Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Văn Tài - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC

1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

sin2 sin 0

a Xb X c tsinX   1 t 1

cos2 cos 0

a Xb X c tcosX   1 t 1

tan2 tan 0

a Xb X c ttanX

X  2 k

cot2 cot 0

a Xb X c tcotX X k

Nếu đặt tsin² X, cos² X hoặc t sin , cosX X thì điều kiện là 0 t 1. Ví dụ 1. Giải phương trình: 4cos²x4sinx 1 0.

Giải:



²



²

pt4 1 sin x sinx  1 0 4sin xsinx 3 0

sin 1

sin 3 4 x x

  



 



Với sin 1 2 ,

x     x 2 k  k

Với

arcsin 3 2 3 4

sin ,

4 arcsin 3 2

4

x k



 

    

  

  

    

   



Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2 3cosx x 2 0.

Giải:

2 cos 1 2

pt 2cos 3cos 1 0 cos 1 2 ,

3 2

x k x

x x k

x k

x



 



 

 

      



    

 

Ví dụ 3. Giải phương trình: 3cos2x7sinx 2 0.

Giải:

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(2)



²



²

pt3 1 2sin x 7sinx   2 0 6sin x7sinx 5 0

sin 5

31

sin 2

x x

 

 

  



Với sin 5

x3 thì pt vô nghiệm vì sinx [ 1;1]

Với sin 1 6 2 ,

2 7 2

6

x k

 

   

   

  



Ví dụ 4. Giải phương trình: 4sin⁴ x5cos²x 4 0.

Giải:

 

4 2 4 2

pt4sin x5 1 sin x   4 0 4sin x5sin x 1 0

2

sin 1 sin 1

4 x x

 

  



Với sin² 1 cos² 0 cos 0 , x  x  x   x 2 k k

Với sin² 1 1 cos2 1 cos2 1 ,

4 2 4 2 6

x  ^ x  x    x  k k Ví dụ 5. Giải phương trình: cos4 12sinx ² x 1 0.

Giải:



²

  

²

pt 2cos 2 1 6 1 cos2x   x   1 0 2cos 2x6cos2x 4 0 cos 2 1 cos 2 2

x x

 

  

Với cos2x  1 x k,k

Với cos2x2 thì phương trình vô nghiệm Ví dụ 6. Giải phương trình: 1tan² 2 5 0.

2 x cos 2

  x 

Giải:

Điều kiện cosx0

2

1 1 2 5

pt 1 0

2 cos x cosx 2

 

      

  ²

1. 1 2. 1 2 0

2 cos x cosx

    

1 2 cos 1 2 ,

cos x 2 x 3 k k

x

 

        

(3)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC ÀI T V N ỤN

BT 1. [1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin²xsinx 1 0. b) 4sin²x12sinx 7 0.

c) 2 2 sin²x (2 2)sinx 1 0. d) 2sin³xsin²x2sinx 1 0.

e) 2cos²x3cosx 1 0. f) 2cos²x3cosx 2 0.

g) 2cos²x( 2 2)cos x 2. h) 4cos²x2( 3 2)cosx 6.

i) tan²x2 3 tanx 3 0. j) 2tan²x2 3 tanx 3 0.

k) tan²x (1 3)tanx 3 0. l) 3cot²x2 3cotx 1 0.

m) 3cot²x (1 3)cotx 1 0. n) 3cot²x (1 3)cotx 1 0.

Lời giải a)[1D1-2]2sin²xsin x 1 0

2 2 sin 1

1 6 2 ,

sin 2 7 2

6

x k

x

x k k

x

x k

 

  

 

 

       

 

  



.

b)[1D1-2]4sin²x12sinx 7 0.

7 2

sin 2 6 ,

1 5

sin 2

2 6

x k

x

k

x x k

 

    

  

    

 

.

c) 2 2 sin² x (2 2)sinx 1 0

sin 12 56 2 ,

sin 2 6 2

x k

x

k

x x k

 

    

      .

d)[1D1-2]2sin³xsin²x2sinx 1 0 2 2

sin 1

1 6 2

sin ,

5

2 2

sin 1 6

2 2

x k

x x k

x k

x

x k

 

  



    

 

      

   



e) 2cos²x3cosx 1 0

(4)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC 2

cos 1

1 2 ,

cos 2 3

x k x

x k k

x



 



 

 

  



    

 

f)[1D1-2]2cos²x3cos x 2 0

cos 2

1 3 2 ,

cos 2 x

x k k

x

 

  

     

 



. g)[1D1-2]2cos²x( 2 2)cos x 2

cos 1 2

3 ,

2 2

cos 2 4

x x k

x k k

x



 

   

 

        .

h)[1D1-2]4cos²x2( 3 2)cosx 6.

