Tập giá trị và GTLN – GTLN của hàm số lượng giác - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên miền DR .

a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ^{y f x}

 

^{trên D nếu}

 

0

 

0

, ,

f x M x D

x D f x M

  



  



b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{y f x}

 

trên D nếu

 

0

 

0

m, ,

f x x D

x D f x m

  



  



2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này

a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn :

2 2

1 sin 1 0 sin 1

1 cos 1 0 cos 1

x x

x x

     

 

 

    

 

b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.

c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số y 3 sinx Lời giải

Tập xác định D. Ta có:  1 sinx1  x 

1 sinx 1 x

      

 

3 1 3 sinx 3 1 x

        

4 y 2 x

    

Ta có: y4 khi sinx 1 và y2 khi sinx1 Vậy miny2 và maxy4.

Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số y3cos 2x5

TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

LINK NHÓM: Trang 2 Lời giải

Tập xác định D.

Ta có:  1 cos 2x   1 3 3cos 2x    3 3 5 3cos 2x     5 3 5 8 y 2 Vậy tập giá trị của hàm số y3cos 2x5 là ^{T   }



^{8; 2}



Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số ysin²x2 cos²x1 trên khoảng  Lời giải

Ta có: ^{ysin2 x2 cos2x 1 sin2x2 1 sin}



^{ 2x}



^{  1 3 sin2x}

Với x thì 0sin²x 1 0 sin² x 1   3 3 sin²x  3 1 2 Vậy tập giá trị của hàm số ysin²x2 cos²x1 trên  là ^{T }



^{2 ; 3}



Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số ¹ cos 1 y x



Lời giải ĐKXĐ:cos x-1  x  k2 . TXĐ:^D/



^k2



Ta có: 1 1

: 1 cos 1 0 1 cos 2

1 cos 2

x D x x

          x 



Ta có: 1

y 2 khi cos x1 .

Vậy, 1

miny 2 .

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 sin 1 P x 3

   

  Lời giải

Ta có: sin 1 2 sin 2 2 sin 1 1

3 3 3

x  x  x 

     

           

     

     

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin 1 x 3

 

  

 

  .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2017 cos 8 ¹⁰ 2016

y x 2017 

   

 

A. miny1 ; maxy4033 B. miny 1 ; maxy4033 C. miny1 ; maxy4022 D. miny 1 ; maxy4022

Lời giải Chọn B

Hàm số xác định trên 

Ta có 1 cos 8 ¹⁰ 1,

x 2017 x

 

      

  

2017 2016 2017 cos 8 10 2016 2017 2016,

x 2017 x

 

          

  .

1 2017 cos 8 10 2016 4033,

x 2017 x

 

        

  

Ta có y 1 khi cos 8 ¹⁰ 1 x 2017

 

  

 

 

; y4033 khi cos 8 ¹⁰ 1 x 2017

 

 

 

 

. Vậy miny 1 ; maxy4033.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y4 cos x là:

A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1.

Lời giải Chọn B

Tập xác định: ^D



^{0 ; }



^.

Ta có: ^{ 1 cos x 1 , x}



^{0 ; }



 

4 4 cos x 4, x 0;

       

Ta có y 4 khi cos x  1 và y4 khi cos x 1. Vậy miny 4 ; maxy4

Câu 3. Cho hàm số sin . y x 4

   

  Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. 1. B. 0 . C. 1. D.

4

 . Lời giải

Chọn C

Ta có: 1 sin 1

x 4

 

    

  . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số sin

y _x 4_

   

  là 1.

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos ² x2là:

A. 0 và 2 1 . B. 1 và 2 1 . C. 2 và 1 D. 1 và 1 Lời giải

LINK NHÓM: Trang 4 Chọn C

Ta có y 1 cos ²x 2 sin²x 2 sinx 2

Mặt khác 0 sinx    1 2 sinx   2 1   2 y 1 Ta có: y 2 khi sinx 0 và y 1 khi sinx 1

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1. Câu 5. Cho hàm số 2 sin 2

y x 3

    

  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. y 4 ,  x B. y4 ,  x  C. y0 ,  x  D. y2 ,  x  Lời giải

Chọn C

Ta có 1 sin 1 ,

x 3 x

 

      

  

2 2 sin 2 ,

x 3 x

 

        

  

4 2 sin 2 0 ,

x 3 x

 

        

  

Ta có: y4 khi sin 1 x 3

 

  

 

 

và y0 khi sin 0 x 3

 

 

 

 

Suy ra chọn đáp án C.

 MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2017 cos 8 ¹⁰ 2016 y _ x 2017 _

   

  .

Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên  .

Ta có : 1 cos 8 ¹⁰ 1 x 2017

 

    

  ,  x  2017 2017 cos 8 10 2017

x 2017

 

     

  ,  x  1 2017 cos 8 10 2016 4033

x 2017

 

      

 

,  x  Ta có y 1 khi cos 8 ¹⁰ 1

x 2017

 

  

 

  ; y4033 khi cos 8 ¹⁰ 1

x 2017

 

 

 

  .

Vậy miny 1; maxy4033.

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y2 cos²xsin 2x5.

Lời giải

Ta có y2 cos²xsin 2x5 cos 2xsin 2x6 2 cos 2 6 x 4

 

   

  .

Do 2 2 cos 2 2

x 4

 

    

  nên 2 6 2 cos 2 6 2 6

x 4

 

       

  .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos²xsin 2x5 là 6 2.

Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinxcosx. Tính PM m. Lời giải

Ta có in cos 2 si

s x x n x 4

y   

    

 

 .

Mà 2

1 sin 1 2 sin 2 2 2

4 4 2

2 M

x x P

m

  ^ ^

   

            

      

. Vậy P2 2.

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1

cos 2

y x

x

 

 . Lời giải

Cách 1 : cosx 2 0,  x . Vậy ^{sin 1 sin 1}



^{cos 2}



cos 2

y x x y x

x

     

 sinx ycosx 1 2y 0

     .

Ta có ¹²

 

²



^{1 2}



^{2 2 1 4 2 4 1 3 2 4 0 0 4}

y y y y y y y y 3

               .

Vậy miny0min.

Cách 2 : Ta có sin 1 0

0 min 0 sin 1

cos 2 0

x y y x

x

  

      

  



.

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y2 cos²x2 3 sin cosx x1. Lời giải

Cách 1:

2 cos2 2 3 sin cos 1

y x x x 2 cos²x 1 3 sin 2x2 cos 2x 3 sin 2x2

1 3

2 cos 2 sin 2 2

2 x 2 x

 

   

 

2 cos 2 2

x 3

 

   

  .

Mặt khác 0 2 cos 2 2 4

x 3

 

    

 

,  x  0 y4,  x . Cách 2:

2 cos2 2 3 sin cos 1

y x x x 2 cos²x 1 3 sin 2x2 cos 2x 3 sin 2x2

 

^*

Ta có  1 3 2 y 1 3 2 0y4.

LINK NHÓM: Trang 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất mcủa hàm số ysin²x2 cos² x.

A. M 2, m0. B. M 2, m1. C. M 3,m1. D.M 3, m0.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{ysin2x2 cos2x}



^{sin2xcos2x}



^{cos2x 1 cos2x.}

Do  1 cosx 1  0 cos x 1²   1 cos x² 2. Suy ra 2 1 M m

 

 



.

Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y8sin²x3cos 2x. Tính Tính P2M m².

A. P1. B. P2. C. 112. D. P130.

Lời giải Chọn A

Ta có: ^{y8sin2x3cos 2x8sin2 x3 1 2 sin}



^{ 2x}



^{2 sin2x3.}

Mà  1 sinx1 0 sin²x  1 3 2sin²x 3 5 3 y5. Suy ra: 5 3 M m

 

 



. Do đó: P2Mm² 1.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y3sinx4 cosx1.

A. maxy8, miny 6. B. maxy4, miny 6. C. maxy6, miny 8. D. maxy6, miny 4.

Lời giải Chọn B

Ta có y3sinx4 cosx 1 3sinx4 cosx y1

 

^*

Ta coi

 

* như là phương trình cổ điển với a3, b4, c y1.

