Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN

(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HÀ NỘI, 4/2014

HỌ VÀ TÊN: ………

LỚP :……….

TRƯỜNG :………

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1

TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HT 1.Tính các tích phân sau:

a)

1 3 1

0

I =

∫

x dx ^{b) 2 1 3}

0

(2 1)

I =

∫

x+ dx ^{c) 3 1 3}

0

(1 4 ) I =

∫

− x dx

d)

1

2 3

4 0

( 1)( 2 5)

I =

∫

x− x − x+ dx ^{e) 5 1 2 3}

0

(2 3)( 3 1)

I =

∫

x− x − x+ dx Bài giải

a)

1 4

3 1

1 0

0

1

4 4

I =

∫

x dx =x =

b)

1

3 2

0

(2 1)

I =

∫

x+ dx ^{Chú ý: d(2x+ =1) 2dx⇒dx=1}₂^d(2x+1)

1 1 4

3 3 1

2 0

0 0

(2 1)

1 1 81 1

(2 1) (2 1) (2 1) 10

2 2 4 8 8

I x dx x d x x+

⇒ =

∫

+ =

∫

+ + = = − =

c)

1

3 3

0

(1 4 )

I =

∫

− x dx ^{Chú ý: d(1−4 )x = −4dx ⇒dx= −1}₄^{d(1−4 )x}

1 1 4

3 3 1

3 0

0 0

(1 4 )

1 1 81 1

(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 5

4 4 4 16 16

I x dx x d x − x

⇒ =

∫

− = −

∫

− − = − = − + = −

d)

1

2 3

4 0

( 1)( 2 5)

I =

∫

x− x − x+ dx^{Chú ý: d x( 2−2x+5)=(2x−2)dx ⇒(x−1)dx =1}₂^{d x( 2−2x+5)}

1 1

2 3 2 3 2

4

0 0

( 1)( 2 5) 1 ( 2 5) ( 2 5)

2

I x x x dx x x d x x

⇒ =

∫

− − + =

∫

− + − +

2 4

1 0

( 2 5)

1 615 671

. 162

2 4 8 8

x − x+

= = − =

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 e)

1

2 3

5 0

(2 3)( 3 1)

I =

∫

x− x − x+ dx ^{Chú ý: d x( 2−3x+ =1) (2x−3)dx}

1 1

2 3 2 3 2

5

0 0

(2 3)( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)

I x x x dx x x d x x

⇒ =

∫

− − + =

∫

− + − +

2 4

1 0

( 3 1) 1 1

4 4 4 0

x − x+

= = − =

HT 2.Tính các tích phân sau:

a)

1 1

0

I =

∫

xdx ^{b) 2 7}

2

2

I =

∫

x+ dx ^{c) 3 4}

0

2 1

I =

∫

x+ dx

d)

1

2 4

0

1

I =

∫

x +x dx ^{e) 5 1 2}

0

1

I =

∫

x −x dx ^{f) 6 1 2}

0

(1 ) 2 3

I =

∫

−x x − x+ dx

g)

1

2 3

7 0

1

I =

∫

x x + dx ^{h) 8 1 2 3 2}

0

( 2 ) 3 2

I =

∫

x − x x − x + dx Bài giải

a)

1 1

0

I =

∫

xdx ⁼²₃^{x x 10=2}₃

b)

7

7

2 2

2

2 16 38

2 ( 2) 2 18

3 3 3

I =

∫

x+ dx= x+ x+ = − =

c)

4 3

0

2 1

I =

∫

x+ dx ^{4 40}

0

1 1 2 1 26

2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 9

2 x d x 2 3 x x 3 3

=

∫

+ + = + + = − =

d)

1 1

2 2 2 2 2 1

4 0

0 0

1 1 2 2 2 1

1 1 (1 ) . (1 ) 1

2 2 3 3 3

I =

∫

x +x dx=

∫

+x d +x = +x +x = −

e)

