Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số Chú ý 1:

(1)

ÔN TẬP THI HỌC KÌ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ

1) 1

A^{xác định}A 0  2) A xác định  A 0

3)

¹

A ^{xác định}A 0

Chú ý 2:

1)

^{Hàm số}^{y = sinx}

TXĐ: D =

Tập giá trị:T = -1;1  2) Hàm số y cos x=

TXĐ: D =

Tập giá trị:T = -1;1  3) Hàm số y = tanx

TXĐ: π

D = \ +kπ, k 2

  

 

 

Tập giá trị T = 4) Hàm số y = cotx

TXĐ: D = \ kπ, k







Tập giá trị T =

Các giá trị đặc biệt:

sinx = 1 x = π + k2π, k

 2  π

sinx = -1 x = - + k2π, k

 2 

cosx = 1 x = k2π, k cosx = -1 x = π + k2π, k

Dạng 2: Phương trình lượng giác cơ bản

 = + 

=   =  − +  u v k2 sin u sin v

u v k2

 = + 

=   =− +  u v k2 cos u cos v

u v k2

(2)

( )

 = + 

=   =  − +  



u arcsin a k2

sin u a k

u arcsin a k2

−   ( 1 a 1)

 = + 

=   = − +  u arccosa k2 cos u a

u arccosa k2

−   ( 1 a 1) tan u = tan v  = +  u v k

ĐK: u,v k

2

 + 

tan u a =  = u arctana k + 

cot u cot v =  u v k = + 

ĐK: u,v  k

cot u =  = a u arccota k + 

Dạng 3: Phương trình bậc hai theo một hàm lượng giác

Dạng Cách giải

asin u bsin u c2 + + =0(1) (

a  0

, u: biểu thức theo x)

- Đặt: t = sinu (đk:

−   1 t 1

).

- (1)at²+bt c+ =0 (1’)

- Giải (1’), tìm nghiệm t, sau đó giải phương trình:

sinu = t để từ đó tìm x.

a cos u bcos u c2 + + =0(2) (

a  0

- Đặt: t = cosu (đk:

−   1 t 1

).

- (2)  at²+bt c+ =0 (2’)

cosu = t để từ đó tìm x.

a tan u b tan u c2 + + =0(3) (

a  0

- Đặt: t = tanu.

- (3)  at²+bt c+ =0(3’)

tanu = t để từ đó tìm x.

a cot u bcot u c2 + + =0 (4) (

a  0

- Đặt: t = cotu.

- (4)  at²+bt c+ =0(4’)

cotu = t để từ đó tìm x.

Dạng 4: Phương trình có dạng a.sin u b.cos u c + =

Cách giải

 Chia hai vế phương trình cho a²+b² ta được:

+ =

+ + +

2 2 2 2 2 2

a b c

sin u cos u (*)

a b a b a b

Đặt: ^{ =} ^{ =}

(

^{ }^ ^^

)

+ +

2 2 2 2

a b

cos , sin 0, 2

a b a b

(*) trở thành: +  =

+

2 2

sin(u ) c (2)

a b

(3)

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:

² ² ²

2 2

c 1 a b c .

a b

  + 

+

(2) ^ ^{sin u}

(

^{+  =}

)

^sin^

 =  −  + 

   =  −  −  + 

u k2

(

^k^

)

^.

Từ đó tìm x.

Dạng 5: Quy tắc đếm (cộng, nhân)

A. Quy tắc cộng:

Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo n phương án khác nhau (nghĩa là n trường hợp làm độc lập với nhau), ứng với

Trường hợp 1: có m₁ cách thực hiện Trường hợp 2: có m₂ cách thực hiện Trường hợp 3: có m₃ cách thực hiện

…v…v…

Trường hợp n: có m_n cách thực hiện Khi đó, số cách để làm xong công việc V sẽ là:

1 2 3 n

m +m +m + +m

B. Qui tắc nhân:

Giả sử muốn hoàn thành công việc V phải trải qua n giai đoạn làm liên tiếp nhau là:

Giai đoạn 1: có m₁ cách thực hiện Giai đoạn 2: có m₂ cách thực hiện Giai đoạn 3: có m₃ cách thực hiện

…v…v…

Giai đoạn n: có m_n cách thực hiện

Khi đó, số cách làm xong công việc V đã cho sẽ là: m .m .m ...m₁ ₂ _n _n

Dạng 6: Hoán vị-chỉnh hợp-tổ hợp

A. Hoán vị

Cho một tập hợp A có n phần tử (n 1 ). Khi sắp xếp n phần tử này vào n vị trí theo một thứ tự thì ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

(4)

Kí hiệu: P_n (số các hoán vị từ n phần tử của tập A) Công thức: P_n =n!