Phương trình

 

* có nghiệm khi và chỉ khi ^{a2b2 c2 9 16 }



^y1



^{2   6 y4.}

Vậy maxy4, miny 6. Chú ý:

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau:



^{2 2}



^{2 2}



1 3sin 4 cos 3 4 sin cos 5

y  x x   x x  .

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ysin² xsinx2. A. min ⁷; max 4

y4 y . B. min ⁷; max 2

y 4 y .

C. miny 1; maxy1. D. min ¹; max 2 y 2 y . Lời giải

Chọn A

Đặt sinxu; ^{u }



^1;1



^.

Xét hàm số: yu² u 2 trên



^1;1



^.

Ta có: ¹



^1;1



2 2

b a

    . Từ đây có bảng biến thiên

Ta kết luận:

 

 

1;1

min 7 f u 4

  và

 1;1

maxy 4 u 1

     .

Hay min ⁷ sin ¹

4 2

y  x và maxy4sinx 1.

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ^{sin 2 cos 3} 2 cos

x x

y x

 

 

A. min ²

y 3; maxy2 B. min ²

y3; maxy2. B. min ¹

y 2; max ³

y 2. D. min ¹

y 2; max ³ y 2. Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có cosx20,  x . sin 2 cos 3

2 cos

x x

y x

 

  sinx2 cosx 3 2yycosx ^sinx



^2y



^{cosx 3 2y0.}

Ta có: ^12



^2y



^{2 }



^{3 2 y}



^{2 4y212y 9 y24y  4 1 0 3y28y 4 0 2 2}

3 y

   . Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: ^{sin x 2 cos x 3} 2 2 cos x

 

  thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp

max 3

 2.

Lúc này chỉ còn A và B. Thử với min y ²

 3 thì không có nghiệm.

LINK NHÓM: Trang 8

 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3cos 2 y x 3

   

 

Lời giải

Vì 1 cos 1

x 3

 

    

  nên 3 3cos 3 3 2 3 2 1 5

x 2 y y

 

              

  .

Vậy tập gái trị của hàm số là



^1;5



^.

Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y 3 2 sin 2 x. Lời giải

Ta có:  1 sin 2x   1 2 2 sin 2x2  1 3 2 sin 2x  5 1 3 2 sin 2 x  5. Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5 

 .

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y4 sin cosx x1. Lời giải

Ta có y2 sin 2x1.

Do  1 sin 2x   1 2 2 sin 2x2  1 2sin 2x 1 3 1 y 3

    .

* 1 sin 2 1 2 2

2 4

y x x  k x  k

 

             .

* 3 sin 2 1

y x x 4 k



      .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , đạt được khi

x 4 k



  .

giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi

x 4 k



   .

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y 4 3sin 2² x. Lời giải

Ta có: 0sin²x   1 1 4 3sin²x4.

* 1 sin² 1 cos 0

y x x x 2 k



        .

* y4sin² x0xk .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi xk . giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi

x 2 k



  .

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 sinx3. Lời giải

Ta có 12 sinx 3 5 1 y 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng maxy 5, đạt được khi sin 1 2

x x 2 k



    . Giá trị nhỏ nhất bằng miny1, đạt được khi 1 2

x x 2 k



      . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau 1 3sin 2

y  x 4

    

 

.

A.



^{2; 4}



^{. B.}



^{2; 2}



^{. C.}



^{1; 4}



^{. D.}



^2;3



^.

Lời giải Chọn A

Ta có: 1 sin 2 1 3 3sin 2 3 2 1 3sin 2 4

4 4 4

x  x  x 

     

                 

      .

2 y 4

    .

Vậy tập giá trị của hàm số là



^{2; 4}



^.

Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 cos 3 3 y  x 3

   

 

A. miny2,maxy5. B. miny1,maxy4. C. miny1,maxy5. D. miny1,maxy3.

Lời giải Chọn C

Ta có: 1 cos 3 1 2 2 cos 3 2 1 2 cos 3 3 5 1 5

3 3 3

x  x  x  y

     

                   

      .

miny1 đạt được khi ^{4 2}

9 3

x  k 

  .

maxy5 đạt được khi ²

9 3

x  k 

  .

Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos²x1 A. maxy1,miny 1 3. B. maxy3, miny 1 3. C. maxy2,miny 1 3. D. maxy0, miny 1 3.

LINK NHÓM: Trang 10 Lời giải

Chọn D

Ta có 1 2 cos²x 1 3 1 3 y0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng maxy0, đạt được khi

x 2 k



  . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng miny 1 3, đạt được khi xk . Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2

y  x 4

    

 . A. miny 2,maxy4. B. miny2,maxy4. C. miny 2,maxy3. D. miny 1,maxy4.

Lời giải Chọn A

Ta có: 1 sin 2 1 2 4

x 4 y

 

        

 

 2 sin 2 1

4 8

y x  x  k

  

          

  miny 2

 3

4 sin 2 1

4 8

y x  x  k

  

       

  maxy4

Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 cos 3² x A. miny1,maxy2. B. miny1,maxy3. C. min y2,maxy3. D. miny 1,maxy3.

Lời giải Chọn C

Ta có: 0cos 3² x  1 1 y3.

 1 cos 3² 1

3

y x x k

     miny1.

 3 cos 3² 0

6 3

y x x  k

      maxy3.

 MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin² 4 y x 12 

   

 

Lời giải

Ta có sin² 1 3sin² 3 3sin² 4 7

12 12 12

x  x  x 

     

        

     

      .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 .

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{2sin2 xsin 2x10.}

Lời giải

Ta có ^{f x}

 

^{2sin2xsin 2x10 11 sin 2 xcos 2x 11 2 sin 2}

x 4

 

    

 .

Do 1 sin 2 1

x 4

 

    

  2 2 sin 2 2

x 4

 

     

 

nên 11 2 sin 2 11 2

x 4

 

    

 

. Dấu "'' xảy ra khi sin 2 1 ³

4 8

x  x  k

  

      

 

 

,



^k



^{. Vậy max f x}

 

^{11 2.}

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos²xsin 2x5. Lời giải

Ta có y2 cos²xsin 2x5 cos 2xsin 2x6 2 cos 2 6 x 4

 

   

  .

Do 2 2 cos 2 2

x 4

 

    

  nên 2 6 2 cos 2 6 2 6

x 4

 

       

  .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos²xsin 2x5 là 6 2.

Bài 4. Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số ^y



^{2 3 sin}



^{xcosx. Tính}

M m.

Lời giải

Ta có: ^



^{2 3}



^{2 1}



^{2 3 sin}



^xcosx



^{2 3}



^21.

Vậy M m0. Bài 5. Cho hàm số ¹²

7 4 sin

y x

 có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn ;⁵ 6 6

 

 

 

 . Tìm

, M m.

Lời giải Ta có:

5

6 x 6

 

   1

sin 1

2 x

    1

1 sin x 2

        4 4 sinx2374 sinx9

4 12

3 7 4 sinx 4

  

 . Hay ⁴ 4

3 y .

LINK NHÓM: Trang 12 Vậy M 4, ⁴

m 3.

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 sinx trên đoạn ;⁵ 6 6

 

 

 

 . Lời giải

2 cos 0

y x x 2 k



      , k.

Với ;⁵

6 6 x   

  

  suy ra:

x 2

 .

6 1 y_  _

  

 

  , 2

y_2_

 

  , ⁵ 1 y_ 6 _

 

  .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

 MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số y 3 sinxcosx2.

A. 2; 3. B.  3 3; 3 1  . C.



^4;0



^{. D.}



^2;0



^.

Lời giải Chọn C

Xét y 3 sinxcosx2 2 sin .cos cos .sin 2

6 6

x  x 

 

   

  2 sin 2

x 6

 

   

  .

