Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục – Nguyễn Trọng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG

4

GIỚI HẠN

Mục lục

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ... 1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ... 2

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ... 3

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ... 22

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ... 25

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ... 25

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ... 26

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ... 70

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ... 113

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ... 113

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ... 114

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ... 138

BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV ... 139

A. BÀI TẬP ... 139

B. LỜI GIẢI... 145

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0). Ta nói dãy số

( )

un có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim _n 0

n u

→+ = hay limu_n=0 hay u_n→0 khi n→ +.

Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a). Ta nói dãy số

( )

un có giới hạn là số thực a nếu ^lim

(

un−a

)

=⁰. Khi đó ta viết lim _n

n u a

→+ = hay limun=a hay u_n→a khi n→ +. Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).

1. Ta nói dãy số

( )

un có giới hạn là + khi n→ + nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: limu_n = + hay u_n→ + khi n→ +.

2. Dãy số

( )

un có giới hạn là − khi n→ + nếu ^lim

( )

−un = +. Ký hiệu: limu_n = − hay u_n→ − khi n→ +.

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

Các giới hạn đặc biệt

• ^{lim 1}k ^0,

(

k ^*

)

n =  .

• ^{limqn =0,}

(

^{q 1}

)

^.

• ^limC=C,

(

^C

)

Các giới hạn đặc biệt

• ^{limnk = +,}

(

^{k *}

)

^.

• ^limqn=0,

(

^q1

)

^.

Định lí 1. Nếu limu_n=a và limv_n =b thì

• ^lim

(

unvn

)

= a b.

• ^lim

(

u vn n

)

= a b.

• ^{lim n}

(

⁰

)

n

u a

v =b b .

• Nếu u_n 0, n và limu_n=a thì a0 và lim u_n = a.

Định lí 2.

• Nếu limu_n=a và limv_n=  thì lim ⁿ 0

n

u v = .

• Nếu limun = a 0 và limvn =0 và

n 0,

v  n thì lim ⁿ

n

u

v = +.

• Nếu limu_n = + và limv_n = a 0 thì

( )

lim u_nv_n = +.

Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số

( ) ( ) ( )

un ^, vn ^, wn . Lúc đó, nếu u_nv_nw_n,n và

( )

limu_n=limw_n =a a,  thì limv_n =a.

Định nghĩa 4. Cấp số nhân

( )

un có công bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu q 1.

Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn

( )

un có công bội q. Với mỗi n ^*, đặt S= +u₁ u₂+ +... u_n. Lúc đó: ^{lim 1}

( )

^4.1

n 1 S u

= q

−

Định nghĩa 5. Giới hạn

( )

^4.1 được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

( )

un và được ký hiệu là

1 2 ... _n S= +u u + +u Như vậy:

( )

S lim 1 , 1

n 1

S u q

= = q 

− B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

Dạng 1. Tính giới hạn

( )

limP n

( )

L= Q n với ^{P n Q n}

( ) ( )

^, là các đa thức.

Phương pháp giải:

Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức:

• ^lim k ^0,

(

^*,

)

c k c

n =   .

• ^{lim lim}

( )

lim 0

n

n n

n

u u v

v a

 = +

  = +

 = 

 .

• ^{lim lim}

( )

lim 0

n

n n

n

u u v

v a

 = +

  = −

 = 

 .

• ^{limnk = +}

(

^{k *}

)

^.

• ^{lim lim}

( )

lim 0

n

n n

n

u u v

v a

 = −

  = −

 = 

 .

• ^{lim lim}

( )

lim 0

n

n n

n

u u v

v a

 = −

  = +

 = 

 .

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn

2 2

4 1

lim 3 2

n n

L n . ĐS: L=2 Lời giải

Ta có

2

2 2

2 2 2

1 1 1 1

4 4

4 0 0

lim lim 2

3 2 3 2 0 2

n n n n n

L

n n n

 − −  − −

  − −

 

= = = =

 +  + +

 

 

.

Nhận xét: Nếu bậc tử ^{P n}

( )

bằng bậc mẫu ^{Q n}

( )

^thì

( )

limP n

( )

Q n =(Hệ số bậc cao nhất của tử) (Hệ số bậc cao nhất của mẫu).

