Các dạng bài tập VDC phương pháp tọa độ trong không gian - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Gọi , ,  i j k

lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u

. Khi đó

 

u x; y; z  u xi y j zk.    Chú ý:

1) ^0



^{0;0;0 .}



2)

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 

  

 

 

3) a

cùng phương

 

^{12 12}

3 3

a kb

a k

b b 0 b

a kb

 

 

  



  

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Cho hai vectơ a



a a a1; ;2 3



,b



b b b1; ;2 3



và k là số thực tùy ý.

Khi đó ta có:

 a b  



a1b a1; 2b a2; 3b3



.

 a b  



a1b a1; 2b a2; 3b3



.

 k a.



ka ka ka1; 2; 3



 a b . 



a b1 1. a b2. 2a b3. 3



. Ứng dụng của tích vô hướng:

 a b a.b 0  a .b_{1 1}a₂.b₂a .b_{3 3}0

 a²a.a a  ₁²a²₂a .²₃

 a  a²  a₁²a²₂a .²₃



 

₂ ^{1 1}_{2 2}^{2 2} _{2 2 2}

1 2

3 3

3 1 2 3

a b a b a cos a;b a.b

a . b a a . b b

b

a b

  





  

   

 

Với a 0, b 0.   

3. Tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý.

Khi đó M x; y; z( )OMxi y j zk  . Tính chất

 Nếu A x ; y ; y



A A A



và B x ; y ; y



B B B



thì



B A B A C A



AB x x ; y y ;z z .



Khi đó



B A

 

² B

  

2 2

B

A A

AB AB  x x  y y  z z .

 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A B A B A B

x x y y z z

; ; .

I 2 2 2

  

 

 

 

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

C C

A B A B A B C

x x y y z z

; ; .

3 3

x y

3

G   z 

 







 

 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

A B C D A B C D A B C D

x x x x y y y y z z z z

G ; ;

4 4 4

        

 

 

 

4. Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b



b ;b ; b .1 2 3



Tích có hướng của hai vectơ a và b 

là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b 

, kí hiệu là a , b

  và được xác định như sau:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 



a2 3b a b ;a b3 2 3 1 a b1 3; ba1 2 a2 1b



.

   

Tính chất

 a

cùng phương với a bb ,   0.

 a , b

  vuông góc với cả hai vectơ a và b  .

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; y; z) ta có các khẳng định sau:

^{M  O M}



^{0; 0 .0;}



^M



^Oxy



^{ z 0, tức là M x; y;0 .}

 

^M



^Oyz



^{ x 0, tức là} M 0; y; z .

 

^M



^Oxz



^{ y 0, tức là M x;0;z .}

 

M Ox   y z 0, tức là ^{M x;0;0 .}

 

M Oy   x z 0, tức là ^{M 0; y;0 .}

 

M Oz   x y 0, tức là ^{M 0;0; z .}

 

 b ,a a , b .

   

 ^{a , b}  a . b .sin a ; b .

 

     

5. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm ^{I a; b;c}

 

bán kính R có phương trình là



^{x a}

 

^{2 y b}

 

^{2 z c}



^{2R .2}

Ngược lại phương trình

 

2 2 2

x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 1 .   

Với A²B²C² D 0 là phương trình mặt cầu tâm ^I



^{  A B C; ;}



có bán kính R A²B²C²D.

Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) là phương trình mặt cầu là:

2 2 2 0.

A B C  D

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz 1. Phương pháp

Sử dụng các định nghĩa và khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ của điểm, vectơ; độ dài vectơ, ...và các phép toán vectơ ... để tính tổng, hiệu các vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, ...

a, b 

cùng phương

a , b0

  

^_^{a , b  }_

 

^{a , b }

 ^{a , b}  a . b .sin a ; b

 

     

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.

Điểm O là gốc tọa độ.

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz là   i, j, k

Các mặt phẳng tọa độ:



Oxy , Oyz , Ozx

    

HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Tích có hướng

Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ



1 2 3



a a ;a ;a ,



1 2 3



b b ;b ; b .

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 



a2 3b a b ;a b3 2 3 1 a b1 3; ba1 2 a2 1b



.

   

Tọa độ vectơ Tọa độ điểm

 

u x; y;z u xi y j zk



   



    ^{M x; y;z}

 

OM xi y j zk

   

2 x2 y2 z2

u  u    AB x



Bx ; yA By ; zA CzA



Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ



1 2 3



a a ;a ;a ,



1 2 3



b b ;b ; b .



