Giải toán tích phân bằng nhiều cách

(1)

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Gửi tặng: www.toanmath.com

Bỉm sơn. 13.03.2011

Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại:

+ Trang web: www.toanmath.com + Fanpage: www.facebook.com/toanmath

+ Groups: https://www.facebook.com/groups/toanmath

(2)

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

2

(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:

3 3

2

0 1

I x dx

 x



 Giải:

Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt ^x^^tan^t ^^dx^



^{1 tan}^ ²^{t dt}



Đổi cận 3

0 3

0 x t

x t

 

  

 

 

 

  

Khi đó

   

3 3 3 3

3 2 2

0 0 0 0

tan tan tan 1 1 tan tan 1 tan

I tdt t t dt t t dt tdt

   









  



 



   

²

3 3

0 0

cos tan 3

tan tan ln cos 3 ln 2

cos 2 2

0

d t t

td t t

t

 

 

     

 

 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng ^I ^{R u u}



^, ² ^a²



^{du u}^, ^{u x}

 









  thì ta có thể đặt uatant Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần

Đặt

 

2

2 2

2

ln 1

1 2

du xdx u x

xdx x

dv v

x

 

  

 

 

 

 



 

Khi đó

       

3 3

2 2 2 2 2

0 0

1 3 1

ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1

2 0 2

J

I  x x  



x x  dx 



x  d x 



Tính

   

3

2 2

0

ln 1 1

J 



x  d x 

Đặt

 



²



2

2 2

2

ln 1 1 1 1

1

u x du d x

dv d x x

v x

 

   

 

  

 

 

   

(3)

Khi đó

     

3

2 2 2

0

1 3 3

3ln 2 1 ln 1 1 ln 2

2 0 2

I  x x d x 

        

 







Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng

 

   

 

'

n n

P x f x Q x

I dx dx

Q x Q x









^thì

Đặt

 

' n

u f x Q x du

dv dx v

Q x





 

 

 



Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số

Nhận xét: Ta có x³  x x². và



^x² ^¹



^' ^²^x từ đó ta định hướng giải như sau Phân tích

3 3 3 2

2 2

0 1 0 1

x x x

I dx dx

x x

 

 

 

Đặt

2 2

1 1

2

x t

t x dt

xdx

  

   

 



Đổi cận 3 4

0 1 x t x t

   

 

 

 

 



Khi đó

 

4 4

1 1

1 4

1 1 1 1 3

1 ln ln 2

1

2 2 2 2

I t dt dt t t

t t

  

        

 

 

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân

   

 

3 2 3 2 3

2 2 2

0 0 0

3 3 2 2

2 2

2

0 0

1 1

1 1 1 1

2 1 2 1 2 1

1 1 3 3 3

1 ln 1 2 ln 2

2 1 2 0 0 2

x x

I d x d x d x

x x x

d x x

x

   

         

    



       



  

 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

 

3 3 3 2 3 2

2

2 2 2

0 0 0

1 1 3 1 3

3 3

ln 1 ln 2

2 2 2 2 2

1 1 0 1 0

x x x d x

I dx x dx x

x x x

  

           

    

  

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất

Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có ^x³ ^ ^{x x}



² ^¹



^^x

Khi đó

 

3 3 3 2 3 2

2

2 2 2

0 0 0

1 1 3 1 3

3 3

ln 1 ln 2

2 2 2 2 2

1 1 0 1 0

x x x d x

I dx x dx x

x x x

  

           

    

  

(4)

4 Bài 2: Tính tích phân bất định:

  

3 3

2

3 3

1 2

3 2

x x

I dx dx

x x

 

 

 

 

Giải:

Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích ^x³ ^^{x x}



²^³^x^²

 

^³ ^x²^³^x^²



^⁷



^x^¹



^¹

Khi đó



²

 

²

  

3

2 2

3 2 3 3 2 7 1 1

3

3 2 3 2

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

       

 

   

 

     

7 1 2 1

3 3 7 ln 2

2 1 2 2 1 2

x dx x x x dx

x x x x x

 





            



 

2 2

3 7 ln 2 ln 2 ln 1 3 8 ln 2 ln 1

2 2

x x

x x x x C x x x C

               

Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”

Phân tích ^x³ ^^{x x}



²^³^x^²



^³



^x^¹



^x^¹

 

