TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x–3y+2 –5 0z = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT nr=éën ABrP,uuurùû=(0; 8; 12) 0- - ¹r Þ ( ) : 2Q y+3 11 0z- = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( ) :P x+2y+3z+ =3 0. ĐS: ( ) :Q x-2y z+ - =2 0 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A(2;1;3), (1; 2;1)B - và song song với đường thẳng
x t
d y t
z t
: 21 3 2 ì = - + ï = íï = - - î
.
· Ta có BAuur=(1;3;2)
, d có VTCP ur=(1;2; 2)- . Gọi nr là VTPT của (P) Þ n BA
ì ^n u í ^î
r uur
r r Þ chọn nr=éëBA uuur,rùû= -( 10;4; 1)- Þ Phương trình của (P): 10x-4y z+ -19 0= .
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( )d1 và ( )d2 có phương trình:
x y z
d1 1 1 2
( ); 2 3 1
- + -
= = , ( ) :d2 x 4 y 1 z 3
6 9 3
- - -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và ( )d2 .
· Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2+y2+z2-2x+6y-4z- =2 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ vr=(1;6;2), vuông góc với mặt phẳng( ) :a x+4y z+ -11 0= và tiếp xúc với (S).
· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( )a là nr=(1;4;1).
Þ VTPT của (P) là: nrP =
[ ]
n vr r, =(2; 1;2)- Þ PT của (P) có dạng: 2x y- +2z m+ =0. Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4= mm 21 é = -3 Û ê =ë . Vậy: (P): 2x y- +2z+ =3 0 hoặc (P): 2x y- +2z-21 0= .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y z
d1 1
( ) :
1 2 3
= + =
- - và ( ) :d2 x y 1 z 4
1 2 5
- -
= = . Chứng minh rằng điểm M d d, ,1 2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
· d1 qua M1(0; 1;0)- và có ur1=(1; 2; 3)- - , d2 qua M2(0;1;4) và có ur2 =(1;2;5). u u1 2; ( 4; 8;4) 0
é ù = - - ¹
ër r û r, uuuuuurM M1 2 =(0;2;4)
Þ éëu u M Mr r1 2; ùû.uuuuuur1 2 =0Þ d d1 2, đồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, Þ (P) có VTPT nr =(1;2; 1)- và đi qua M1 nên có phương trình x+2y z- + =2 0. Kiểm tra thấy điểm M(1;–1;1) ( )Î P .
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z
2 2 1
- = - = và mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-2y-4z+ =2 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP ur=(2;2;1).
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT nr r=
[ ]
u i,r =(0;1; 2)- Þ PT của (P) có dạng: y-2z D+ =0. (P) tiếp xúc với (S) Û d I P( ,( ))=R Û D2 2
1 4 2
1 2 - + =
+ Û D- =3 2 5 Û D D
3 2 5 3 2 5 é = + ê = - ë
Þ (P): y-2z+ +3 2 5 0= hoặc (P): y-2z+ -3 2 5 0= .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y- =4 0 và mặt phẳng (P):x z+ - =3 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)- vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nrP =(1;0;1).
PT (Q) đi qua M có dạng: A x( - +3) B y( - +1) C z( 1) 0,+ = A2+B2+C2¹0 (Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q( ,( ))= Û -R 4A B C+ + =3 A2+B2+C2 (*)
Q P n nQ P A C C A
( ) ( )^ Û r r. = Û + = Û = -0 0 (**)
Từ (*), (**) Þ B-5A =3 2A2+B2 Û8B2-7A2+10AB=0 Û A=2B Ú 7A= -4B
· Với A=2B. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2x y+ -2z- =9 0
· Với 7A= -4B. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4x-7y-4z- =9 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với ( ) :S x2+y2+z2-2x+4y-4z+ =5 0, ( ) : 2P x y+ -6z+ =5 0, (1;1;2)M . ĐS: ( ) : 2Q x+2y z+ - =6 0 hoặc ( ) :11Q x-10y+2z- =5 0. Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2–2x+4y+2 –3 0z = .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r=3.
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Ûb = –2a (a¹0) Þ (P): y – 2z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-2y+2 –1 0z = và đường thẳng d:ì - - =2x yx z 2 06 0
í - - =
î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r =1.
· (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0). Chọn M(2;0; 2), (3;1;0)- N Îd.
Ta cĩ:
M P N P
d I P R2 r2 ( )( )
( ,( )) ì Ỵï Ỵ
íï = -
ỵ
Û a b c a b d a b
a ,2 b c( ),a b d3 a b (1)
17 7 ,2 ( ), 3 (2)
é = = - + = - - ê = - = - + = - - ë
+ Với (1) Þ (P): x y z+ - - =4 0 + Với (2) Þ (P): 7x-17y+5z- =4 0
Câu 10. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z
1: 1
2 1 1
D = - = - ,
x y z
2: 1
1 1 1
D -
- = =- và mặt cầu (S): x2+y2+z2–2x+2y+4 –3 0z = . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đĩ song song với hai đường thẳng D1 và D1.
· (P): y z+ + +3 3 2 0= hoặc (P): y z+ + -3 3 2 0=
Câu 11. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6 11 0z- = và mặt phẳng (a) cĩ phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi bằng p=6p .