1 1; 2 2; 3 3



. a b   a b a b a b



1 2 3



k.a ka ;k a ;k a

với k là số thực

1 1 2 2 3 3

. . . .

a b a b  a b a b

2. Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho a



^{2; 2;0 ,}

 

b 2; 2;0 , 2; 2;2 .

 

c



Giá trị của a b c    bằng

A.6. B. 2 6. C.11. D. 2 11.

Hướng dẫn giải Chọn D.

T a có ^{a b c    }



^2;6;2



^{nên a b c     226222  44 2 11.}

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A



1; 2;3 , 1;0;1 .

 

B 



Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là:

A.



^{0;1;1 .}



^{B. 0; ;2 4 .}

3 3

 

 

  C.



^{0; 2; 4 .}



^D.



^{  2; 2; 2 .}



Hướng dẫn giải

Tọa độ trọng tâm tam giác là:

G

G

G

1 1 0

x 0

3

2 0 0 2 2 4

y G 0; ; .

3 3 3 3

3 1 0 4

z 3 3

    



       

  

  

  



Chọn B.

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho vectơ a



1; 2;4 ,



b



x y z0; ;0 0



) cùng phương với vectơ a

. Biết vectơ b

tạo với tia Oy một góc nhọn và b  21.

Giá trị của tổng x₀y₀z₀ bằng

A. 3. B.6. C. 6. D.3.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Lại có b  21.

suy ra ^{2 2 2} k 1

k 4k 16k 21

k 1.

 

       Với k 1 ta có ^{b }



^{1; 2; 4 ,}



suy ra góc giữa b

và Oy thỏa mãn

 

^b.j

cos b,Oy ,

b . j



  

  trong đó b.j   2 0.

Suy ra góc tạo bởi b

và Oy là góc tù. Suy ra k 1 không thỏa mãn.

Với k 1 ta có ^{b  }



^{1;2; 4 ,}



suy ra góc giữa b

và Oy thỏa mãn

 

^b.j

cos b,Oy ,

b . j



  

  trong đó b.j 2 0.  

Suy ra góc tạo bởi b

và Oy là góc nhọn. Vậy k 1thỏa mãn.

Do đó ^{b  }



^{1;2; 4 .}



^{Suy ra} x0y0z0     1 2 4 3.

Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có ^A



^{3; 1;1 ,}



hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA 1 (C không trùng với O). Biết vectơ ; ;u(a b 2) (vớia, b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A C . Tính T a²b².

A. T 5. B. T 16 . C. T 4. D. T 9.

Hướng dẫn giải Chọn B

Lấy M là trung điểm BC.

Khi đó ta có AM BC

AA BC

 

  

 nên BCA M tại M;

suy ra M là hình chiếu của A trên trục Oz

 

M 0;0;1 và A M 2.

 

Mặt khác AM A M ²AA²  3.

Lại có ABC đều nên 3

AM BC 3

 2 

BC 2 MC 1.

   

Gọi C 0;0;c ,c 0

 

 suy ra MC c 1 . MC 1 c 1 1 c 0

c 2

 

       ( loại c 0 ) ^{C 0;0; 2 .}

 

 

A C   3;1;1

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A C Suy ra ^{u }



^{2 3;2;2}



cũng là một vectơ chỉ phương của A C . Vậy a 2 3;b2. Suy ra T a²b² 16.

Dạng 2. Tích có hướng

1. Phương pháp giải

Để tính tích có hướng của hai vectơ, ta áp dụng công thức:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, a a ;a a a; a

a b b b b b b b

 

    

   

 





a2 3b a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a2 1b



.

Bài tập: Tính tích có hướng của hai vectơ



^{1;0;1 ,}

 

^{2;1; 1}



  

 

a b

Hướng dẫn giải

 

0 1 1 1 1 0

, ; ; 1;3;1

1 1 1 2 2 1

a b  

    

     

 

2. Bài tập mẫu

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ,a b 

khác 0.

Kết luận nào sau đây sai?

A. ,3a b3a b, .

   

B. 2 ,a b2a b, .

   

C. 3 ,3a b3a b, .

   

D. ^_^{a , b  }_ ^{a b .sin .}

 

^{a , b  .}

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có: 3 ,3 a b3a b,3 9a b, .

