50 bài tập về Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos 1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm:

a

²

 b

²

 c

². 2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos - Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho a² b² , ta được:

2 2 2 2 2 2

a b c

sin x cos x

a b a b a b

 

   ^(*)

* Đặt

2 2 2 2

a b

c ;

a

os sin

b a b

  

   ^với

  0;2  

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

2 2

sin x cos cos x sin c

a b

   



 

2 2

sin x c

a b

  

  . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt

2 2 2 2

a b

s ;

a

in cos

b a b

  

   với

  0;2  

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

2 2

sin x sin cos x cos c

a b

   



 

2 2

c a os x

b

c  

   . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

2 2

0 c 1

a b

 



2 2

c a b

    c² a²b².

Chú ý: Các công thức đặc biệt

sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4

 

   

       

(2)

sin x cos x 2 sin x 2 cos x

4 4

 

   

        

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)

sin 4x  3 cos 4x  2

b) 5sin2x +12cos2x = 13 c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a)

sin 4x  3 cos 4x  2 3 2

sin 4x cos 4x

2 2

1

2  



(1)

Đặt 1 3

cos ;sin

3 2 3 2

 

Khi đó (1) 2

sin 4x cos cos 4x sin

3 3 2

  



sin 4x 2

3 2

    

 

 



4x k2

3 4

4x k2

3 4

     

 

 

      



4x k2

12 4x 5 k2

12

     

 

   



x k

48 2

(k )

5 k

x 48 2

 

   

 

 

  



Vậy họ nghiệm của phương trình là:

k 5 k

x ; x ; k

48 2 48 2

   

     

.

b)

5sin 2x 12cos 2x 13   5 12

sin 2x cos 2x 1

13 13

  

(2)

Đặt

5 12

cos ; sin

13 13

   

với

  0;2  

Khi đó (2)

 sin 2x cos   cos 2xsin   1

 

sin 2x 1

   

 

2x k2 k

2

       

(3)

 

2x k2 k

2

       

 

x k k

2 4

        

x k ; k 2 4

       

với

5 12

cos ; sin

13 13

   

. c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

1 cos 2x

sin 2x 1 0 2

    

1 cos2x 2sin 2x 2 0

    

cos 2x 2sin 2x 3

  

Ta thấy: 1² + 2² < 3². Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)

3sin3x  3 cos9x 1 4sin 3x  

³ b) cos3xsin 5x 3(cos5xsin 3x)

Lời giải a)

3sin3x  3 cos9x 1 4sin 3x  

³

3sin3x 4sin 3x

3

3 cos9x 1

   

sin9x 3 cos9x 1

  

1 3 1

sin 9x cos9x

2 2 2

  

sin 9x.cos cos9x.sin 1

3 3 2

 

  

sin 9x 1

3 2

 

   

9x k2

3 6

9x k2

     

 

 

      



9x k2

2

9x 7 k2

    

  

    



 

x k2

18 9 7 k2 , k x

 

  

   

 

  



(4)

k2 x 18 9

 

 

;

7 k2

x 54 9

 

 

;

 k  

b) cos3xsin 5x 3(cos5xsin 3x)

cos3x sin5x 3 cos5x 3sin3x

   

cos3x 3sin3x 3 cos5x sin5x

   

1 3

cos3x sin 3x cos5x sin 5x

2 2

3 1

2 2

   

3 3 6 i 6

cos3x cos  sin 3x sin  cos5x cos  sin 5x s n 

   

cos 3x cos 5x

3 6

 

   

      

6

3x 5x k2

3x 3 x

6

2 3

5 k

 

     

  

 

      



2x k2

8 k

6

x 2

2

    

  

    

 4

12 16

x k

(k ) x k

     

   

 

  



k

x k ; x ;

12 16 k

4

  

      

.

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải:

Điều kiện có nghiệm:

a

²

 b

²

 c

². - Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Lời giải Để phương trình có nghiệm:



^{m 1}^



² ^²² ^



^m^³



²

2 2

m 2m 1 4 m 6m 9

       8m 4

   m 1

   2

.