Với

n! 1.2.3.4.5 (n 1).n = −

B. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k (

1 k n  

). Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Kí hiệu: A^k_n (số các chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A) Công thức:

( )

= −

k n

A n!

n k !

(hay A^kn ⁼n n 1 . n 2

(

⁻

) (

⁻

) (

^ n k 1⁻ ⁺

)

) C. Tổ hợp:

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k (

1 k n  

). Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

• Kí hiệu: C^k_n (số các tổ hợp chập k của n phần tử của tập A)

• Công thức:

k

k n

n

C A

= k! hay

( )

k n

C n!

k! n k !

= − () (thường dùng)

Tính chất Ví dụ

0 n

n n

C =1 ; C =1 C⁰₁₀ =1 , C¹⁰⁰₁₀₀ =1

1

Cn =n C¹₉₉ =99

k n k

n n

C =C ⁻

(0 k n)  

C⁹⁹₁₀₀ =C¹₁₀₀ =100

k 1 k k

n n n 1

C ⁻ +C =C ₊

(1 k n)  

C⁰₅+C¹₅ =C¹₆ ; C⁹_n+C¹⁰_n =C¹⁰_{n 1}₊

Dạng 7: Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton:

(

a b⁺

)

ⁿ ⁼C a⁰n ⁿ⁺C a¹n ^{n 1}⁻ b⁺ ⁺C a^kn ^{n k}⁻ .b^k⁺ ⁺C a.b^{n 1}n⁻ ^{k 1}⁻ ⁺C .bⁿn ⁿ

Hay:

( )

ⁿ ⁿ ^kn ^{n k} ^k k 0

a b C a ⁻ .b

=

+ =



(qui ước:

a

⁰

= b

⁰

= 1

) Chú ý: C a^k_n ^{n k}⁻ .b^k: số hạng tổng quát (hay là số hạng thứ k + 1);

(5)

Dạng 8: Biến cố và xác suất của biến cố

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà:

* Kết quả của nó không thể dự đoán trước được.

* Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó.

Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và kí hiệu là

T(hay viết tắt là )

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập

.

Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập



Xác suất của biến cố A là:

So phan tu cua So phan tu cua

= =

 

n(A) A P(A) n( )

Chú ý: • ⁰^^{P A}

( )

^¹

• ^P

( )

^{ =}¹

• ^P

( )

^{ =}⁰

Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra” (xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra), kí hiệu là

A  B

, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.

Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Biến cố A xung khắc với biến cố B nếu và chỉ nếu A = B ^.

Biến cố đối: Cho biến cố A. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu

A

, được gọi là biến cố đối của A.

Nếu A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho

A

^là

\A. Ta nói A và

A

là hai biến cố đối nhau.

(6)

Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối

A

^là:P(A) 1 P(A)= − Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố:

Cho k biến cố A , A , A , ..., A₁ ₂ ₃ _k đôi một xung khắc. Khi đó:

1 2 3 k 1 2 3 k

P(A A A  ... A )=P(A ) P(A ) P(A )+ + +...P(A )

Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra” (xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra), kí hiệu là AB hay AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của biến cố kia.

Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và

B

^;

A

^{và B;}

A

^và

B

^{cũng độc} độc lập với nhau.

Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì xác suất để A và B xảy ra là: P(AB) = P(A).P(B)

Nhận xét: Nếu P(AB)  P(A)P(B) thì hai biến cố A, B không độc lập với nhau.

Dạng 9: Dãy số

1. Định nghĩa: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

( )

un ^.

Dạng khai triển của dãy số:

Nếu hàm số u xác định trên tập với được gọi là một dãy số

hữu hạn.

2. Cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng hệ thức truy hồi.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả các số hạng của dãy số.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm:

+ Dãy số

( )

un được gọi là dãy số tăng nếu u_n u_{n 1}₊ , n  ^*^. + Dãy số

( )

un được gọi là dãy số giảm nếu u_n u_{n 1}₊ , n  ^*^.

Chú ý: Một dãy số có thể không tăng cũng không giảm, ví dụ như dãy số

( )

un với .

*

1 2 3 n

u ,u ,u ,...,u ,...

 

M= 1,2 ,3 ,...,m _m_ ^*

( )

ⁿ

un = −3

(7)

4. Dãy số bị chặn:

+ Dãy số

( )

un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

.

+ Dãy số

( )

un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho:

.

+ Dãy số

( )

un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m, M sao cho:

.

Chúc các em học tốt

*

un M , n 

*

un m , n 

*

mun M , n 