Ví dụ 2. Tính giới hạn

5 4

2 6 2 4

2 4 1

lim

20 2 1

n n n

L

n n n

.

ĐS: ¹²⁸

L= 5 Lời giải

Ta có

5 4

2

4

6 2

2

1 2

2 4

lim

3 1

20 2

n n

n n

L

n n

n n

  −    − 

     

   

=   − + 

( ) ( )

( )

5 4 5 4

10 4

5 4

4 4 4

6 8

2 2

1 2 1 2

2 4 2 4

2 0 4 0 128

lim lim lim

20 2 0 0 5

3 1 3 1

20 2 20 2

n n

n n n n

n n n n n n

 −   −   −   − 

        − −

       

= = = =

 − +   − +  − +

   

   

Nhận xét: Với bài toán có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau đó áp dụng công thức

( )

^{a b. n =a bn. n} và tính toán như các bài trước.

Ví dụ 3. Tính giới hạn

2 3

lim 3

2

n n

L n n

= − +

+ .

ĐS: L=0 Lời giải

Ta có

2

2 2

3

2 2

1 3 1 3

1 1

1 1 0 0

lim lim . 0. 0

2 1 2 1 0

1

n n n n n

L n

n n n

 − +   − + 

    − +

 

=  +  =  + = + =

Nhận xét: Nếu bậc tử ^{P n}

( )

nhỏ hơn bậc mẫu ^{Q n}

( )

^{thì lim (n) 0}

(n) L P

= Q =

Ví dụ 4. Tính giới hạn

3 2

2 11 1

lim 2

n n

L n

− +

= − . ĐS: L= +

Lời giải

3

3 3

2

2 2

11 1 11 1

2 2

lim lim .

2 2 1 1

n n n n n

L n

n n n

 − +   − + 

   

 

=  −  =  − = +

(vì limn= + và

3

2

11 1 2

lim 2 0

1 2 n n

n

 − + 

 

 = 

 − 

 

).

Nhận xét: - Nếu bậc tử ^{P n}

( )

lớn hơn bậc mẫu ^{Q n}

( )

^{thì lim (n)}

(n) L P

= Q = .

- Để biết là + hay − ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thông thường, sẽ để dấu =  và xét dấu sẽ điền vào sau.

- Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 5. Tính giới hạn 1 3 5 7₂ (2 1)

lim 3 4

L n

n

+ + + + +

= + .

ĐS: 1

L=3 Lời giải

Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9,..., 2n+1 có số hạng đầu tiên u₁ =1 công sai d =2 và số hạng cuối cùng là u_m=2n+1ta có:

1 ( 1) 2 1 1 2( 1) 2 1 1.

u + m− d = n+  + m− = n+  = +m n

Vậy cấp số cộng có n+1 số hạng. Suy ra tổng

2 1

1 3 5 7 2 1 ( ) 1(1 2 1) 2 1

2 ^m 2

m n

S n u u + n n n

= + + + + + + = + = + + = + +

Vì thế

2

2 2 2

2

2

2 2

2 1 2 1

1 1

2 1 1 0 0 1

lim lim lim

4 4

3 4 3 0 3

3 3

n n n n n n n

L n

n n n

.

Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng:

1

k k

u ₊ −u =d, với d là công sai.

( )

1 1

un = +u n− d, với d là công sai.

1 1 2 , 2

k k k

u u u k .

1 2 1

n n 2 n

S u u u n u u .

Ví dụ 6. Tính giới hạn

( )

1 1 1 1 1

lim .

1.2 2.3 3.4 4.5 1

L n n

 

=  + + + + + +  ĐS: L=1

Lời giải Số hạng tổng quát ^{1 1 1 ;}

(

^{1, 2,...,}

)

(k 1) 1 k n

k = −k k  =

+ + do đó

1 1 1 1 1 1 1 1

lim 1

2 2 3 3 4 4 1

L n n

 

=  − + − + − + − + − + 

1 1 1

lim 1 lim lim 1

1 1 1 1 0

1 n

n n

n

   

=  − + =  + = + = + =

Nhận xét: Phân tích

(

^{1 1}

)

^{a b1}

k k = +k k

+ + với

0 1

1 1

1; 1

1_{k k}

a b

k ₌ k ₌₋

= = = = −

+ .