5

3 2

cos 2 6 ,

2 3 2

cos 2 4

x k

x

k

x k

x

 

     

 

  

      

 



.

i)[1D1-2]tan²x2 3 tan x 3 0



^tan^x ³



² ⁰ ^tan^x ³ ^x ^₃ ^k^^,



^k



^.

          

j)[1D1-2]2tan² x2 3 tan x 3 0

 

3 3 3 3

tan arctan ,

2 2

x ^ x ^ ^ ^ k k

       . k)[1D1-2]tan² x (1 3) tanx 3 0

 

tan 1 4 , ,

tan 3

3

x k

x k l

x x l

 

   

  

  

 

  



.

l)[1D1-2]3cot²x2 3cot x 1 0



^{3 cot}^x ¹



² ⁰ ^cot^x ¹₃ ^x ^₃ ^k^^,



^k



           .

m)[1D1-2] 3 cot²x (1 3)cotx 1 0

 

cot 1

4 , ,

cot 3

3 3

x x k

k l

x x l

 

 

   

      .

n)[1D1-2] 3cot²x (1 3)cot x 1 0

(5)

 

cot 1

4 , ,

cot 3

3 3

x x k

k l

x x l

 

 

   

       

BT 2. [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 6cos²x5sinx 2 0. b) 2cos²x5sinx 4 0.

c) 3 4cos ²xsin (2sinx x1). d) sin²x3cosx 3 0.

e) 2sin²x3cosx 3 0. f) 2cos 2² x5sin 2 1 0.x  g) 3sin²x2cos⁴ x 2 0. h) 4sin⁴x12cos² x7.

i) 4cos⁴x4sin²x1. j) 4sin⁴x5cos²x 4 0.

Lời giải a) ^6cos²^x^^5sin^x^{  }^{2 0} ^{6 1 sin}



^ ²^x



^^5sin^x^{ }^{2 0}

2

sin 1 6sin 5sin 4 0 2

sin 4 3 x

x x

x

  

     

 



Với sin 1 sin sin 6 2 ,

2 6 7 2

6

x k

x x k

x k

 



 

   

  

        



Với sin 4

x 3 Phương trình vô nghiệm.

b) ^2cos²^x^^5sin^x^{  }^{4 0} ^{2 1 sin}



^ ²^x



^^5sin^x^{ }^{4 0}

2 sin 1

2sin 5sin 2 0 2

sin 2

x x x

x

 

    

 



Với sin 1 sin sin 6 2 , 5

2 6 2

6

x k

x x k

x k

 



 

  

    

  



Với sinx 2 Phương trình vô nghiệm.

c) ^{3 4cos}^ ²^x^^{sin (2sin}^x ^x^{  }¹⁾ ^{3 4 1 sin}



^ ²^x



^^2sin²^x^^sin^x

2 sin 1

2sin sin 1 0 sin 1

2 x

x x

x

 

    

  



.

Với sin 1 2 ,

x   x 2 k  k .

(6)

Với sin 1 sin sin 6 2 , 7

2 6 2

6

x k

x x k

x k

 



 

   

  

        



.

d) ^^sin² ^x^^3cos^x^{    }^{3 0}



^{1 cos}²^x



^^3cos^x^{ }^{3 0}

2 cos 1

cos 3cos 2 0

cos 2

x x x

x

 

      .

Với cos 1x  x k2 , k .

Với cosx 2 Phương trình vô nghiệm.

e) ^^2sin² ^x^^3cos^x^{   }^{3 0.} ^{2 1 cos}



^ ²^x



^^3cos^x^{ }^{3 0}

2 cos 1

2cos 3cos 1 0 cos 1

2 x

x x

x

 

    

 



.

Với cos 1x  x k2 , k .

