Tính giá trị của tích phân kép 3 1 1 0 x y dy e dx

(1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA KHỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN

---

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN CAO CẤP A3

Mã môn học: MATH130301

Đề số/Mã đề: 01. Đề thi có 02 trang.

Thời gian: 90 phút.

Ngày thi: 07/01/2019 Được phép sử dụng tài liệu.

Được phép sử dụng máy tính để lấy kết quả gần đúng cho các tích phân xác định.

Câu I: (2.0 điểm)

1. Tính giá trị của tích phân kép ³

1 1

0

x y

dy e dx

 

2. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi phía trong mặt cầu x²y²z² 5 và phía trên mặt paraboloid x²y² 4z.

Câu II: (2.0 điểm).

1. Tính độ dài của đường cong cực r 1 sin

2. Tính giá trị của tích phân đường loại 2:

     

C

I 



y z dx  z x dy x y dz với C là giao tuyến của mặt trụ

2 2 1

9

x  y  và mặt phẳng 3x z 1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.

Câu III: (3.0 điểm).

1. Tính diện tích phần mặt phẳng 3x2y6z6 nằm trong hình trụ x²y² 1. 2. Cho trường vector ^{F x y z}^



^{, ,}



^³^{z i}²^{ }^⁶^j^⁶^xzk^

a) Tìm vector xoáy của trường F

.

b) Tính thông lượng của trường F

qua phía ngoài vật thể giới hạn bởi 0 y x2, 0 x 2, 0 z 3.

(2)

Câu IV: (3.0 điểm).

1. Giải phương trình vi phân cấp hai

'' 6 ' 8 3cos

y  y  y x  x

2. Tốc độ gia tăng dân số của một thành phố tuân theo quy luật dP 100

dt kP

trong đó P(t) là số dân tại thời điểm t (đơn vị: năm), k là hằng số. Nếu hiện tại dân số thành phố là 2100 người và sẽ là 2500 người sau 2 năm thì sau bao lâu dân số thành phố đạt 3500 người.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.

.

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [G1.2]: Viết được công thức tính tổng quát và công thức đổi

biến cho các dạng tích phân hàm nhiều biến trong hệ tọa độ cực, tọa độ trụ và tọa độ cầu.

Câu I; Câu II; Câu III [G2.1]: Thực hành tốt việc vẽ các đường cong trong mặt phẳng,

các đường cong và mặt cong trong không gian. Câu I; Câu II; Câu III [G2.2]: Áp dụng công thức tính ra kết quả bằng số các dạng tích

phân hàm nhiều biến. Câu I; Câu II; Câu III

[G2.3]: Vận dụng ý nghĩa và mối quan hệ của các dạng tích phân hàm nhiều biến để giải quyết một số bài toán ứng dụng như: tính diện tích miền phẳng, tính diện tích mặt cong, tính thể tích vật thể, tính độ dài đường cong, tính công sinh ra bởi một lực, tính khối lượng vật thể....

Câu I.2; Câu II.1; Câu III

[G2.4]: Áp dụng các phương pháp trong lý thuyết để tìm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng của một số dạng phương trình

vi phân cấp 1, cấp 2. Câu IV

Ngày 27 tháng 12 năm 2018 Thông qua bộ môn

(3)

Trường Đại Học Đáp án môn: TOÁN A3 Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM Mã môn học: MATH130301 KHOA KHUD – Bộ môn Toán Ngày thi: 07/01/2019

Câu Ý Nội dung Thang

điểm

I 1

2

3 3

1 1 1

0 0 0

x

x x

y

dy e dx dx e dy

   

^0,5

 

3 31

1 2 0 0

1 1

1 0.5727

3 3

x x

x e dx e e





    ^0,5

2

V dxdydz







^với

2 2

4

: 5

4

x y x y

z x y

  

      

0,25

2 2

cos 0 2

sin : 0 2 ;

4 5

x r r

y r J r

z z r

z r



  



  

 

      

 

  

    



0,5

2

2 2 5 2 2

2

0 0 0

4

2 5 15.04

4

r

V rdr d dz r r r dr

  ^  ^ ^

       

 

   

^0,25

II 1

1 sin r

l dl



 





^0,25

 

2 2 2

2

2 cos 1 sin d



  







  ^0,5

= 8 0,25

2

Phương trình tham số đường cong ^: ^3sin^cos ^,



^{0, 2}



1 3cos

x t

C y t t

z t



 

  

  



0,5

    

 

2

0 2

0

3sin 1 3cos sin 1 3cos cos 3cos

cos 3sin 3sin

3cos sin 12 24

t t t t t t

I dt

t t t

t t dt



 

       

  

 

 

 

    



0,5

1

 

2 2

: 1

: 3 2 6 6 1

2 3 1 1 1

xy 4 9

S D x y

x y

S x y z z

A dS dxdy

 

      









 

0,5

(4)

III

2 2

: 1

7 7 7

6 6. 6

D xxy y

dxdy  

 





  ^0,5

2 ^a⁾ ^rotF^{} ^



^{0 0}^

 

ⁱ^^ ⁶^z^⁶^{z j}

 

^^{ }^{0 0}



^k^{ }^⁰ ^0,5

2

: , 0 2, 0 3

) 3 6 6 6

S y x x z

b W z dydz dzdx xzdxdy xdxdydz

      





  



^0,5

2 2 3

0 0 0

6

x

xdx dy dz



  

^0,5

2 3 0

18 x dx 72





 ^0,5

IV 1

Phương trình đặc trưng ² 6 8 0 ² 4 k k k

k

 

     

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là Y C e ₁ ²^xC e₂ ⁴^x

0,5

Phương trình y^''6y^'8y x có nghiệm riêng dạng y^* Ax B Thay vào phương trình và đồng nhất hệ số ta có

*

1

8 1 8 1 3

6 8 0 3 8 32

32 A A

y x

A B

B

 

     

   

  



0,5

Phương trình y^''6y^'8y3cosx có nghiệm riêng dạng

** cos sin

y A x B x

Thay vào phương trình và đồng nhất hệ số ta có

**

21

7 6 3 85 21cos 18s in

6 7 0 18 85 85

85 A B A

y x x

A B

B

 

  

    

   

   



Vậy NTQ của phương trình ban đầu là

* ** 2 4

1 2

21 18 1 3

cos sin

85 85 8 32

x x

y Y y  y C e C e  x x x

0,5

2

 

100 100

kdt kdt

kt kt kt

dP kP P t e e C

dt

e e C Ce

k k

  



 

 

      

 

    



0,5

   

2

100 2100 0 2100

2 2500 100

k 2500

P C k

P Ce

k

  

  

 

  

   



0,5

4398.9 0.0435 C

k

 

  

 

³⁵⁰⁰ ^6.35

P t   t

Vậy sau khoảng 6.35 năm thì dân số thành phố đạt 3500 người.

0,5

(5)