1

2 5

0

1

I =

∫

x −x dx ^{1 2 2 2 2 10}

0

1 1 2 1 1

1 (1 ) . (1 ) 1 0

2 2 3 3 3

x d x x x

= −

∫

− − = − − − = + =

f)

1 1

2 2 2

6

0 0

(1 ) 2 3 1 2 3 ( 2 3)

2

I =

∫

−x x − x+ dx = −

∫

x − x+ d x − x+

2 2 1

0

1 2 2 2

. ( 2 3) 2 3 3

2 3 x x x x 3

= − − + − + = − +

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 g)

1 1

2 3 3 3 3 3 1

7 0

0 0

1 1 2 4 2 2

1 1 ( 1) . ( 1) 1

3 3 3 9

I x x dx x d x x x −

=

∫

+ =

∫

+ + = + + =

h)

1 1

2 3 2 3 2 3 2

8

0 0

( 2 ) 3 2 1 3 2 ( 3 2)

3

I =

∫

x − x x − x + dx=

∫

x − x + d x − x +

3 2 3 2 1

0

1 2 4 2 4 2

. ( 3 2) 3 2 0

3 3 9 9

x x x x

= − + − + = − = −

HT 3.Tính các tích phân sau:

a) 4 1

1

I dx

x

=

∫

^{b) 2 1}

0 2 1

I dx

x

=

∫

+ ^{c) 3 0}

1 1 2

I dx

− x

=

∫

−

d) 1

4 2

0

( 1)

2 2

x dx

I

x x

= +

+ +

∫

^{e) 5 1} ₂

0

( 2)

4 5

x dx

I

x x

= −

− +

∫

Bài giải

a) 4

4

1 1

1

2 4 2 2

I dx x

x

=

∫

= = − =

b)

1 1

1

2 0

0 0

(2 1)

1 2 1 3 1

2 1 2 2 1

d x

I dx x

x x

= = + = + = −

+ +

∫ ∫

c)

0 0

0

3 1

1 1

(1 2 )

1 1 2 1 3

1 2 2 1 2

d x

I dx x

x x ⁻

− −

= = − − = − − = − +

− −

∫ ∫

d)

1 1 2

2 1

4 0

2 2

0 0

( 1) 1 ( 2 2)

2 2 5 2

2 2 2 2 2

x dx d x x

I x x

x x x x

+ + +

= = = + + = −

+ + + +

∫ ∫

e)

1 1 2

2 1

5 0

2 2

0 0

( 2) 1 ( 4 5)

4 5 2 5

4 5 2 4 5

x dx d x x

I x x

x x x x

− − +

= = = − + = −

− + − +

∫ ∫

HT 4.Tính các tích phân sau:

a) ₁ 1 e

I dx

=

∫

x ^{b) 2 0}

11 2 I dx

− x

=

∫

− ^{c) 3 1} 2

0 1

I xdx x

=

∫

+

d) 1

4 2

0

( 1)

2 2

x dx

I

x x

= +

+ +

∫

^{e) 5 1} 2

0

2

4 5

I x dx

x x

= −

− +

∫

Bài giải

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4

a) _{1 1}

1

ln ln ln 1 1

e

dx e

I x e

=

∫

x = = − =

b) 0 2

11 2 I dx

− x

=

∫

− ^{0 01}

1

(1 2 )

1 1 1 ln 3

ln 1 2 (ln 1 ln 3)

2 1 2 2 2 2

d x

x

x ⁻

−

= − − = − − = − − =

∫

−

c) 1

3 2

0 1

I xdx x

=

∫

+ ¹

(

²

)

_{2 1}

2 0 0

1 1 1 1 ln 2

ln 1 (ln 2 ln 1)

2 1 2 2 2

d x

x x

= + = + = − =

∫

+

d) 1

4 2

0

( 1)

2 2

x dx

I

x x

= +

+ +

∫

¹ 2²

0

( 2 2)