 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính giới hạn sau:

a)

2 2

3 5

lim 2 1

n n

L n ; b)

3

3 3

lim 3

2 3 1

n n

L n n ;

c)

3

3 2

6 2 1

lim5 1

n n

L n n n n ; d)

2 9

4 17

2 1 2

lim 1

n n

L n ;

e)

2 3

3 2

2 1 3 4

lim

4 2 2

n n

L

n n ; f)

3 2

2

4 3 2

3 1 2 5 9 4

lim

2 4 2 1 2 7

n n n

L

n n n ;

g)

2 3

2 2

2 1

lim

1 2 3

n n

L

n n

.

Bài 2. Tính giới hạn sau:

a)

3 2

4 3

7 2 1

lim 5

n n

L n n n

+ +

= + + ; b) lim ₂^{7 3}₃

2 3 4

L n

n n

= +

+ + ; c)

2

3 2

4 5

lim3 7

n n

L n n

+ −

= + + ; d)

3 2

4 3

2 3 4

lim 4

n n

L n n n

− + +

= + + ;

e)

2 4

2 2

lim 3 5

n n

L n

− + +

= + .

Bài 3. Tính giới hạn sau:

a)

3 2

5 3

lim3 1

n n

L n n

− +

= + − ; b)

4 3 2

2 3

5 5 3

lim 3 1

n n n

L n n

− + +

= − − ;

c)

4 2

3

3 2 1

lim 2 9

n n

L n n

+ −

= + + ; d)

5 4

4 3 2

3 2 2 7

lim 6 2 1

n n n

L n n n

− + +

= − + + − ;

Bài 4. Tính giới hạn sau:

a) lim^{1 2 3 ...}₂

3 1

L n

n + + + +

= + ; b)

( )

2

1 3 5 7 ... 2 1

lim 3 1

L n

n n

+ + + + + −

= + + ;

c) lim^{1 2 3 ...}₂

2 9

L n

n n + + + +

= − + ; d)

( )

2

5 9 13 ... 4 3

lim 3 5 1

L n

n n

+ + + + −

= + − ;

e) 1 2 3 4 ...

(

2 1

)

2

lim 2 1

n n

L n

− + − + + − −

= + ; f)

( )

1 1 1 1

lim ...

1.3 2.4 3.5 2

[ ]

L= + + + +n n

+ ; g) ^{L=lim[1.31 +3.51 +5.71 + +...}

(

^{2n−1 2}

)(

^{1 n+1}

)

^];

h) ^{L=lim[1.31 +3.51 +5.71 + +...}

(

^{2n−1 2}

)(

^{1 n+1}

)

^].

 LỜI GIẢI

Bài 1. a)

2

2 2 2

2

2

2 2

1 5 1 5

3 3

3 5 3 0 0 3

lim lim lim

1 1

2 1 2 2 2 0 2

n n n n n n n

L n

n n n

.

b)

3

3 2 3

2 3

3

3

1 3

3 1

lim lim

2 1

2 3 1

3

n n n n n

L n n

n n n

2 3

3

1 3

1 1

lim 2 3 1 3

n n

n n

.

c)

3

3 3 2 3 2 3

3 2

3 2

3

2 2

2 1 2 1

6 6

6 2 1 6 2 1 3

lim lim lim lim

1 1

1 1

4 2

5 1 4 4

n n n n n n n n n

L n n n n n n n

n n n n n

.

d)

2 9 2 9

8 9

2 9

4 4 4

17

17

17 17

1 2 1 2

2 1 2 1

2 1 2

lim lim lim

1 1

1 1 1

n n

n n n n n n

L n

n n n

2 9

(2 0) .(1 0)

lim 4

1 0

+ +

= =

+ .

e)

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 3

2 3 3 3

3 2 3 2 3 2

3 2

1 3 1 3

2 4 2 4

2 1 3 4

lim lim lim

4 2 2 2 1 2 1

4 2 4 2

n n

n n n n n n

L

n n

n n

n n n n

 −   −   −   − 

       

− −        

= = =

+ −  +   −   +     − 

2

3 2

2 0 0 4 1

lim 4 0 2 0 4

.

f)

