Phân dạng phương trình lượng giác – Trần Sĩ Tùng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

TRAÀN SÓ TUØNG

---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

(2)

I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OP OQ AT BT

cos sin tan ' cot

a a a a

=

= Nhận xét:

· "a, 1 cos- £ a£1; 1 sin- £ a £1

· tana xác định khi k k Z, 2

a ¹ +p p Î

· cota xác định khi a ¹k k Zp, Î 2. Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư Giá trị lượng giác

I II II IV

sina + + – –

cosa + – – +

tana + – + –

cota + – + –

3. Hệ thức cơ bản:

sin²a + cos²a = 1; tana.cota = 1

2 2

1 1

1 tan ; 1 cot

cos sin

a a

+ = + =

4. Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cos-a = a sin(p a- ) sin= a sin cos

2

p a a

æ ö

- =

ç ÷

è ø

sin( )-a = -sina cos(p a- )= -cosa cos sin 2

p a a

æ ö

- =

ç ÷

è ø

tan( )-a = -tana tan(p a- )= -tana tan cot 2

p a a

æ ö

- =

ç ÷

è ø

cot(-a)= -cota cot(p a- ) = -cota cot tan 2

p a a

æ ö

- =

ç ÷

è ø

CHƯƠNG 0

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

cosin O

cotang

sin tang

p A

Q M B T'

a

T

(3)

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng:

Cung hơn kém p Cung hơn kém 2 p

sin(p a+ ) = -sina sin cos 2

p a a

æ ö

+ =

ç ÷

è ø

cos(p a+ )= -cosa cos sin 2

p a a

æ ö

+ = -

ç ÷

è ø

tan(p a+ ) tan= a tan cot 2

p a a

æ ö

+ = -

ç ÷

è ø

cot(p a+ ) cot= a cot tan 2

p a a

æ ö

+ = -

ç ÷

è ø

0 6

p

4 p

3 p

2

p 2

3

p 3

4

p p ³

2

p 2p

0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 120⁰ 135⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

sin ⁰ 1

2

2 2

3

2 ¹

3 2

2

2 ⁰ ^–1 ⁰

cos ¹ 3

2

2 2

1

2 ⁰

1

-2 2

- 2 ^–1 ⁰ ¹

tan 0 3

3 ¹ 3 - 3 ^–1 ⁰ ⁰

cot 3 ¹ 3

3 ⁰

3

- 3 ^–1 ⁰

sin(a b+ ) sin .cos= a b+ sin .cosb a sin(a b- ) sin .cos= a b-sin .cosb a cos(a b+ ) cos .cos= a b -sin .sina b cos(a b- ) cos .cos= a b+sin .sina b

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

+ = + -

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

- = - +

Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan

4 1 tan 4 1 tan

p a p a

a a

æ + ö = + æ - ö = -

ç ÷ - ç ÷ +

è ø è ø

(4)

III. CÔNG THỨC NHÂN

1. Công thức nhân đôi:

sin 2a =2sin .cosa a

cos2a =cos²a -sin²a =2 cos²a- = -1 1 2sin²a tan 2 2 tan₂ ; cot 2 cot² 1

2 cot 1 tan

a a

= = -

-

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : (*)

Đặt: t tan ( 2 )k 2

a a p p

= ¹ + thì: t

t² sin 2

a =1

+ ; ^t

t

2 2

cos 1

a =1-

+ ; ^t

t² tan 2

a =1 -

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích:

2. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos .cos 1 cos( ) cos( ) 21

sin .sin cos( ) cos( )

21

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

é ù

= ë - + + û

é ù

= ë - - + û

é ù

= ë - + + û

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b + -

+ =

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b + -

- = -

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a b + -

+ =

sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

a- b = + -

sin( ) tan tan

cos .cos a b a b

a b

+ = +

sin( ) tan tan

cos .cos a b a b

a b

- = -

sin( ) cot cot

sin .sin a b a b

a b

+ = + a b b a

a b

sin( ) cot cot

sin .sin - = -

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

p p

a a æa ö æa ö

+ = ç + ÷= ç - ÷

è ø è ø

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

p p

a a æa ö æa ö

- = çè - ÷ø= - çè + ÷ø Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2 2 2

1 cos2

sin 2

1 cos2

cos 2

1 cos2 tan 1 cos2

a a a a a a

a

= -

= +

= - +

3 3

3 2

sin 3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan 3

1 3tan

a a a

a a

= -

= - -

(5)

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

y =sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm lẻ, chu kỳ T₀ =2p .

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T₀ 2

= ap

* y = sin(f(x)) xác định Û f x( ) xác định.

y =cosx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm chẵn, chu kỳ T₀ =2p.

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T₀ 2

= ap

* y = cos(f(x)) xác định Û f x( ) xác định.

y =tanx: Tập xác định \ , D R ì2 k k Zü

= í + Î ý

î þ

p p ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳT₀ =p .

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T₀

= pa

* y = tan(f(x)) xác định Û f x( ) ( )

2 k k Z

¹ p + p Î

y =cotx: Tập xác định ^D ⁼ ^{R k k Z}^\

{

^p^, ^Î

}

; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳT₀ =p .

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T₀

= pa

* y = cot(f(x)) xác định Û f x( ) ¹ kp (k ZÎ ).