^ ²^x^³





² ³ ²



³



¹

 

²



³



² ³

 

² ³ ²



³



¹



²



⁹



¹

 

² ³



x x x x x x x x x x x x x

                   

Khi đó



²

      

3

2 2

3 2 3 1 2 3 2 3

3

3 2 3 2

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

        

 

   

 

2

2 2

9 2 3

3 3 9 ln 2 ln 3 2

2 3 2 2

x x

x dx dx x x x x C

x x x

  

             

  

 

 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích ^x³ ^^{x x}



²^³^x^²

 

^³ ^x²^³^x^²



^⁷^x^⁶

Khi đó ³



²

 

²



2 2

3 2 3 3 2 7 6

3

3 2 3 2

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

      

 

   

 

 

2 2 1

7 6

3 3

3 2 2

x x

x dx dx x I

x x

      

 

 

^.

Tính I₁ bằng phương pháp đồng nhất thức….

Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

 

1

3

2 2 2

3 9 8 9 8

3 3

3 2 3 2 3 2

I

x x x

I dx x dx x dx dx

x x x x x x

 

 

        

       

   



Tính I₁ bằng phương pháp đồng nhất thức….

Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:

 

3 3

2

2 2 1 1

x x

I dx dx

x x x

 

  

 

Giải:

Cách 1: Phương pháp đổi biến số

(5)

Đặt 1

1 du dx u x

x u

 

   

 



Khi đó

 

³ ³ ² ²

2 2 2

1 3 3 1 3 1 1

3 3 3ln

2

u u u u u

I du du u du u u C

u u u u u

     

            

 

  

với ux1

Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích ^x³ ^^{x x}



²^²^x^¹



^²



^x²^²^x^¹



^³



^x^¹



^¹

Khi đó ³



²

 

²

  

2 2

2 1 2 2 1 3 1 1

2 1 2 1

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

       

 

   

 

 

2 2

3 1 1

2 2 3ln 1

1 1 2 1

x dx x x x C

x x x

 

           

  

 

 



Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích ³



² ² ¹



²



² ² ¹



¹ ³



² ²



x x x  x  x  x  2 x

Khi đó ³



²

 

²

  

2 2

2 1 2 2 1 1 3 2 2

2

2 1 2 1

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

       

 

   

 

2

2 2

1 3 2 2 3

2 2 ln 1 ln 2 1

1 2 2 1 2 2

x x

x dx dx x x x x C

x x x

  

             

  

 

 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích ^x³ ^^{x x}



²^²^x^¹



^²



^x²^²^x^¹



^³^x^²

Khi đó ³



²

 

²



2 2

2 1 2 2 1 3 2

2 1 2 1

x x x x x x

I x dx dx

x x x x

      

 

   

 

 

2 2 1

3 2

2 2

2 1 2

x x

x dx dx x I

x x

      

 

 

^.

Tính I₁ bằng phương pháp đồng nhất thức

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản

   

3 3

2 2 2

2

3 1

2 1

2 1 1 1

2 3ln 1 1

2 1

x x

I dx dx x dx

x

x x x x

x x x C

x

 

       



     

     



  

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt

 

3 2

2

3 1

1 1

u x du x dx

dv dx v

x x

   

 

    

   

 Khi đó

(6)

6

3 2 3 2

3 3 2

3 3 1 1

1 1 1 1

3 1 1 3 ln 1

1 1 1 2

x x x x

I dx dx

x x x x

x x x

x dx x x C

x x x

       

   

 

              

      

 



Bài 4: Tìm nguyên hàm:

 

2

1 39

I x dx x





 Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích ^x² ^^_



¹^^x



^¹^_² ^



¹^^x



² ^^{2 1}



^^x



^¹

 

       

2 2

39 39 37 38 39

1 2(1 ) 1 1 2 1

1 1 1 1 1

x x

x

x x x x x

   

    

    

 

³⁷

 

³⁸

 

³⁹

 

³⁶

 

³⁷

 

³⁸

1 1 1 1 1 2 1 1 1

2 36 37 38

1 1 1 1 1 1

I dx dx dx C

x x x x x x

      

     

  

Cách 2:

Đặt t  1 xx  1 t dx dt

 

²

39 39 38 37 38 37 36

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

2 38 37 36

t dt

I dt dt dt C

t t t t t t t

  