Vậy

1

m   2

thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

(5)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

Lời giải Để phương trình có nghiệm:



^{m 1}^



² ^^m² ^



^{m 1}^



²

2 2 2

m 2m 1 m m 2m 1

      

m

2

4m 0

  

 

m m 4 0

  

m 0 m 4 0 m 0 m 4 0

  

    

    

  

 

m 0 m 4 m 0 m 4

  

   

    

 

 

m 4 m 0

 

   

Vậy m4 hoặc

m  0

thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình

3sin 2x cos 2x 1 0   

là:

A. ^x ^k



^k



x k

3

  

  

   



B. ^x ^k₂



^k



x 2k

3

  

  

   

 C. ^x ^2k2



^k



x 2k

3

 

  

   



D. ^x ^k2



^k



x k

3

  

  

   



Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

 0;2 

của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5 B. 3 C. 6 D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình:

sin3x  3 cos3x  2cos5x

là:

A.

 

5 k

x 48 5 5 k

x k

12

 

  

 

 

    



B.

 

5 k

x 48 4 5 k

x k2

12

 

  

 

 

    



C.

 

5 k

x 48 4 5 k

x k

 

  

 

  

   



D.

 

5 k

x 48 4 5 k

x k

 

  

 

 

    



(6)

Câu 4. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

cos x sin 2x

²

  2  sin x

² trên khoảng

 0;2 

^.

A.

3 4



B.

7

8



C.

21

8



D.

11

4



Câu 5. Họ nghiệm của phương trình: 3(sin 2xcos5x)sin 5xcos 2x là:

A.

 

x k2

6 3 k

x k2

6 7

 

  

 

  

   



B.

 

x k2

6 3 k

x k

6 7

 

  

 

  

  



C.

 

x k2

6 3 k

x k2

6 7

 

  

 

  

  



D.

 

x k

6 3 k x k

6 7

 

  

 

  

  



Câu 6. Các nghiệm của phương trình 1+ sin2x = cos 2x là:

A.

x k2 ; x k2 ;k 3

      

B.

x k2 ; x k2 ;k 4

      

C.

x k ; x k ;k 4

       

D.

x k ; x k ;k

3 2

 

      

Câu 7. Số nghiệm thuộc khoảng

  0; 

của phương trình sinx(sinx + 2cosx) = 2 là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 8. Tổng các nghiệm thuộc khoảng

   ; 

của phương trình

sin x  cos x  2 2 sin x cos x

là:

A.  B.

3

4



C.

4



D.

2



Câu 9. Họ nghiệm của phương trình: ^{4 sin x}



⁴ ^^{cos x}⁴



^ ^{3 sin 4x}^²^là:

A.

 

x k

4 7

k k

x 12 7

 

  

 

  

   



B.

 

x k

4 5

k k

x 12 5

 

  

 

  

   



(7)

C.

 

x k

4 3

k k

x 12 3

 

  

 

  

   



D.

 

x k

4 2 k

x k

12 2

 

  

 

  

   



Câu 10. Họ nghiệm của phương trình:

cos x

₂

2sin x.cos x 2cos x sin x 1 3

 

 

^là:

A.

k

x , k

18 3

 

  

B.

k2

x , k

18 3

 

  

C.

k

x , k

18 3

 

   

D.

k2

x , k

18 3

 

   

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm.

A.

5 5

2 m 2

  

B.

5

m   2

C.

5

m  2

D.

5 5

2 m 2

  

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin²x – sin2x + cos2x = 0 có nghiệm?

A. 12 B. 13 C. 11 D. 10

Câu 13. Phương trình

2sin x cos x  3 cos 2x   m 0

có nghiệm khi và chỉ khi:

A.   2 m 2 B.   2 m 2 C. m2 D.

2 m 2

  

Câu 14. Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – 1 vô nghiệm.

A.

m 

B. 1

m ( ;0] ;

2

 

   

C.

1

0 m

  2

D.

1

0 m

  2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3 sin 3xcos3x2. Giá trị của M, m là:

A. M = 4; m = 0 B. M = 2; m = -2 C.

5 3

M ;m

2 2

 

D. M = 3; m = 1

Bảng đáp án

(8)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D D D D C C A B D D D A B D A