Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan – Đặng Thành Nam - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

0

Cuốn CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC được viết dựa trên tinh thần mong muốn có một cuốn tài liệu ôn thi hữu ích tổng hợp và đẩy đủ các phương pháp giải các dạng toán trong cấu trúc đề thi TSĐH của Bộ giáo dục và đào tào đồng thời phát triển tư duy giải toán của học sinh. Đây là tâm huyết của tác giả và là mong muốn thời học sinh của tác giả. Mục tiêu của cuốn tài liệu là cung cấp các dạng toán thông qua các chuyên đề, mỗi dạng toán sẽ được tác giả tóm lược phương pháp giải kèm theo hệ thống bài tập mẫu và bài tập đề nghị hay và phong phú , mỗi bài toán đều chứa tính sáng tạo chắc chắn sẽ làm bạn đọc thấy thú vị và đam mê. Vì thế không đòi hỏi các bạn phải nhớ phương pháp giải mỗi dạng toán mà phát triển tư duy toán học của bạn đọc, với bài toán cụ thể bạn đọc sẽ tìm được cách giải nào. Mong muốn đây sẽ là tài liệu hữu ích cho bạn đọc những ai thực sự đang ước mơ bước chân vào cánh cửa giảng đường đại học. Cuốn tài liệu này được viết theo 15 chuyên đề:

Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.

Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình – hệ phương trình có nghiệm.

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác.

Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ.

Chuyên đề 5: Hệ phương trình.

Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit.

Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng.

Chuyên đề 8: Hình học không gian.

Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng.

Chuyên đề 11: Hình học giải tích trong không gian.

Chuyên đề 12: Ba đường Cônic.

Chuyên đề 13: Các bài toán về số phức.

Chuyên đề 14: Nhị thức Newton và ứng dụng.

Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp.

Xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ và động viên tinh thần của thầy cô, bạn bè và gia đình trong thời gian hoàn thiện cuốn sách.

Dù đã rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức hạn chế của tác giả, cộng với phạm vi rộng của cuốn sách nên thật khó tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận

1

Hà nội, ngày 31 tháng 5 năm 2012 ĐẶNG THÀNH NAM

2

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

LỜI NÓI ĐẦU:……….….0

Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan………4

Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình, hệ phương trình có nghiệm………..102

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác ………..…142

Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ……….….196

Chuyên đề 5: Hệ phương trình………..288

Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit...402

Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng………...448

Chuyên đề 8: Hình học không gian………..554

Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức………...590

Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng………..648

Chuyên đề 11: Ba đường Cônic………...678

Chuyên đề 12: Hình học giải tích trong không gian……….690

Chuyên đề 13: Các bài toán vế số phức………...732

Chuyên đề 14: Nhị thức NEWTON và ứng dụng………...754

Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp………...784

TÀI LIỆU THAM KHẢO:………798

3

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

4

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 1:

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN

LIÊN QUAN

5

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

6

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Bài toán hàm số và các vấn đề liên quan thuộc loại cơ bản, để giải quyết tốt phần này các em nên lưu ý đến các bước của một bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Trong chương trình thi Tuyển Sinh đại học chỉ đề cập đến ba dạng hàm số cơ bản đó là hàm số bậc ba, hàm trùng phương và phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Cuốn tài liệu này trình bày mẫu các bước của một bài toán khảo sát, ngoài ra các bài toán liên quan được phân theo từng dạng. Đó là các bài toán:

- Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

- Bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình, hệ phương trình( được trình bày chi tiết trong chương 2)

- Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số - Bài toán về cực trị hàm số

- Bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số - Bài toán về các điểm đặc biệt

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dưới đây trình bày mẫu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của ba dạng hàm số là hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

Hàm đa thức bậc ba

Cho hàm số ^{yx32x2}



^{1m x}



^{m ,m}là tham số thực.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m1. Trình bày:

Khi m1ta có hàm số yx³2x²1. + Tập xác định: 

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'3x²4 ;x y x'( )0x0hoặc 4 x3. Hàm số đồng biến trên các khoảng



^{; 0}



^{và 4;}

3

 

 

 ; nghịch biến trên khoảng 4 0;3

 

 

 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x0;y_CÐ 1, đạt cực tiểu tại 4 5

3; ^CT 27 x y   .