Ta có 1 sin 1

x 6

 

    

  4 2 sin 2 0

x 6

 

      

    4 y0 với mọi x. Vậy tập giá trị của hàm số là



^4;0



^.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số ^{sin 2 cos 1} sin cos 2

x x

y x x

 

   là

A. ¹

m 2; M 1. B. m1; M 2. C. m 2; M 1. D. m  1; M 2. Lời giải

Chọn C

Ta có ^{sin 2 cos 1}



^{1 sin}

 

^{2 cos}



^{1 2}

sin cos 2

x x

y y x y x y

x x

 

      

 

 

^{* .}

Phương trình

 

* có nghiệm ^



^y1



^2



^y2



^{2 }



^{1 2 y}



^{2  y2   y 2 0  2 y1.}

Vậy m 2; M 1.

Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số ¹² 7 4 sin

y x

 trên đoạn ;⁵

6 6

 

 

 

 

là

A. ¹²

M  5 ; ⁴

m 3. B. M 4; ⁴

m 3. C. ¹²

M  5 ; ¹²

m 7 . D. M 4; ¹² m11. Lời giải

Chọn B

Do ;⁵ sin ¹;1 ¹² 0

6 6 2 7 4 sin

x x y

x

 

   

         ;

12 7 12 1 4

7 4 sin 12 sin ;1 ; 4

7 4 sin 4 2 3

y y y x x y y

x y

    

           .

Do đó ₁

   

2;1

max 1 4

M f t f

 

 

 

   và

 

1;1 2

1 4

min 2 3

m f t f

 

 

 

 

   

  .

Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx trên đoạn ;

2 3

 

 

 

 

  lần lượt là A. ¹

2; ³

 2 . B. ³

 2 ; 1. C. ³

 2 ; 2. D. ²

 2 ; ³

 2 . Lời giải

Chọn B Ta có:

2 x 3

 

    sin sin sin

2 x 3

 

   

     

   

1 sin 3 x 2

     .

Vậy

2; 3

max sin 3

3 2

  y



 

 

 

 

 

   

  ;

2; 3

min sin 1

y 2

 



 

 

 

 

 

   

  .

Câu 5. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{2 cos 1} cos 2 y x

x

 

 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M 9m0. B. 9M m0. C. 9M m0. D. M m0. Lời giải

Chọn C

Ta có ^{2 cos 1} 2 ⁵

cos 2 cos 2

y x

x x

   

  .

Mà  1 cosx1  3 cosx2 1 ^{5 5} 5 3 cosx 2

   

  ¹ 2 ⁵ 3

3 cosx 2 

 

1 3

3 y  .

Vậy ¹

M 3 và^{ 1 cosx1} 9M m0.

LINK NHÓM: Trang 14

 MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2020 cos 8 ¹⁰ 2021 y  x 2019 

   

  .

Lời giải

Ta có 1 cos 8 ¹⁰ 1,

x 2019 x

 

      

  .

Nên 2020 2020 cos 8 ¹⁰ 2020 x 2019

 

    

 

1 2020 cos 8 10 2021 4041 x 2019

 

     

  .

Vậy miny1 đạt được khi cos 8 ¹⁰ 1 x 2019

 

  

 

  ,

maxy4041 đạt được khi cos 8 ¹⁰ 1 x 2019

 

 

 

  .

Bài 2. Tìm GTNN của hàm số ycosx 2 cos ²x.

Lời giải Ta có cosx 1, dấu “” xảy ra khi cosx 1. (1)

Mặt khác 0cos² x    1 1 cos² x0  1 2 cos²x2. 2 cos2x 1

   , dấu “” xảy ra khi cosx 1. (2) Từ (1) và (2) ta có cosx 2 cos ²x 0.

Suy ra miny0, đạt được khi ^{cosx  1 x k2}



^k



^.

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ycos 2x 3 sin 2x2. Lời giải

Ta có

1 3

cos 2 3 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2

2 2

y x x  x x

      

 

2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos 2 2

3 x 3 x x 3

  

   

       

   

.

Mặt khác 1 cos 2 1 2 2 cos 2 2 0 2 cos 2 2 4

3 3 3

x  x  x 

     

                

      .