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y = f x₁( ) ± f x₂( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

(6)

1. Phương trình sinx = sina

a) sinx =sin Û é =ê = - +ëxx +k2 k2 (k ZÎ )

a p

a p a p

b) sinx = a Ñieàu kieän. : 1- £ £a 1

x a k

x a x arcsin a k2 k Z

sin arcsin p 2 ( )

p p

é = +

= Û ê = -ë + Î

c) sinu = -sinv Û sinu =sin( )-v

d) sin cos sin sin

u v u æ2 vö

= Û = ç - ÷

è ø

p

e) sin cos sin sin

u v u æv 2ö

= - Û = ç - ÷

è ø

p

Các trường hợp đặc biệt:

sinx = 0 Û x k= p (k ZÎ )

sin 1 2 ( )

x = Û x = p2 +k p k ZÎ sin 1 2 ( )

x = - Û x = - +p2 k p k ZÎ

2 2

sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )

x = ± Û x= Û x = Û x = Û x= +p2 k k ZÎ p

2. Phương trình cosx = cosa

a) cosx = cosa Û = ± +x a k2 (p k ZÎ ) b) cosx = a Ñieàu kieän. : 1- £ £a 1

x a x a k k Z

cos = Û = ±arccos + 2 (p Î ) c) cosu = -cosv Û cosu =cos(p-v)

d) cos sin cos cos

u v u æ2 vö

= Û = çè - ÷ø p

e) cos sin cos cos

u v u æ2 vö

= - Û = çè + ÷ø p

cos 0 ( )

x = Û x = p2+kp k ZÎ

cosx =1 Û x k= 2 (p k ZÎ ) cosx = - Û1 x = +p k2 (p k ZÎ )

x ²x ² x x x k k Z

cos = ± Û1 cos = Û1 sin = Û0 sin =0 Û = p ( Î ) I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

CHƯƠNG I

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(7)

3. Phương trình tanx = tana

a) tanx =tana Û = +x a kp (k ZÎ ) b) tanx = a Û x =arctana k k Z+ p( Î ) c) tanu = -tanv Û tanu =tan( )-v

d) tan cot tan tan

u = v Û u = æçè2 -vö÷ø p

e) tan cot tan tan

u v u æ2 vö

= - Û = ç + ÷

è ø

p

tanx =0 Û x k= p (k ZÎ ) tan 1 ( )

x = ± Û x = ± +p4 k k ZÎ p

4. Phương trình cotx = cota

cotx =cota Û = +x a kp (k ZÎ ) cotx = aÛ x = arccota k+ p (k ZÎ ) Các trường hợp đặc biệt:

cot 0 ( )

x = Û =x p2 +k k ZÎ

p cot 1 ( )

x = ± Û x= ± +p4 k k ZÎ p

5. Một số điều cần chú ý:

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).

x¹ +p2 k k ZÎ p

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k¹ p (k ZÎ )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( ) x k¹ p2 k ZÎ

* Phương trình có mẫu số:

· sinx ¹0 Û x k¹ p (k ZÎ )

· cos 0 ( )

x ¹ Û x¹ +p2 kp k ZÎ

· tan 0 ( )

x ¹ Û x k¹ p2 k ZÎ

· cot 0 ( )

x ¹ Û ¹x kp2 k ZÎ

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

2. Dùng đường tròn lượng giác.

3. Giải các phương trình vô định.

(8)

Bài 1. Giải các phương trình:

1) cos 2 0

x 6

ỉ ư

+ =

ç ÷

è ø

p 2) cos 4 1

x 3

ỉ ư

- =

ç ÷

è ø

p 3) cos 1 5 x

ỉ ư

- = -

ç ÷

è ø

p

4) sin 3 0

x 3

ỉ ư

+ =

ç ÷

è ø

p 5) sin 1

2 4 x

ỉ ư

- =

ç ÷

è ø

p 6) sin 2 1

6 x

ỉ ư

+ = -

ç ÷

è ø

p

7) ^{sin 3}

(

^x^{+ =}¹

)

¹₂ ⁸⁾^cos

(

^x^-¹⁵⁰

)

⁼ ₂² ⁹⁾^sin^ỉ^ç_è_{2 3}^x^-^p^ư^÷_ø^{= -} ₂³

10) cos 2 1

6 x 2

ỉ ư

- = -

ç ÷

è ø

p 11) ^{tan 2}

(

^x^{- =}¹

)

³ ¹²⁾^{cot 3}

(

^x⁺¹⁰⁰

)

⁼ ₃³

13) tan 3 1

x 6

ỉ ư

+ = -

ç ÷

è ø

p 14) cot 2 1

x 3

ỉ ư

- =

ç ÷

è ø

p 15) cos(2x + 25⁰) = 2 - 2 Bài 2. Giải các phương trình:

1) sin(3x+ =1) sin(x-2) 2) cos cos 2

3 6

x x

ỉ ư ỉ ư

- = +

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p

3) cos3x=sin 2x 4) sin(x-120 ) cos2⁰ + x=0

5) cos 2 cos 0

3 3

x x

ỉ ư ỉ ư

+ + - =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p

6) sin3 sin 0

4 2

x ỉ xư

+ ç - ÷=

è ø

p

7) tan 3 tan

4 6

x x

ỉ ư ỉ ư

- = +

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p

8) cot 2 cot

4 3

x x

ỉ ư ỉ ư

- = +

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p

9) tan(2x+ +1) cotx=0 10) cos(x²+x) 0=

11) sin(x²-2 ) 0x = 12) tan(x²+2x+ =3) tan 2

13) cot²x=1 14) sin² 1

x=2 15) cos 1

x =2 16) sin² cos²

x 4 x

ỉ ư

- =

ç ÷

è ø

p

1) cos3 .tan 5x x=sin 7x 2) tan 5 .tan 2x x=1

3) 4 cosx-2 cos2x-cos 4x=1 4) 3sin3x- 3 cos9x= +1 4sin 3³ x 5) cos .cos3³x x sin .sin 3³x x 2

+ = 4 6) x

x x

1 3 8cos

cos +sin = Bài 4. Giải các phương trình:

1) 2 cosx-sinx =1 2) sinx +cos3x=0

3) x x

x

2 1 cos tan 1 sin

= -

- 4) x x

x cot tan 1

= +sin Bài 5. Giải và biện luận các phương trình:

1) (m-1)sinx+ - =2 m 0 2) sin .cosm x=1

3) (m-4) tan 2x- m =0 4) (m+1)sin 2x+ -1 m² =0

(9)

Cách 1:

· Chia hai vế phương trình cho a²+b² ta được:

(1) Û

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b + a b = a b

+ + +

· Đặt: ^sin ₂^a ₂ ^{, cos} ₂^b ₂

(

^{0, 2}

)

a b a b é ù

= = Ỵ ë û

+ +

a a a p

(1) trở thành:

2 2

sin .sinx cos .cosx c a b

+ =

+

a a

cos(x ) 2c 2 cos (2)

a b

Û - = =

+

a b

· Điều kiện để phương trình (2) cĩ nghiệm là:

2 2 2

2c 2 1 a b c .

a b £ Û + ³

+

· (2) Û = ± +x a b k2p (k ZỴ ) Cách 2:

a) Xét 2

2 2

x = +p k p Û x = +p kp cĩ là nghiệm hay khơng?

b) Xét 2 cos 0.

2 x¹ +p k p Û x ¹

Đặt:

2

2 2

2 1

tan , sin , cos ,

2 1 1

x t t

t thay x x

t t

= = = -

+ + ta được phương trình bậc hai theo t:

(b c t+ ) 2-2at c b+ - = 0 (3) Vì x¹ +p k2p Û + ¹b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2

'= a -(c -b ) 0³ Û a +b ³ c . D

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan ₀. 2 x =t Ghi chú:

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a²+b² ³c². 3) Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2

.sin .cos . sin cos

y = a x b+ x £ a +b x+ x = a +b

2 2 2 2 sin cos

miny a b và maxy a b x x tanx a

a b b

Û = - + = + Û = Û =

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1)

(10)

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) cosx+ 3 sinx= 2 2) sin cos 6 x+ x= 2

3) 3 cos3x+sin3x= 2 4) sinx+cosx= 2 sin 5x 5) 3 sin 2 sin 2 1

x ỉ2 xư + çè + ÷ø=

p 6)

(

3 1 sin-

)

x-

(

3 1 cos+

)

x+ 3 1 0- = Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 2sin²x+ 3 sin 2x=3 2) _sin8_x_-_cos6_x₌ _{3 sin 6}( _x₊_cos8_x)

3) 8cos 3 1

sin cos

x= x+ x 4) cosx 3 sinx 2 cos x 3 p

ỉ ư

- = çè - ÷ø 5) sin 5x+cos5x= 2 cos13x 6) cos7x-sin 5x= 3(cos5x-sin 7 )x 7) sin8x-cos6x= 3(sin 6x+cos8 )x

1) (3cosx-4sinx-6)²+ +2 3(3cosx-4sinx- =6) 0 2) (4sinx-5cosx)² -13(4sinx-5cosx)+42=0

3) 8 0

14 sin 5 cos 12 sin 5 5 cos

12 + =

+ + +

+ x x x

x

4) x x

x x

3cos 4sin 6 6

3cos 4sin 1

+ + =

+ +

1) 3sinx-2 cosx=2 2) 3 cosx+4sinx- 3 0= 3) cosx+4sinx= -1 4) 2sinx-5cosx=5

5) 4sinx-3cosx=5 6) 3sin2x+2cos2x=3 7) 2sin2x+3cos2x= 13sin14x 8)

2 sin 9 3 2 cos

3 x+ x=

1) 2sin x sin x 3 2

4 4 2

p p

ỉ ư ỉ ư

+ + - =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø 2) 3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2

x x ỉ x 6ư

+ + ç - ÷=

è ø

p Bài 6. Tìm m để các phương trình sau cĩ nghiệm:

1) (m+2)sinx m+ cosx=2 2) (m+1) cosx m+( -1)sinx=2m+3 3) (m-1)sinx+2 mcosx m= ² 4) 3 sin²x 1sin 2x m

+2 =

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau vơ nghiệm:

1) (2 –1)sinm x m+( –1)cosx m= – 3 2) sinx m+ cosx=1 Bài 8. Tìm x sao cho y x

x 1 sin 2 cos

= +

+ là số nguyên.

Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

1) y =(2- 3)sin2x+cos2x 2) y =(sinx-cosx)² +2cos2x+3sinxcosx

3) 2cos sin 4

3 sin 2 cos

+ -

+

= +

x x

x

y x 4) y ^x ^x

x x

sin 2 cos 1 sin cos 2

+ +

= + +

Bài 10. Tìm các giá trị của a để phương trình cĩ nghiệm x₀ được chỉ ra:

1) (cosa +3sina - 3)x² +( 3cosa -3sina -2)x+sina -cosa + 3=0; x₀ =1. 2) (2sina -cos²a +1)x² -( 3sina)x+2cos²a -(3- 3)sina =0; x = 3.