  











   

Nhận xét:

   

2

39 38

2 1

38 1

1

du xdx u x

dx v

dv

x x

   

 

   

   

 Khi đó

   

2

38 38

1 1

38 1 19 1

I x x dx

x x

 





 …. đến đây các bạn có thể tự làm rồi Bài 5: Tìm nguyên hàm:

3

( 1)10

I x dx

 x



 Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

Sử dụng đồng nhất thức: ^x³ ^^_



^x^¹



^¹^_³ ^



^x^¹



³ ^³



^x^¹



² ^³



^x^¹



^¹

3

10 7 8 9 10

1 3 3 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x

x x x x x

    

    

Khi đó

7 8 9 10

6 7 8 9

3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 3 1 3 1 1 1

6( 1) 7( 1) 8( 1) 9( 1)

dx dx dx dx

I x x x x

x x x x C

    

   

     

   

   

(7)

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t x1 ta có: x t 1 nên dxdt

 

³ ³ ² 7 8 9 10

10 10

1 ( 3 3 1)

3 3

t dt t t t dt

A t dt t dt t dt t dt

t t

   

   

























6 7 8 9

1 1 3 1 3 1 1 1

6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C

x x x x

     

   

   

3 2

10 9

3 1

1 9 1

u x du x dx

dv dx v

x x

   

 

    

   

 

Khi đó

   

1

2 3

9 9

1 1

3 ...

9 1 1

I

I x x dx

x x

  









đến đây rùi ta có thể tính I₁ bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích

    

2 2

1 1 1 1 1

x  x    x x  Nhận xét :

-Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất

Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý

-Đối với tích phân hàm phân thức có dạng

 

ⁿ

I P x dx

x a





 ^{thì đặt}^t ^ ^x^^a là một phương pháp hiệu quả nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng

 

   

 

'

n n

P x f x Q x

I dx dx

Q x Q x









thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của



^x^^a



^làⁿ^^{1, 2}

Đặt:

 

' n

u f x Q x du

dv dx v

Q x





 

 

 



Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:

 

3 3

3 2

0 0 1

dx dx

I x x x x

 

 

 

HD:

Cách 1: Biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho x²

   

3 3 3

3 2 2 2

0 0 1 0 1

dx dx xdx

I  x x  x x  x x

  

  

(8)

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

8 Đặt

2 2

1 1

2

x t

t x dt

xdx

  

   

 

 Cách 3: Biến đổi số

Đặt xtanu… Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử ¹^



¹^^x²



^–^x²

Khi đó ³ ³



²



2

2 0

0 0 0

3 3

2

1 3 1 3

ln ln 1

2 1

1 6

2 0 ln 2

1 0

dx x dx

I dx d x

x x

x

x x x

    



  

 



 

2

5 3

1

I dx

x x





 Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 1 x²  1 x²

 

2 2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

3 2

1 1 1 1 1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) 1

1

x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x

   

        

   

 Khi đó

2

3 2

2 2

2

1 1 1

1 1 1 1 1 2

ln 3 1 5

ln 2 ln ln 1 8

1 2

2 2 2

1

I dx dx x dx x x

x

x x x

 

           

  

  

Cách 1.2: Phân tích: ¹^ ^x⁴ ^{ }¹ ^x⁴ ^ ^x⁴ ^



¹^^x²



¹^^x²



 

  

4 2 2

4 4 2

3

3 2 3 2 2 3 2

3 2

1 1

1 1 1 1

( 1) ( 1) 1 1

1

x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

   

  

       

   

 ... tự làm nhé

Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số Phân tích

   

2 2

2 1

3 2 2

1

1 1 1

.

1 1

I dx dx

x x x x x

 

 

 

Đặt

2

1 1

1 x t t x

dx dt

t

 



  

  

 Đổi cận

2 1 1 2

1

x t

  

 

 

   

(9)

Khi đó

1

1 3

2

2 2

2

1 1

2

1

1 1 1

1

t ...