     

(C sai)

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ^a



^{1; 2;1 ,}



^b



^{0;2; 1 ,}



^{c(m,1;0 .)}

Tìm giá trị thực của tham số m để ba vectơ ; ;a b c  

đồng phẳng.

A. m 1. B. m 0. C. m 1.

 4 D. m 1.

 4 Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có ^_^{a b ,   }_



^{4;1;2 .}



Ba vectơ ; ;a b c  

đồng phẳng a, b . c 0 4m 1 0 m ¹.

  4

        

  

Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A



0;0;3 , 2; 1;0 ,

 

B 



^C



^{3; 2; 4 ,}





^{1;3;5 ,}



D ^E



^4;2;1



tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác. Đỉnh của hình chóp tương ứng là

A.Điểm C. B.Điểm A. C.Điểm B. D.Điểm D.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Xét đáp án A, giả sử C là đỉnh của hình chóp, ta có:



2; 1; 3 , 1;3; 2 , 4; 2; 2 , 3;2;1

      

AB   AD AE  AC

   

AB, AD .AE 4.7 2.7 2.7 0 AB, AD .AC 3.7 2.7 1.7 14.

     

 

      

  

  

Suy ra A, B, D, E đồng phẳng.

Vậy điểm C là đỉnh của hình chóp.

Bài tập 4. Trong không gian Oxyz cho các điểm A



1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3 , 2; 2;0 .

 

B

 

C

 

D 



Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D?

A.10. B.7. C.5. D.6.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có AB 



1;2;0 , 1; 2;0 ,



AD







suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng.

Từ đó chúng ta xác định được vị trí các điểm trong hệ trục độ Oxyz và đếm trực tiếp ta có 5 mặt phẳng đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D là:



OCB

 

, , , ,OCA

 

OCD

 

OAB

 

ABC



Dạng 3. Ứng dụng của tích có hướng để tính diện tích và thể tích 1. Phương pháp giải

 Diện tích hình bình hành: S^_ABCD  AB, AD .

 

 Tính diện tích tam giác: S^_ABC AB, AC .

 

 Tính thể tích hình hộp: VABCD.A B C D_{   } AB, AC .AD .

  

 Tính thể tích tứ diện: _ABCD 1

V AB, AC .AD .

6  

  

  

2. Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A



1; 2;0 , 2;1; 2 , 1;3;1 .

 

B

 

C 



Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. 3 10. B.3 10

5 . C. 10

5 . D. 10.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có: AB



^{1; 1;2 ,}



AC 



2;1;1 , 3;2; 1



BC 







Suy ra AB AC  6;BC 14.

Suy ra _ABC 1 35

S AB, AC .

2   2

   

 

Gọi R^ABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

ABC

ABC

AB.AC.BC 6. 6. 14 3 10

R .

4S 4. 35 5

2

  

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho A



2; 1; 1 , 

 

B 3;0;1 ,



C(2; 1;3) và D nằm trên trục Oy.

Thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

A. ^{D 0; 7;0 .}



^



^{B. D 0;8;0 .}

 

C. ^{D 0; 7;0}



^



^{hoặc D 0;8;0 .}

 

^{D. D 0;7;0}

 

^{hoặc D 0; 8;0 .}



^



Hướng dẫn giải Chọn C.

Vì D Oy nên D 0; y;0 . Khi đó. Thể tích của tứ diện ABCD là

 

1 1

V AB, AC .AD 4y 2

6   6

    

  

Theo đề ra, ta có 1 y 7

4y 2 5

y 8.

6

  

    

Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có tọa độ các đỉnh



0;0;0 , 0; ;0 ,

  

³; ;0



0;0; 2 .



2 2

 

  

 

 

a a

A B a C và A a Gọi D là trung điểm cạnh BB' và M di động

trên cạnh AA'. Diện tích nhỏ nhất của tam giác MDC' là A.

2 3. 4

a B.

2 5. 4

a C.

2 6. 4

a D.

2 15. 4 a Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta cĩ  

   

  a 3 a CC AA C ; ;2a .

2 2

 

  

 

CC BB B 0;a;2a .

Điểm D là trung điểm của BB' nên ^D



^{0; ; .a a}



(0;0; )

M t với 0 t 2a.  Ta cĩ ^{ }_ ^{ }_ ^



^{ }



 

 a 3 a 

DC ; ;a ,DM 0; a;t a .