· Do (b) // (a) nên (b) cĩ phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D¹17)
(S) cĩ tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường trịn cĩ chu vi 6p nên cĩ bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (b) là h = R2-r2 = 52-32 =4
Do đĩ 2 2 2D D DD (loại)
2.1 2( 2) 32 2 ( 1) 4 5 12 177 + - - ++ + - = Û - + = Û ê =é = -ë Vậy (b) cĩ phương trình 2x+2 – – 7 0y z = .
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :S x2+y2+z2 2 4 6 11 0+ x+ y- z- = , ( ): 2a x y+ -2 19 0z+ = , p=8p. ĐS: ( ) : 2b x y+ -2 1 0z+ =
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z+ + =0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2.
· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz+ + =0 (với A2+B2+C2 ¹0).
· Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A+1.B+1.C =0 Û C= - -A B (1)
· d M P( ,( ))= 2 Û A B C A2 B2 C2
2 2
+ - =
+ + Û (A+2B C- )2 =2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) và (2) ta được: 8AB+5B2=0 Û B
A 0 B (3)
8 5 0 (4)
é =ê + = ë
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z- =0
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5x-8y+3z=0.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x 1 y 3 z
1 1 4
- = - = và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz+ + +2b=0 (a2+b2+c2¹0) D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP ur =(1;1;4)
Ta có:
a b c
P a b
d A P d
a2 b2 c2
4 0
( ) 5 4
( ;( ))
ì + + =
ìD Ûï +
í = í =
î ïî + +
P Û a c
a 4 c ì = 2 í = - î .
· Với a=4c. Chọn a=4,c= Þ = -1 b 8Þ Phương trình (P): 4x-8y z+ -16 0= .
· Với a= -2c. Chọn a=2,c= - Þ =1 b 2 Þ Phương trình (P): 2x+2y z- + =4 0. Câu hỏi tương tự:
a) Với :x y z 1; (0;3; 2),M d 3
1 1 4
D = = - - = .
ĐS: ( ) : 2P x+2y z- - =8 0 hoặc ( ) : 4P x-8y z+ +26 0= .
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d x ty t ( ) : z 1 2
1 ì =ï = - + íï = î
và điểm A( 1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
· (d) đi qua điểm M(0; 1;1)- và có VTCT ur =(1;2;0). Gọi nr =( ; ; )a b c với a2+b2+c2 ¹0 là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a x( - +0) b y( + +1) c z( 1) 0- = Ûax by cz b c+ + + - =0 (1).
Do (P) chứa (d) nên: u nr r. = Û +0 a 2b= Û = -0 a 2b (2)
( )
a b c b cd A P b c b c
a b c b c
2 2
2 2 2 2 2
3 2 5 2
,( ) 3 3 3 5 2 3 5
5
- + + +
= Û = Û = Û + = +
+ + +
( )
b2 bc c2 b c 2 c b
4 4 0 2 0 2
Û - + = Û - = Û = (3)
Từ (2) và (3), chọn b= -1 Þ a=2,c= -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2x y- -2 1 0z+ = .
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)- N - I . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0). Ta có:
M P N P d I P ( )( ) ( ,( )) 3 ì Îï Î
íï = î
Û a b c a b d a b a b c a b d a b,2 , (1)
5 7 ,2 , (2)
é = - = - = -
ê = = - = -
ë .
+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x y z- + + =2 0 + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): 7x+5y z+ + =2 0.
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2)- , B(1;3;0), C( 3;4;1)- , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0). Ta có:
A P B P
d C P d D P ( )( )
( ,( )) ( ,( )) ì Îï Î
íï =
î
Û a b c d a b d
b c d a b c d a2 b2 c2 a2 b2 c2
2 0
3 0
3a 4 2
ì - + + = ï + + =
ïí - + + + = + + +
ïï + + + +
î
Û b a c a d a c 2 ,a b a d4 , a7
2 , , 4
é = = = - ê = = = - ë
+ Với b=2 ,a c=4 ,a d= -7a Þ (P): x+2y+4z- =7 0. + Với c=2 ,a b a d= , = -4a Þ (P): x y+ +2z- =4 0. Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)B - C - D .
ĐS: ( ) : 4P x+2y+7 15 0z- = hoặc ( ) : 2P x+3z- =5 0.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3), B(0; 1;2)- , C(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến ( )P bằng khoảng cách từ C đến ( )P .
· Vì O Î (P) nên ( ) :P ax by cz+ + =0, với a2+b2+c2 ¹0.
Do A Î (P) Þ a+2b+3c=0 (1) và d B P( ,( ))=d C P( ,( ))Û - +b 2c = + +a b c (2) Từ (1) và (2) Þ b=0 hoặc c=0.
· Với b=0thì a= -3c Þ ( ) : 3P x z- =0 · Với c=0 thì a= -2b Þ ( ) : 2P x y- =0 Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3)B C . ĐS: -6x+3y+4z=0 hoặc 6x-3y+4z=0. Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1)- , B(1;1;2),
C( 1;2; 2)- - và mặt phẳng (P): x-2y+2 1 0z+ = . Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC.