- Giới hạn: lim ;

x y

   lim

x y

  .

7

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

- Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:



^{1; 0}

 

^0;1



^.

Hàm trùng phương

Cho hàm số ^yx42



^m1



^{x2m, m}là tham số thực.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m1. Trình bày:

Khi m1, ta có hàm số yx⁴4x²1.

+ Tập xác định D + Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y4x³8 ; 'x y 0x0hoặc x  2

8

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 2}



^và



^{0; 2 ;}



đồng biến trên các khoảng



^{ 2; 0}



^và



^2;



- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  2;y_CT  3,đạt cực đại tại x0;y_CÐ 1.

- Giới hạn: lim lim .

x y x y

    

- Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Đ



^0;1

  2 3 ; 0 ;  2 3; 0.

Hàm bậc nhất trên bậc nhất

Cho hàm số 2 1 1 y x

x

 

 .

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

^C của hàm số đã cho.

Trình bày:

9

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

+ Tập xác định: ^D\

 

^1

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

 

²

1 0,

1

y x D

x

   



Hàm số đồng biến trên các khoảng



^{ ; 1}



^và



^{ 1;}



^.

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2;

x y x y

    tiệm cận ngang y2.

 ¹

lim ,

x

 y

 

 

 ¹

lim ;

x

 y

 

  tiệm cận đứng x 1. - Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

1; 0 2

 

 

 



^0;1



^.

BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương pháp:

10

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Hàm số f x( )đồng biến trên khoảng



^{a b;}



khi và chỉ khi ^{f '( )x 0, x}



^{a b;}



^.

Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng



^{a b;}



khi và chỉ khi ^{f '( )x 0, x}



^{a b;}



^.

Ta thường biến đổi bất phương trình f x'( )0thành hai vế một vế là hàm của xcòn một vế chứa tham số m.

Có hai dạng bất phương trình sau

 

 ;

( ) ( ), ; ( ) min ( )

x a b

f x g m x a b g m f x

      .

 

 ;

( ) ( ), ; ( ) m ax ( )

x a b

f x g m x a b g m f x



     .

Trong đó g m( )là hàm số theo tham số m.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho hàm số ¹



¹



^{3 2}



^{3 2}



y3 m x mx  m x.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

+ Tập xác định D

Ta có ^y'



^m1



^{x22mx3m2}

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi

     

2

1 0 1

' 0, 2

2 1 2 0

' 1 3 2 0

m m

y x m

m m

m m m

  

 

 

     

  

      

 



. Vậy m2là những giá trị cần tìm.

Bài 2.Cho hàm số mx 4 y x m

 

 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên khoảng



^;1



^.

Lời giải:

+ Tập xác định ^D\



^m



^.

Ta có

 

2 2

' m 4 y

x m

 



Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y'0m² 4 0  2 m2. Để hàm số nghịch biến trên khoảng



^;1



thì ta phải có m 1 m1

Kết hợp 2 điều kiện trên suy ra  2 m1.

11

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 3. Cho hàm số yx³3x² mx4.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng



^{; 0}



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D. Ta có y'3x²6x m

Hàm số đồng biến trên khoảng



^{; 0}



khi và chỉ khi

   

 

2

;0

' 0, ;0 ( ) 3 6 , ;0 min ( )

x

y x m f x x x x m f x

 

            

Ta có f x'( )6x6, f x'( ) 0 x 1. Lập bảng biến thiên của hàm số f x( )suy ra

 ^;0

min ( ) ( 1) 3

x f x f

      .

Vậy giá trị cần tìm của mlà m 3.

Bài 4.Cho hàm số ^{y2x33 2}



^m1



^{x2 6m m}



^1



^x1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng



^2;



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D.

Ta có ^{y'6x26 2}



^m1



^{x6m m}



^1



^{có  }



^2m1



^{24m m}



^1



^1

' 0 .

1 x m

y x m

 

    

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



^;m



^và



^{m 1;}



^.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^2;



khi và chỉ khi m 1 2 m1. Bài 5. Cho hàm số yx⁴2mx² 3m1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng



^{1; 2}



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D.