(11)

Nếu đặt: t=sin²x hoặc t= sinx thì điều kiện: 0£ £t 1. (tương tự đối với cosx) Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin²x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin²x – 4cosx – 1 = 0 3) 3sin²2x+7cos2x-3=0 4) 6cos² x+5sinx-7=0 5) cos2x-5sinx-3=0 6) cos2x+cosx+1=0 7) 6sin²3x+cos12x=14 8) 4sin⁴ x+12cos² x=7

9) 4cos⁵x.sinx – 4sin⁵x.cosx = sin²4x 10) 4sin²x-2 3 1 sin

(

+

)

x+ 3 0= Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) tan²x+ -

(

1 3 tan

)

x- 3 0= 2) cot² x+( 3-1)cotx- 3=0 3) cot 2² x-4 cot 2x+ =3 0 4) 7tanx-4cotx=12

5) tan²x + cot²x = 2 6) 3

2 4

tan² ÷=

ø ç ư

è ỉ -p

x Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 4sin 3² x+2 3 1 cos3

(

+

)

x- 3 4= 2) 4 cos³x+3 2 sin 2x=8cosx 3) 4cos²(2 – 6x) + 16cos²(1 – 3x) = 13 4) ¹₂

(

3 3 tan

)

3 3 0

cos x

x- + - + =

5) 3

cosx + tan²x = 9 6) 9 – 13cosx + 4 ₂

1 tan+ x = 0 7) 1₂

sin x = cotx + 3 8) 1₂

cos x + 3cot²x = 5 9) cos2x – 3cosx = 4 cos²

2

x 10) 2cos2x + tanx = 4

5 Bài 4. Cho phương trình sin sin3 cos3 3 cos2

1 2sin 2 5

x x x

x x

ỉ + ư +

+ =

ç + ÷

è ø . Tìm các nghiệm của phương

trình thuộc

(

^{0; 2}^p

)

^.

Bài 5. Cho phương trình: cos5 .cosx x=cos 4 .cos2x x+3cos2x+1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc

(

^{-p p}^;

)

^.

Bài 6. Giải phương trình : sin⁴ sin⁴ sin⁴ 5

4 4 4

x ỉx ư ỉx ư

+ ç + ÷+ ç - ÷=

è ø è ø

p p

. Bài 7. Chứng minh phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi m:

⁴ ⁴ 1

sin x+cos x m+ sin .cosx x=

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng Đặt Điều kiện

asin²x b+ sinx c+ = 0 t = sinx - £ £1 t 1

cos2 cos 0

a x b+ x c+ = t = cosx - £ £1 t 1

tan2 tan 0

a x b+ x c+ = t = tanx ( )

x¹ +p2 k k ZỴ p

cot2 cot 0

a x b+ x c+ = t = cotx x k¹ p (k ZỴ )

(12)

Cách 1:

· Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn (1) hay khơng?

Lưu ý: cosx = 0 sin² 1 sin 1.

x 2 k x x

Û = +p p Û = Û = ±

· Khi cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos²x ¹0 ta được:

a.tan² x b+ .tanx c d+ = (1 tan )+ ²x

· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(a d t- ) ²+b t c d. + - =0 Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2

(1) . . .

2 2 2

x x x

a - b c + d

Û + + =

.sin 2 ( ).cos2 2

b x c a x d a c

Û + - = - - (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

1) 5sin²x+2 3 sin .cosx x+3cos²x=2 2) 3sin²x+8sin .cosx x+4 cos²x=0 3) 3sin²x+8sin .cosx x+

(

8 3 9 cos-

)

²x=0 4) 2 cos²x– 3sin .cosx x+sin²x=0 5) 4sin²x+3 3 sin .cosx x-2 cos²x=4 6) 3cos⁴x-4sin²xcos²x+sin⁴x=0 7) sin² sin 2 2 cos² 1

x+ x- x=2 8) cos²x+3sin²x+sin .cos –1 0x x = Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 2sin²x+ -

(

1 3 sin .cos

)

x x+ -

(

1 3 cos

)

²x=1 3) 2sin²x- +

(

3 3 sin .cos

)

x x+

(

3 1 cos-

)

²x= -1 3)

(

2 1 sin-

)

²x+sin 2x+

(

2 1 cos+

)

²x= 2

4)

(

3 1 sin+

)

²x-2 3 sin .cosx x+

(

3 1 cos-

)

²x=0 Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) sin³x+2sin .cosx ²x– 3cos³x=0 2) 3 sin .cos sin² 2 1 x x- x= 2- 3) sin³x-5sin .cos²x x-3sin .cosx ²x+3cos³x=0

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau cĩ nghiệm:

1) (m+1)sin²x– sin2x+2cos²x=1

2) (3 – 2)sinm ²x– (5 – 2)sin 2m x+3(2m+1) cos²x=0 3) msin²x+sin 2x+3 cosm ²x=1

4) (m²+2) cos²x-2 sin 2m x+ =1 0

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a.sin²x + b.sinx.cosx + c.cos²x = d (1)

(13)

Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

· Đặt: t sinx cosx 2.sin x ; t 2 4

p

ỉ ư

= ± = çè ± ÷ø £

2 1 2sin .cos sin .cos 1( 2 1).

t x x x x 2 t

Þ = ± Þ = ± -

· Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t £ 2. Suy ra x.

Lưu ý: · sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

p p

ỉ ư ỉ ư

+ = çè + ÷ø= çè - ÷ø · sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

p p

ỉ ư ỉ ư

- = çè - ÷ø= - çè + ÷ø Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

· Đặt: t sinx cosx 2. sin x ;Đk: 0 t 2.

4 p

ỉ ư

= ± = ç ± ÷ £ £

è ø

1 2

sin .cos ( 1).

x x 2 t

Þ = ± -

· Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang.