· PT ( )a có dạng: ax by cz d+ + + =0, với a2+b2+c2¹0
Do A(1;1; 1) ( )- Î a nên: a b c d+ - + =0 (1); ( ) ( )a ^ P nên a-2b+2c=0 (2) IB=2ICÞ d B( ,( )) 2 ( ;( ))a = d C a Þ a b c d a b c d
a2 b2 c2 a2 b2 c2
2 2 2
+ + + 2 - + - +
=
+ + + +
a b c d a b c d
3 35 62 3 00 (3) é - + - =
Û ê- + - + =ë
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : TH1 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0 1 3
2 2 0 ; ;
2 2
3 3 6 0
ì + - + = - -
ï - + = Û = = - =
íï - + - = î
.
Chọn a= Þ = -2 b 1;c= -2;d= -3 Þ ( )a : 2x y- -2z- =3 0 TH2 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0 3 3
2 2 0 ; ;
2 2
5 2 3 0
ì + - + = -
ï - + = Û = = =
íï- + - + = î
.
Chọn a= Þ =2 b 3;c=2;d = -3Þ ( )a : 2x+3y+2z- =3 0 Vậy: ( )a : 2x y- -2z- =3 0hoặc ( )a : 2x+3y+2z- =3 0
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương trình d1:x 2 y 2 z 3
2 1 3
- - -
= = , d2: x 1 y 2 z 1
2 1 4
- - -
= =
- . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d d1 2, .
· Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có urd1=(2;1;3), d2 đi qua B(1;2;1) và có urd2 =(2; 1;4)- . Do (P) cách đều d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, Þ nrP =éëu ur rd1, d2ùû=(7; 2; 4)- - Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x-2y-4z d+ =0
Do (P) cách đều d d1 2, suy ra d A P( ,( ))=d B P( ,( )) Û 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d
69 69
- - + - - +
= d 2 d 1 d 3
Û - = - Û = 2 Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14x-4y-8z+ =3 0
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương trình
x t
d y t
1 z
: 12 1 ì = + ï = - íï = î
, d2: x 2 y 1 z 1
1 2 2
- - +
= =
- . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 và d2, sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P).
· Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP ur1=(1; 1;0)- d2 đi qua B(2;1; 1)- và có VTCP là ur2 =(1; 2;2)-
Gọi nr là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên nr=éëu ur r1 2, ùû= - - -( 2; 2; 1) Þ Phương trìnht (P): 2x+2y z m+ + =0.
d d P( ,( ))1 d A P( ;( )) 7 m 3
= = + ; d d P( ,( )) ( ,( ))2 d B P 5 m 3
= = +
d d P( ,( )) 2 ( ,( ))1 = d d P2 Û +7 m =2. 5+m m m
m m
7 2(5 )
7 2(5 )
é + = +
Û ê + = - +ë m 3;m 17 Û = - = - 3 + Với m= -3Þ ( ) : 2P x+2y z+ –3 0= + Với m 17
= - 3 Þ( ) : 2P x 2y z 17 0 + + - 3 =
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1;2)- , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x-1)2+ -(y 2)2+ +( 1)z 2 =2.
· (S) có tâm I(1;2; 1)- , bán kính R= 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0) Ta có:
A P B P d I P R
( )( ) ( ,( )) ì Îï í Î
ï =
î
Û a b c a b d a b
a ,b c a b d, 2 a3 b (1)
3 8 , , 2 3 (2)
é = - = - - = + ê = - = - - = + ë
+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x y- - =1 0
+ Với (2) Þ Phương trình của (P): 8x-3y-5z+ =7 0
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
· Ta có d O P( ,( ))£OA. Do đó d O P( ,( ))max =OA xảy ra ÛOA^( )P nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OAuuur=(2; 1;1)-
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z- + - =6 0..
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1
2 1 3
- = = - . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI³ Þ HI lớn nhất khi A Iº . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận uuurAH
làm VTPT Þ (P): 7x y+ -5z-77 0= .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
x= - +2 ;t y= -2 ;t z= +2 2t. Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì ( ) ( )P P d hoặc ( ) ( )P É d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA£ và IH ^AH.
Mặt khác d d P d I P IH
H( ,( ))P ( ,( ))
ì ( ) = =
í Îî
Trong (P), IH IA£ ; do đó maxIH = IAÛH Aº . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P0) là n IAr uur= =
(
6;0; 3-)
, cùng phương với vr=(
2;0; 1-)
.Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x- -4) 1.( 1) 2z+ = x z- - =9 0.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y z 2
2 1 2
- = = - và điểm A(2;5;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0). (P) có VTPT nr =( ; ; )a b c , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP ur=(2;1;2).
Vì (P) É d nên M P n u ( )
. 0 ì Îí =
îr r Þ a c d a b2 c 0
2 2 0
ì + + = í + + =
î Þ c a b
d a b
2 (2 )
ì = - + í = +
î . Xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z- + =1 0. Khi đó: d A P( ,( )) 0= .
TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b=1 ta được (P): 2ax+2y-(2a+1)z+2a+ =2 0. Khi đó: d A P
a a
a
2 2
9 9
( ,( )) 3 2
8 4 5 2 2 1 3
2 2
= = £
+ + æçè + ö÷ø + Vậy max ( ,( )) 3 2d A P = Û 2a 1 0 a 1
2 4
+ = Û = - . Khi đó: (P): x-4y z+ - =3 0. Câu hỏi tương tự:
a) d: x 1 y 1 z 2, (5;1;6)A
2 1 5
- + -
= = . ĐS: ( ) : 2P x y z+ - + =1 0 b) d: x 1 y 2 z, (1;4;2)A
1 1 2
- = + =
- . ĐS: ( ) : 5P x+13y-4z+21 0= Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- và N( 1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểmK(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
· PT (P) có dạng: Ax B y+ ( + +1) C z( -2) 0= Û Ax By Cz B+ + + -2C=0
(A2+B2+C2¹0)
N( 1;1;3) ( )- Î P Û - + +A B 3C B+ -2C= Û =0 A 2B C+ P B C x By Cz B C
( ) : (2 ) 2 0
Þ + + + + - = ; d K P
B C BC
( ,( )) B
2 2
4 2 4
=
+ +
· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
· Nếu B¹0thì d K P B
B C BC C
B
2 2 2
1 1
( ,( ))
4 2 4 2
2 1 2
= = £
+ + æçè + ö÷ø +
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x y z+ – + =3 0.
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():
x 1 y z
1 1 2
- = =
- - và tạo với mặt phẳng (P) : 2x-2y z- + =1 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz.
· () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP ur=(1; 1; 2)- - . (P) có VTPT nr¢ = - -(2; 2; 1). Giao điểm M(0;0; )m cho uuuurAM = -( 1;0; )m
. (a) có VTPT nr =éëuuur urAM u, ùû=( ;m m-2;1) (a) và (P): 2x-2y z- + =1 0 tạo thành góc 600 nên :
( )
n n m mm m
2 2
1 1 1
cos , 2 4 1 0
2 2 4 5 2
¢ = Û = Û - + =
- +
r r Û m= -2 2 hay m= +2 2
Kết luận : M(0;0;2- 2) hay M(0;0;2+ 2)
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) : 2 – –1 0a x y = , ( ) : 2 –b x z=0 và tạo với mặt phẳng
Q x y z
( ) : –2 +2 –1 0= một góc j mà cos 2 2 j = 9
· Lấy A(0;1;0), (1;3;2)B Îd. (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax By Cz B+ + – =0. (P) qua B nên: A+3B+2 –C B=0 Þ A= -(2B+2 )C
Þ ( ) : (2P - B+2 )C x By Cz B+ + – =0
B C B C
B C 2 B2 C2
2 2 2 2 2 2
cosj 3 (2- -2 )- + 9
= =
+ + + Û 13B2+8BC–5C2 =0. Chọn C 1 B 1; B 5
= Þ = =13.
+ Với B C= =1 Þ ( ) : 4P - x y z+ + –1 0= + Với B 5 , 1C
=13 = Þ ( ) : 23P - x+5y+13 –5 0z = .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)- - B - - và mặt phẳng ( ) :P x+2y z+ - =3 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc a thoả mãn cos 3
a = 6 .
· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0). Ta có:
BA Q( )Q ( ) cos 3
a 6 ì Îï Î ïí
ï =
ïî
Û a b c d
b c d a b c a2 b2 c2
2 3 0
2a 6 0
2 3
1 4 1 6 ì- + - + = ï - - + = ïí + +
ï =
ï + + + +
î
Û a b c b d b a 4 ,b c d3 , b 15
, 0,
é = - = - = - ê = - = = - ë
Þ Phương trình mp(Q): 4x y- +3 15 0z+ = hoặc (Q): x y- - =3 0. Câu hỏi tương tự:
a) A(0;0;1), (1;1;0)B , ( ) (P Oxy),cos 1 a 6
º = .
ĐS: (Q): 2x y z- + - =1 0 hoặc (Q): x-2y z- + =1 0.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:ì + + - =2x y zx y z 3 04 0 í + + - =
î . Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 600
a = .
· ĐS: ( ) : 2P x y z+ + - 2 2 0- = hoặc ( ) : 2P x y z- - - 2 2 0+ =
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x-2y+5 1 0z- = và Q x y z
( ) : -4 -8 12 0+ = . Lập phương trình mặt phẳng ( )R đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a =450.
· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0). Ta có: ( ) ( )R ^ P Û5a-2b+5c=0 (1);
·R Q a b c a b c
0
2 2 2
4 8 2
cos(( ),( )) cos45 9 2
- -
= Û =
+ + (2)
Từ (1) và (2) Þ 7a2+6ac c- 2= Û ê =0 é = -ëac 7ac
· Với a= -c: chọn a=1,b=0,c= -1 Þ PT mặt phẳng ( ) :R x z- =0
· Với c=7a: chọn a=1,b=20,c=7 Þ PT mặt phẳng ( ) :R x+20y+7z=0 Câu hỏi tương tự:
a) Với ( ) :P x y- -2z=0,( ) (Q º Oyz M), (2; 3;1),- a =450.
