GIAN QUA CÁC ĐỀ THI THỬ-ĐỀ KIỂM TRA
NỘI DUNG CÂU HỎI
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3; 4) trên mặt phẳng (P) : 2x−y−z+ 6 = 0là điểm nào dưới đây?
A. (2; 8; 2). B.
Å 1;7
2;9 2
ã
. C.
Å 3;5
2;7 2
ã
. D. (1; 3; 5).
Lời giải.
Gọi ∆là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P). Khi đó phương trình tham số của ∆ là
x= 2 + 2t y= 3−t z = 4−t
, t∈R.
Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M). Tọa độ điểm M0 là nghiệm của hệ
phương trình
x= 2 + 2t y= 3−t z = 4−t
2x−y−z+ 6 = 0.
⇔
t=−1 2 x= 1 y= 7 2 z = 9 2. Vậy M0
Å 1;7
2;9 2
ã
Chọn đáp án B
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x+ 6y+z −3 = 0 cắt trục Oz và đường thẳng d: x−5
1 = y
2 = z−6
−1 lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. (x+ 2)2+ (y−1)2 + (z+ 5)2 = 36. B. (x+ 2)2+ (y−1)2+ (z+ 5)2 = 9.
C. (x−2)2 + (y+ 1)2 + (z−5)2 = 36. D.(x−2)2+ (y+ 1)2+ (z−5)2 = 9.
Lời giải.
Do điểm A∈Oz nên suy raA(0; 0;c), mà ta lại có A∈(P)nên suy ra c= 3. Do đó A(0; 0; 3).
Phương trình tham số của đường thẳngd là
x= 5 +t y= 2t z = 6−t
, t∈R.
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình
x= 5 +t y = 2t z = 6−t
2x+ 6y+z−3 = 0.
⇔
t=−1 x= 4 y=−2 z = 7 Do đóB(4;−2; 7).
Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB nên I là trung điểm AB, suy ra I(2;−1; 5).
Ta có # »
AB= (4;−2; 4) suy ra AB=p
42+ (−2)2+ 72 = 6 nên bán kính mặt cầu làR = AB 2 = 3.
Phương trình mặt cầu là (x−2)2+ (y+ 1)2+ (z−4)2 = 9.
Chọn đáp án D
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−2
1 = y+ 3
−2 = z+ 1 1 . Véc-tơ nào trong các véc-tơ dưới đây không phải là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d?
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra
A. u#»4 = (1; 2; 1). B. u#»3 = (−1; 2;−1). C. u#»2 = (2;−4; 2). D. u#»1 = (−3; 6;−3).
Lời giải.
Đường thẳng d có1 véc-tơ chỉ phương là u#»2 = (1;−2; 1). Do đó véc-tơ u#»4 = (1; 2; 1) không là véc-tơ chỉ phương củad.
Chọn đáp án A
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng (α) : 2x+ 3y−z−1 = 0 và (β) : 4x+ 6y−mz−2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng(α) và (β)song song với nhau.
A. Không tồn tại m. B. m = 1. C. m= 2. D. m=−2.
Lời giải.
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n#»1 = (2; 3;−1).
Mặt phẳng (β)có vectơ pháp tuyến n#»2 = (4; 6;−m).
Để (α)k(β) khi: 2 4 = 3
6 = −1
−m 6= −1
−2. Không tồn tạim.
Chọn đáp án A
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #»u = (1;−2; 1) và #»v = (2; 1;−1).
Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ #»u và #»v?
A. w# »1 = (1;−3; 5). B. w# »4 = (1; 4; 7). C. w# »3 = (1;−4; 5). D. w# »2 = (1; 3; 5).
Lời giải.
Vectơ vuông góc với cả hai vectơ #»u và #»v là vectơ [#»u , #»v] = (1; 3; 5).
Chọn đáp án D
Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x+ 2)2+ (y−4)2 + (z−1)2 = 99 và điểm M(1; 7;−8). Qua điểm M kẻ các tia M a,M b,M c đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai tương ứng làA,B, C. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định K(xk;yk;zk). Tính giá trị P =xk+ 2yk−zk.