Với cos 1 cos cos 2 ,

2 3 3

x  x     x  k  k  . f) ^{2cos 2}² ^x^^{5sin 2 1 0}^x^{  }^{2 1 sin 2}



^ ² ^x



^^{5sin 2 1 0}^x^{ }

2 sin 2 1

2sin 2 5sin 2 3 0 sin 2 3 2 x

x x

x

 

   

 



.

Với sin2 1 2 2 k ,

2 4

x  x  k    x   k .

Với sin 3

x 2 Phương trình vô nghiệm.

g) ^3sin²^x^^2cos⁴ ^x^{  }^{2 0} ^{3 1 cos}



^ ²^x



^^2cos⁴^x^{ }^{2 0}

2

4 2

2 2

1 cos2

cos 1 1 cos2 1

2cos 3cos 1 0 cos 12 2cos2 1 0 cos2 0 x x

x x x

x x

x

      

 

           

Với cos2x 1 2xk2  x k , k  .

Với cos2 0 2 k ,

2 4 2

x  x  k  x   k . h) ^4sin⁴^x^^12cos² ^x^{ }⁷ ^4sin⁴^x^^{12 1 sin}



^ ²^x



^{ }^{7 0}

(7)

2

4 2

2 2

5 1 cos2 5

sin 2 cos2 4

4sin 12sin 5 0 2 2

1 cos2 0

sin 1 2sin 0

2 x x

x x x

   

     

          .

Với cos2x  4 Phương trình vô nghiệm.

Với cos2 0 2 ,

2 4 2

x  x  k  x  k  k . i) ^4cos⁴^x^^4sin²^x^{ }¹ ^4cos⁴^x^^{4 1 cos}



^ ²^x



^¹

2

4 2

2 2

1 cos2 0

cos 2

4cos 4cos 3 0 cos 32 cos 32

x x

   

 

           .

Với cos² 3

x  2 Phương trình vô nghiệm.

Với cos2 0 2 k ,

2 4 2

x  x  k  x   k . j) ^4sin⁴^x^^5cos²^x^{  }^{4 0} ^4sin⁴ ^x^^{5 1 sin}



^ ² ^x



^{ }^{4 0}

2 2

4 2

2

cos 0

sin 1 1 sin 0

4sin 5sin 1 0 sin 1 1 cos2 1 cos2 1

4 2 4 2

x x x

x x

      

  

         

Với cos 0 ,

x   x 2 k k .

Với cos2 1 cos2 cos 2 2 k ,

2 3 3 6

x  x   x   k     x   k . BT 3. [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos2 8cosx x 5 0. b) 1 cos2 x2cos .x c) 9sinxcos2x8. d) 2 cos2 x5sinx0.

e) 3sinxcos2x2. f) 2cos2x8sinx 5 0.

g) 2cos2x3sinx 1 0. h) 5cos 2sin 7 0.

2 x x 

i) sin²xcos2xcosx2. j) cos2xcos²xsinx 2 0.

Lời giải a)[1D1-3] 2cos2 8cosx x 5 0.

Ta có: ^{2cos2 8cos}^x^ ^x^{  }^{5 0} ^{2 2cos}



²^x^{ }^{1 8cos}



^x^{ }^{5 0}

(8)

 

2

cos 3 4cos 8cos 3 0 2

cos 1 2

x l

x x

x

 

     

 



 Với ^cos^x^{    }¹₂ ^x ^₃ ^k²^



^k^



^.

b)[1D1-3] 1 cos2 x2cos .x

Ta có: 1 cos2 x2cosx2cos²x2cosx 0 2cos cosx



x 1 0



^coscos 1⁰ 22 ,

x x k

x k

 



   

 

     .

c) [1D1-3] 9sinxcos2x8.

Ta có: 9sinxcos2x  8 1 2sin²x9sinx8

 2sin²x9sinx 7 0

 

sin 1 sin 7

2 x

x l

 



 



 Với sin 1 2 ,

x   x 2 k  k . d) [1D1-3] 2 cos2 x5sinx0.

Ta có: 2 cos2 x5sinx   0 2 1 2sin²x5sinx0

 

2 sin 3

2sin 5sin 3 0 sin 1

2

x l

x x

x





        



 Với sin 1 6 2 , 7

2 2

6

x k

 

   

   

  



.

e)[1D1-3] 3sinxcos2x2

Ta có: 3sinxcos2x 2 3sinx 1 2sin²x 2 0

2sin² 3sin 1 0 ^sinsin ¹1 2 x

x x

x

 

     

 



 Với sin 1 2 , .

x   x 2 k  k

(9)

Với sin 1 6 2 , . 5

2 2

6

x k

 

  

  

  



f)[1D1-3] 2cos2x8sinx 5 0.