Vậy miny0 đạt được khi cos 2 1 x 3

 

  

 

  , maxy4 đạt được khi cos 2 1 x 3

 

 

 

  .

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos²x2 3 sin .cosx x1 trên đoạn 0;⁷ 12

 

 

 .

Lời giải

Ta có cos 2 3 sin 2 2 2 cos 2 2

y x x  x 3

      

  .

Đặt 2 t x 3

  . Theo giả thiết 0;⁷ ;³

12 3 2

x   t  

   

   

.

Ta lập BBT của hàm số ^{f t}

 

^{2 cost2 trên ;3}

3 2

 

 

 

 .

Từ bảng biến thiên ta có _{7 3}

 

0; ;

12 3 2

min y min f t 0

  

   

   

   

  , đạt được khi

t x 3



  

 

7 3

0; ;

12 3 2

maxy max f t 3

  

   

   

   

  ,

đạt được khi 0

t 3 x

  

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ycos² xcosx2. Lời giải

Đặt cosxt; ^{t }



^1;1



Xét hàm số bậc hai: ^{f t}

 

^{t2 t 2 trên}



^1;1



^.

Ta có: ¹



^1;1



2 2

b a

    . Từ đây có bảng biến thiên

Ta kết luận:

 

 

1;1

min min 7 y f t 4



  , đạt được khi cos ¹

x2;

 

 

1;1

maxy max f t 4



  , đạt được khi cosx 1.

LINK NHÓM: Trang 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2 sin²xcos 2² x. A. maxy4,min ³

y4. B. maxy3,miny2.

C. maxy4,miny2. D. maxy3,min ³

y4. Lời giải

Chọn D

Đặt tsin² x, 0  t 1 cos 2x 1 2t.

 

2

2 2 1 3

2 1 2 4 2 1 2

2 4

y t t t t  t 

          

  .

Cách 1: Do

1 1 3 1 2 9

0 1 2 0 2

2 2 2 2 4

t t  t 

           

 

3 3

4 y

   . Cách 2: Có y'8t2 ^{0 1}



^0;1



y t 4

     .

Ta có: ^y

 

^{0 1; 1 3}

4 4

y 

 

  ; ^y

 

^{1 3.}

Vậy maxy3 đạt được khi

x 2 k



  . min 3

y4 đạt được khi sin^{2 1 1 cos 2 1}

4 2 4

x  x

   .

cos 2 1 2 2

2 3 6

x x  k x  k

 

          .

Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ^{ytan2xcot2 x3 tan}



^xcotx



^1.

A. miny 2. B. miny 4. C. miny 5. D. miny 1. Lời giải

Chọn C

Ta có: ^y



^tanxcotx



^{23 tan}



^xcotx



^3.

Đặt tan cot ² 2

sin 2

t x x t

   x   .

Suy ra ^{yt23t 3 f t}

 

^.

Bảng biến thiên

Vậy miny 5 đạt được khi

x 4 k



   .

Câu 3. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ysinx 2 sin ²x là M , m. TínhM m.

A. 3. B. 4. C. 6 . D. 2.

Lời giải Chọn D

Ta có y 1 sinx0 ,x và y²  2 2sinx 2 sin ² x. Mà 2 sinx 2 sin ²x sin² x 2 sin²x2.

Suy ra 0 y² 40y2.

Vậy miny0 đạt được khi 2 x 2 k



   . maxy2 đạt được khi 2

x 2 k



  . Vậy M 2,m0 hay M m2.

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ^{sin 2 cos 3} 2 cos

x x

y x

 

  .

A. min ²; max 2

y 3 y . B. min ²; max 2

y3 y . C. min ¹; max ³

2 2

y y . D. min ¹; max ³

2 2

y  y . Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có cosx 2 0,  x . sin 2 cos 3

2 cos

x x

y x

 

  sinx2 cosx 3 2yycosx ^{s inx}



^2y



^{cosx2y3}

Ta có



^2y3



^{2 }



^{s inx}



^2y



^cosx



^{2 }



^1



^2y



²

 s in2xcos2 x 5 4yy2

2 2

4y 12y 9 y 4y 5 0

       3y²8y 4 0 2 3 y 2

  

Cách 2: (dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos).