A. P = 11. B. P = 5. C. P = 7. D. P = 12.
Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâmI(−2; 4; 1), bán kính R=√ 99.
Ta có M(1; 7;−8)∈(S).
Xét hình hộp chữ nhậtAHP Q.M BDC.
Gọi J = M D ∩BC , K = M P ∩AJ ⇒ K ∈ (ABC).
Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ABC là trung điểm của đoạn M P (cũng là tâm của(S)).
Mặt khácK là trọng tâm của tam giácM ADhay # » M K = 2
3
# »
M I. Vì M, I cố định nên K cố định. Vậy K chính là điểm cố định mà mặt phẳng (ABC) luôn luôn đi qua.
Ta có # » M K = 2
3
# »
M I ⇒K(−1; 5;−2)
⇒P =xk+ 2yk−zk =−1 + 2·5−(−2) = 11.
C D
P
B H
M K
A Q
I
J
Chọn đáp án A
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độOxyz, cho hai điểm A(2; 1; 3)và B(6; 5; 5). Gọi(S)là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạnAB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H ( giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P) : 2x+by+cz+d= 0 với b, c, d∈Z. Tính giá trị T =b−c+d.
A. T =−18. B. T =−20. C. T =−21. D. T =−19.
Lời giải.
Ta có # »
AB= (4; 4; 2).
Mà # » AB⊥(P) Nên 2
4 = b 4 = c
2 ⇒
b= 2 c= 1.
Suy ra(P) : 2x+ 2y+z+d= 0.
Ta có AB= 6.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I(4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên (S) :
tâm I(4; 3; 4) bán kính R= AB
2 = 3 .
A
B I
H M
(P)
r R
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức Ta có
V = 1
3 ·π·r2·AH = 1
3 ·π·r2 ·(R+IH)
= 1
3 ·π·r2 ·Ä R+√
R2−r2ä
= 1 3 ·π·Ä
3·r2+r2·√
9−r2ä Đặt f(r) = 3·r2+r2·√
9−r2, r ∈(0; 3].
Ta có f0(r) =r Å
6 + 2·√
9−r2− r2
√9−r2 ã
.
Suy ra f0(r) = 0⇔
r= 0 ( loại ) 6 + 2·√
9−r2− r2
√9−r2 = 0
⇔2√
9−r2 =r2−6, điều kiện r2 ≥6 .
⇔r4−8r2 = 0 ⇔
"
r = 0 ( loại ) r2 = 8 ⇔
"
r=−2√
2 ( loại ) r= 2√
2 nhận Suy ra HI =√
R2−r2 = 1.
Ta có AH
AI = AI+HI
AI = R+HI R = 4
3. Suy ra AH = 4
3AI ⇒ # » AH = 4
3
AI# » ⇒H Å13
3;11 3;13
3 ã
. MàH
Å13 3 ;11
3 ;13 3
ã
∈(P) : 2x+ 2y+z+d= 0 ⇒d=−21.
Vậy T =b−c+d=−20.
Chọn đáp án B
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB =BC =CD =a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và (ABCD)
bằng 60◦. Tính singóc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
A. 3√ 3
8 . B.
√6
6 . C.
√3
8 . D.
√3 2 . Lời giải.
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có
(SAC)⊥(ABCD) (SBD)⊥(ABCD) (SAC)∩(SBD) = SI
⇒SI⊥(ABCD).
Ta có góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng(ABCD) là góc SCI‘ nên SCI‘ = 60◦.
Xét4BCD, ta có
BD2 =BC2+CD2−2·BD·CD·cosBCD’
=a2+a2−2·a·a·cos 120◦
= 3a2
Suy ra AC =BD =a√ 3.
a a
a
A
B C
D
I S
O H
Vì BC kAD⇒ 4IBC v4IDA, suy ra IC
IA = BC AD = 1
2. Do đó IC
AC−IC = 1
2 ⇔ IC
a√
3−IC = 1
2 ⇒IC = a√ 3
3 ⇒IA= 2IC = 2a√ 3 3 . Xét4SIC vuông tại I, ta có
SI =IC·tan 60◦ =a SC = IC
cos 60◦ = 2a√ 3 3 Gọi O là trung điểm củaAD.