2 2

Ta cĩ:

 



 

 

  

     

  ^{2 2 2 2 2}

MDC

a 2t 3a 6a

1 a 4t 12at 15a a 6

S DC ,DM .

2 4 4 4

Suy ra minS_MDC a 6²

4 khi t3a.

2

Dạng 4: Phương trình mặt cầu 1. Phương pháp giải

Cách viết phương trình mặt cầu:

 Mặt cầu tâm I a; b;c , bán kính R cĩ phương trình

 



^{x a}

 

^{2 y b}

 

^{2 z c}



^{2R .2}

Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm ^I



^{2; 1;1 ,}



bán kính R = 3 là



^{x 2}

 

^{2 y 1}

 

^{2 z 1}



^{2 9.}

 Xét phương trình:

 

2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0. *

x       

Ta cĩ

 

^{* }



^x22ax

 

^{ y22by}

 

^{ z22cz}



^{ d}



^{x a}

 

^{2 y b}

 

^{2 z c}



^{2 a2b2 c2 d.}

 

Điều kiện để phương trình (*) là phương trình mặt cầu a²b²c² d.

Khi đĩ (S) cĩ

 

 

   



 

 ^{2 2 2}

tâm I a; b; c

bán kính R a b c d.

Đặc biệt mặt cầu

 

^{S : x2y2z2 R2} thì (S) cĩ

 





tâm O 0;0;0 bán kính R.

2. Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

 

^{S : x2}^y2^z22x 6y 6z 6 0.    Tính diện tích mặt cầu (S)

A.100 . B.120 . C. 9 . D. 42 .

Hướng dẫn giải Chọn A.

Mặt cầu (S) có tâm ^{I 1; 3;3}



^



, bán kính r 1 9 9 6 5.    Vậy diện tích mặt cầu là 4 r ²4 .5 ² 100 .

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^{I 1; 2;3 .}



^



Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3.

A. ^{x 1}



^

 

^{2 y 2}

 

^{2 z 3}



^{2 16. B.}



^{x 1}



^{2(y 2 )2 }



^{z 3}



^{2 20.}

C.



^{x 1}

 

^{2 y 2}

 

^{2 z 3}



^{225. D.}



^{x 1}

 

^{2 y 2}

 

^{2 z 3}



^29.

Chú ý:

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : - Xác định điểm M .

- Áp dụng công thức: ^{d A,}

 

^{AM, u .}

u

 

 

 

 



Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi H là trung điểm ABIHAB tại HIH d _{I; AB } d_I;Ox

Lấy ^{M 2;0;0}

 

^{Ox IH d}_I,Ox ^{IM,i 3.}

i

 

 

    

 



Bán kính mặt cầu cần tìm là R IA  IH²HA² 4.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là



^{x 1}

 

^{2 y 2}

 

^{2 z 3}



^216.

Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

^{S : x 1}

 

^{2 y 2}

 

^{2 z 1}



^{2 9}

và hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ;

   

M là điểm thay đổi trên (S). Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P 2MA ²MB .² Giá trị (m n) bằng

A.64. B.60. C.68. D.48.

Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm ^{I 1;2; 1}



^



và bán kính R = 3.

Lấy điểm E sao cho ^{2AE BE 0}  ^{  E 5;5; 1 .}



^



Ta có IE 5. Dễ thấy điểm E là điểm nằm ngoài mặt cầu (S).

Khi đó ^{P 2MA 2MB2 2 ME AE}



^{ }

 

^{2 ME BE }



^{2ME22AE2BE .2}

P lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất và nhỏ nhất.

max ME IE R 8; min ME IE R 2.     

Do đó m max P 64  2AE²BE²; n mi n P 4 2AE  ²BE². Suy ra m n 60. 

Chọn B.

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến Vectơ nρ0ρ

là vectơ pháp tuyến của

 

^ nếu giá của nρ

vuông góc với

 

^{ .}

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Hai vectơ ,a bρ ρ

không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của

 

^ nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên

 

^{ .}

Chú ý:

 Nếu nρ

là một vectơ pháp tuyến của

 

^{ thì kn kρ}



^0



cũng là vectơ pháp tuyến của

 

^{ .}

 Nếu ,a bρ ρ

là một cặp vectơ chỉ phương của

 

^{ thì nρ}_{  }^{a bρ ρ, } là một vectơ pháp tuyến của

 

^{ .}

Phương trình tổng quát của mặt phẳng 0

Ax By Cz D    với A²B²C² 0.

 Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D   0 thì n( ; ; )A B C

là một vectơ pháp tuyến của ( ) .

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0



0; ;0 0



và có một vectơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C là:



0

 

0

 

0



0 A x x B y y C z z  .

Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng

 

^{ Tính} chất mặt phẳng

 

^

0

D . Ax By Cz  0

 

^ đi qua gốc tọa độ O 0

A By Cz D  0

 

^{ / / Ox hoặc}

 

^{ Ox}

0

B Ax Cz D  0

 

^{ / /Oy hoặc}

 

^{ Oy}

0

C Ax By D  0

 

^{ / /Oz hoặc}

 

^{ Oz}

0

A B  Cz D 0

  

^{ / / Oxy}



^hoặc

  

^{  Oxy}



0

A C  By D 0

  

^{ / / Oxz}



^hoặc

  

^{  Oxz}



0

B C  Ax D 0

  

^{ / / Oyz}



^hoặc

  

^{  Oyz}



Nếu ( ) cắt các trục toạ độ tại các điểm ( ;0;0),(0; ;0),(0;0; )a b c với abc0 thì ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z 1

a b  c

 .

Chú ý: Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng.

2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z



A^; A^; A



và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0.

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) được tính theo công thức:

2 2 2

d( ,( )) Ax^A By^A Cz^A D

A A B C

  

  

 3. Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1 1 1 2 2 2 2

( ) : A x B y C z D   0; ( ) : A x B y C z D   0

+) ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

( ) ( ) A B C D

A B C D

    

  .

+) ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

( ) / /( ) A B C D

A B C D

   

  .

+) ^{1 1}

2 2

( ) ( ) A B

A B

  

  hoặc ^{1 1}

2 2

B C

B  C . +) ( ) ( )   A A_{1 2}B B_{1 2}C C_{1 2} 0.

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu

( ) : Ax By Cz D   0;

2 2 2 2

( ) : (S x a ) (y b )  (z c) R . Để xét vị trí của ( ) và ( )S ta làm như sau:

+) Nếu ^{d I}



^,

 

^



^{R thì ( )} không cắt ( )S .

+) Nếu ^{d I}



^,

 

^{ }



^{R thì}

 

^{ tiếp xúc}

 

^{S tại .H Khi đó H} được gọi là tiếp điểm đồng thời H là hình chiếu vuông góc của I lên

 

^{ và}

 

^

được gọi là tiếp diện.

+) Nếu ^{d I}



^,

 

^{ }



^{R thì}

 

^{ cắt}

 

^S theo đường tròn có phương trình



²

2 2 2

( ) ( )

( ) :

0.

x a y b z c R

C Ax By Cz D

      



   



Bán kính của

 

^{C là r R2d [ ,( )]2 I  .}

Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên

 

^{ .}

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1 1 1

( ) : A x B y C z D   0 và ( ) : A x B y C z D₂  ₂  ₂  ₂ 0.

Góc giữa ( ) và ( ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến , .n n _{ } Tức là

   

 

^ ₂ ^{1 2}_{2 2}^{1 2} ₂ ^{1 2}_{2 2}

1 1 1 2 2 2

cos , cos , n n A A B B C C .

n n n n A B C A B C

 

  

     

   

 

 

   

 

Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng.

 Gọi

 

^d là giao tuyến của hai mặt phẳng

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

( ) : 0

A x B y C z D A x B y C z D

   

   





Khi đó nếu

 

^P là mặt phẳng chứa

 

^d thì mặt phẳng

 

^{P có dạng}



1 1 1 1

 

2 2 2 2



0

m A x B y C z D     n A x B y C z D    với m²n² 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng 1. Phương pháp

1. Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm M x y z



0; ;0 0



có vectơ pháp tuyến ^nρ



^{A B C; ;}



^là



0

 

0

 

0



0.

A x x B y y C z z 

2. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M x y z



0; ;0 0



có cặp vectơ chỉ phương , .a b  Khi đó một vectơ pháp tuyến của ( ) là n[ , ].a b 

2. Bài tập

Bài tập 1: Cho mặt phẳng

 

^{Q x y:  2z 2 0.} Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng

 

^{Q ,} đồng thời cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại các điểm M N, sao cho MN 2 2.