1

2 2 2

d x x

x x

+ +

=

∫

+ + ⁼¹₂^{lnx2+2x+2 10=}₂^{1(ln 5−ln 2)=1}₂^ln5₂

e)

1 1 2

2 1

5 2 2 0

0 0

( 4 5)

2 1 1 1 1 2

ln 4 5 (ln 2 ln 5) ln

2 2 2 2 5

4 5 4 5

d x x

I x dx x x

x x x x

− +

= − = = − + = − =

− + − +

∫ ∫

HT 5.Tính các tích phân sau:

a)

2

1 2

1

I dx x

=

∫

^{b) 2 0} 2 1(2 1) I dx

− x

=

∫

− ^{c) 3 1} 2

0 (3 1) I dx

x

=

∫

+

Bài giải

a)

2

2

1 2 1

1

1 1 1

2 1 2

I dx x x

=

∫

= − = − + =

b)

0 0

0

2 2 2 1

1 1

(2 1)

1 1 1 1 1 1

2 2 2. 1 2 6 3

(2 1) (2 1)

d x I dx

x x x ⁻

− −

= = − = − = − =

− − −

∫ ∫

c)

1 1

1

3 2 2 0

0 0

(3 1)

1 1 1 1 1 1

3 3 3. 1 12 4 6

(3 1) (3 1)

d x I dx

x x x

= = + = − = − + =

+ + +

∫ ∫

HT 6.Tính các tích phân sau:

a)

1 3 1

0

I =

∫

e xdx ^{b) 2 1 3}

0

(2 1)

x x

I =

∫

e e + dx ^{c) 3 1 3}

0

(1 4 )

x x

I =

∫

e − e dx

d)

1 4

0 1

x x

I e dx e

=

∫

+ ^{e) 5 2} 2² 2

1 ( 1)

x x

e dx I

e

=

∫

− ^{f) 6 2 2} 2 3

1 (1 3 )

x x

e dx I

e

=

∫

−

g)

1 7

0

2 1

x x

I =

∫

e e + dx ^{h) 8 1 2 2}

0

1 3

x x

I =

∫

e + e dx ^{i) 9 1}

0 1

x x

I e dx e

=

∫

+

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5 a)

1 3

3 3 1

1 0

0

1 1

3 3 3

x x e

I =

∫

e dx = e = −

b)

1 1 4

3 3 1

2 0

0 0

(2 1)

1 1

(2 1) (2 1) (2 1) .

2 2 4

x

x x x x e

I e e dx e d e +

=

∫

+ =

∫

+ + =

(2 1)4

1 81

2 4 4

 e+ 

 

=  − 

(2 1)4 81

8 8

e+

= −

c)

1 1

3 3

3

0 0

(1 4 ) 1 (1 4 ) (1 4 )

4

x x x x

I =

∫

e − e dx= −

∫

− e d − e

4 4 4

1 0

(1 4 ) (1 4 ) 81 (1 4 )

1 1 81

4. 4 4 4 4 16

ex  e  e

−  −  − −

= − = −  −  =

d)

1 1

1

4 0

0 0

( 1) 1

ln 1 ln( 1) ln 2 ln

1 1 2

x x

x

x x

d e

e dx e

I e e

e e

+ +

= = = + = + − =

+ +

∫ ∫

e)

2 2 2 2 2

2

5 2 2 2 2 2 1 4 2 4

1 1

( 1)

1 1 1 1 1

2 2.

( 1) ( 1) 1 2( 1) 2( 1) 2( 1)

x x

x x x

d e

e dx e

I

e e e e e e

= = − = − = − + =

− − − − − −

∫ ∫

f)

2 2 2 2

2

6 2 3 2 3 2 2 1 4 2

1 1

(1 3 )

1 1 1 1 1

6 6.