Ta có cosx 2 0,  x . sin 2 cos 3

2 cos

x x

y x

 

  ^{sinx2 cosx 3 2yycosx sinx}



^2y



^{cosx 3 2y0}

Ta có ^12



^2y



^2



^{3 2 y}



^{2 4y212y 9 y24y  4 1 0 3y2 8y 4 0 2 2}

3 y

   .

Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay.

LINK NHÓM: Trang 18 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: ^{sin 2 cos 3} 2

2 cos

x x

x

 

  thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp

max 3

 2.

Lúc này chỉ còn A và B Thử với min ²

y 3 thì không có nghiệm.

Từ đây chọn B.

Câu 5. Cho hàm số ^{h x}

 

^{ sin4 xcos4 x2 sin .cosm x x}. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là

A. ^{1 1}

2 m 2

   . B. 0 ¹

m 2

  . C. ¹ 0

2 m

   . D. ¹ m2. Lời giải

Chọn A

Xét hàm số ^{g x}

 

^



^sin2x

 

^{2 cos2 x}



^{2msin 2x}



^{sin2 x cos2 x}



^{2 2sin2 xcos2x msin 2x}

   

1 2

1 sin 2 sin 2

2 x m x

   .

Đặt tsin 2x ^{  t}



^1;1



^.

Hàm số ^{h x}

 

xác định với mọi x ^{g x}

 

^{0, x  1 2 1 0,}



^1;1



2t mt t

       

 

2 2 2 0, 1;1

t mt t

       . Đặt ^{f t}

 

^{t22mt2 trên}



^1;1



^.

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy

 

   

1;1

max f t f 1

  hoặc

 

   

1;1

max f t f 1

   .

Ycbt ^{f t}

 

^{t22mt 2 0,   t}



^1;1



 

 

1;1

max f t 0



 

 

 

1 0

1 0

f f



 

 



1 2 0

1 2 0

m m

  

   

1 1

2 m 2

    .

 MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx. Lời giải

Điều kiện xác định: sin 0

cos 0

x x

 

 



.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sinx cosx và cosx sinx ta có : sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x 1 1

2 sin 2 sin 2 0

2 2

y x x

   .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 0 2 , ,

2

x x k k x k k



     

.

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số s inx 2 cos 3 2 cos y x

x

 

 

.

Lời giải Ta có: cosx20, x R.

Khi đó: s inx 2 cos 3 2 cos y x

x

 

  ^{s inx2 cosx 3 2y ycosx s inx}



^2y



^{cosx 3 2y0 *}

 

Phương trình

 

* có nghiệm ^12



^2y



^{2 }



^{3 2 y}



²

2 2

4y 12y 9 y 4y 4 1 0

        3y² 8y 4 0 2 3 y 2

   .

Vậy 2

min ; max 2

y 3 y

.

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pcot⁴acot⁴b2 tan²a. tan²b2. Lời giải

Ta có:

 

   

   

   

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

cot cot 2 cot .cot 2 tan .tan 2

cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 6

cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 cot .cotb.tan .tan 6

cot cot 2 cot .cot tan .tan 6 6

P a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a a b

a b a b a b

    

     

     

     

Vậy miny6, đạt được khi

2 2 2

2

cot 1

cot cot

cot .cot tan . tan cot 1

a b a

a b a b b

 

  

 

  

 

, ( )

4 2

a b  k k

    

.

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 ² 1 ²

1 os 5 2 sin

2 2

y  c x  x.

Lời giải

LINK NHÓM: Trang 20

Ta có 1 ² 1 ² 1 ² 5 1 ²

1 os 5 2sin 1 os sin

2 2 2 4 2

y  c x  x  y  c x  x

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1 ²

1 os

2c x

 ; 5 1 ²

42sin x ta có:

2 2 2 2 2 2

1 5 1 1 5 1 9 1 22

1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2.

2c x 4 2 x 2c x 4 2 x 4 2.1 2

           .