I t t dt dx

t t t

    

  







 

đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số

   

2 2

3 2 4 2

1 1

1

1 1

I dx x dx

x x x x

 

 

 

Đặt ² 1

2 t x   dt  xdx

Đổi cận 2 5

1 2

x t

 

 

 

 

 

Khi đó

   

5 5

2 2

1 1 1 1 1 1 5 3 1 5

ln ln 2 ln

2 1 2 1 1 2 8 2 2

1 1

dt t

I dt

t t t t

t t t

   

            

  

     

 

Hoặc các bạn có thể đặt u t 1 hoặc phân tích ¹^{ }^t



^t^¹



hoặc đồng nhất thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân

       

 

     

   

2 2 2

2

3 2 4 2 4 2

1 1 1

2 2

2 2 2

4 2 4 2 2

1 1 1

2 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 1 2 2 1

I dx x d x

x x x x x x

x x

d x d x d x

x x x x x

    

  

 

      

 

  

 

2 2

3 2

1 1

...

1

dx dx

x x x

 

 

 ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức

 

³ ² ²

3 2

1 1 1

A B C Dx E

x x x x

x x

    

  đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I  A B C D E, , , , tuy nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất

Cách 6: Đặt ^x^^tan^u^^dx^



^tan²^¹



^dt… bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau:

1 3

0 1

I dx

 x



 Giải:

Nhận xét: ^x³ ^{ }¹



^x^¹

 

^x² ^{ }^x ¹



Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:

    

2 2 2

1x  x 1  x  x1 x1 Khi đó

1 2 1

1 2

1

x x

I dx  dx I I









 

(10)

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

10 Tính I₁ bằng cách đặt t  x³ 1 hoặc ¹



³



1 3

0

1 1

3 1

I d x x









Tính I₂ phân tích ¹ ¹



² ¹



¹

2 2

x  x  (kĩ thuật nhảy tầng lầu) Ta có

1 1 1

2 2 2 2

0 0 0

1 1 2 1 1

2 2

1 1 1 3

2 4

x x dx

I dx dx

x x x x

x

 

  

     

 

 

 

  

Cách 2: Đồng nhất thức

Xét 3 2



²

   

1 1 1 1

1

1 1

A Bx C

A x x Bx C x

x

x x x

         



  

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là

1 2 1

1 ; 0 ; 1

3 3 3

x  A x C x  B  …Bạn tự giải tiếp nhé Kết quả ta được 1

3ln 2 3 3

I 

 

Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”

 

     

1 1 1

3 2 2

0 0 0

1

1 1 1 1 1 3 1 3

dx dx d x

I x x x x x x x

   

          

  

Đặt x  1 t dxdt

Đổi cận 0 1

1 2

x t

 

 

 

 

 

 

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

dt 1 3 3 3 1 dt 3

3 dt 3 3 3

3 3 3 3

t t t t t

t t t dt

t t t t t t

 

    

     

 

     

   

 

2 2 2 2

2 2

1 1 1

2 2

1 dt 1 3 3 3 dt

3 2 3 3 2 3 3

2 4

1 1 2 3 2 1

ln 3 arctan ln 2

1

3 2 3 3 3 3 3 3

d t t

t t t

t

t t



   

    

 

   

 

 

  

     

 

 

  

Bài 15: Tính tích phân bất định:

 

4 3

50

3 5 7 8

2

x x x

I dx

x

  





 ^.

Giải :

Cách 1: Biến đổi số

Đặt 2

2 x t

x t

dx dt

  

   

  Khi đó

 

⁴

 

³

 

4 3

50 50

3 2 5 2 7 2 8

3 5 7 8

2

t t t

x x x

I dx dt

x t

     

  

 







Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức

(11)

Phân tích ³^x⁴ ^⁵^x³ ^⁷^x^{ }⁸ ^{a x}



^²



⁴ ^^{b x}



^²



³ ^^{c x}



^²



² ^^{d x}



^²



^^e… đồng nhất để tìm a, b, c, d, e

…

Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt _{P x}₄ ₃_x⁴ ₅_x³₇_x₈

Áp dụng khai triển taylor ta có

     

   

 

  

 

  

 

3 4

2 3 4

4 4 4 4

4 4

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1! 2! 3! 4!