Đặt t tanx cotx x k ; t 2 2

p

ỉ ư

= + çè ¹ ³ ÷ø Bài 1. Giải các phương trình:

1) _{2sin 2}_x_-_{3 3 sin}( _x₊_cos_x)_{+ =}_{8 0}₂₎2 sin( x+cosx)+3sin 2x=2 3) 3 sin( x+cosx)+2sin 2x= -3 4)

(

₁_- _{2 1 sin}

)

( ₊ _x₊_cos_x)₌_{sin 2}_x 5) sinx+cos – 4sin .cos –1 0x x x = 6)

(

₁₊ _{2 sin}

)

( _x₊_cos_x)_-_{sin 2}_x_{= +}₁ ₂

1) _{sin 2}_x_-_{4 cos}( _x_-_sin_x)₌₄ ₂₎5sin 2 –12(sin – cos ) 12 0_x _x _x + = 3)

(

₁_- _{2 1 sin}

)

( ₊ _x_-_cos_x)₌_{sin 2}_x ₄₎_{cos – sin}_x _x+3sin 2 –1 0_x = 5) sin 2x 2 sin x 1

4 p

ỉ ư

+ ç - ÷=

è ø 6)

x x

1 1 2 2

cos3 -sin3 = Bài 3. Giải các phương trình:

1) sin³x+cos³x= +1

(

2 2 sin .cos-

)

x x 2) 1 sin³x cos³x 3sin 2x

+ + =2

3) 3tan²x+4 tanx+3cot²x+4 cotx+ =2 0 4) 2sin 2x-3 6 sinx+cosx + =8 0 5) sinx-cosx +4sin 2x=1 6) 1 sin 2- x= cosx+sinx

1) sin .cosx x=6(sinx+cosx m+ ) 2) sin 2x+2 2 (sinm x-cos ) 1 4x + - m=0 3) tan²x+cot²x m= (tanx-cot )x 4) x m x x

x

2 2

3 3tan (tan cot ) 1 0

sin + + + - =

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

(14)

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Dạng: A B. 0 é =AB 00

= Û ê =ë

Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác khơng mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích.

Các phép biến đổi thường sử dụng:

– Dùng cơng thức biến đổi từ tổng thành tích.

– Dùng cơng thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích.

– Nếu phương trình cĩ tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà khơng cĩ nhân tử chung thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích.

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin .cos2x x sin 2 .cos3x x 1sin 5x

= -2 (*)

· (*) Û sin .cos2x x 1(sin 5x sin )x 1sin 5x

2 2

= - - Û sin (2 cos2x x+ =1) 0

Û x x k

x x k x k

sin 0

cos2 1 3

2 3

p p

é = é =

ê Ûê Û =

= - = ± +

ê ê

ë ë

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x+cos4x+cos6x=0 (*)

· (*) Û 2 cos 4 .cos2x x+cos4x= Û0 cos4 (2 cos2x x+ =1) 0

Û x x k

x x k

cos 4 0

8 4

cos2 1

2 3

p p p p

é = éê = +

ê = - Û ê

ê ê = ± +

ë ë

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin³x + cos³x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos²x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos²x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin²3x 8) sin³x cos³x 1 1sin 2x

+ = -2 Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) cos3x-2 cos2x+cosx=0 5) cos10x-cos8x-cos6x+ =1 0 6) 1 cos+ x+cos2x+cos3x=0 Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos²x + 1 5) 4sin 2 .sin 5 .sin 7x x x=sin 4x 6) cos3 .cos 4x x sin 2 .sin 5x x 1cos2x cos 4x

+ = 2 +

1) sin²x = sin²3x 2) sin²x + sin²2x + sin²3x = 3 2

3) cos²x + cos²2x + cos²3x = 1 4) cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2 5) sin7x + cos²2x = sin²2x + sinx

VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC

(15)

Bài 5. Giải các phương trình sau: (dùng cơng thức hạ bậc) 1) sin⁶x cos⁶x 1

+ =4 2) sin⁸x cos⁸x 1 + =8 3) sin⁶x cos⁶x 5

+ =8 4) cos⁴x+2sin⁶x=cos2x

5) x x x

x

4 4 2

2

sin cos cos 1 1 0

4sin 2

+ - + - =

1) sin³x cos³x 1 sin 2 .sinx x cosx sin3x 2 4

p

ỉ ư

+ + ç + ÷= +

è ø

2) 1 sin2+ x+2cos3 (sinx x+cos ) 2sinx = x+2cos3x+cos2x 3) sinx+sin2x+sin3x= 2(cosx+cos2x+cos3 )x

4) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+2 cos2x=0 5) sin²x 2sin² x 2sin .sinx ² x cotx 0

2 2

+ - + =

6) sin .cos²x x-cos2x+sinx-cos .sin²x x-cosx=0 7) (2sinx-1)(2 cos2x+2sinx+ = -1) 3 4 cos²x 8) sin .sin 4x x 2 cos x 3 cos .sin 4x x

6 p

ỉ ư

= çè - ÷ø- Bài 7. Giải các phương trình sau:

1) sin3 .sin 6x x=sin 9x 2) sin³x-cos³x=sinx+cosx 3) sin³x+cos³x=sinx-cosx 4) sin (1 cos ) 1 cosx + x = + x+cos²x 5) cotx-tanx=sinx+cosx 6) 2 cos2x-sin 2x=2(sinx+cos )x

7) x x

2 x 1 sin 2 1 tan 2

cos 2

+ = - 8) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan- x + x = + x Bài 8. Giải các phương trình sau:

1)

(16)

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHƠNG ÂM

Dạng: A B A

A B0; 0 B 0

0 0

ì ³ ³ Ûì =

í + = í =

ỵ ỵ

Đặc biệt:

· A²+B² = Û í =0 ì =ỵBA 00 · A B A B A

A B1, 1 A1, 1B B 1

2 (1 ) (1 ) 0 1

ì £ £ Ûì £ £ Ûì =

í + = í - + - = í =ỵ

ỵ ỵ

Ví dụ: Giải phương trình: cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin³x+ =1) 0 (*)