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

3 2

2

4 3 2

3 1 2 5 9 4

lim

2 4 2 1 2 7

n n n

L

n n n

− + +

= − + −

3 2

2

2 4

4 3 2

3 2

1 5 4

3 2 9

lim

4 1 7

2 2 2

n n n

n n n

L

n n n

n n n

  −    +   + 

       

   

=  −   +    − 

     

3 2

2 4

3 2

1 5 4

3 2 9

lim

4 1 7

2 2 2

n n n

n n n

 −   +   + 

     

     

=  −    +  − 

    

3 2

4

3 0 2 0 9 0 243

lim 2 0 2 0 2 0 16

.

g)

( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 3

2 3 2 2

2 2 2

2 4

2 2

2 1 2 1

1 1 1 1

2 1

lim lim lim

1 3 1 3

1 2 3

1 2 1 2

n n

n n n n n n

L

n n

n n

n n n n

 +   −   +  − 

      

+ −       

= = =

      

+ +  +    +   +  + 

3 2

1 0 1 0 1

lim 1 0 2 0 4.

Bài 2. a)

3

3 2 3

4 3

4

3

2 1

7 2 1 7

lim lim

5 1

5 1

n n n n n

L n n n

n n n

 + + 

 

+ +  

= =

+ +  + + 

3

3

2 1

1 7

lim . 0

5 1

1

n n n

n n

 + + 

 

=  =

 + + 

 

(Vì lim¹ 0;

n và ³

3

2 1

7

lim 7

5 1

1

n n n n

).

b) lim ₂⁷ ₃³

2 3 4

L n

n n 3 ²

3 3

3 3

7 7

lim lim 1 . 0

2 4

2 4

3 3

n n n

n n

n n

n n

(Vì lim ¹₂ 0

n và

3

7 3 lim 7

2 4 3

3 n

n n

).

c)

2

2 2

3 2

3

3

4 5

4 5 1

lim lim

1 7

3 7

3

n n n n n

L n n

n n n

 + − 

 

+ −  

= =

+ +  + + 

2

3

4 5 1 1

lim . 0

1 7 3

n n n

n n

 + − 

 

=  =

 + + 

 

(Vì 1

lim 0

n= và

2

3

4 5

1 1

lim 1 7 3

3

n n n n + − =

+ + ).

d)

3 2

4 3

2 3 4

lim 4

n n

L n n n

− + +

= + +

3

3

4

3

3 4

2

lim 4 1

1

n n n

n n n

− + + 

 

 

=  + + 

3

3

3 4

1 2

lim . 0

4 1

1

n n n

n n

(Vì lim¹ 0

n và ³

3

3 4

2

4 1 2 1

n n lim

n n

).

e)

2 4

2 2

lim 3 5

n n

L n

− + +

= +

2

2 2

2 4

4 4

1 2 1 2

2 2

lim lim 1 . 0

5 5 3 3

n n n n n

n n

n n

− + +   − + + 

   

 

=  +  =  + = .

(Vì lim ¹₂ 0

n và ²

4

1 2

2 2

lim 5 3

3

n n n

).

Bài 3. a)

3

3 2 3 2 3

2

2

2 2

5 3 5 3

1 1

5 3

lim lim lim .

1 1

1 1

3 1

3 3

n n n n n n n

L n

n n

n n n n n

 − +   − + 

   

− +  

= + − =  + −  =  + − = +

(Vì limn= +và

2 3

2

5 3

1 1

lim 3 1 1 3

n n

n n

− +

=

+ − ).

b)

4

4 3 2 2 4 2 4

2 3

3

3 3

1 5 3 1 5 3

5 5

5 5 3

lim lim lim .

1 1

1 1

3 1 3 3

n n n n n n n n n n

L n

n n

n n n n n

 − + +   − + + 

   

− + +  

= − − =  − −  =  − − = −

.

(Vì limn= +và

2 4

3

1 5 3

5 5

lim 1 3 1 3

n n n

n n

− + +

= −

− − ).

c)

4

4 2 2 4 2 4

3

3

2 3

2 3

2 1 2 1

3 3

3 2 1

lim lim lim .