(1 3 ) (1 3 ) 2(1 3 ) 12(1 3 ) 12(1 3 )

x x

x x x

d e

e dx I

e e e e e

− −

= = − = − = −

− − − − −

∫ ∫

g)

1 1

1

7 0

0 0

1 1 2 1

2 1 2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 (2 1) 2 1 3

2 2 3 3

x x x x x x

I =

∫

e e + dx =

∫

e + d e + = e + e + = e+ e+ −

h)

1

2 2

8 0

1 3

x x

I =

∫

e + e dx ^{1 2 2 2 2 10 2 2}

0

1 1 2 1 8

1 3 (1 3 ) . (1 3 ) 1 3 (1 3 ) 1 3

6 6 3 9 9

x x x x

e d e e e e e

=

∫

+ + = + + = + + −

i)

1 9

0 1

x x

I e dx e

=

∫

+ ^{1 10}

0

( 1)

2 1 2 1 2

1

x

x x

d e e e

e

= + = + = + −

∫

+ HT 7.Tính các tích phân sau:

a) ₁

1

ln

e

I xdx

=

∫

x ^{b) 2}

1

3 ln 1

e

I x dx

x

=

∫

+ ^{c) 3 3}

1

(3 ln 1)

e

I x dx

x

=

∫

+

d)

3 2

4 1

4 ln 3 ln 2 ln 1

e

x x x

I dx

x

+ − +

=

∫

^e)

2

5 ln

e

e

I dx

x x

=

∫

^{f) 6}

1 (3 ln 1)

e

I dx

x x

=

∫

+

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6 g) ₇

1

3 ln 1

e

x dx I

x

=

∫

+ ^{h) 8}

1 3 ln 1

e

I dx

x x

=

∫

+

Bài giải

a)

2 2 2

1 1

1 1

ln ln ln ln 1 1

ln (ln )

2 2 2 2

e e

x x e e

I dx xd x

=

∫

x =

∫

= = − =

b)

2

2 1

1 1

3 ln 1 3 ln 3 5

(3 ln 1) (ln ) ln ( 1) 0

2 2 2

e e

x x e

I dx x d x x

x

 

+  

=

∫

=

∫

+ = +  = + − =

c)

3 4

3

3 1

1 1

(3 ln 1) 1 1 (3 ln 1) 64 1 85

(3 ln 1) (3 ln 1) .

3 3 4 3 12 4

e e

x x e

I dx x d x

x

+ +

=

∫

=

∫

+ + = = − =

d)

3 2

4 1

4 ln 3 ln 2 ln 1

e

x x x

I dx

x

+ − +

=

∫

^{3 2}

1

(4 ln 3 ln 2 ln 1) (ln )

e

x x x d x

=

∫

+ − +

4 3 2

(ln x ln x ln x ln )x ^e1

= + − + = + − + − =(1 1 1 1) 0 2

e)

2 2

2 2

5

(ln )

ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln 2

ln ln

e e

e e

e e

d x

I dx x e e

x x x

=

∫

=

∫

= = − =

f) ₆

1 (3 ln 1) e

I dx

x x

=

∫

+

1

(3 ln 1) 1

3 3 ln 1

e

d x

x

= +

∫

+ ⁼¹₃^{ln(3 lnx+1)e1 = 1}₃^{(ln 4−ln 1)=ln 4}₃

g) ₇

1 1

3 ln 1 1

3 ln 1 (3 ln 1) 3

e e

x dx

I x d x

x

=

∫

+ =

∫

+ + ^{=1 2}_{3 3}^{. (3 lnx+1) 3 lnx+1 e1=16}₉ ^{− =2}₉ ¹⁴₉

h) ₈

1 3 ln 1

e

I dx

x x

= =

∫

+ ¹

1

(3 ln 1)

