1 2

dx x  x



^{r) 2} 2

1 1

xdx x x 



s)

2 3 2

5 4

dx x x 



^{t) 4} 2

7 9

dx x x 



^{u) 2}

0 2 2

xdx

x x

  



v)

1 3 0

1 x xdx



^{x) 1 2} 2

0 2

x dx xx



7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ) a)

2

2 2

0

4

x x dx



^b)

2 2 2

2

0 1

x dx

x



^c)

1 3

2 2

0 (2 1) 1

dx x  x 



^{, đặt xtant}

g) 2

1

ln 1

dx

x x



^{h) 1 62}

0 1

x dx x 



ⁱ⁾



_x^2dx_9

j) 2

9 4 dx

 x



^{k) 1 2 2}

2 2

1 x x dx



 ^{l) 1 2} 2

0 4

x dx

x



m)

1

2 0

1x dx



^{n) 1 2 2}

0

1 x x dx



^{o) 2 2 2}

0

, 0

a

a x dx a



p)

2

2 2

0

, 0

a

dx a

a x

 



^q)

1 2 1 2 4

dx xx



^{r) 2} 2

2 1

dx x x 



s)

3 1 2

3

1 xdx

x



^t)

2 2

0

1 1

xdx x





 ^{, đặt xcost u) 1 2 3}

0

(1x ) dx



8) Tính (sử dụng tích phân từng phần) a)

1 2 0

1 x  dx



^{b) 1 2}

0

1 x  dx



Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)

 Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ

 Sử dụng tích phân từng phần 9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)

a) ³

2 2 1

x e dxx



^{b) 3 2}

1

1(ln )x dx



x ^{c) 2}

12

x x

e dx





e d)

2

ln

e

e

dx x x



^{e) 3 2}

0

xe^x dx



^{f) 1}

0

ln(2 ) 2

x dx x





 g)

ln 3

0 x 1 e  dx



^h)



^{exex2dx i) 3}

1 ln 2

e dx

x x



12 j)

1

0 ^x 1

dx e 



^{k) 1}

0 ^x 5

dx e 



^{l) 1}

ln 2 ^x 4 ^x

dx e  e^



m)

1 2

2 0

(1 ) 1

x x

e dx e





 ^{n) 1 2}

01

x x

e dx e



 



^o)

1

ln( )

3 ln

e ex

x xdx



 p)

1

ln 1 ln

e xdx

x  x



^{q) 1 2}

1( ^x 1)( 1)

dx

e x





  , đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi r)

1 (1 ln )

e dx

x  x



^{s) 4}

1

e x

x dx



^{t) 2 2}

0 x

e dx





u)

1

0

2^xe dx^x<