ĐS: ( ) :R x y+ + =1 0 hoặc ( ) : 5R x-3y+4z-23 0=
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x y z
1: 1 1 1
1 1 3
D - = + = -
- và x y z
2:
1 2 1
D = =
- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và tạo với D2 một góc a =300.
· Đáp số: (P):5x+11y+2z+ =4 0 hoặc (P): 2x y z- - - =2 0. Câu hỏi tương tự:
a) Với x y z
1: 2
1 1 1
D = - =
- , x y z
2: 2 3 5
2 1 1
D - = - = +
- , a =300.
ĐS: (P): x-2y-2z+ =2 0 hoặc (P): x+2y z+ - =4 0
b) x y z
1: 1 1
2 1 1
D - = = +
- , x y z
2: 2 1
1 1 1
D = - = +
- , a =300.
ĐS: (P): (18+ 114)x+21y+(15 2 114)+ z- -(3 114) 0= hoặc (P): (18- 114)x+21y+(15 2 114)- z- +(3 114) 0=
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 45 , 300 0.
· Gọi nr =( ; ; )a b c là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ir =(1;0;0),rj =(0;1;0) .
Ta có: Ox P
Oy P sin( ,( )) 2
12 sin( ,( ))
2
ì =
ïïí
ï =
ïî
Û a b
c b2 ì =í = î
PT mặt phẳng (P): 2(x- + - ± - =1) (y 2) (z 3) 0 hoặc - 2(x- + - ± - =1) (y 2) (z 3) 0 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y z- + =5 0 và đường
thẳng d: x 1 y 1 z 3
2 1 1
+ = + = - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0). Gọi a =(( ),( ))·P Q . Chọn hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)- - N Îd. Ta có: M P c a b
N ( )P d a b
( ) 7 4
ì Î Þì = - -
í Î í = +
î î
Þ (P): ax by+ + - -( 2a b z) +7a+4b=0 Þ a b a2 ab b2 cos 3 .
6 5 4 2
a = +
+ +
TH1: Nếu a = 0 thì b
b2
3 3
cos .
6 2 2
a = = Þ a =300.
TH2: Nếu a ¹ 0 thì
b a
b b
a a
2
3 1
cos .
6 5 4 2
a +
=
+ + ç ÷æ öè ø
. Đặt x b
=a và f x( ) cos= 2a
Xét hàm số f x x x
x x
2
2
9 2 1
( ) .
6 5 4 2 + +
= + + .
Dựa vào BBT, ta thấy min ( ) 0f x = Ûcosa = Û =0 a 900 >300
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b=1,c=1,d =4. Vậy: (P): y z- + =4 0.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (Q): x+2y+2 –3 0z = , d:x 1 y 2 z
1 2 1
- = + =
- . ĐS: ( ) :P x+2y+ + =5 3 0z . b) Với ( ) (Q Oxy d), : x 1 y 2 z
1 1 2
- +
º = =
- . ĐS: ( ) :P x y z- + - =3 0. c) Với ( ) : 2Q x y z- - - =2 0,
x t
d y t
z t
: 1 2
2 ì = - ï = - + íï = + î
. ĐS: ( ) :P x y z+ + - =3 0.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)- - N và mặt phẳng (Q): x+2y z- + =5 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: ( ) :P y z- + =4 0. Câu hỏi tương tự:
a) M(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) (- N - Q º Oxy). ĐS: ( ) : 6P x+3y+5z- =7 0.
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t : 12
2 ì = - ï = - + íï = î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0). Gọi a =(( ), )·P Oy .
Chọn hai điểm M(1; 2;0), (0; 1;2)- N - Îd. Ta có: M P c a b N ( )P d2 a b
( ) 2
ì Î Þì = - í Î í = - +
î î
Þ (P): ax by a bz a 2b 0 2
+ + - - + = Þ b
a2 b2 ab sin 2
5 5 2
a =
+ - . TH1: Nếu b = 0 thì a =00.
TH2: Nếu b ¹ 0 thì
a a
b b
2
sin 2
5 5 2
a =
æ ö + - ç ÷è ø
. Đặt x a
=b và f x( ) sin= 2a .
Xét hàm số f x
x2 x ( ) 4
5 2 5
= - + . Dựa vào BBT, ta được max ( )f x 5 x 1
6 5
= Û = Þ a >00. Vậy a lớn nhất khi a
b 1
= 5. Chọn a=1,b=5,c= -2,d=9 Þ(P): x+5y-2z+ =9 0. Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x 1 y 2 z
1 2 1
- = + =
- và
x y z
d2: 2 1
2 1 2
+ = - =
- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
· d1 đi qua M(1; 2;0)- và có VTCP ur=(1;2; 1)- .Vì d1Ì( )P nên MÎ( )P . PT mặt phẳng (P) có dạng: A x( - +1) B y( + +2) Cz=0 (A2+B2+C2 ¹0) Ta có: dÌ( )P Ûu nr r. = Û = +0 C A 2B.
Gọi a =(( ), )·P d2 Þ A B A B
A AB B
A AB B
2
2 2
2 2
4 3 1 (4 3 )
sin .