Xét4AID cân tạiI với trung tuyến IO, ta có IO2 = IA2+ID2
2 − AD2
4 = a2
3 ⇒IO= a√ 3 3 . DựngIH vuông góc với SO tại H.
Suy ra d (I,(SAD)) = IH = a 2.
Ta có CI∩(SAD) =A⇒ d (C,(SAD))
d (I,(SAD)) = AC AI = 3
2 ⇒d (C,(SAD)) = 3a 4 . Gọi K là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Suy ra SK là hình chiếu của CK lên mặt phẳng (SAD)và CK = d (C,(SAD)) = 3a 4 . Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng(SAD) làCSK’ và sinCSK’ = CK
SC = 3√ 3 8 .
Chọn đáp án A
Câu 9. Cho số phức z =a+bi, (a, b∈R) thoả mãn z+ 7 +i− |z|(2 +i) = 0và |z|<3. Tính giá trịP =a+b
A. P = 5
2. B. P = 7. C. P =−1
2. D. P = 5.
Lời giải.
Ta có z+ 7 +i− |z|(2 +i) = 0⇔a+bi+ 7 +i−√
a2+b2(2 +i) = 0.
⇔Ä
a+ 7−2√
a2+b2ä +Ä
b+ 1−√
a2 +b2ä i= 0
⇔
a+ 7−2√
a2+b2 = 0 b+ 1−√
a2+b2 = 0
⇔
a= 2b−5
√a2+b2 =b+ 1
⇔
a= 2b−5
4b2−22b+ 24 = 0
⇔
a= 2b−5 b= 4 hay b= 3
2 Với b= 4 ⇒a= 3⇒ |z|= 5 ( vô lý).
Với b= 3
2 ⇒a =−2⇒ |z|= 5 2 <3.
Suy ra P =a+b =−2 + 3 2 =−1
2.
Chọn đáp án C
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(4;−1; 2), B(1; 2; 2), C(1;−1; 5), D(xD;yD;zD) với yD >0. Tính P = 2xD +yD−zD.
A. P =−3. B. P = 1. C. P =−7. D. P = 5.
Lời giải.
Gọi G là trọng tâm tam giácABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có # »
AB= (−3; 3; 0), # »
AC = (−3; 0; 3) ⇒ #»n = [# » AB,# »
AC] = (1; 1; 1) và AB = 3√ 2.
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
x= 2 +t y=t z = 3 +t.
Do đóD(2 +t;t; 3 +t). Mà AD=AB⇒(t−2)2+ 2(t+ 1)2 = 18⇒
"
t = 2 t =−2. Vì yD >0⇒y= 2 ⇒2xD +yD −zD = 5.
Chọn đáp án D
Câu 11. Trong không gian Oxyz, Cho hai điểmA(1; 1;−1)vàB(2; 3; 2). Véctơ # »
AB có tọa độ A. (1; 2; 3). B. (−1;−2; 3). C. (3; 5; 1). D. (3; 4; 1).
Lời giải.
# »
AB= (2−1; 3−1; 2 + 1) = (1; 2; 3)
Chọn đáp án A
Câu 12. Trong không gianOxyz, mặt phẳng (Oxz)có phương trình là
A. z = 0. B. x+y+z = 0. C. y= 0. D. x= 0.
Lời giải.
Mặt phẳng (Oxz)có phương trình là y= 0
Chọn đáp án C
Câu 13. Trong không gianOxyz, đường thẳngd: x−1
2 = y−2
−1 = z−3
2 đi qua điểm nào dưới đây
?
A. Q(2;−1; 2). B. M(−1;−2;−3). C. P(1; 2; 3). D. N(−2; 1;−2).
Lời giải.
Ta có 1−1
2 = 2−2
−1 = 3−3
2 nên P(1; 2; 3)∈d.