2 9

2 9

2 9 1 1

n n n n n n n

L n

n n

n n n n n

 + −   + − 

   

+ −  

= + + =  + +  =  + + = +

.

(Vì limn= +và

2 4

2 3

2 1

3

lim 3

2 9

1

n n

n n

+ −

=

+ + ).

d)

5

5 4 4 5 4 5

4 3 2

4

2 4

2 4

2 2 7 2 2 7

3 3

3 2 2 7

lim lim lim .

2 1 1

2 1 1

6 2 1 6 6

n n n n n n n n n n

L n

n n n

n n n n n n n

 − + +   − + + 

   

− + +  

= − + + − = − + + − =  − + + − = −

.

(Vì limn= +và

4 5

2 4

2 2 7

3 1

lim 2 1 1 2

6

n n n

n n n

+ + +

= −

− + + − ).

Bài 4. a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

(

¹

)

²

1 2 3 ...

2 2

n n n n

n + +

+ + + + = =

Do đó

2 2

2 2

2

1 2

1 2 3 ... 2 1

lim lim lim

3 1 6 2 6 2 6

n n n

L n n

n

+ + + + + +

= = = =

+ + +

.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

( ) (

1

(

2 1

) )

2

1 3 5 7 ... 2 1

2

n n

n + − n

+ + + + + − = =

Do đó

( )

²

2 2

2

1 3 5 7 ... 2 1 1

lim lim lim 1

3 1

3 1 3 1 1

n n

L n n n n

n n + + + + + −

= = = =

+ + + + + +

.

c) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

(

¹

)

²

1 2 3 ...

2 2

n n n n

n + +

+ + + + = =

Do đó

2

2 2

2

1 1

1 2 3 ... 1

lim lim lim

2 18

2 9 4 2 18 4 4

n n n n

L n n n n

n n

+ + + + + +

= = = =

− + − + − + .

d) Xét cấp số cộng với u₁=5;d =4

( ) ( ) ( )( )

2

1

5 4 3 1

5 2 4 4 3 5 9 13 ... 4 3 2 1

n 2

n n

u ₋ n n n + − − n n

 = + − = −  + + + + − = = − −

Do đó

( )

^{2 2}

2 2

2

1 1

5 9 13 ... 4 3 2 1 2 2

lim lim lim

5 1

3 5 1 3 5 1 3

3

n n n n n

L n n n n

n n + + + + − − − − −

= = = =

+ − + − + − .

e) Ta có

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 ...− + − + + 2n− −1 2n= −1 2 + −3 4 + +... 2n− −1 2n = − + − + + − = −1 1 ... 1 n

Do đó 1 2 3 4 ...

(

2 1

)

2 1 1

lim lim lim

2 1 2 1 1 2

2

n n n

L n n

n

− + − + + − − − −

= = = = −

+ + + .

f) Ta có

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ...

1.3 2.4 3.5 n n 2 2 1 3 2 4 n n 2

 

+ + + + + =  − + − + + − + 

1 1 1 1 3 1 1

2 1 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4

 

=  + − + − + = − + − + Do đó

( )

1 1 1 1 3 1 1 3

lim ...

1.3 2.4 3.5 2 4 2 2 2 4 4

[ ]=lim

L n n n n

 

= + + + + +  − + − + = .

g) Ta có

( )( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1

   

+ + + + − + =  − + − + + − − + =  − + 

Do đó

( )( )

1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 1

1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 2 2 1 2

[ ]= [ ]

L n n n

 

= + + + + − +  − +  = .

h) Ta có

( )( )

1 1 1 1

1.4+4.7+7.10+ +... 3n 2 3n 1

− +

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...

3 4 4 7 7 10 3n 2 3n 1

 

=  − + − + − + + − + + 

1 1

3 1 3n 1

 

=  − + .

Dạng 2. Tính giới hạn dạng

( )

limP n

( )

L= Q n với ^{P n Q n}

( ) ( )

^, là các hàm mũ aⁿ. Phương pháp giải:

Áp dụng limqⁿ =0 với q 1.

Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả và mẫu cho aⁿ với a là cơ số lớn nhất.

Công thức mũ cần nhớ

m n m. n

a ⁺ =a a và

m m n

n

a a

a

− = .