3 2 4 5
3. 2 4 5
+ +
= =
+ +
+ +
a TH1: Với B = 0 thì sin 2 2
= 3 a TH2: Với B ¹ 0. Đặt t A
= B , ta được: sin t
t t
2 2
1. (4 3)
3 2 4 5
= + a + + Xét hàm số f t t
t t
2 2
(4 3) ( ) 2 4 5
= +
+ + . Dựa vào BBT ta có: max ( )f t 25
= 7 khi t= -7 Û A B = -7 Khi đó sin f( 7) 5 3
= - = 9
a .
So sánh TH1 và TH2 Þa lớn nhất với sin 5 3
= 9
a khi A
B = -7. Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7x y- + - =5 9 0 z .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y 2 z 1
1 1 1
+ = - = +
- và điểm A(2; 1;0)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: ( ) :P x y+ +2 1 0z- = .
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y z- + + =2 0 và điểm A(1;1; 1)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· ĐS: ( ) :P y z+ =0 hoặc ( ) : 2P x+5y z+ - =6 0.
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
· Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ P x y z a b c ( ) : + + =1
IA a JA b
JK b c IK a c
(4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; )
= - = -
= - = -
uur uur
uur uur Þ a b c
b c a c 4 5 6 1
5 6 0
4 6 0
ì + + = ïïí- + = ï- + = ïî
Þ a 77;b 77;c 77
4 5 6
= = =
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x+5y+6z-77 0= . Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x y z- - + =3 0
Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: b c bc
+ = 2 . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
· PT mp (P) có dạng: x y z b c 1.
2 + + = Vì MÎ( )P nên
1 1 1 1b c
2+ + = Û b c bc + = 2 . Ta có uuurAB( 2; ;0)- b
, uuurAC( 2;0; ).- c
Khi đó S= b2+c2+ +(b c)2 . Vì b2+c2 ³2 ; (bc b c+ )2³4bc nên S³ 6bc.
Mà bc=2(b c+ ³) 4 bcÞbc³16. Do đó S³ 96. Dấu "=" xảy ra Û b c= =4. Vậy: minS= 96 khi b c= =4.
Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( ) :P x y z+ + + =4 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
· Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d+ + + =0 (d¹4). Giả sử B=( )Q ÇOx C, =( )Q ÇOy Þ B d( ;0;0), (0; ;0) (- C -d d<0). SABC 1 AB AC, 6
2 é ù
= ëuuur uuurû =
Û d= -2 Þ ( ) :Q x y z+ + - =2 0.
Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0), (1;2;1)B . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9
2.
· ĐS: ( ) :P x+2y-2z 3 0- = .
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
· Giá sử A a( ;0;0)ÎOx B b, (0; ;0)ÎOy C, (0;0; )c ÎOz ( , ,a b c>0). Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z
a b c+ + =1.
Ta có: M(9;1;1) ( )Î P Þ a b c9 1 1 1+ + = (1); VOABC 1abc
=6 (2)
(1) Û abc=9bc ac ab+ + ≥ 3 9(3 abc)2 Û (abc)3³27.9(abc)2Ûabc³243 Dấu "=" xảy ra Û bc ac ab a
bc a b c
9 27
9 1 1 1 33
ì =
ì = = ï
ï Ûí =
í + + = ï
ï î =
î
Þ (P): x y z 1 27 3 3+ + = . Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2;4). ĐS: ( ) :P x y z 1 3 6 12+ + =
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OA2 OB2 OC2
1 + 1 + 1 có giá trị nhỏ nhất.
· ĐS: ( ) :P x+2y+3 14 0z- = .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC+ + có giá trị nhỏ nhất.
· ĐS: ( ) :P x y z 1
2 6 10 5+ 10 15 3+ 6 15 =
+ + + + + + .
TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y 1 z 2
2 1 3
+ = - = - và mặt phẳng P: x y z- - - =1 0. Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(1;1; 2)- , song song với mặt phẳng ( )P và vuông góc với đường thẳng d.
· ur =éëu nuur uurd; Pùû=(2;5; 3)- . D nhận ur làm VTCP Þ : x 1 y 1 z 2
2 5 3
D - = - = + -
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
{x= -t;y= - +1 2t; z= +2 t(t RÎ ) và mặt phẳng (P): 2x y- -2z- =3 0.Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; 3;1)- .
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - +x 2y z+ + =6 0 D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D:
{
x= +1 ;t y= -3;z= +1 tCâu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D:
x 1 y 1 z
2 1 1
- = + =
- . Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với D.
· urD =(2;1; 1)- . Gọi H = d Ç D. Giả sử H(1 2 ; 1 ; )+ t - + -t t Þ uuuurMH =(2 1;t- t- -2; )t . MH u^ D
uuuur r Û 2(2 1) ( 2) ( ) 0t- + - - - =t t Û t 2
=3 Þ urd =3MHuuuur=(1; 4; 2)- - Þ d: x t
y t
z t 1 42 2 ì = + ï = - íï = î
.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).
· Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P)Ç(Q) suy ra phương trình (D).
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:ì -3xx 22zy z=0 3 0
í - + - =
î trên mặt phẳng P x: -2y z+ + =5 0.