(*) Û x x xx xx kk x l

2 2 cos 0 2

cos (sin 3 1) 0 sin3 1 2 2 2

6 3

p p p p

p p

ì = + ì = ï

+ + = Ûíỵ = - Ûíï = - + Û = + ỵ

1) sin²x 1sin 3² x sin .sin 3x x

+4 = 2) sin²x 1sin 3² x sin .sin 3x ² x

+4 =

3) 4 cos²x+3tan²x-4 3 cosx+2 3 tanx+ =4 0 4) cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin³x+ =1) 0 Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin 2x sin2x 2 0

+ 5 - = 2) sin⁵x-cos²x=1 3) sin (cos2x x+cos 4x+cos6 ) 1x = 4) sin 2 .cos8x x=1 5) sin 7x+cos2x= -2 6) sin³x+cos³x=1 7) sinx+2sin 2x+3sin3x+4sin 4x=10

1)

(17)

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Dạng:

A M A M

B MA B B M ì ³ï £ Ûì =

í í =ỵ

ï =ỵ

Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A ³ M và B £ M.

Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:

· Bất đẳng thức lượng giác cơ bản: - £1 sin , cosx x£1; 0 sin , cos£ ²x ²x£1

· Bất đẳng thức Cơ–si: Với mọi a, b ³ 0, ta cĩ: a b+ ³2 ab.

· Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta cĩ:

(ax by+ )² £(a²+b x²)( ²+y²) Đặc biệt: (a b+ )² £2(a²+b²)

Ví dụ: Giải phương trình: sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x (*)

· Ta cĩ: sinx cosx 2 sin x 2 4

p

ỉ ư

+ = çè + ÷ø£

2(2 sin 3 )- ^x = 2 1 (1 sin3 )

[

+ - ^x

]

³ 2

Do đĩ: (*) Û x x k

x l

x

sin 4 1 4 22

sin3 1

6 3

p p p

p p ì ỉ ư ìï = + ï ç + ÷= Û

í è ø í

ï = ï = +

ỵ ỵ

(vơ nghiệm)

1) sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x 2) (cos 4x-cos2 )x ²= +5 sin 3x 3) 5 sin 3+ ² x =sinx+2 cosx 4) 2 cos 2+ ² x =sin 3x-cos3x Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sinx+ 2 sin- ²x = +2 1 cos 4+ x 2) cos3x+ 2 cos 3- ² x =2(1 sin 2 )+ ² x

3) p^sin ^x = cosx 4) 3^sin ^x = cosx

5) 2^x =sinx² 6) 2 cosx 2^x 2 ^x 3= + ^- 7) 2 cos₂ x² x 2^x 2 ^x

6 ^-

+ = +

1) cos( )px =x²-4x+5

(18)

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

Dạng: A M B N A M

A B M N, B N

ì £ £ Ûì =

í + = + í =

ỵ ỵ

Ví dụ: Giải phương trình: cos⁷x+sin⁴x=1 (*)

· Ta cĩ: x x

x x

7 2

4 2

cos cos sin sin ìï £

í £

ïỵ . Suy ra: (*) Û x x

x x

7 2

4 2

cos cos (1)

sin sin (2)

ìï =

í =

ïỵ Phương trình (1) cho ta x

cosx 0 cos 1

é =

ê =

ë .

– Khi cosx=0 thì sinx= ±1: nghiệm đúng phương trình (2) – Khi cosx=1 thì sinx=0: nghiệm đúng phương trình (2)

Vậy (*) Û x x k

x x k

cos 0

cos 1 22

p p p é = Ûéê = +

ê = ê

ë ë =

1) sin⁴x+cos¹⁵x=1 2) sin³x+cos³x= -2 sin⁴x 3) cos¹³x+sin¹⁴x=1

1)

(19)

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

· Dự đốn nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình cĩ nghiệm duy nhất.

· Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đĩ, với mọi a, b Ỵ (a; b) ta cĩ: f(a) = f(b) Û a = b.

Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét.

1) cosx= +1 x 2) sinx x=

3) cosx 1 x²

= - 2 4) 2^sin^x cos ,x x 0;

2 p é ù

= Ỵ êë úû 5) sinx tanx 2x 0, 0 x

2 + - = £ <p

1) cos²x+ -(1 m)cosx m+ -1, xỴ(0; )p

2) x x x x m x

x x

1 1 1

sin cos 1 tan cot , 0;

2 sin cos 2

p

ỉ ư ỉ ư

+ + + çè + + + ÷ø= Ỵçè ÷ø 3) sin 2x+4(cosx-sin )x =m

4) sin⁶x+cos⁶x m= (sin⁴x+cos )⁴x Bài 3. Giải các phương trình sau:

1)

(20)

1) 1 tan+ x = tan 3 (1 tan )x - x 2) x x x x x sin 6 8.cos .cos2 .cos 4

= sin 3) 4 cos .cos2 .cos 4x x x + =1 0 4) sinx-2sinx-sin3x =2 2

5) cos⁴x-cos2x+2sin⁶x =0 6) cos²x-4 cosx-2 .sinx x x+ ²+ =3 0.