1 1 4 2 2

.2 3 ln 1

3 3 ln 1 3 3 3 3

e

d x e

x x

= + = + = − =

∫

+ HT 8.Tính các tích phân sau:

a) 2

2 1

0

cos sin

I x xdx

π

=

∫

^{b) 2 2 2}

0

sin cos

I x xdx

π

=

∫

^{c) 3 4 3}

0

sin 2 cos 2

I x xdx

π

=

∫

d) 4 4

0

sin cos

I xdx

x

π

=

∫

^{e) 5 2}

0

sin 3 cos 1

I x x dx

π

=

∫

+ ^{f) 6 2}

0

cos 3 sin 1

I x dx

x

π

=

∫

+

Giải

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7 a)

2 2 3

2 2 2

1 0

0 0

cos 1

cos sin cos (cos )

3 3

I x xdx xd x x

π π

π

=

∫

= −

∫

= − =

b) 2

2 2

0

sin cos

I x xdx

π

=

∫

^{2 2 3 02}

0

sin 1

sin (sin )

3 3

xd x x

π

π

=

∫

= =

c)

4 4 4

3 3 4

3 0

0 0

1 sin 2 1

sin 2 cos 2 sin 2 (sin 2 )

2 8 8

I x xdx xd x x

π π

π

=

∫

=

∫

= =

d)

4 4

4 04

0 0

(cos )

sin 2 2

ln(cos ) ln ln 1 ln

cos cos 2 2

d x

I xdx x

x x

π π

π

=

∫

= −

∫

= − = − + = −

e)

2 2

5 02

0 0

1 1 2 1 4

sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos 1 1

3 2 3 3 3

I x x dx x d x x x

π π

π

=

∫

+ =

∫

+ + = + + = − = −

f)

2 2

6 02

0 0

(3 sin 1)

cos 1 2 4 2 2

3 sin 1

3 3 3 3 3

3 sin 1 3 sin 1

d x

I x dx x

x x

π π

+ π

= = = + = − =

+ +

∫ ∫

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8

PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

I.DẠNG 1: dx ax+b

∫

⁼_a^{1lnax+ +b C}

HT 1.Tính các tích phân sau:

a)

1

0 3 1

dx x+

∫

^{b) 0}

11 3 dx

− − x

∫

^{c) 1}

0

1 3

2 1 4 2 dx

x x

 

 − 

 

 

 + −

 

∫

Giải a)

1

1 0 0

1 1 ln 4

ln 3 1 (ln 4 ln 1)

3 1 3 3 3

dx x

x = + = − =

∫

+ b)

0

11 3 dx

− − x

∫

^{= −1}₃^{ln 1−3x −01= −1}₃^{(ln 1−ln 4)= −ln 4}₃

c) 1

1 0 0

1 3 1 3 1 3 1 3

ln 2 1 ln 4 2 ln 3 ln 2 ln 1 ln 4

2 1 4 2 dx 2 x 2 x 2 2 2 2

x x

       

 −  = + + −  = + − + 

       

       

 + −   

       

∫

1 3 1

ln 3 ln

2 2 2

= +

HT 2.Tính các tích phân sau:

a)

2 4 3 2

1 2

1

3 2 5 1

x x x x

I dx

x

+ − + −

=

∫

^{b) 2 1 3 2}

0

3 2 1

2

x x x

I dx

x

− + −

=

∫

− ^{c) 3 0 3 2}

1

2 3 4 1

1 2

x x x

I x

−

− + −

=

∫

−

Giải

a)

2 4 3 2

1 2

1

3 2 5 1

x x x x

I dx

x

+ − + −

=

∫

^{2 2} 2

1

5 1

(x 3x 2 )dx

x x

=

∫

+ − + −

3 2

2 1

3 1 8 1 1 3

2 5 ln 6 4 5 ln 2 2 5 ln 1 1

3 2 3 2 3 2

x x

x x

x

     

     

  

= + − + +  = + − + +  − + − + + 

13 5 ln 2

= 3 +

b)

1 3 2

2 0

3 2 1

2

x x x

I dx

x

− + −

=

∫

− ^{1 2}

0

1

x x 2) dx

x

 

 

=

∫

 − − − 

( )