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn

2

1 2 1

1 3 4.5

lim2 3 5

n n

n n n

L

+

+ + +

= − +

+ + . ĐS: L=20 Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho 5ⁿ, ta có

1 3

1 3 100 100

0 0 100

5 5

5 5

lim lim 20.

2 3 2 3 0 0 5

2. 9. 5 2. 9. 5

5 5 5 5

n n

n

n n

n n n n

n n

L

  −  +

− +       − +

= = = =

    + + + +    +    +

Nhận xét: Ta chia cho aⁿ với a là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 để áp dụng công thức limqⁿ =0 với q 1.

Ví dụ 2. Tính giới hạn

2 3

1 2 2 2 ... 2

lim 5.2 1

n

L= + + + + +n

+ . ĐS: 2 L=5 Lời giải

Xét cấp số nhân 1, 2, 2 , 2 ,..., 2^{2 3 n} có số hạng đầu tiên u₁ =1, công bội q=2 và có số hạng tổng quát

1

2ⁿ 1 ^m 2ⁿ 1 1

um = u q ⁻ =  − =  = +m n m n . Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là:

1

1 1

1 2 1

2 1

1 2 1

m n

n m

S u q q

+ +

− −

= = = −

− − .

Suy ra

1

2 1

2 1 2 2 0 2

lim lim .

5.2 1 1 5 0 5

5 2

n n

n

L n

+ − −     −

= = = =

+ +     +

Nhận xét: Các công thức cần nhớ về cấp số nhân

1. ^k 1 k

u q

u

+ = (q là công bội). _{1 2 1} 1

2. ... .

1

n

n n

S u u u u q

q

= + + + = −

− .

1

3.u_n =u q1 ⁿ⁻ . 4.u_k+1.u_k−1=u_k² với k2.

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)

4.3 5 1

lim .

3.2 5

n n

n n

L

+ +

= + ĐS: L=5. b)

2 1

1 3

4 6

lim .

5 2.6

n n

n n

L

+ +

− +

= +

+ ĐS: 1

L=72. c)

2 2

1 2 1

2 3 3.5

lim .

2 3 5

n n n

n n n

L

− +

− + +

− +

= + + ĐS: L=15. d)

2

1 2 1

2 3 5

lim .

2 3 5

n n n

n n n

L

+

+ + +

= − +

+ + ĐS: L=5. e)

( )

^{3 4.5 1}

lim .

2.4 3.5

n n

n n

L

− − +

= + ĐS: 20

L= − 3 . f)

( )

( )

2 5

lim .

2.3 3. 5

n n n n

L + −

= + − ĐS: 1

L=3.

g)

( )

^{5 1}

5 2

lim 1 .2 . 3

n n

L n

+ +

= − ĐS: L=0.

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a)

2 3

2 3

1 2 2 2 ... 2

lim .

1 3 3 3 ... 3

n

L= + + + + + n

+ + + + + ĐS: L=0.

b)

1 1 1

1 ...

2 4 2

lim .

1 1 1

1 ...

3 9 3

n

n

L

+ + + +

=

+ + + +

ĐS: 4

L= 3.

 LỜI GIẢI

Bài 1. a)

4.3 5 1

lim 3.2 5

n n

n n

L

+ +

= +

4. 3 5

5 0 5

lim 5.

2 0 1

3. 1

5

n

n

  +

  +

=   = =

  + +

  

b)

2 1

1 3

16. 2 6

4 6 3 0 6 1

lim lim

5 2.6 1 5 0 432 72

. 432

5 6

n

n n

n

n n

L

+ +

− +

  +

+    +

= = = =

+   +   +

.

c)

2 2

1 2 1

2 1 3

. 75

2 3 3.5 5 9 5 0 0 75

lim lim 15

2 3 5 1 2 3 0 0 5

. 9. 5

2 5 5

n n

n n n

n n

n n n

L

− +

− + +

  −   +

   

− +     − +

= = = =

+ +     +     + + +

.

d)

2

1 2 1

2 3

2 3 5 5 5 25 0 0 25

lim lim 5

2 3 5 2 3 0 0 5

2. 9. 5

5 5

n n

n n n

n n

n n n

L

+

+ + +

  −  +

   

− +     − +

= = = =

+ +     +     + + +

.