ĐS: 1) x k

8 2

p p

= + 2) x k

14 7

p p

= + 3) x k2 ; x k

2

p p p p

= + = +

4) vơ nghiệm 5) x kp= 6) x = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) tan 2 .tan 7x x =1 2) sin³x cos³x 2 + = 2 3) cos .cos .cosx x 3x sin .sin .sinx x 3x 1

2 2 - 2 2 = 2 4) x x x

x x

3 cos sin 1 1tan2

3cos 1 sin 2 2

+ -

+ - = - 5)

x

x x

x 5cos4

3 sin tan 2

- + = cos 6) log _{2 sin}_x(1 cos ) 2+ x =

ĐS: 1) x k

18 9

p p

= + 2) x k2 ; x k2 , cos 3 1

4 4 4

p p

p a p a -

= + = + + =

3) x k ; x k2 ; x k2 ; x 5 k2

4 2 6 6

p p p p p p p p

= - + = - + = + = +

4) x k= 2 ;p x=2a +k2 (tanp a = 5 1);- x= -2b+k2 (p tgb = 5 1)+ 5) vơ nghiệm 6) x k2

3 p p

= + Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) tanx+tan 4x =2 tan3x 2) 9cos3 .cos5x x+ =7 9cos3 .cosx x+12 cos 4x 3) sin³x+cos³x = -2 sin .⁴x 4) sinx cosx 1 sinx thỏa x 3 .

2 2 2 2 4

p p

- = - - £

5) ³ ^x ⁹ ^x

1 log cos 1 log sin

2 2

3 ⁺ + 6 9= ⁺ 6) sin¹⁹⁹⁴x+cos¹⁹⁹⁴x =1 ĐS: 1) x k ; x k

12 2

p p p

= = ± + 2) x k2 ; x l2 , cos 2 2 1

p p a p a 3

= + = ± + = -

3) x k2

2 p p

= + 4) x , , 2 , 5

2 2

p p

p p

= 5) x 5 k2

12 p p

= - + 6) x k 2

= p Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) 3 sin 3x-2sin²x = 2 3 sin .cos2x x

2) 2 cos13x+3(cos5x+cos3 ) 8cos .cos 4x = x ³ x

3) x x x x

x x

2

1 cos2 cos5 cos3 2 2 sin 3 2 cos 2 cos 1

+ + + = -

+ -

4) x x x x thỏa ₁ x

2

sin .tan 2 + 3(sin - 3.tan 2 ) 3 3= 2 log+ £ 0 5) 3cot²x+4 cos²x-2 3 cotx-4 cosx+ =2 0

VI. BÀI TẬP ƠN

(21)

ĐS: 1) x k ; x k2 ; x 2 k2

3 3

p p

p p p

= = + = + 2) x k

12

= p 3) x k2p=

4) x k ,k 3

6 2

p p

= - + ³ 5) x k2

3 p p

= + Bài 5. Tìm m để phương trình:

1) sin 5x m= .sinx cĩ ít nhất một nghiệm x k¹ p (k ZỴ ).

2) x x x x m

x x

1 1 1

sin cos 1 tan cot

2 sin cos

ỉ ư

+ + + ç + + + ÷ =

è ø cĩ nghiệm x 0;

2 p

ỉ ư

Ỵ ç ÷ è ø. 3) 2sinx-1)(2 cos2x+2sinx m+ ) 3 4 cos= - ²x cĩ đúng 2 nghiệm thuộc

[ ]

0;p . 4) cos⁴x+ -(1 cos )x ⁴ = m vơ nghiệm.

5) cos³x+sin³x m= .sin .cosx x cĩ nghiệm.

6) sin²x+sin 3² x m- .cos 2² x = 0 cĩ nghiệm.

ĐS: 1) 5 m 5

-4 £ < 2) m ³2( 2 1)+ 3) m < -1 hay m > 3 hay m =0.

4) m 1 m 17

<18 Ú > 5) " Ỵm R 6) m ³ 0.

Bài 6. Tìm m để phương trình:

1) 3cos²x+2 sinx = m cĩ nghiệm duy nhất thuộc đoạn ; 4 4 p p

é ù

ê- ú ë û. 2) sinx-cosx + 4sin 2x m= cĩ nghiệm.

3) 1 2 cos+ x+ 1 2sin+ x = m cĩ nghiệm.

ĐS: 1) 2) 2 4 m 65.

- £ £ 16 3) 1+ 3 £ m£ 2 1+ 2 . Bài 7. Giải các phương trình sau:

1)

(22)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình:

x x x x

x cos3 sin 3

5 sin cos2 3

1 2sin 2

ỉ + ư

+ = +

ç + ÷

è ø

HD: Điều kiện: x m

x n

712 12

p p p p ì ¹ - + ïí

ï ¹ + ỵ

. PT Û 5cosx=2 cos2x+3 Û cosx 1

= 2 Û x x

53 3 p

p é = êê ê =ë

.

Bài 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 3² x-cos 4² x=sin 5² x-cos 6² x HD: PT Û cos .sin 9 .sin 2x x x=0 Û sin 2 .sin 9x x=0 Û x k

x k 9 2 p p é = êê ê =êë

. Bài 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos3x-4 cos2x+3cosx- =4 0

HD: PT Û 4 cos (cos²x x- =2) 0 Û cosx=0 Û x ;x 3 ;x 5 ;x 7

2 2 2 2

p p p p

= = = = .

Bài 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x a

x x

2sin cos 1 sin 2 cos 3

+ +

- + = (a là tham số).

1. Giải phương trình khi a 1

=3. 2. Tìm a để phương trình cĩ nghiệm.

HD: 1) x k

4 p p

= - + 2) 1 a 2

- £ £2 (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx) Bài 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tanx cosx cos²x sin 1 tan .tanx x x

2

ỉ ư

+ - = ç + ÷

è ø.

HD: x k= 2p . Chú ý: Điều kiện: x cosx 0

cos 1

ì ¹

í ¹ -

ỵ và x x

x 1 tan .tan 1

2 cos

+ = .

Bài 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình:

(

_x

)

_x

x x

4 2

4

2 sin 2 sin3

tan 1

cos

+ = - .

HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û sin3x 1 x k2 ; x 5 k2

2 18 3 18 3

p p p p

= Û = + = + .