Chọn đáp án C
Câu 14. Trong không gianOxyz, cho hai điểmI(1; 1; 1)vàA(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là
A. (x+ 1)2+ (y+ 1)2+ (z+ 1)2 = 29. B. (x−1)2+ (y−1)2+ (z−1)2 = 5.
C. (x−1)2 + (y−1)2+ (z−1)2 = 25. D.(x+ 1)2+ (y+ 1)2+ (z+ 1)2 = 5.
Lời giải.
Ta có R2 =IA2 = (1−1)2 + (2−1)2+ (3−1)2 = 5
nên phương trình của mặt cầu là(x−1)2+ (y−1)2+ (z−1)2 = 5.
Chọn đáp án B
Câu 15. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : x+ 2y+ 2z −10 = 0 và (Q) :x+ 2y+ 2z−3 = 0 bằng
A. 8
3. B. 7
3. C. 3. D. 4
3. Lời giải.
Dựa vào phương trình (P), (Q) có véctơ pháp tuyến là #»n = (1; 2; 2) nên (P)k(Q).
Ta có |#»n|=√
1 + 22+ 22 = 3; d(O,(P)) = 10
3 ; d(O,(Q)) = 3 3 = 1, suy ra d((P),(Q)) =d(O,(P))−d(O,(Q)) = 7
3.
Chọn đáp án B
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z −3 = 0 và đường thẳng d: x 1 = y+ 1
2 = z−2
−1 . Hình chiếu vuông góc củad trên (P) có phương trình là A. x+ 1
−1 = y+ 1
−4 = z+ 1
5 . B. x−1
3 = y−1
−2 = z−1
−1 . C. x−1
1 = y−1
4 = z−1
−5 . D. x−1
1 = y−4
1 = z+ 5 1 . Lời giải.
Gọi A là giao điểm của (P) và d ta có tọa độA là nghiệm
x+y+z−3 = 0 x
1 = y+ 1
2 = z−2
−1
⇔A(1; 1; 1).
dcó véctơ chỉ phương #»u = (1; 2;−1), (P)có véctơ pháp tuyến #»n = (1; 1; 1) nên mặt phẳng (Q)qua d vuông góc (P) có véctơ pháp tuyến làn# »(Q)= [u#»d,n# »(P)] = (3;−2;−1).
Hình chiếu vuông góc củad trên (P) là giao tuyến ∆của (P) và (Q), nên ∆ quaA và có véctơ chỉ phương là [n# »(P),n# »(Q)] = (1; 4;−5).
Phương trình∆ là x−1
1 = y−1
4 = z−1
−5 .
Chọn đáp án C
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2; 4), B(−3; 3;−1) và mặt phẳng (P) : 2x− y+ 2z−8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2M A2+ 3M B2 bằng
A. 135. B. 105. C. 108. D. 145.
Lời giải.
Gọi I là điểm thỏa mãn2# »
IA+ 3# » IB= #»
0
⇒
2(xI−2) + 3(xI+ 3) = 0 2(yI+ 2) + 3(yI−3) = 0 2(zI −4) + 3(zI+ 1) = 0
⇔
5x1+ 5 = 0 5y1−5 = 0 5z1−5 = 0
⇔
x1 =−1 y1 = 1 z1 = 1.
Vậy I(−1; 1; 1) cố định.
Khi đó
2M A2+ 3M B2 = 2# »
M A2+ 3# » M B2
= 2(# » M I+ # »
IA)2+ 3(# » M I+ # »
IB)2
= 5# »
M I2+ 2# » M I(2# »
IA+ 3# »
IB) + 2# »
IA2+ 3# » IB2
= 5M I2+ 2IA2+ 3IB2.
Vậy 2M A2 + 3M B2 nhỏ nhất thì 5M I2 + 2IA2+ 3IB2 nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P), suy ra # »
IM =kn# »(P)⇒
xM = 2k−1 yM =−k+ 1 zM = 2k+ 1
.
MàM ∈(P)⇒2(2k−1)−(−k+ 1) + 2(2k+ 1)−8 = 0⇔9k−9 = 0⇔k = 1⇒M(1; 0; 3).
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2M A2+ 3M B2 = 5M I2+ 2IA2+ 3IB2 = 135.