Ta có: ^{2cos2 8sin}^x^ ^x^{  }^{5 0} ^{2 1 2sin}



^ ²^x



^^8sin^x^{ }^{5 0}

2

 

sin 3 4sin 8sin 3 0 2

sin 1 2

x l

x x

x

 

      

 



Với sin 1 6 2 , . 5

2 2

6

x k

 

  

  

  



g)[1D1-3] 2cos2x3sinx 1 0.

Ta có:



²



² ^sin ¹

2cos2 3sin 1 0 2 1 2sin 3sin 1 0 4sin 3sin 1 0 sin 1

4 x

x x x x x x

x

 

             

  



Với sin 1 2 , .

x   x 2 k  k



arcsin 1 2 1 4

sin ,

4 arcsin 1 2

4

x k



 

   

  

   

    

  



.

h)[1D1-3] 5cos 2sin 7 0.

2 x x 

Ta có: 5cos 2sin 7 0 5 1 2sin² 2sin 7 0

2 2 2

x x x

x        

 

2 sin 1

10sin 2sin 12 0 2

2 2 sin 6

2 5

x

x x

x l

 

      

  



Với sin 1 2 4 , .

2 2 2

x x

k x k k

   

       

i)[1D1-3] sin²xcos2xcosx2.

(10)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC Ta có: sin²xcos2xcosx  2 1 cos²x2cos²x 1 cosx 2 0

2 cos 1

 

cos cos 2 0

cos 2

x x x

x l

 

       

Với cosx  1 x k2 , k . j)[1D1-3] cos2xcos²xsinx 2 0.

Ta có: cos2xcos²xsinx   2 0 1 2sin²x 1 sin²xsinx 2 0

2 sin 1

 

3sin sin 4 0 sin 4

3 x

x x

x l

 

     

  



Với sin 1 2 , . x   x 2 k  k

a) 3cos²x2cos2x3sinx1. b) cos4 12sinx ²x 1 0.

c) cos4x2cos² x 1 0. d) 16sin² cos2 15.

2

x x

e) cos2 2cos 2sin² 2

x x x f) cos2 3cos 4cos²

2

x x x

g) 1 cos4 x2sin²x0. h) 8cos² xcos4x1.

i) 6sin 3² xcos12x4. j) 5(1 cos ) 2 sin x   ⁴xcos .⁴x k) cos⁴xsin⁴xcos4x0. l) 4(sin⁴xcos ) cos4 sin 2⁴x  x x0.

Lời giải a.[1D1-3] 3cos²x2cos2x3sinx1



²

 

²



3 1 sin x 2 1 2sin x 3sinx 1

     

sin2 x 3sinx 2 0

   

sinx 1

  hay sinx2(loại) sinx 1

 

 

2 2

x  k  k

    .

b.[1D1-3] cos4 12sinx ²x 1 0

 

2cos 2 1 6 1 cos22 x x 1 0

     

(11)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC 2cos 22 x 6cos2x 4 0

   

cos2x 1

   hay cos2x 2(loại)

 

x 2 k k

    .

c.[1D1-3]cos4x2cos²x 1 0.

 

2cos 2 1 1 cos22 x x 1 0

     

2cos 22 x cos2 1 0x

   

cos2x 1

  hay cos 2 1

x 2

 

x k k

   hay ^x^{  }^₃ ^k^



^k^



^.

d.[1D1-3]16sin² cos 2 15.