Bài 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x x

x x

4 4

sin cos 1cot 2 1

5sin 2 2 8sin 2

+ = - .

HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û cos 2² x 5cos2x 9 0 x k

4 6

p p

- + = Û = ± + .

Bài 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x

2x

1 sin

8cos = .

HD: Điều kiện: x cosx 0 sin 0

ì ¹

í >

ỵ

PT Û x k2 ; x 3 k2 ; x 5 k2 ; x 7 k2

8 8 8 8

p p p p

= + = + = + = +

Bài 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:

(23)

_{2 sin}

(

⁴_x₊_cos⁴_x

)

₊_{cos 4}_x₊_{2sin 2}_{x m}_{- =}₀ _(*)

cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2 p é ù ê ú ë û.

HD: 10 m 2

- 3 £ £ - .

Đặt t = sin2x. (*) cĩ nghiệm thuộc 0;

2 p é ù ê ú

ë û Û f t( ) 3= t²- = +2t m 3 cĩ nghiệm tỴ[0;1]

Bài 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình: x x x x

x

cos2 2 1

cot 1 sin sin 2

1 tan 2

- = + -

+ .

HD: Điều kiện: sinx¹0, cosx¹0, tanx¹ -1.

PT Û (cosx-sin )(1 sin .cosx - x x+sin ) 0²x = Û x k 4 p p

= + .

Bài 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x

x cot tan 4sin 2 2

sin 2

- + = .

HD: Điều kiện: x sin x 0 cos 0

ì ¹

í ¹

ỵ . PT Û 2 cos 2² x-cos2x- =1 0 Û x k 3 p p

= ± + . Bài 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin² x tan²x cos² x 0

2 4 2

p

ỉ ư

- - =

ç ÷

è ø .

HD: Điều kiện: cosx¹0.

PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0x = Û x k

x k

2 4 p p

p p é = + ê = - + êë

. Bài 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: _cos2_x₊_{cos 2 tan}_x

(

² _x_{- =}₁

)

₂_.

HD: Điều kiện: cosx ¹ 0.

PT Û (1 cos )(2 cos+ x ²x-5cosx+2) 0= Û x (2k 1) , x k2 3

p p p

= + = ± +

Bài 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: _{3 tan tan}_- _x( _x₊_2sin_x)₊_{6 cos}_x₌₀_. HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û (1 cos2 )(3cosx ²x sin ) 0²x x k

3 p p

+ - = Û = ± +

Bài 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos 4x-8cos⁶x+2 cos²x+ =3 0. HD: PT Û cos2 ( 2 cosx ⁴x 5cos²x 3) 0 x k ,x k

4 2

p p

p

- + - = Û = + =

Bài 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:

( )

x ^x

x 2 3 cos 2sin2

2 4 1

2 cos 1

p

ỉ ư

- - çè - ÷ø =

- .

HD: Điều kiện: cosx 1

¹ 2. PT Û 3 cosx sinx 0 x (2k 1) 3

p p

- + = Û = + +

Bài 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: _x( _x ) x x x

cos2 cos 1 2(1 sin ) sin cos

- = +

+ .

HD: Điều kiện: sin x 0 4 p

ỉ ư

+ ¹

ç ÷

è ø .

PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0x ² x x p k ,x k2

p p p

+ + = Û = - + = +

(24)

Bài 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x x x x 2 cos 4 cot tan

sin 2

= + .

HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û 2 cos 2² x cos2x 1 0 x k 3 p p - - = Û = ± + . Bài 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin ) tan- x ²x.

HD: Điều kiện: cosx¹0. PT Û 2sin²x+3sinx- =2 0 Û x k

x k

6 2

5 2

6 p p

p p é = + êê

ê = + ë

. Bài 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx.

HD: PT Û (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x = Û x k

x k

3 2 4 p p p p é = ± + êê

ê = - + ë

.

Bài 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: _{4 sin}

(

³_x₊_cos³_x

)

₌_cos_x₊_3sin_x_.

HD: PT Û tan³x-tan² x-3tanx+ =3 0 Û x k ; x k

4 3

p p p p

= + = ± + . Bài 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1 sin- x+ 1 cos- x =1.

HD: Đặt u x

v x

1 sin 1 cos ìï = - í = -

ïỵ . PT Û u v

u^{2 2} v^{2 2} 1

(1 ) (1 ) 1

ì + =

í - + - =

ỵ Û u

v 0 ì =1

í =ỵ hoặc u v 1 ì =0 í =ỵ Û x k2 ; x k2

2

p p p

= + = .

Bài 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x

x x

1 1

2 2 cos

4 sin cos

p

ỉ ư

+ + =

ç ÷

è ø .

HD: Điều kiện: x sin x 0 cos 0

ì ¹

í ¹

ỵ . PT Û (cosx-sin )(1 sin 2 ) 0x + x = Û x k 4 p p

= ± + . Bài 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 .sin 7x x=cos3 .cos6x x.

HD: x k ; x k

20 10 2

p p p

p

= + = + .

Bài 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin .cos2x x+sin 2 .cosx x=sin 4 .cosx x. HD: PT Û sin3 (cos2x x- =1) 0 Û x k

3

= p .

Bài 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos2 )x . HD: PT Û x k2 ; x 2 k2

9 3

p p

= + = +

Bài 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos 3 .cos2² x x-cos²x=0. HD: PT Û 2 cos 4² x+cos4x- =3 0 Û x k

2

= p .

Bài 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos2x=0. HD: PT Û (sinx+cos )(2 cosx x+ =1) 0 Û x k ; x 2 k2

4 3

p p

= - + = ± + .

Bài 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos⁴x