3 2

1 0

1 1 1

ln 2 ln 1 ln 2 ln 2

3 2 3 2 6

x x

x

   

   

 

= − − −  = − − − − = −

c)

0 3 2

3 1

2 3 4 1

1 2

x x x

I x

−

− + −

=

∫

− ^{0 2}

1

3 1

2 2( 2 1)

x x dx

− x

 

 

=

∫

− + − + − + 

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9

3 2

0 1

3 1

ln 2 1

3 2 2 4

x x

x x ₋

 

 

= − + − − − + 

1 1 1 3 1 ln 3 7

( ln 1) ( ln 3)

4 3 2 2 4 4 3

= − − + + − = −

II.DẠNG 2:

2

dx ax +bx+c

∫

HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)

a)

1

0 ( 1)( 2)

dx x+ x+

∫

^{b) 1}

0 ( 1)(3 )

dx x+ −x

∫

^{c) 1}

0 ( 1)(2 3)

dx x+ x+

∫

Giải a)

1 1 1

0 0 0

( 2) ( 1) 1 1

( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 2

x x

dx dx dx

x x x x x x

 

+ − +  

= =  − 

+ + + +  + + 

∫ ∫ ∫

( )

¹0 ¹0

1 2 1 4

ln 1 ln 2 ln ln ln ln

2 3 2 3

x x x

x

= + − + = + = − =

+ b)

1

0 ( 1)(3 )

dx x+ −x

∫

^{1 1}

0 0

( 1) (3 )

1 1 1 1

4 ( 1)(3 ) 4 3 1

x x

dx dx

x x x x

 

+ + −  

=

∫

+ − =

∫

 − + + 

( )

¹0 ¹0

1 1 1

ln 3 ln 1 ln

4 4 3

x x x

x

= − − + + = +

−

1 1 ln 3

ln 1 ln

4 3 4

 

 

=  − = −

c)

1 1

0 0

(2 3) 2( 1)

( 1)(2 3) ( 1)(2 3)

x x

dx dx

x x x x

+ − +

+ + = + +

∫ ∫

¹

0

1 2

1 2 3 dx

x x

 

 

=

∫

 + − + 

( )

¹0 ¹0

1 2 1 6

ln 1 ln 2 3 ln ln ln ln

2 3 5 3 5

x x x

x

= + − + = + = − =

+ HT 4.Tính các tích phân sau:

a)

1 2

0 12

dx x − −x

∫

^{b) 0} 2

12 5 2

dx

x x

−

∫

− + ^{c) 2} 2

1 1 2 3

dx

x x

− −

∫

Giải a)

1 2

0 12

dx x − −x

∫

^{= 1 1}

0 0

( 3) ( 4)

1

( 3)( 4) 7 ( 3)( 4)

x x

dx dx

x x x x

+ − −

+ − = + −

∫ ∫

( )

1

1 1

0 0

0

1 1 1 1 1 4

ln 4 ln 3 ln

7 4 3 7 7 3

dx x x x

x x x

  −

 

=

∫

 − − +  = − − + = +

1 3 4 1 9

(ln ln ) ln

7 4 3 7 16

= − =

b)

0 2

12 5 2

dx

x x

−

∫

− + ^{= 0 0 0}

1 1 1

(2 1) 2( 2)

1

1 ( 2)(2 1) 3 ( 2)(2 1)

2( 2)( )

2

x x

dx dx

x x x x dx

x x

− − −

− − −

= =

− − − −

− −

∫ ∫ ∫

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10

( )

0

0 1 1

1 1 2 1

ln 2 ln 2 1

3 2 2 1 dx 3 x x

x x ⁻

−

 

 

=

∫

 − − −  = − − −

0 1

1 2 1 ln 2

ln (ln 2 ln 1)

3 2 1 3 3

x

x ⁻

= − = − =

− c)

2 2 2

2

1 1 2 3 1 3( 1)( 1) 1 ( 1)(1 3 )