Vậy min ²²

y 2 , xảy ra khi 1 ² 5 1 ²

1 os sin ,

2c x 4 2 x x 6 k k



       .

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ysin⁴xcos⁴xsin cosx x. Lời giải

Ta có ysin⁴xcos⁴xsin cosx x  y 1 2sin²xcos²xsin cosx x 1 ² 1

1 sin 2 sin 2

2 2

y x x

   

2 2

1 1 1 9 1 1 9

1 sin 2 sin 2

2 2 4 8 2 2 8

y  x   y  x 

             

   

 

 

. Vậy max ⁹

y8

,

đạt được khi 1 sin 2

x 2.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho x y z, , 0 và

x y z 2

   . Tìm giá trị lớn nhất của

1 tan .tan 1 tan . tan 1 tan .tan

y  x y  y z  z x

A. y_max  1 2 2. B. y_max 3 3. C. y_max  4. D. y_max 2 3. Lời giải

Chọn D

Ta có ^tan

 

^tan

2 2 2

x y z  x y  z x y  z

            

 

tan tan 1

1 tan . tan tan

x y

x y z

  

 tan . tanx z tan . tany z 1 tan . tanx y

     tan . tanx ztan . tany ztan . tanx y1 Ta thấy tan .tan ; tan . tan ; tan . tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho.

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1. 1 tan .tan x y1. 1 tan . tan y z1. 1 tan .tan z x 

     

2 2 2

1 tan .tan 1 tan . tan 1 tan .ta

1 1 1 .  x z   y z   x ny

  



^{tan . tan tan . tan tan . tan}



²

3 3 x z y z x y 3

   .

Vậy y_max 2 3.

Câu 2: Hàm số 2 3 1 tan



²



3cot 2

tan

y x x

x

   đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 1. B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 0.

Lời giải Chọn A

Ta có

1 tan2

cot 2

2 tan x x

x

  .

Từ đó suy ra 2 2 3 1 tan



²



2

3cot 2 3cot 2 2 3 cot 2

2 tan

y x x x x

x

    



^{3 cot 2x 1}



^{2 1 1, x}

      .

Vậy 1

min 1 cot 2

3 y   x . Câu 3: Hàm số 2 cos sin

y x _x 4_

    

  đạt giá trị lớn nhất là

A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Lời giải

Chọn C Ta có:

2 cos sin 2 cos 1 2 sin

4 2 4

y x _x  _ x _x  _

        

    ^{2 cos 1}



^{sin cos}



2

x x x

  

1 1

2 cos sin

2 x 2 x

 

   

 

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

2 2

2 1 1 2

2 5 2 2

2 2

y     y

       

   

. Do đó  5 2 2 y 5 2 2 .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2 .

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ^{sin 1} cos 2

m x

y x

 

 nhỏ hơn 2.

A. 3 . B. 5. C. 4. D. 6 .

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{sin 1} cos 2 sin 1 sin cos 2 1

cos 2

m x

y y x y m x m x y x y

x

         



 

^*

 

* có nghiệm khi ^{m2y2 }



^2y1



^{2 3y24y 1 m2 0}

2 2

2 1 3 2 1 3

3 3

m m

  y  

  

2

2 2

max

2 1 3

2 1 3 4 5

3

y   m m m

        .

Do mm  



2; 1;0; 2;1



. Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt.

Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ t của năm 2020 được cho bởi một hàm số

 

4 sin 60 10

y 178 t

   , với tZ và 0 t 366. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?.

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải

Chọn A

Vì ^sin



⁶⁰



^{1 4 sin}



⁶⁰



^{10 14}

178 t y 178 t

       .

Khi đó, ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất là

LINK NHÓM: Trang 22

   

14 sin 60 1 60 2 149 356

178 178 2

y  t  t  k t k



           .

Mà 0 366 0 149 356 366 ^{149 217}

356 356

t k k

          .

Vì k nên k0.

Với k  0 t 149 tức rơi vào ngày 28 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4có 30 ngày, riêng đối với năm 2020 là năm nhuận nên tháng 2có 29 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 366 thì ta biết năm này tháng 2 có 29 ngày).