2

x x

  

²



8 1 cosx 2cos x 1 15

    

2cos2x 8cosx 6 0

   

cosx 1

   hay cosx 3(loại)

 

2 x  k  k

    .

e.[1D1-3]cos2 2cos 2sin² 2 x x x

2cos2x 1 2cosx 1 cosx

    

2cos2x 3cosx 2 0

   

cosx 2

   (loại) hay cos 1 x2

 

3 2

x  k  k

     .

f.[1D1-3]cos2 3cos 4cos² 2 x x x

 

2cos2x 1 3cosx 2 1 cosx

    

2cos2x 5cosx 3 0

   

cosx 3

  (loại) hay cos 1 x 2

(12)

 

2 2

x 3 k  k

     . g.[1D1-3] 1 cos4 x2sin²x0

 

1 2cos 22 x 1 cos2x 0

    

2cos 22 x cos2x 0

  

cos2x 0

  hay cos 2 1

x2

 

4 2

x  k k

    hay

 

x  6 k k . h.[1D1-3] 8cos² xcos4x1

 

²

4 1 cos2x 2cos 2 1 1x

    

2cos 22 x 4cos2x 4 0

   

cos2x 1 3

   (loại) hay cos2x 1 3

   

1 arccos 1 3

x 2 k k

      .

i.[1D1-3]6sin 3 cos12² x x4

 

²

3 1 cos6x 2cos 6 1 4x

    

2cos 62 x 3cos6x 0

  

cos6x 0

  hay cos6 3 x 2(loại)

 

12 6

x  k k

    .

j.[1D1-3]5(1 cos ) 2 sin x   ⁴xcos⁴ x

  

² ²



² ²



5 1 cosx 2 sin x cos x sin x cos x

     

2 2

5 5cosx 2 1 cos x cos x

     

2cos2x 5cosx 2 0

   

cosx 2

   (loại) hay cos 1 x 2

 

2 2

x 3 k  k

     .

(13)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC k.[1D1-3]cos⁴xsin⁴xcos4x0



^cos²^x ^sin²^x



^cos²^x ^sin² ^x



^{2cos 2 1 0}² ^x

     

2cos 22 x cos2 1 0x

   

cos2x 1

   hay cos 2 1 x 2

 

4 2

x  k k

    hay

 

x  6 k k . l.[1D1-3]4(sin⁴xcos ) cos4⁴x  xsin 2x0



² ²



²

4 1 2sin cosx x 1 2sin 2x sin 2x 0

     

2 2

4 2sin 2 1 2sin 2x x sin 2x 0

     

4sin 22 x sin 2x 5 0

   

sin 2x 1

   hay sin 2 5

x4(loại).

 

x 4 k k

     .

a) cos 2 2 3cos 1 0.

3 3

x  x

      

   

    b) cos² 4cos 4.

3 x 6 x

 

     

   

   

c) 4cos (6² x 2) 16cos (1 3 ) 13.²  x  d) 5cos 2 4sin 5 9.

3 6

x   x

     

   

   

e) sin 2 5 3cos 7 1 2sin .

2 2

x  x  x

      

   

    f) cos 2x 3 sin 2x 3 sinx 4 cos .x g) 3sin 2x 3sinxcos2xcosx2.h) 2 cos² 4₂ 9 2 cos 1.

cos cos

x x

     

   

   

i) 4 sin² 1₂ 4 sin 1 7.

sin sin

x x

     

   

    j) cos² 1₂ 2 2 cos 1

cos cos

x x

 

      Lời giải

a) cos 2 2 3cos 1 0.

3 3

x  x 

      

   

   

Xét phương trình cos 2 2 3cos 1 0.

3 3

x  x 

      

   

   

cos 2 3cos 1 0

3 3

x  x 

    

        

 

(14)

2cos2 3cos 0 cos 2cos 3 0

3 3 3 3

x  x  x   x  

       

              

 

cos 0

3 cos 3

3 2

x

x l



   

  



   

  



Xét cos 0 ,

3 3 2 6

x  x   k x  k k

          

 

  .

Vậy tập nghiệm của phương trình là , S ^6 k k ^

 .

b) cos² 4cos 4.

3 x 6 x

 

     

   

   

Lời giải

Xét phương trình cos² 4cos 4.

3 x 6 x

 

     

   

    .

2 2

sin 4cos 4 1 cos 4cos 4

6 x 6 x 6 x 6 x

   

       

              

       

cos2 4cos 3 0 cos 1

6 x 6 x 6 x

  

     

           

      hoặc cos 3

6 x

  

 

  (loại)

Với cos 1 cos 1 2 2 ,

6 x x 6 x 6 k x 6 k k

     

             

     

      .