A. ( ) :P x y 2z 2 0. B. ( ) :P x y 2z0. C. ( ) :P x y 2z 2 0. D. ( ) :P x y 2z 2 0.

Hướng dẫn giải Chọn A.

( ) / /( )P Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y 2z D 0 (D 2).

Khi đó mặt phẳng ( )P cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm (M D;0;0), (0; ;0)N D . Từ giả thiết: MN 2 2 2D² 2 2D2 (do 2).D 

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) :P x y 2z 2 0.

Chú ý: Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm M x y z



0; ;0 0



và song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 thì

 

^ có phương trình là



0

 

0

 

0



0 A x x B y y C z z 

Bài tập 2: Cho điểm (1;2;5).M Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , tại , ,A B C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng ( )P là

A. x y z   8 0. B. x2y5z30 0 . C. 0 5 2 1

x  y z . D. 1

5 2 1

x  y z . Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có ( ) OA BC ( ) (1)

OA OBC BC OAM BC OM

AM BC

 

      

Tương tự AB OM (2).

Từ (1) và (2) suy ra OM (ABC) hay OM ( )P . Suy ra OM(1;2;5)

là vectơ pháp tuyến của ( )P . Vậy phương trình mặt phẳng

 

^{P là}

   

1 2 2 5 5 0 2 5 30 0.

x  y  z   x y z 

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh (8; 14; 10);A   AD AB AC, , lần lượt song song với ,Ox Oy Oz, . Phương trình mặt phẳng



^BCD



đi qua (7; 16; 15)H   là trực tâm BCD có phương trình là

A. x2y5z100 0 . B. x2y5z100 0 .

C. 0

7 16 15

x y  z 

  . D. 1

7 16 15

x y  z 

  .

Hướng dẫn giải Chọn B.

Theo đề ra, ta có (BCD) đi qua H(7; 16; 15),  nhận HA(1; 2;5)

là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng



^BCD



^là

( 7) 2( 16) 5( 15) 0

2 5 100 0.

x y z

x y z

     

    

Vậy (BCD x) : 2y5z100 0 .

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z   3 0 và cách ( ) một khoảng bằng 3 .

A. x y z   6 0;x y z  0. B. x y z   6 0.

C. x y z   6 0;x y z  0. D. x y z   6 0;x y z  0.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi ( ) là mặt phẳng cần tìm. Ta có (0;0;3) ( )A   . Do ( ) / /( )  nên phương trình của mặt phẳng ( ) có dạng:

0

x y z m    với m3.

Ta có | 3 |

d(( ), ( )) 3 d( ,( )) 3 3

3

A m

    

   .

| 3 | 3 6

0 m m

m

 

      (thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là 6 0

x y z    và x y z  0.

Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

( ) :P x3z 2 0,( ) :Q x3z 4 0. Mặt phẳng song song và cách đều ( )P và ( )Q có phương trình là:

A. x3z 1 0. B. x3z 2 0. C. x3z 6 0. D. x3z 6 0. Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điểm M x y z( ; ; ) bất kỳ cách đều ( )P và ( )Q d M P( ;( ))d M Q( ;( ))

3 2 3 4

| 3 2 | | 3 4 |

3 2 3 4

1 9 1 9

2 4

3 1 0.

3 1 0

x z x z

x z x z

x z x z

x z x z

    

    

           

  

       

Vậy M thuộc ( ) : x3z 1 0. Nhận thấy ( ) song song với ( )P và ( )Q .

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 2;1 ,}

 

^{B 3; 4;0}



và mặt phẳng ( ) :P ax by cz  46 0 . Biết rằng khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng ( )P lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức T   a b c bằng

A. 3. B. 6. C.3. D.6.

Hướng dẫn giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, trên mặt phẳng ( )P . Theo giả thiết, ta có: AB3,AH6,BK3.

Do đó ,A B ở cùng phía với mặt phẳng ( )P .

Lại có: AB BK  AKAH. Mà AB BK  AH nên H K.

Suy ra A B H, , là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H(5;6; 1) . Vậy mặt phẳng ( )P đi qua (5;6; 1)H  và nhận (2; 2; 1)AB 

là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2(x 5) 2(y 6) 1(z  1) 0 2x2y z 23 0

Theo bài ra, ta có ( ) : 4P  x 4y2z46 0 nên a 4,b 4,c2.