Ta có ^{y'4x34mx4x x}



^2m



^.

+ Nếu ^{m0 y'0, x}



^{1; 2}



^{m0thỏa mãn.}

+ Nếu m 0 y'0có nghiệm phân biệtx  m x, 0,x m.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



^{ m; 0 ,}

 

^m;



. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^{1; 2}



khi và chỉ khi m 1 m1. Vậy giá trị cần tìm của mlà



^;1



^.

12

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 6.Cho hàm số ^yx3



^{1 2 m x}



^2



^{2m x}



^m2.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng



^0;



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D.

Ta có ^{y'3x22 1 2}



^{ m x}



^{ 2 m}

Hàm số đồng biến trên khoảng



^0;



khi và chỉ khi

   

' 3 2 2 1 2 2 0, 0;

y  x   m x m  x 

   

3x2 2x 2 m 1 4x 0, x 0;

        

 

 

2

0;

3 2 2

( ) , 0; min ( )

1 4 ^x

x x

f x m x m f x

x ^{ }

 

       



Ta có

 

 

2

2 2

2 6 3 1 73

'( ) 0 6 3 0

4 1 12 x x

f x x x x

x

   

       

 .

Lập bảng biến thiên của hàm số f x( )trên



^0;



^{suy ra}

^0; 

1 73 3 73

min ( )

12 8

x f x f

 

   

  

 

.

Vậy 3 73

m 8

 là giá trị cần tìm.

Bài 7. Cho hàm số 1 ^{3 2}

2 2

y3x  x mx .

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D. Ta có y'x²4xm

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



khi và chỉ khi ^{y'x24xm0,  x}



^;1



 

 

2

;1

( ) 4 , ;1 max ( )

x

m f x x x x m f x

 

         

Ta có

 

 ;1

'( ) 4 2 0, ;1 max ( ) (1) 3

x

f x x x f x f

 

         .

Vậy m3 là giá trị cần tìm.

Bài 8. Cho hàm số yx³3mx²3x3m4.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1.

Lời giải:

+ Tập xác định D.

13

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Ta có ^y'3



^x22mx1



Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình y'0có 2 nghiệm x x₁, ₂thỏa mãn x₁x₂ 1.

Điều này tương đương với

 

2 2

2

1 2 1 2 1 2

' 1 0 1

1 4 1 (*)

m m

x x x x x x

 

   

 

 

    

 

 

Theo định lý Vi – ét ta có ^{1 2}

1 2

2 1

x x m

x x

 



 

, thay vào (*) ta dược

2 2

1 5

4 4 1 2

m m

m

 

   

  



.

Vậy 5

m  2 

  

 

 

là giá trị cần tìm.

Bài 9. Cho hàm số ^yx3



^m1



^x2



^2m23m2



^{x m}



^2m1



^.

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên



^2;



Lời giải:

+ Tập xác định D.

Ta có ^y'3x22



^m1



^x



^{2m23m2 .}



Hàm số đồng biến trên



^2;



khi và chỉ khi y'0, x 2.

     

2 2

( ) 3 2 1 2 3 2 0, 2;

f x x m x m m x

          

Vì tam thức f x( )có  ' 7m²7m 7 0,m

Nên f x( )có hai nghiệm phân biệt: ₁ 1 ' ₂ 1 '

3 ; 3

m m

x    x   

  .

Vậy ²

1

( ) 0 x x

f x x x

 

  

 

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



;x1

 

, x2;



. Vậy hàm số đồng biến trên đoạn



^2;



khi và chỉ khi

 

²

2 2

5 0 5 3

2 ' 5 2 .

2 6 0 2

' 5

m m

x m m

m m

m

 

  

          

  

  

 



Vậy 3

2;2

m  

  

 là giá trị cần tìm.

14

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 10.Cho hàm số ^{1 3}



¹



^{2 3}



²



¹

y3mx  m x  m x

Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên



^2;



^.

Lời giải:

+ Tập xác định D.