Vậy tập nghiệm của phương trình 2 ,

S^x 6 k  k ^

 .

c) 4cos (6² x 2) 16cos (1 3 ) 13.²  x 

Lời giải Xét phương trình 4cos (6² x 2) 16cos (1 3 ) 13.²  x  .

       

2 2 2

4cos 6x 2 8.2cos 1 3x 13 4cos 6x 2 8. cos2 1 3x 1 13

           

       

2 2

4cos 6x 2 8cos 6x 2 8 13 4cos 6x 2 8cos 6x 2 5 0

           

 

¹

cos 6 2 x 2

   hoặc cos 6



2



⁵

x  2(loại).

(15)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC Với cos 6 2

 

¹ cos 6 2 cos

 

2 3

x_ _{ } x_ _ 

6 2 2 6 2 2 1

3 3 18 3 3 ,

6 2 2 6 2 2 1

3 3 18 3 3

x k x k x k

k k

x k x k x

     

           

  

   

              

  

  

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 , .

18 3 3

S    k k 

 

d) 5cos 2 4sin 5 9.

3 6

x   x

     

   

   

Lời giải

Xét phương trình 5cos 2 4sin 5 9.

3 6

x   x

     

   

   

5cos 2 4sin 9 5cos 2 4sin 9

6 6 6 6

x    x x   x

          

                

2 2

5 1 2sin 4sin 9 10sin 4sin 14 0

6 6 6 6

x  x  x  x 

        

                

sin 1

x 6

 

    hoặc sin 7

6 5

x 

   

 

  (loại).

Với sin 1 2 2 ,

6 6 2 3

x  x   k  x  k  k

          

   

    .

Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 ,

S^3 k  k ^

 .

e) sin 2 5 3cos 7 1 2sin .

2 2

x  x  x

      

   

   

Lời giải

Ta có: sin 2 5 sin 2x 2 cos2x,

2 2

x  ^  ^

      

    

    

cos 7 cos 3 cos sinx

2 2 2

x  x   x 

           

     

     

Phương trình đã cho trở thành cos2x3sinx 1 2sinx

 

1 cos2 sinx x 0 2sin2 x sinx 0 sin 2sin 1 0x x

         

(16)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC sin 0

1 sin sin 6 2 ,

sin 2 6 5 2

6 x k x k

x

x k k

x x

x k

 



 

 



 

 



 

     



   

  

  



.

Vậy tập nghiệm của phương trình ; 2 ;5 2 ,

6 6

S^k  k   k  k ^

 .

f) cos2x 3sin 2x 3sinx 4 cos .x

Lời giải Xét phương trình cos2x 3sin 2x 3sinx 4 cos .x



^cos2^x ^{3sin 2}^x

 

^cos^x ^3sin^x



⁴ ^{cos 2}^ ^x ^₃^ ^cos^^x ^₃^ ²

             

cos 2 cos 2 cos 2 sin 2

3 3 6 2 3

x  x   x    x  

       

                 

cos 2 sin 2 2sin2 sin 3 0

6 6 6 6

x  x  x  x 

        

                

sin 1

x 6

 

    hoặc sin 3

6 2

x 

   

 

  (loại).

Với sin 1 2 2 ,

6 6 2 3

x  x   k  x  k  k

          

   

    .

Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 ,

S^3 k  k ^

 .

g) 3sin 2x 3sinxcos2xcosx2.

Lời giải

Xét phương trình 3sin 2x 3sinxcos2xcosx2. biến đổi tương tự như câu f ta được:

cos 2 cos 1 cos 2 1 sin 0

3 3 6 6

x  x   x   x 

              

        

        

2sin2 sin 0 sin 2sin 1 0

6 6 6 6

x  x  x   x  

       

               

(17)

6 6

sin 0

6 2 2 ,

6 6 3

sin 6 12 sin6 5 2 2

6 6

x k x k

x

x k x k k

x x k

x k

   



    

 

    

     

 

     

    

              

 

 

.

Vậy tập nghiệm của phương trình ; 2 ; 2 ,

6 3

S^ k  k  k  k ^

 .

h) 2 cos² 4₂ 9 2 cos 1.

cos cos

x x

     

   

   

Lời giải

Xét phương trình 2 cos² 4₂ 9 2 cos 1.

cos cos

x x

     

   

    ĐKXĐ. ,

x 2 k k .