Chọn đáp án A
Câu 18. Trong không gianOxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng (P) : 2x+ 2y−z−3 = 0 và mặt cầu (S) : (x−3)2+ (y−2)2+ (z−5)2 = 36. Gọi ∆ là đường thẳng đi quaE, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của ∆ là
A.
x= 2 + 9t y = 1 + 9t z = 3 + 8t
. B.
x= 2−5t y= 1 + 3t z = 3
. C.
x= 2 +t y= 1−t z = 3
. D.
x= 2 + 4t y= 1 + 3t z = 3−3t . Lời giải.
B H EE A
I
P
Mặt cầu (S) có tâmI(3; 2; 5)và bán kính R= 6.IE =√
12+ 12+ 22 =√ 6< R, suy ra điểm E nằm trong mặt cầu (S).
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P), A và B là hai giao điểm của ∆với (S).
Khi đó,AB nhỏ nhất ⇔AB ⊥OE, mà AB⊥IH nên AB⊥(HIE) ⇒AB⊥IE. Suy ra: u# »∆= [n# »P;# »
EI] = (5;−5; 0) = 5(1;−1; 0).
Vậy phương trình của∆ là
x= 2 +t y= 1−t z = 3
Chọn đáp án C Câu 19. Trong không gianOxyz, mặt phẳng(α) : x−y+ 2z−3 = 0đi qua điểm nào dưới đây?
A. M Å
1; 1;3 2
ã
. B. N
Å
1;−1;−3 2
ã
. C. P(1; 6; 1). D. Q(0; 3; 0).
Lời giải.
Xét điểmM Å
1; 1;3 2
ã
, ta có1−1 + 2· 3
2 −3 = 0 đúng nên M ∈(α).
Chọn đáp án A
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, đường thẳng nào sau đây nhận #»u = (2; 1; 1) là một véc-tơ chỉ phương?
A. x−2
1 = y−1
2 = z−1
3 . B. x
2 = y−1
1 = z−2
−1 . C. x−1
−2 = y+ 1
−1 = z
−1. D. x+ 2
2 = y+ 1
−1 = z+ 1 1 . Lời giải.
Xét đường thẳng x−1
−2 = y+ 1
−1 = z
−1, có một véc-tơ chỉ phương là(−2;−1;−1) = −(2; 1; 1)(thỏa đề bài).
Chọn đáp án C
Câu 21. Trong không gianOxyz, khoảng cách từ điểmM(2;−4;−1)tới đường thẳng∆ :
x=t y= 2−t z = 3 +t bằng
A. √
14. B. √
6. C. 2√
14. D. 2√
6.
Lời giải.
Đường thẳng ∆đi qua N(0; 2; 3), có véc-tơ chỉ phương #»u = (1;−1; 2).
Ta có # »
M N = (−2; 6; 4) và î# » M N ,#»uó
= (16; 8;−4).
Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là d(M,∆) =
î# » M N ,#»uó
|#»u| =
√336
√6 = 2√ 14.
Chọn đáp án C
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3;−2; 5), N(−1; 6;−3). Mặt cầu đường kính M N có phương trình là
A. (x+ 1)2+ (y+ 2)2+ (z+ 1)2 = 6. B. (x−1)2+ (y−2)2+ (z−1)2 = 6.
C. (x+ 1)2+ (y+ 2)2+ (z+ 1)2 = 36. D.(x−1)2+ (y−2)2+ (z−1)2 = 36.
Lời giải.
TâmI của mặt cầu là trung điểm đoạn M N⇒I(1; 2; 1).
Bán kính mặt cầuR = M N
2 =
»(−1−3)2+ (6 + 2)2+ (−3−5)2
2 = 6.
Vậy phương trình mặt cầu là (x−1)2+ (y−2)2+ (z−1)2 = 36.
Chọn đáp án D
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+ 2y−2z+ 3 = 0 và mặt cầu (S)có tâm I(0;−2; 1). Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là2π. Mặt cầu(S) có phương trình là
A. x2+ (y+ 2)2+ (z+ 1)2 = 2. B. x2 + (y+ 2)2 + (z−1)2 = 3.
C. x2+ (y+ 2)2+ (z+ 1)2 = 3. D.x2 + (y+ 2)2 + (z+ 1)2 = 1.
Lời giải.