P P P P

P x P   x   x  x  x

         

     ²  ³  ⁴

4 66 149 2 48 2 29 2 3 2

P x x x x x

         

       

 

         

2 3 4

50

50 49 48 47 46

49 48 47 46 45

66 149 2 48 2 29 2 3 2

2

66 2 149 2 48 2 29 2 3 2

66 149 48 29 3

49 2 48 2 47 2 46 2 45 2

x x x x

I dx

x

x x x x x dx

C

x x x x x

    

       

 



 

           

      

    



Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:

1 5 2 2

4 2

1

1 1

I x dx

x x



 

 



Giải:

Ta có

1 5 1 5 1 5

2

2 2 2 2 2

4 2 2

1 1 2 1

2

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

x dx x dx x dx

x x

    

   

  

 

       

 

  

Đặt 1 1₂

1

t x dt dx

x x

 

     

  . Đổi cận

1 0

1 5

1 2

x t

 

 

  

  

 Khi đó

1 2 01 I dt

 t



 ^{. Đặt}^t^^tan^u^^dt ^



^{1 tan}^ ²^{u du}



^.

Đổi cận 0 0

1 4

t u

t u 

 

  

 

 

 

 Khi đó

1 4 2 4

2 2

0 0 0

1 tan

4 . 4

1 1 tan

0

dt u

I du du u

t u

 

     

 

  

Cách khác:

(12)

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

12

Ta có thể gộp hai lần đặt là 2



²



1 1

tan 1 1 tan

x u dx u du

x x

 

      

  … bạn đọc tự giải

Bài 17: Tính tích phân: I

2 2

4 1

1 1

x dx

x

 



 Giải:

Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x² 0 ta được

Biến đổi

2 2 2 2

2

1 2 1

2

1 1

2

x x

I dx dx

x x

 

 

 

    

 

 

Đặt 1 1₂

1

u x du dx

x x

 

     

 

Khi đó I

5 2

2 2

1 2

2 2 2ln 2

du u

u u

  

 



^{5/ 2}₂ ^_{2 2}¹ ^ln^{(5 2 2)(2}^ ₆_ ₂^ ²⁾

Cách 2: Phân tích ^x⁴ ^{ }¹



^x² ^¹



² ^²^x² ^



^x² ^ ²^x^¹



^x² ^ ²^x^¹



và sử dụng đồng nhất thức

2

4 2 2

1

1 2 1 2 1

x Ax B Cx D

x x x x x

  

 

     … đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp nên không đưa ra

Nhận xét:

- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản hơn

-Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai ^{P x}

 

^^x² ^¹ còn mẫu là một đa thức bậc 4: ^{Q x}

 

^^ax⁴ ^^bx³ ^^cx² ^^dx^^e sao cho hệ số ae1

-Tích phân trên đưa về dạng 1 1₂ 1

I f x dx

x x

   

     

   



^ ^đặt^t ^^x^¹_x ^^dt^{ }^_¹^ _x¹² ^^_^dx

Tương tự ta có thể giải bài toán này 1.Tính tích phân sauI

2 2

4 1

1 1

x dx

x

 





2 2 2 2

2

1 2 1

2

1 1

2

x x

I dx dx

x x

 

 

 

    

 

 

^{. Đặt}^u^ ^x^¹_x ^^du^^^_¹^ _x¹² ^^_^dx

2.(ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:

(13)

  

2 2

2 2 2

1 1 5 1

8ln 3 1

5 1 3 1

x x x

I dx C

x x

x x x x

  

   

 

   



 

1 3 4 4

0

1 I 



x x  dx Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số

Đặt ⁴ 1 4 ³ ³

4 t x  dt x dx x dxdt

Đổi cận 1 2

0 1

x t

 

 

 

 

 

Khi đó

 

1 2

3 4 4 4 5

0 1

1 1 2 31

1 .

1

4 20 20

I x x dx t dt  t 

     

 

 

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số

Đặt ⁴ ³

4

t x dt x dx

Đổi cận 1 1

0 0

x t

 

 

 

 

 

Khi đó

   

1 1 5

4 2 3 4 2 3 4

0 0

1 1 1 1 31

1 1 4 6 4 2 2

0

4 4 4 5 20

I t dt t t t t dt t t t t t 

              

 

 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân

      

⁴



⁵

1 1

4 4

3 4 4 4

0 0

1 1

1 1 31

1 1 1 .