Đặt 2 cos ² 4₂ cos² 4 ² 4 4₂ cos²

cos cos cos

t x t x t x

x x x

   

           Khi đó phương trình đã cho trở thành: ²



^t²^{   }^{4 9 1}



^t ²^t²^{  }^{9 7 0}^t

1 7 2 t t

  



  



Khi 1 2 cos 1 cos² cos 2 0

t cos x x x

  x     

cosx 1

  hoặc cosx 2(loại).

Với cosx  1 x k2 (TM)

Khi 7 2 cos 7 2cos² 7cos 4 0

2 cos 2

t x x x

   x      

cos 1 x 2

   hoặc cosx4 (loại)

Với cos 1 cos 2 2 2 ,

2 3 3

x      x  k  k . Vậy tập nghiệm của phương trình 2 ; 2 2 ,

S^k   3 k  k ^

 .

(18)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI NG: CHUYÊN Đ HÀM S - PT L NG GIÁC i) 4 sin² 1₂ 4 sin 1 7.

sin sin

x x

     

   

   

Lời giải

Xét phương trình 4 sin² 1₂ 4 sin 1 7.

sin sin

x x

     

   

    ĐKXĐ. xk,k .

Đặt ² ² 2



²



² 2

1 1 1

sin sin 2 2 sin

sin sin sin

t x t x t x

x x x

   

          .

Phương trình đã cho trở thành:



²



²

3

4 2 4 7 4 4 15 0 2

5 2 t

t t t t

t

 

        

  



.

Khi ³ sin ¹ ³ 2sin² 3sin 2 0

 

2 sin 2

t x x x VN

   x    

Khi 5 sin 1 5

2 sin 2

t x

    x  .

2 1

2sin 5sin 2 0 sin

x x x 2

       hoặc sinx 2 (loại).

Với sin 1 sin

2 6

x    

 

6 2 ,

7 2

6

x k

k

x k

 

   

 

  



.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2 ;7 2 ,

6 6

S  ^  k   k  k ^

 .

j) cos² 1₂ 2 2 cos 1

cos cos

x x

 

     

Lời giải

Xét phương trình cos² 1₂ 2 2 cos 1

cos cos

x x

 

     . ĐKXĐ ,

x 2 k k

Đặt cos 1 ² cos² 1₂ 2

cos cos

t x t x

x x

 

     

  .

Phương trình đã cho trở thành: ² 0

2 2

t t t t

 

     .

(19)

Khi 0 cos ¹ 0

 

t x cos VN

   x

Khi 2 cos 1 2 cos² 2cos 1 0 cos 1 2

t x cos x x x x k

x 

              (TMĐK) .

Vậy tập nghiệm của phương trình: ^S^



^k^{2 ,}^ ^k^



^.

BT 6. [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3₂ 3 2tan .²

cos x

x  b) 1₂ 3cot² 5.

cos x

x 

c) 3₂ 3cot 3.

sin x

x   d) 9 13cos 4 ₂ 0.

1 tan

x x

  

 e) 2tan² 3 3

x cos

  x f) 1tan² 2 5 0.

2 x cos 2

  x 

g) 3sin cos 1

x x cos

  x g) 2sin²xtan² x2.

a) 3₂ 3 2tan .²

cos x

x 

Lời giải Điều kiện:

x 2 k .

 

2 2 2

2

3 3 2tan 3 1 tan 3 2tan .

cos x x x

x      

 

tanx 0 x k k .

    

b) 1₂ 3cot² 5.

cos x

x 

Lời giải Điều kiện

2 x_ k

.

 

2 2

1 3cot 5 1 tan 3 5.

cos x x tan

x     x 

Đặt ttan ( 0)²x t , ta có phương trình: ² 1

4 3 0 .

3 t t t

t

 

     

 

tan 1 4 .

tan 3

3

x k

x x k

x k

 

   

  

  

  

   



c) 3₂ 3cot 3.

sin x

x  

Lời giải Điều kiện: ^x^k .

(20)



²



2

3 3cot 3 3 1 cot 3cot 3.

sin x x x

x      

2 cot 0 2

3 cot 3cot 0 .

cot 3

6

x k

x

x x

x x k

 

  

 

     

 

  



d) 9 13cos 4 ₂ 0.

1 tan

x x

  



x 2 k .

2 2

9 13cos 4 0 9 13cos 4cos 0.