3

dx dx dx

x x

x x x x

= =

+ −

− − − + −

∫ ∫ ∫

²

1

3( 1) (1 3 ) 1

4 ( 1)(1 3 )

x x

x x dx

+ + −

=

∫

+ −

( )

2

2 1 1

1 3 1 1

ln 1 3 ln 1

4 1 3 1 dx 4 x x

x x

 

 

=

∫

 − + +  = − − + + ^{= 1}₄^ln₁^x₋⁺₃¹_x ¹²⁼¹₄^(ln3₅^{−ln 1)=1}₄^ln3₅

HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) a)

2 2 1

dx

∫

x ^{b) 1} 2 0 (3 1)

dx x+

∫

^{c) 0} 2

1(1 2 ) dx

− − x

∫

^{d) 0} 2

19 6 1

dx

x x

−

∫

− + ^{e) 0} 2

1 16 8 1

dx

x x

− − + −

∫

Giải a)

2 2 1

dx

∫

x ^{= −}_x^{1 21= − + =1}₂ ^{1 1}₂ b)

1

1 2 0

0

1 1 1 1 1

3 (3. 1) 12 3 4

(3 1) dx x x

 

 

= − + = − − =

∫

+ c)

0

2 1(1 2 )

dx

− − x

∫

⁰ 2 ⁰¹

1

1 1 1 1 1

2 2. 1 2 6 3

(2 1) dx

x x ⁻

−

 

 

=

∫

− = − − = − − + =

d)

0 2

19 6 1

dx

x x

− − +

∫

⁰ 2 ⁰¹

1

1 1 1 1 1

3 3. 1 3 12 4

(3 1) dx

x x ⁻

−

 

 

=

∫

− = − − = − − + =

e)

0 2

1 16 8 1

dx

x x

− − + −

∫

⁰ 2 ⁰ 2 ⁰¹

1 1

1 1 1 1 1

4 4. 1 4 20 5

16 8 1 (4 1)

dx dx

x x x x ⁻

− −

= − = − = = − + = −

− + − −

∫ ∫

http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)

a)

1

1 2

0 1

I dx x

=

∫

+ ^{b) 3} 2

0 3

dx x +

∫

^c)

2 2

2

0 2 3

dx x +

∫

Giải a)

1

1 2

0 1

I dx x

=

∫

+

Đặt: tan ;

x = t t∈ − 2 2π π

cos2

dx dt

t

⇒ =

Đổi cận: Với x = ⇒ =0 t 0

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11

Với 1

x t π4

= ⇒ =

4 4 4

1 2 2 2 04

0 0 0

2

cos (tan 1) cos . 1 cos

dt dt

I dt t

t t t

t

π π π

π

⇒ = = = =

∫

+

∫ ∫

⁼₄^π

b)

3

2 2

0 3

I dx x

=

∫

+

Đặt: x = 3 tantVới ; t∈ − 2 2π π

2

3 cos dx dt

t

⇒ =

Đổi cận: Với x = ⇒ =0 t 0; Với 3

x t 4π

= ⇒ =

4 4

2 2 2 2

0 0

2

3 3

3 1

cos (3 tan 3) cos .

cos

dt dt

I

t t t

t

π π

⇒ = =

∫

+

∫

⁴

0

3 3 dt

π

=

∫

₃^{3t 04} ₁₂³

π

= = π

c)

2 2

2 2

3 2 2

0 2 3 0 2 3

2

dx dx

I

x x

= =

 

+  + 

∫ ∫

2 2 0 2 1

2 3

2 dx x

=

∫

+

Đặt: 3

2tan

x = t Với ;

t∈ − π2 2π

2 6 2 cos dx dt

t

⇒ =

Đổi cận: Với x = ⇒ =0 t 0;Với 2

2 6

x t π

= ⇒ =

6 6 6

3 06

2 2 2

0 0 0

2

1 6 6 6 6 6

2 3