· PTTS của d:
x t
y t
z t 43 7 2 2 ì =ï
= - + íï
î =
. Mặt phẳng (P) có VTPT nr=(1; 2;1)- .
Gọi A d= Ç( )P Þ A 4; ;211 2
æ ö
ç ÷
è ø. Ta có B 0; 3;0 d B, 0; 3;0 ( )P
2 2
æ ö æ ö
- Î - Ï
ç ÷ ç ÷
è ø è ø .
Gọi H x y z( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H 4 7 4; ; 3 6 3
æ ö
- -
ç ÷
è ø.
Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) ÞD đi qua A và H Þ D có VTCP ur =3HAuuur=(16;13;10) Þ Phương trình của D:
x t
y t
z t
11 134 16 2 102 ì = + ï = + íï
î = +
. Câu hỏi tương tự:
a) Với d:x 1 y 1 z 2
2 1 3
+ = - = - , ( ) :P x-3y+2z- =5 0. ĐS:
x m
y m
z m
: 1 232 29 5 32 D ì = +
ï = + íï = + î
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
( )
P : 6x+2y+3z- =6 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).· Ta có: ( )P ÇOx A= (1;0;0); ( )P ÇOy B= (0;3;0); ( )P ÇOz C= (0;0;2)
Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = ÇD ( )a Þ I 1 3; ;1
2 2
æ ö
ç ÷
è ø. Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
1 62 3 22 1 3 ì = + ïï
í = + ïï = + î
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2)- B C và đường thẳng d:x 1 y 1 z 2
2 1 2
- = + = +
- . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d.
· Ta có uuurAB=(1; 1;2),- uuurAC= - -( 1; 1;3)Þéëuuur uuurAB AC, ùû= - - -( 1; 5; 2) Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x+5y+2z- =9 0
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H a b c( ; ; ), khi đó ta có hệ:
( )
BH AC a b c a
CH AB a b c b H
a b c c
H ABC
. 0 2 3 2
. 0 3 0 1 (2;1;1)
5 2 9 1
ì = ì - + = ì =
ï = Ûï + - = Ûï = Þ
í í í
ï Î ïî + + = ïî = î
uuur uuur uuur uuur
Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:
ABC ABC d
d
u n u n u
uD u D , (12;2; 11)
D
ì ^ Þ =é ù= -
í ^ ë û
î
r r r r r
r r .
Vậy phương trình đường thẳng :x 2 y 1 z 1
12 2 11
D - = - = - -
Dạng 2: Viết phương trớnh đường thẳng liởn quan đến một đường thẳng khõc
Cóu 8. Trong khừng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) vỏ đường thẳng d cụ phương trớnh d:x 1 y 1 z
2 1 1
- = + =
- . Viết phương trớnh của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt vỏ vuừng gục với đường thẳng d vỏ tớm toạ độ điểm Mđ đối xứng với M qua d.
· PTTS của d: x t
y t
z t 1 21 ớ = + ủ = - + ợủ = - ù
. d cụ VTCP ur=(2;1; 1)- .
Gọi H lỏ hớnh chiếu của M trởn d Þ H(1 2 ; 1 ; )+ t - + -t t Þ MHuuuur =(2 1; 2 ; )t- - + -t t Ta cụ MH ^ d í MH uuuuur r. =0 í t 2
=3 Þ H 7 1 2; ; 3 3 3 ỗ - - ữ
ố ứ
ộ ự, MH 1 ; 4 ; 2
3 3 3
ỗ ữ
=ố - - ứ
ộ ự
uuuur Phương trớnh đường thẳng D: x 2 y 1 z
1 4 2
- = - = - - .
Gọi Mđ lỏ điểm đối xứng của M qua d Þ H lỏ trung điểm của MMđÞ M 8 5 4; ; 3 3 3
ỗ ữ
đố - - ứ ộ ự. Cóu hỏi tương tự:
a) M( 4; 2;4); :d x 3 y 1 z 1
2 1 4
+ - +
- - = =
- . ĐS: 1 3
: 3 2 1
+ -
D = =
-
x y z
Trong khừng gian cho điểm A(-4;-2;4) vỏ đường thẳng (d) cụ phương trớnh: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t ẽ R. Viết phương trớnh đường thẳng (D) đi qua A; cắt vỏ vuừng gục với (d).
Cóu 9. Trong khừng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y 1 z 1
1 2 1
- +
= =
- vỏ hai điểm A(1;1; 2)- , B( 1;0;2)- . Viết phương trớnh đường thẳng D qua A, vuừng gục với d sao cho khoảng cõch từ B tới D lỏ nhỏ nhất.
· d cụ VTCP urd =(1;2; 1)- . Gọi (P) lỏ mặt phẳng đi qua A vỏ vuừng gục với d. Gọi H lỏ hớnh chiếu vuừng gục của B lởn (P) khi đụ đường thẳng D đi qua A vỏ H thỏa YCBT.
Ta cụ: (P): x+2y z- - =5 0. Giả sử H x y z( ; ; ). Ta cụ:
d
H P
BH u cuựng phữừng ( )
, ớ ẽợ
ùuuur r Þ H 1 8 2; ;
3 3 3
ỗ ữ
ố ứ
ộ ự
Þ urD =3uuurAH= -( 2;5;8) Þ Phương trớnh D: x 1 y 1 z 2
2 5 8
- = - = +
- .