e)

( )

^{3 4.5 1 3}5 ^{20 0 20 20}

lim lim

2.4 3.5 4 0 3 3

2. 3

5

n

n n

n

n n

L

+ −  −

− −   −

= = = = −

+   +   +

.

f)

2 1

2 5 5 0 1 1

lim lim

0 3 3

2.3 3. 5 3

2. 3

5

n n n

n n

L n .

g)

( )

^{5 1}

5 2

1 32

1 .2 243 .2. 243 0

lim lim 0

3 9 9

n n

n n

L n

+ +

−   

   

−    

= = = = . Bài 2. a) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

1

2 3 2 1 1

1 2 2 2 ... 2 2 1

2 1

n

n n

+ − +

+ + + + + = = −

−

1 1

2 3 3 1 3 1

1 3 3 3 ... 3

3 1 2

n n

n

+ − + −

+ + + + + = =

−

Do đó

1 1

2 1

2 1 2.2 1 2. 3 3 0 0

lim 2.lim 2.lim 2. 0.

3 1 3.3 1 1 3 0

2 3 3

n n

n n

n n n

L

+ +

  − 

   

− −     −

= = = = =

− − −     −

b) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

( )

1 1

1 1 1 2 1 1 1

1 ... 2 . 1

2 4 2 1 1 2 2

2

n

n n

  −+

     

+ + + + = − = −     − 

1 1

1 1 1 3 1 3 1 1

1 ... . 1

3 9 3 1 1 2 3 3

3

n

n n

  −+

       + + + + =  = −    − 

    

−

Do đó

( )

^{2 1. 1 1 1}_{.0 1}

2 2 4 2 4

lim . .

3 1 3

3 1. 1 1 3.0 1

2 3 3

n

L n

   

−     −  −

= = =

 

−    −  −

   

    

Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.

Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng limn^k = .

Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng +.0) là sau khi rút n có mũ cao trong căn và nhóm thừa số, xuất hiện số 0. Chẳng hạn:

- Tính giới hạn dãy u_n = n²+3n+ −5 n: biểu thức trong căn có n² là lũy thừa cao nhất và ta quan tâm đến nó, những hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem u_n = n² − = − =n n n 0 nên cần liên hợp.

- Tính giới hạn dãy u_n = 2n²+3n+ −5 n: biểu thức trong căn có 2n² là lũy thừa cao nhất nên nháp ^{2n2 − =n n 2− =n n}

(

^{2 1−}

)

^{, có 2 1 0− } nên ta không cần liên hợp mà rút ra giải trực tiếp.

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn ^L=lim

(

^{2n2+3n+ −5 n}

)

^. ĐS: L= +. Lời giải

Ta có:

2 2

2

2 3 5

lim n n

L n n

n

  + +  

 

=  −

   

  ²

3 5

lim n 2 n

n n

 

=  + + − 

  ²

3 5

limn 2 1

n n

 

=  + + − 

 

Vì limn= +và 3 5₂

lim 2 1 2 1 0

n n

 

+ + − = − 

 

 

  nên L .

Ví dụ 2. Tính giới hạn ^L=lim

(

^{9n2+3n− −4 3n+20 .}

)

ĐS: 41 L= 2 . Lời giải

Ta có: L lim 20 lim 9n² 3n 4 3n

2

3 4

20 lim

9 3 4 3

n

n n n

2

3 4 20 lim

3 4

9 3

n n

n n

n n ²

3 4 20 lim

3 4

9 3

n n n 3 0

20 9 0 0 3

41 2 .

Cần nhớ : Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào HĐT

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2 3 3

a b a b a b

a b a ab b a b

 − + = −

  + = 

 .

➢ a b

a b

a b

− = −

+ . ^{3 3}

3 2 3 3 2

a b a b

a ab b

+ = +

− + .

➢

a b2

a b

a b

− = −

+ .

3 3

3 2 3 2

a b a b

a ab b

− = −

+ + .

➢ ^{3 3}

3 2 3 3 2

a b a b

a ab b

− = −

+ + .

3 3

3 2 3 2

a b a b

a ab b

+ = +

− + .