Vậy T     a b c 6.

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 1. Phương pháp

Viết phương trình mặt phẳng

 

^ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm .H

Giả sử mặt cầu

 

^{S có tâm I} và bán kính ,R khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng ( ) đi qua H và có một vectơ pháp tuyến là n IH

. 2. Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^S có phương trình

2 2 2

(x1) (y2)  (z 3) 12 và mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  3 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với ( )P và cắt ( )S theo thiết diện là đường tròn ( )C sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

A. 2x2y z  2 0 hoặc 2x2y z  8 0. B. 2x2y z  1 0 hoặc 2x2y z  11 0. C. 2x2y z  6 0 hoặc 2x2y z  3 0. D. 2x2y z  2 0 hoặc 2x2y z  2 0.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( ) / /( ) P nên ( ) : 2 x2y z d  0 (d 3).

Mặt cầu

 

^S có tâm (1; 2;3),I  bán kính R2 3.

Gọi

 

^H là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh IM  R 2 3.

Đặt ( , ( )).x h d I   Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là r 12x² . Thể tích khối nón là ( )



²



1 12

H 3

V   x x với 0 x 2 3. Xét hàm số: ^{f x( )1}₃^



^{12x x2}



^{với 0 x 2 3.}

Khi đó f x( ) đạt giá trị lớn nhất tại x2 hay d I( ,( )) 2  .

Ta có

2 2 2

5 6 11

| 2.1 2 ( 2) 3 |

( ,( )) 2 2

5 6 1

2 2 ( 1)

d d

d I d

d d

    

    

            

 .

.

Chú ý: Công thức tính thể tích hình nón:

1 1

.2 .

3 3

V  hS R h

Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao.

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x²y² (z 1)²4 và điểm (2; 2; 2).A Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB AC AD, , với mặt cầu ( , ,B C D là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng



^BCD



^là

A. 2 2 1 0x y z    . B. 2 2 3 0x y z    . C. 2 2 1 0x y z    . D. 2 2 5 0x y z    .

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có mặt cầu

 

^{S có tâm I}(0;0;1) và bán kính R2.

Do AB AC AD, , là ba tiếp tuyến của mặt cầu ( )S với B C D, , là các tiếp điểm nên AB AC AD

IB IC ID R IA

 

 

   

 là trục của đường tròn ngoại tiếp BCD.

( )

IA BCD

  .

Khi đó mặt phẳng



^BCD



có một vectơ pháp tuyến (2; 2;1)n IA . Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp BCD J IA và IJ BJ. Ta có IBA vuông tại B và BJIA nên

2

2 4 4

.

3 9

IB IJ IA IJ IB IJ IA

   IA   

. Đặt J x y z( ; ; ). Ta có IJ( ; ;x y z1);IA(2; 2;1)

.

Từ 4

IJ 9IA

 

suy ra 8 8 13 9 9 9; ;

J 

 

 . Mặt phẳng (BCD) đi qua 8 8 13

9 9 9; ;

J 

 

  và nhận vectơ pháp tuyến n(2;2;1)

có phương trình:

8 8 13

2 2 0 2 2 5 0

9 9 9

x y z x y z

             

     

      .

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S :(x1)2(y1)2 (z 1)2 12} và mặt phẳng ( ) :P x2y2z 11 0. Xét điểm M di động trên ( )P và các điểm , ,A B C phân biệt di động trên

 

^S

sao cho AM BM CM, , là các tiếp tuyến của

 

^{S .} Mặt phẳng



^ABC



luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

A. 1 1 1

; ;

4 2 2

   

 

 . B. (0; 1;3) . C. 3

2;0;2

 

 

 . D.



^{0;3; 1}



^.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Mặt cầu

 

^{S có tâm I}(1;1;1) và bán kính R2 3.