Gọi R,r lần lượt là bán kính của mặt cầu và đường tròn giao tuyến. Theo giải thiết ta có:
πr2 = 2π ⇔r2 = 2.
Mặt khác d(I,(P)) = 1 nên R2 =r2+ [d(I,(P))]2 = 3.
Vậy phương trình mặt cầu là x2+ (y+ 2)2+ (z−1)2 = 3.
Chọn đáp án B
Câu 24. Cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn
(a2+b2+c2−2a+ 4b+ 2c−6 = 0
2d−e+ 2f −14 = 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a−d)2+ (b−e)2+ (c−f)2 bằng
A. 7−4√
3. B. 1. C. 4−2√
3. D. 28−16√
3.
Lời giải.
Xét mặt cầu (S) : x2 +y2+z2 −2x+ 4y+ 2z−6 = 0 có tâm I(1;−2;−1), bán kính R = 2√ 3 và mặt phẳng (P) : 2x−y+ 2z−14 = 0 .
LấyM(a;b;c)∈(S), N(d;e;f)∈(P)⇒M N2 = (a−d)2+ (b−e)2+ (c−f)2. Vậy [(a−d)2+ (b−e)2+ (c−f)2]min⇔M Nmin ⇔M N =d(I; (P))−R= 4−2√
3
⇒[(a−d)2 + (b−e)2+ (c−f)2]min= 28−16√ 3.
Chọn đáp án D
Câu 25. Cho các tia Ox, Oy, Oz cố định đôi một vuông góc nhau. Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA+OB+OC +AB+BC +CA = 1 trong đó A, B, C không trùng với O. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diệnOABC bằng 1
m(1 +√
n)3 trong đó m, n∈R. Giá trị của biểu thức P =m+n bằng
A. 192. B. 150. C. 164. D. 111.
Lời giải.
Đặt OA=a,OB =c,OC =cvới a, b, c >0.
Khi đóVO.ABC = abc 6
vàOA+OB+OC+AB+BC+CA=a+b+c+√
a2+b2+√
b2+c2+
√c2+a2 = 1.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
A
B
O C
1 = a+b+c+√
a2+b2+√
b2+c2 +√
c2+a2 ≥a+b+c+ a+b
√2 +b+c
√2 +c+a
√2
⇔1≥(1 +√
2)(a+b+c)⇔a+b+c≤ 1 1 +√
2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có VO.ABC = abc
6 ≥ 1 3
Åa+b+c 3
ã3
≤ 1
162Ä 1 +√
2ä3. Vậy maxVO.ABC = 1
162Ä 1 +√
2ä3 ⇒m = 162, n= 2⇒P =m+n= 164.
Chọn đáp án C
Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ # »
M N =kÄ# » AD+ # »
BCä
? A. k = 3. B. k = 1
2. C. k = 2. D. k = 1
3. Lời giải.
Ta có
(# »
M N = # » M B+ # »
BC+ # »
# » CN
M N = # » M A+ # »
AD+# » DN Suy ra 2# »
M N = # » M B+ # »
BC+# »
CN+ # » M A+ # »
AD+# »
DN = # » AD+ # »
BC.
Do đók = 1 2.
Chọn đáp án B
Câu 27. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây làsai?
A. # » GA+ # »
GB+ # » GC+ # »
GD = 0. B. # »
OG= 1 4
Ä# » OA+# »
OB +# »
OC + # » ODä
. C. # »
AG= 1 4
Ä# » AB+ # »
AC+# » ADä
. D. # »
AG= 2 3
Ä# » AB+ # »
AC+ # » ADä
. Lời giải.
Do # » AG= 1
4 Ä# »
AB+# » AC+ # »
ADä
nên đáp án D sai.
Chọn đáp án D
Câu 28. Cho tứ diệnABCDvà các điểmM,N xác định bởi # »
AM = 2AB−3# » # » AC; # »
DN = # »
DB+x# » DC.