0

4 4 5 20

I x x dx x d x x 





 



   

Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích

Phân tích ^x³



^x⁴ ^¹



⁴ ^^x³



^x¹⁶^⁴^x¹² ^⁶^x⁸ ^⁴^x⁴ ^¹

 

^ ^x¹⁹ ^⁴^x¹⁵ ^⁶^x¹¹^⁴^x⁷ ^^x³



Khi đó

   

1 1 20 16 12 8 4

3 4 4 19 15 11 7 3

0 0

1 31

1 4 6 4

0

20 4 2 2 4 20

x x x x x

I x x dx x x x x x dx  

             

 

 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất

Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:

 

1 5 3 6

0

1 1

I 



x x dx168 Giải:

Ta có

   

1 1

6 6

5 3 3 3 2

0 0

1 1

I 



x x dx



x x x dx Cách 1: Đổi biến số

(14)

14 Đặt

2 3

3

1 3

1 dt x dx

t x

x t

 

   

  



Đổi cận 1 0

0 1

x t

 

 

 

 

 

     

0 1 1 7 8

6 6 6 7

1 0 0

1 1 1 1 1

1 1

3 3 3 3 7 8 168

t t

I t t dt t t dt t t dt  

          

 

  

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân

         

           

1 1 1 1

6 6 6 7

5 3 2 3 3 2 3 2 3

0 0 0 0

7 8

3 3

1 1

6 7

3 3 3 3

0 0

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 . .

0 0

3 3 7 3 8 168

I x x dx x x x dx x x dx x x dx

x x

x d x x d x

 

         

 

 

          

   

 

Cách 3: Khai triển



¹^^x³



⁶ thành tổng các đa thức ^^x⁵



¹^^x³



⁶.. cách này không khó nhưng khai triển phức tạp… chỉ tham khảo thôi

Chú ý: Nếu ta đặt t x³ cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo Bài 20: Tính tích phân sau

 

2

2 0

1 I 



x x dx Giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có ^{x x}



^¹



² ^^{x x}



² ^²^x^¹



^ ^x³ ^²^x² ^^x

Khi đó

 

2 4 3 2

3 2

0

2 2 34

2 4 3 2 0 3

x x x

I x x x dx  

       

 



Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Ta có ^{x x}



^¹



² ^^_



^x^¹



^¹^_



^x^¹



² ^



^x^¹



³ ^



^x^¹



²

Khi đó ²

 

³ ²

 

² ²

 

³

 

²

 

²

   

⁴

 

³

0 0 0 0

1 1 34

1 1 1 1 1 1

4 3 3

x x

I x dx x dx x d x x d x  





 



 



  



    

Cách 3: Đổi biến số

Đặt 1

1 x t

t x

dx dt

  

   

 

Đổi cận 2 3

0 1

x t

 

 

 

 

 

Khi đó

   

3 3 4 3

2 3 2

1 1

3 34

1 4 3 1 3

t t

I t t dt t t dt  

       

 

 

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

(15)

Đặt

 

²

 

2

2 1

1

2

du x dx

u x

dv xdx v x

  

 

 

 

 

 

Khi đó

     

2 2

2 4 3

2 2 3

0 0

2 2 34

1 1 6 6

0 0

2 4 3 3

x x x

I x x x dx x x^ dx  

           

 

 

 

0 2 9 1

1

I x x dx









Giải:

Cách 1: Biến đổi số Đặt t x 1 dt dx

Đổi cận 1 0

0 1

x t

  

 

 

 

 

Khi đó

       

0 1 1 1

9 2

2 9 2 9 11 10 9

1 0 0 0

12 11 10

1 1 2 1 2

1 1 2 1 1

2 0

12 11 10 12 11 10 660

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt

t t t



         

 

       

 

   

Cách 2: Phương pháp phân tích Phân tích ^x² ^



^x^¹



² ^²



^x^¹



^¹

Khi đó

             

     

0 0 0

9 2 9 11 10 9

2

1 1 1

12 11 10

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1

1 1 1 0 1

2 1

12 11 10 660

I x x dx x x x dx x x x dx

x x x

  

   

             

   

    

    

 

 

  

Hoặc phân tích x² theo



^x^¹



^{như sau}

 

⁹

   

⁹

       

⁹

 

¹¹

 

¹⁰

 

⁹

2 2

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

x x  x    x  x  x   x  x  x  x Nhận xét:

- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển



^x^¹



⁹ hay phương pháp tích phân từng phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của



^x^