Cóu 10. Trong khừng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y z 1
2 3 1
+ +
D = =
- vỏ hai điểm A(1;2; 1),- B(3; 1; 5)- - . Viết phương trớnh đường thẳng d đi qua điểm A vỏ cắt đường thẳng D sao cho khoảng cõch từ B đến đường thẳng d lỏ lớn nhất.
· Giả sử d cắt D tại M ÞM( 1 2 ;3 ; 1 )- + t t - -t , AMuuur= - +( 2 2 ;3 2; ),t t- -t ABuuur=(2; 3; 4)- - Gọi H lỏ hớnh chiếu của B trởn d. Khi đụ d B d( , )=BH BAê . Vậy d B d( , ) lớn nhất bằng BA
H A
í ã íAM AB^ íAM ABuuur uuur. =0
t t t t
2( 2 2 ) 3(3 2) 4 0 2 í - + - - + = í = M(3;6; 3)
Þ - Þ PT đường thẳng d:x 1 y 2 z 1
1 2 1
- = - = + - .
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D:x 1 y 1 z
2 1 2
+ -
= =
- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
· Phương trình tham số của D: x t
y t
z t 11 2 2 ì = - + ï = - íï = î
. Điểm C Î D nên C( 1 2 ;1 ;2 )- + t -t t . AC= - +( 2 2 ; 4 ;2 );t - -t t AB=(2; 2;6)-
uuur uuur
; éëuuur uuurAC AB, ù = - -û ( 24 2 ;12 8 ;12 2 )t - t - t AC AB, 2 18t2 36 216t
é ù
Þ ëuuur uuurû = - +
Þ S 1 AC AB,
2 é ù
= ëuuur uuurû
= 18( 1) 198t- 2+ ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t=1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: x 3 y 3 z 6
2 3 4
- = - = -
- - - .
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 2 z 2
3 2 2
+ = - = -
- và mặt
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).
· Đường thẳng (d) có PTTS: x t
y t
z t
2 21 3 2 2 ì = - + ï = - íï = + î
. Mặt phẳng (P) có VTPT nr =(1; 3; 2) Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MNuuuur=(3 3; 2 ;2 2)t- - t t-
Để MN // (P) thì uuuur rMN n. = Û =0 t 7
Þ N(20; -12; 16) Phương trình đường thẳng D: x 2 y 2 z 4
9 7 6
- = - = - -
Câu hỏi tương tự:
a) d: x y 1 z 2
1 2 1
- -
= = , ( ) :P x+3y+2z+ =2 0, M(2;2;4). ĐS: :x 1 y 3 z 3
1 1 1
D - = - = - -
b) d: x 2 y z 2
1 3 2
- = = + , ( ): 2P x y z+ - + =1 0, M(1;2;–1). ĐS: 1 2 1
: 2 9 5
- - +
D = =
- -
x y z
c) x 2 y 4 z 1
3 2 2
- = + = -
- ,( ) : 3P x-2y-3z- =2 0,M(3; 2; 4)- - . ĐS: :x 3 y 2 z 4
5 6 9
- + +
D = =
-
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3a x-2y z+ -29 0= và hai điểm A(4;4;6), (2;9;3)B . Gọi E F, là hình chiếu của A và B trên ( )a . Tính độ dài đoạn EF. Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng ( )a đồng thời D đi qua giao điểm của AB với ( )a và Dvuông góc với AB.
· uuurAB= -( 2;5; 3),- nr =(3; 2;1)-
a , sin(AB,( )) cos(AB n, ) 19 a = uuur r = 532
a
EF AB.cos(AB,( )) AB 1 sin (2 AB,( )) 38 1 361 171 532 14
a a
= = - = - =
AB cắt ( )a tại K(6; 1;9)- ; uD =éëAB n, aùû=(1;7;11) uur uuur uur
. Vậy
x t
y t
z t
: 61 7 D ì = +9 11
ï = - + íï = + î
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: ( ) :P x 2y z 0, ( ) :Q x 3y 3 1 0, ( ) :z d x 1 y z 1
2 1 1
- -
- + = - + + = = = . Lập
phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d).
· (P), (Q) lần lượt có VTPT là nrP =(1; 2;1),- nrQ =(1; 3;3)- Þéën nr rP Q, ùû= - - -( 3; 2; 1) PTTS của (d): x= +1 2 ,t y t z= , = +1 t. Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1 2 ; ;1 )+ t t +t . . Do A Ì (P) nên: 1 2 2 1+ - + + = Û = -t t t 0 t 2Þ A( 3; 2; 1)- - -
Theo giả thiết ta có: P P Q
Q
u n
u n n
uD n D , ( 3; 2; 1)
D
ì ^ Þ =é ù= - - -
í ^ ë û
î
r r r r r
r r
Vậy phương trình đường thẳng ( ) :x 3 y 2 z 1
3 2 1
D + + +
= = .
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2)- B C và đường thẳng ( ) :d x 1 y 1 z 2
2 1 2
- = + = +
- . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