Ta có ^y'mx22



^m1



^x3



^m2



Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^2;



^{khi và chỉ khi}

     

' 2 2 1 3 2 0, 2;

y mx  m x m   x 

 

 

2 2;

6 2 ( ), 2; m ax ( )

2 3 ^x

m x f x x m f x

x x ^{ }

        

 

Ta có

 

 

2

2 2 2

2 6 3

'( ) 0 6 3 0 3 6 2

2 3

x x

f x x x x

x x

 

         

 

. Lập bảng biến thiên của hàm số f x( )trên



^2;



ta suy ra

2; 

m ax ( ) (2) 2. 3

x f x f

   

Vậy 2

m3là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hàm số ¹



²



³



²



²



^{3 1}



²

y3 m x  m x  m xm . Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên tập xác định.

1.2. Cho hàm số

4 x m

y x m

 

 . Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên khoảng



^1;



1.3. Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số ^yx3



^m1



^x24x3nghịch biến trên tập xác định.

1.4. Cho hàm số y x³3x²mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng



^0;



^.

1.5. Cho hàm số ^{y x33 2}



^m1



^x2



^12m5



^x2đồng biến trên cả hai khoảng



^{ ; 1}



và



^2;



^.

1.6. Cho hàm số yx³3x²mxm. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

1.7. Cho hàm số ^y4x3



^m3



^x2mx. Tìm m để a. Hàm số đồng biến trên 

15

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

b. Hàm số đồng biến trên



^0;



c. Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1 2 2;

 

 

 

d. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

1.8. Tìm m để hàm số ^{1 3}



¹



^{2 3}



²



¹

3 3

y mx  m x  m x đồng biến trên khoảng



^2,



1.9. Tìm để hàm số ^{yx33x2}



^m1



^x4m nghịch biến trên khoảng



^1,1



^.

1.10. Tìm m để hàm số ^{1 3 2}



^{3 2}



3

y m x mx m x

    đồng biến trên 

1.11. Tìm m để hàm số ^{1 3 2}



¹



²



¹



y3mx  m x  m xm đồng biến trên khoảng



^{, 0}



^



^2,



1.12. Cho hàm số y x⁴2mx²m². Tìm m để a. Hàm số nghịch biến trên



^1,



b. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{1, 0}

 

^{ 2, 3}



1.13. Cho hàm số x 1 y x m

 

 . Tìm m để

a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b. Hàm số đồng biến trên khoảng



^0,



KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT

Phương pháp:

Xét hàm số f x( )liên tục trên miền D

- Nếu f x( )đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên Dkhi đó phương trình f x( )0nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

- Nếu tồn tại a b, D thỏa mãn f a f b( ) ( )0khi đó phương trình f x( )0có nghiệm

 

0 ,

x  a b .

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x⁵x²2x 1 0có đúng 1 nghiệm thực.

Lời giải:

16

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Phương trình tương đương với : ^{x5 }



^x1



^{2  0 x0. Với x 0}



^x1



^{2 1}. Khi đó để phương trình có nghiệm thì x⁵  1 x1.

Vậy ta xét nghiệm của phương trình trên khoảng



^1,



^.

Ta xét hàm số f x( )x⁵x² 2x1liên tục trên .

Ta có ^{f x'( )5x42x 2}



^2x42x

 

^{ 3x42}



^{0, x}



^1,



Do đó hàm số f x( )đơn điệu tăng trên



^1,



. Do đó nếu có nghiệm thì phương trình đã cho sẽ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác ta lại có

(1) 3; (2) 23 (1) (2) 0

f   f   f f  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.

Bài 2. Chứng minh rằng phương trình x.2^x 1có nghiệm thực duy nhất trong khoảng



^0,1



^.

Lời giải :

Xét hàm số f x( )x.2^x1 trên khoảng



^0,1



Ta có ^{f '( )x 2xx2 ln 2x 2 1x}



^{xln 2}



^{0, x}



^0,1



. Nên hàm số f x( )đơn điệu tăng trong khoảng



^0,1



^.