Xét điểm M a b c( ; ; ) ( ); ( ; ; ) ( ) P A x y z  S nên ta có hệ điều kiện:

2 2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12

2 2 11 0

x y z

AI AM IM a b c

      

  

    



2 2 2

2 2 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12 (1)

12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2)

2 2 11 0 (3)

x y z

x a y b z c a b c

a b c

     

           

 



 







Lấy (1) (2) ta có:

2 2 2 2 2 2

(x1) (y1)  (z 1) 12 ( x a) (y b )  (z c) 

2 2 2

12 (a 1) (b 1) (c 1) 

        (a 1)x (b 1)y (c 1)z a b c 9 0

           Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:

( ) : (Q a1)x (b 1)y (c 1)z a b c    9 0

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Dạng 3. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn 1. Phương pháp

Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm ( ;0;0), (0; ;0)A a B b và (0;0; )C c với abc0 là:

x y z 1.

a b  c 2. Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3;0;0), (2;2; 2)M N . Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M N, cắt các trục Oy Oz, lần lượt tại B(0; ;0), (0;0; )b C c với b c, 0. Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. b c 6. B. bc3(b c ). C. bc b c  . D. 1 1 1 6 b c  . Hướng dẫn giải

Chọn D.

Mặt phẳng ( )P đi qua M(3;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với b c, 0 nên phương trình mặt phẳng ( )P theo đoạn chắn là: 1

3

x y z b c

  

Mặt phẳng ( )P đi qua (2;2;2)N suy ra 2 2 2 1 1 1 3     b c 1 b c 6.

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^G



^{1; 4;3 .}



Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ , ,

Ox Oy Oz lần lượt tại , ,A B C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC là

A. 1

3 12 9

x y  z . B. 1

4 16 12 x y  z  .

C. 3x12y9z78 0 . D. 4x16y12z104 0 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử ( ,0, 0); (0, , 0); (0;0; )A a B b C c .

(1;4;3)

G là trọng tâm tứ diện

4 4 4

A B C D

G

A B C D

G

A B C D

G

x x x x

x

y y y y

OABC y

z z z z x

  

 



  

 

   

 



0 0 0 4.1 4

0 0 0 4.4 16

0 0 0 4.3 12

a a

b b

c c

      

 

      

      



.

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1 4 16 12 x y  z  .

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng

 

^P đi qua điểm (1;2;3)

M và cắt các trục ,Ox Oy Oz, lần lượt tại ba điểm , ,A B C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1₂ 1₂ 1 ₂

OA OB OC có giá trị nhỏ nhất.

A. ( ) :P x2y z 14 0 . B. ( ) :P x2y3z14 0 . C. ( ) :P x2y3z 11 0. D. ( ) :P x y 3z14 0 .

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi H là trực tâm ABC.

Ta có ^{BH AC AC (OBH) AC OH}

 

^{1 .}

OB AC

     

 



Chứng minh tương tự, ta có: BCOH

 

^{2 .}

Từ (1), (2) ta có OH (ABC). Suy ra 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

OA OB OC OH .

Vậy để biểu thức 1₂ 1₂ 1₂

OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH OM nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H M.

Khi đó (OM  ABC) nên ( )P có một vectơ pháp tuyến là OM^{}(1;2;3). Phương trình mặt phẳng ( )P là

1(x 1) 2(y 2) 3(z   3) 0 x 2y3z14 0 .

Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm ^M



^{4; 4;1}



và chắn trên ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 1

2?

A.1. B.2. C.3. D.4.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với abc0 là giao điểm của mặt phẳng ( )P và các trục toạ độ. Khi đó ( )P có phương trình là x y z 1

a b  c . Theo giả thiết ta có:

4 4 1 8, 4, 2

( ) 1

8, 4, 2

1 1 1 1

| | | | | | 16, 8, 4

2 4 2 4

a b c

M P

a b c a b c

OC OB OA c b a a b c

           

 

       

    

        

 



Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm ^A



^{1;0;0 ,}

 

^{B 0;1;0 .}



Mặt phẳng 0

x ay bz c    đi qua các điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 1

6. Giá trị của a3b2c là

A.16. B.1. C.10. D.6.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Mặt phẳng đi qua các điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz tại ^C



^0;0;t



^{với t0} có phương trình là 1 1 1

x y z

  t .

Mặt khác: _OABC 1 1 6 6.

V   OA.OB.OC 1

6 t 1

   .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1 1 0 1 1 1

x y z

x y z

        . Vậy 1,a b  c 1.

Suy ra a3b2c 1 3.1 2 6  .

Dạng 4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

1. Phương pháp Cho hai mặt phẳng:

( ) :P Ax By Cz D   0;

 

^P ^:A x B y C z D      ⁰. Khi đó:

 ( )P cắt

 

^{P  A B C: :  A B C : : .}

 ^{( ) / /P}

 

^{P A B C D}

A B C D

    

   .

 ^{( )P}

 

^P