Ví dụ 3. Tính giới hạn ^L=lim

(

^{3 n+ −2 3n}

)

ĐS: L=0. Lời giải

Ta có: _{2 2}

3 3

3 3

lim 2

2 2

n n

L

n n n n

2

3 3 2

3 3

lim 2

2 2

1 1

n n n n

n n

3 2 2 2

3 2 3 3 3 3

2

2 0

lim lim 0

2 2 3

2 2

1 1 1

1 1 1

n

n n n n n

.

Cần nhớ: ^{3 3}

3 2 3 3 2

a b a b

a ab b

− = −

+ + .

Ví dụ 4. Tính giới hạn ^L=lim

(

^{38n3+3n2− + −2 5 2n}

)

. ĐS: ²¹ L= 4 . Lời giải

Ta có: L l mi ³8n³ 3n² 2 5 2n lim5 lim ³8n³ 3n² 2 2n

3 2

5 lim 38n 3n 2 2n

3 2 3

3 2 2 3 2 2

3 3

8 3 2 8

5 lim

8 3 2 8 3 2 2 4

n n n

n n n n n n

2 2

3 3 2

3 3 3

3 2

5 lim

3 2 3 2

8 8 .2 4

n

n n n n

n n n n

2 2

3 3

2 3

3 2 5 lim

3 2 3 2

8 8 2 4

n

n n n n

3 21

5 4 4 4 4 .

Cần nhớ:

3 3

2 2

3 3

a b a b

a a b b

− = −

+  + . Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất:

➢ ^lim

(

un+vn

)

=^limun +^limvn.

➢ limC=C với C là hằng số C .

Ví dụ 5. Tính giới hạn ^L=lim

(

^{n2+ + −n 1 3 n3+n2}

)

. ĐS: L=¹.

Lời giải Ta có:

(

^{2 3 3 2}

)

im 1

l n n n n

L= + + − +

(

²

) (

^{3 3 2}

)

lim n n 1 n n n n 

=  + + − + − + 

(

²

) (

^{3 3 2}

)

lim n n 1 n lim n n n

= + + − + − +

( )

( )

3 3 2

2 2

2 2 3 3 2 3 3 2 2

lim 1 lim

1

n n n

n n n

n n n n n n n n n

− + + + −

= +

+ + + + + + +

( )

2

2 2 3 3 2 3 3 2 2

lim 1 lim

1

n n

n n n n n n n n n

+ −

= +

+ + + + + + +

2

2 3 3

1 1

lim 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

n n n

n n

+ −

= +

 

+ + + + + + + 

 

1 1 1

2 3 6

= − = .

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)

9 2 1

lim 4 2

n n

L n . ĐS: 3

4 b)

2 2

4 1

lim

9 3

n n n

L

n n

. ĐS: 1

3 c)

4 2

2 3 2

lim 2 3

n n

L n n . ĐS: ²

2

d) lim ^{2 1 3}

4 5

n n

L

n . ĐS: ^{2 1}

2

e)

2 3 3 2

2 4 4

4 1 8 2 3

lim

16 4 1

n n n

L

n n n

. ĐS: 4

L 3 f)

6 3

3 7 5 8

lim 2

n n n

L n . ĐS: L

g)

( )

2 4

1 4 7 3 1

2 2 1

lim n

L

n n n

+ + ++ +

= + + + . ĐS: L=0

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) L lim 4n² n 1 9n . ĐS:

b) L lim 9n² 2n 1 4n² 1 . ĐS:

c) L lim 4n² n 4n² 2 . ĐS: ¹ 4 d) L lim n² n 1 n 10 ĐS: ²¹

2

e) L lim n² 3n 5 n 25 . ĐS: ⁵³ 2

f) L lim n² 2019 n⁴ 3n 1 . ĐS: L 2019

g) L lim 3n 5 9n² 1 . ĐS: L 5

h) L lim n n² 1 n² 2 . ĐS: ¹

L 2

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) L lim ³ n 4 ³n 1 . ĐS: L 0

b) L lim ³8n³ 3n² 4 2n 6 . ĐS: ²⁵

L 4

c) L lim ³ 2n n³ n 1 . ĐS: L 1

d) L lim ³ n n³ n 2 . ĐS: L 2

e) L lim ³ n<