Mặt khác ta lại có f(0) 1; (1) 1f   f(0). (1)f   1 0. Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên khoảng



^0,1



^.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình



¹



²

ex

x x





có nghiệm thực duy nhất trên đoạn 1 2,1

 

 

 . Lời giải :

Phương trình tương đương với : ^{ex x x}



^1



²

Với 1

2,1 x  

  

 ta lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình trên ta được

 

ln 2 ln 1 0 (*) x x x  .

Ta xét hàm số ^{f x( )xlnx2 ln}



^x1



liên tục trên đoạn 1 2,1

 

 

  Ta có

 

1 2 2 2 1 1

'( ) 1 0, ,1

1 1 2

x x

f x x

x x x x

   

          . Nên f x( )đơn điệu giảm trên doạn 1,1

2

 

 

 . Mặt khác ta có 1 1 3

(1) 1 2 ln 2 0; ln 2 2 ln 0

2 2 2

f f  

       

 

Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên 1 2,1

 

 

 .

17

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình ^{xx1 }



^x1



^xcó nghiệm thực dương duy nhất.

Lời giải :

Điều kiện : x0.

Lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình ta được :



^{x1 ln}



^xxln



^x1



^0.

Xét hàm số ^{f x( )}



^{x1 ln}



^xxln



^x1



trên khoảng



^0,



^.

Ta có

 

1 2 1

'( ) ln ln( 1) ln

1 1 1

x x x x

f x x x

x x x x x

   

       

    

Xét hàm số

   

2 1

( ) ln , 0;

1 1

x x

g x x

x x x

  

    

 

  .

Ta có ₂1

'( ) 0

g x x

   , nên hàm số g x( )đơn điệu giảm trên khoảng



^0,



^.

Mặt khác ta có

 

2 1

lim ( ) lim ln 0

1 1

x x

x x

g x x x x

 

    

      

. Vậy ^{g x( )0, x}



^0,



^{. Từ đó}

suy ra ^{f '( )x 0, x}



^0,



^{. Vậy f x( )}là hàm đơn điệu tăng trên khoảng



^0,



^.

Mặt khác ta có (1) ln 2 0, lim ( ) lim ln . 1

x

x x

f f x x x

x

 

  

       

  

 

 

Từ đó suy ra phương trình f x( )0có nghiệm duy nhất x0



1,



. Ta có đpcm.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Chứng minh rằng phương trình x⁵10x³9x 1 0có 5 nghiệm thực phân biệt.

1.2. Chứng minh rằng phương trình ^4x



^4x21



^1có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

1.3. Chứng minh rằng với mỗi nguyên dương n thì phương trình

2 3 2 2 1

... ⁿ 2012 ⁿ 2004

xx x  x  x ^  có nghiệm thực duy nhất.

1.4. Chứng minh rằng phương trình :



^x1



^20112



^x1



^{x 1 x33x2 3x 2 0} có nghiệm thực duy nhất.

1.5. Chứng minh rằng phương trình :

* 2

1 1 1 1

... 0,

1 2 ⁿ n

xx  x  x n  

    luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng



^0,1



^.

1.6. Chứng minh rằng phương trình : lgxsinxcó đúng một nghiệm thực trên đoạn

3 5

2 , 2

 

 

 

 .

1.7. Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương, n2thì phương trình

18

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

tan tan 2 ... tan 0

2 2 2ⁿ

x  x  x 

     

      

     

      có nghiệm thực duy nhất trong khoảng



^{0, 4}



^.

1.8. Cho n2 ,k k. Chứng minh rằng phương trình :



^n1



^xn23



^n2



^{xn12012n2 0.}

1.9. Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất

   

3 2 2 3

3 1 3 1 1 0

x  m x  m  x m   .

1.10. Chứng minh rằng phương trình x³3x² 1 0có ba nghiệm phân biệt

1 2 3

x x x thỏa mãn

   

1 2

1 2 3

2 2 2 27

x x

x x x

 



   



1.11. Chứng minh rằng với A B C, , là ba góc của một tam giác thì phương trình sau luôn có 4 nghiệm phân biệt

2 2

3 sin sin sin

2 2 2

x x A B C

  

1.12. Chứng minh rằng với mọi m thì hệ sau luôn có nghiệm

   

 

2008 2008

2

( ) ( ) 0

4 1

f x f y

x m y

  



  



, trong đó ^{f x( )}



^x23x2



^x22x3

BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường congy f x( )và yg x( )

Khi đó số giao điểm của hai đường cong chính là số nghiệm của phương trình (*).