1 tan

x x x

  x    



 

cos 94 ko tm 2 . cos 1

x x k

x

  

  

 



e) 2tan² 3 3 x cos

  x

x 2 k .

2

3 1 3

2tan 3 2 1 3 .

cos cos cos

x x x x

 

      

Đặt ^t _cos¹



^t ¹



 x  , ta có phương trình

 

2 1

2 3 1 0 1 ko tm

2 t

t t

t

 

   

 

.

 

cosx 1 x k2 .  k .

    

f) 1tan² 2 5 0.

2 x cos 2

  x 

x 2 k .

2

1tan 2 5 0 1 1 1 2 5 0.

2 x cos 2 2 cos cos 2

x x x

 

           Đặt ^t _cos¹



^t ¹



 x  , ta có phương trình

2 4 4 0 2 cos 1 2 .

2 3

t      t t x    x  k 

(21)

g) 3sin cos 1

x x cos

  x

x 2 k .

Chia cả 2 vế cho cosx ta được:

 

2 2

2

3 tan 1 1 3 tan 1 1 tan .

cos

tan 0

tan 3 tan 0 .

tan 3 3

x x x

x

x k

x x x k

x k

x



 

     

 

  

        

g) 2sin²xtan² x2.

x 2 k .

 

2 2 2

2

2sin tan 2 2 1 cos 1 1 2.

x x x cos

x

 

      

Đặt tcos ² x



0 t 1



. Ta có phương trình

 

2 1

2 1 0 1 .

2

t loai

t t

t

 



      



Vậy

cos 1 2

2 4 .

1 3 4 2

cos 2

2 4

x x k

x k

x x k

   

 

     

 

    

      

 



BT 7. [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 8sin cosx xcos4x 3 0. b) 2sin 8² x6sin 4 cos4x x5.

c) cos 1 sin . 1 sin

x x

x  

 d) 1 cos (2cos 1) 2.sin 1.

1 cos

x x x

x

   

 e) 3sin 2 2sin 2.

sin 2 cos

x x

  f) 2sin² 3 2 sin sin 2 1₂ 1.

(sin cos )

x x x

x x

  

   g) 2cos2 8cos 7 1

x x cos

   x g) 3₂ 4 2sin 2 2 3 2(cot 1).

cos sin 2

x x

    

h) 3cos4x2cos²x 3 8cos .⁶x k) 3cosx  2 3(1 cos ).cot . x ²x l) sin3xcos2x 1 2sin cos2 .x x m) 2cos5 .cos3 sinx x xcos8 .x n) 4(sin⁶xcos ) 4sin 2 .⁶x  x o) sin 4x 2 cos3x4sinxcos .x

Lời giải

(22)

a) 8sin cosx xcos4x 3 0.

Lời giải

Ta có: 8sin cosx xcos4x  3 0 4sin 2x2sin 2² x  2 0 sin 2x 1

 

x 4 k k

     . b) 2sin 8² x6sin 4 cos4x x5.

Lời giải

Ta có:

 

2 2 sin8 1

 

2sin 8 6sin 4 cos4 5 2sin 8 3sin8 5 0 sin8 5 2

x N

x x x x x

x L





         



 

8 2

2 16 4

x  k  x  k k

       .

c) cos 1 sin . 1 sin

x x

x  



Lời giải

Điều kiện: sin 1 2

 

x     x 2 k  k .

PT ^cos 1 sin . cos cos² ^cos ⁰ 2

 

cos 1

1 sin 2

x x k

x x x x k

x

x x k

 



   

 

       

   

.

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai họ nghiệm là: 2 ²

 

2

x k

k x k

 



  

 

 



.

d) 1 cos (2cos 1) 2.sin 1.

1 cos

x x x

x

   



Lời giải Điều kiện: ^x^^k²^



^k^



^.

Ta có: 1 cos (2cos 1) 2.sin 1 1 2cos² cos 2 sin 1 cos 1 cos

x x x

x x x x

x

  

      





²



^sin ²

 

⁴ ²

 

2 1 sin sin 0 sin 22 sin 4 54 2

x L x k

x x k

 

  

     

             .

e) 3sin 2 2sin 2.

sin 2 cos

x x

 

(23)

TÀI LI U H C T P CH T L NG CAO – 2017 BÀI GI