Trong kì thi Tuyển sinh Đại học và Cao đẳng chỉ xét bài toán giao điểm của đường thẳng với đồ thị của hàm số bậc ba, hàm trùng phương và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

Kiến thức cần vận dụng:

Hai đường cong tiếp xúc nhau:

Hai đường cong

 

^{C :y f x( )và}

 

^{C' :yg x( )}tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:

0 0

0 0

( ) ( )

'( ) '( ) f x g x f x g x

 

 



có nghiệm x₀. Tương giao với hàm đa thức bậc ba:

(i). Xét phương trình: yax³bx²cx d 0 (*),a0.

Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số ( ) ( ) 0 (*)

f x g x 

19

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

3 2

0

yax bx cxd có hai điểm cực trị thỏa mãn y_CDy_CT 0.

i.1- Nếu phân tích phương trình (*) thành



¹

 

²



0 ¹ 2

( ) (1)

x x a x x x px q

g x x px q

 

     

  



Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác x₁.

2

1

0

4 0

( ) 0 a

p q

g x

 

    

 



i.2- Định lý Vi-ét

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

(1) (2) (3) x x x b

a x x x x x x c

a x x x d

a

    





  





 



Một số biến đổi thường dùng:

 

²

 

2 2 2

1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1

x x x  x x x  x x x x x x

 

³

  

3 3 3

1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3

x x x  x x x  x x x x x x

i.3- Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp cố cộng khi x₁x₃ 2x₂thay vào (1) suy ra

2 3

x b

  a, lúc này thay ngược vào phương trình (*) ban đầu sẽ tìm ra giá trị của tham số cần tìm.

Tuy nhiên đây chưa phải là điều kiện cần và đủ do đó với mỗi giá trị của tham số tìm được cần giải lại phương trình xem phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng hay không. Lúc đó mới chấp nhận giá trị của tham số đó hay không.

i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì x x_{1 3} x₂², lúc này ta thay vào (3),…

(ii). Xét với a0, ta có:

ii.1- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ  , khi và chỉ khi phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt  x₁x₂và thỏa mãn

1 2

( ) 0 ( ). ( ) 0 y

y x y x

 



 



20

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ  , khi và chỉ khi phương trình y'0có hai nghiệm phân biệt x₁x₂ và thỏa mãn

1 2

( ) 0 ( ). ( ) 0 y

y x y x

 



 

Với a0, ta biến đổi phương trình hoành độ giao điểm về phương trình có hệ số adương và áp dụng với trường hợp a0.

Tương giao với hàm trùng phương :

(i). Xét phương trình: ax⁴ bx²c a, 0 (*) Đặt tx² 0, khi đó phương trình trở thành

( ) 2 0 (1)

g t at bt c

i.1- Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đều dương

2

0

4 0

0 0 a

b ac S b

a P c

a

 

   



    





 



Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm 0t₁t₂. Lúc này phương trình (*) sẽ có bốn nghiệm là:

1 2, 2 1, 3 1, 4 2

x   t x   t x  t x  t

i.2- Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

2 1 3 2 4 3 2 1 2 1 2 91

x x x x x x  t  t  t t  t Định lí Vi-ét với phương trình (1) ta lại có:

1 2

1 2

t t b a t t c

a

   





 



Lưu ý: Dạng toán này luôn cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho hàm số ^{yx32x2}



^{1m x}



^{m (1),m}là tham số thực

21

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x₁, ₂, ₃thỏa mãn điều kiện x₁²x₂²x₃² 4

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: ^x32x2



^{1m x}



^m0



^{x 1}

 

^{x2 x m}



^{0 x 1}

       hoặcx² x m0 (*)

Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 1.

Kí hiệu g x( )x² x m x; ₁1,x₂và x₃là các nghiệm của (*).

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

2 2

2 3

0 1 4 0

(1) 0 0 1 1

1 2 3 4 3

m

g m m

x x m

    

 

       

 

     



và m0

Vậy ^{1,1 \}

 

⁰

m  4 

  

  là giá trị càn tìm.

Bài 2.Cho hàm số yx⁴mx²m1 (1)

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴mx²m 1 0 Đặt tx² 0, khi đó phương trình trở thành

2 1 0 (*)

t mtm  .

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt đều dương



²



^{2 0}

0

0 0 1 2

0 1 0

m

S m m

P m

  

 

 

      

    

 

Bài 3. Cho hàm số yx³3x²mx1 (1) (mlà tham số)

Tìm mđể đường thẳng d y: 1cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt ^A



^{0;1 ,}



^{B C, sao cho}

các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại Bvà Cvuông góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:x³3x²mx 1 1

22

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam



^{2 3}



^{0 0}

x x x m x

      hoặcx²3xm0(*) Kí hiệu g x( )x²3xm

Đường thẳng dcắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 0.

9 4 0 9

, 0.

(0) 0 4

m m m

g m

   

   

 



Khi đó hoành độ của B C, là nghiệm của phương trình (*) Hệ số góc của tiếp tuyến tại B C, lần lượt là

2 2

1 3 _B 6 _B ; 2 3 _C 6 _C

k  x  x m k  x  x m

Tiếp tuyến tại B C, vuông góc với nhau khi và chỉ khi



²



²



1 2 1 3 _B 6 _B 3 _C 6 _C 1

k k    x  x m x  x m  

 



^{3 xB2 3xB m 2m 3xB}

 

³



^{xC2 3xC m}



^{2m 3xC}



¹

          



²m ³xB



²m ³xC



^{1 4}m^{2 6}m x



B xC



⁹x xB C ¹⁽²⁾

          

Theo định lí Vi-ét ta có ^{B C 3}

B C

x x x x m

  



 



, khi đó (2) trở thành

2 9 65

4 9 1 0

m m m 8

     

Bài 4.Cho hàm số yx³3m x² 2m (1)

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt.

Lời giải:

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số (1) phải có hai điểm cực trị y'3x²3m² 0có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m0 (*)

Khi đó y' 0 x m

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi hoặc y_CT 0hoặc y_CD 0

( ) 2 2 3 0 0 1

y m m m m m

        

( ) 2 2 3 0 0

y m m m m

      

Chỉ có m 1thỏa mãn điều kiện (*). Vậy giá trị cần tìm của m là m 1hoặc m1 Bài 5. Cho hàm số ^yx42



^m1



^{x22m1 (1)}

Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Lời giải:

23

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Phương trình hoành độ giao điểm:^x42



^m1



^{x22m 1 0}

Đặt tx² 0, khi đó phương trình trở thành ^t22



^m1



^{t2m 1 0 (*)}

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm đều dương

 

2 0

' 0

0 2 1 0 1 0 (2)

0 2 1 0 2

m

S m m

P m

 

 

 

        

    

 

.

Khi đó (*) có hai nghiệm là 0t₁t₂. Suy ra hoành độ bốn giao điểm lần lượt là

1 2; 2 1; 3 1; 4 2

x   t x   t x  t x  t . Bốn điểm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

2 1 3 2 4 3 2 1 2 1 2 91

x x x x x x  t  t  t t  t

   

4

1 9 1 5 4 1 4

9 m

m m m m m m

m

 

         

  



thỏa mãn (2)

Vậy giá trị cần tìm của mlà 4 9; 4

m  

  

 

Bài 6.Cho hàm số ^{yx36x2 9x6}

 

^{C .}

Tìm mđể đường thẳng

 

^{d :ymx2m4}cắt đồ thị

 

^C tại ba điểm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x³6x²9x 6 mx2m4

     

3 2 2

6 9 2 2 0 2 4 1 0

x x m x m x x x m

            

2 x

  hoặcx²4x 1 m0 (*)

Kí hiệu g x( )x²4x 1 m. Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 2

' 0 3 0

(2) 0 3 0 3

m m

g m

   

 

    

   

 

Bài 7. Cho hàm số y