Tìm x để các vectơ # » AD,# »
BC,# »
M N đồng phẳng.
A. x=−1. B. x=−3. C. x=−2. D. x= 2.
Lời giải.
Ta có
# »
M N = # » M A+# »
AD+ # » DN =Ä
3# »
AC−2# » ABä
+ # »
AD+ # »
DB+x# » DC
=Ä 3# »
AD+ 3# »
DC−2# »
AD−2# » DBä
+# »
AD+# »
DB+x# » DC
= 2# »
AD−# »
DB + (x+ 3)# »
DC = 2# » AD+ # »
BC+# »
CD+ (x+ 3)# » DC
= 2# » AD+# »
BC+ (x+ 2)# » DC Ba vectơ # »
AD,# » BC,# »
M N đồng phẳng khi và chỉ khi x+ 2 = 0⇔x=−2.
Chọn đáp án C
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh bằng a, khi đó # » AB.# »
EG bằng A. a2√
2. B. a2√
3. C. a2. D. a2√
2 2 . Lời giải.
Ta có # » AB.# »
EG= # » AB.# »
AC =AB.AC.cos 45◦ =a.a√ 2.
√2 2 =a2.
A
B C
D E
F G
H
Chọn đáp án C
Câu 30. Trong không gianOxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (Oxy) ?
A. M(2; 2; 0). B. Q(3;−1; 3). C. N(3;−1; 2). D. P(0; 0; 2).
Lời giải.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trìnhz = 0, suy ra M(2; 2; 0)∈(Oxy).
Chọn đáp án A
Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 2;−1) và mặt phẳng (P) : x+z−2 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
A.
x= 3 +t y = 2 z =−1 +t
. B.
x= 3 +t y= 2 +t z =−1
. C.
x= 3 +t y= 2t z = 1−t
. D.
x= 3 +t y= 1 + 2t z =−t
.
Lời giải.
Mặt phẳng (P) :x+z−2 = 0 có véc-tơ pháp tuyến là #»n(P)= (1; 0; 1).
Đường thẳng∆đi quaM và vuông góc với(P)nhận #»n(P) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là
x= 3 +t y = 2 z =−1 +t.
Chọn đáp án A
Câu 32. Trong không gianOxyz, cho vectơ # » OA= #»
j −2#»
k. Tọa độ điểm A là
A. (0; 1;−2). B. (1;−2; 0). C. (1; 0;−2). D. (0;−1; 2).
Lời giải.
Ta có # » OA= #»
j −2#»
k ⇔A(0; 1;−2).
Chọn đáp án A
Câu 33. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; 1;−1) có phương trình là
A. z+ 1 = 0. B. x−y= 0. C. x+z = 0. D. y+z = 0.
Lời giải.
Mặt phẳng chứa trụcOx có dạng By+Cz= 0,(B2+C2 6= 0).
Mặt phẳng đi qua điểm A(1; 1;−1) nên B−C = 0⇔B =C. Do đó chọnB =C = 1.
Chọn đáp án D
Câu 34. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 2;−1) tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x−2y+ 2z−1 = 0 có bán kính bằng
A. 4
3. B. 4. C. 2. D. 9.
Lời giải.
Gọi R là bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Khi đó,R =d(I,(P)) = |1−2·2 + 2·(−1)−1|
p12+ (−2)2+ 22 = |−6|
√9 = 2.
Chọn đáp án C
Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0;−1) và mặt phẳng (P) : x+y−1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với(P)và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là
A.
x= 3 +t y = 2t z = 1−t
. B.
x= 2 +t y=−t z =−1
. C.
x= 1 + 2t y=−1 z =−t
. D.
x= 3 +t y= 1 + 2t z =−t
.
Lời giải.
Ta có: #»n(P)= (1; 1; 0), #»n(Oxy) = (0; 0; 1).
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng(Oxy).
Khi đó
(#»ud⊥ #»n(P)
#»ud⊥ #»n(Oxy) ⇒ #»ud=#»n(P),#»n(Oxy)
= (1;−1; 0).
Vậy d:
x= 2 +t y=−t z =−1.
Chọn đáp án B
Câu 36. Trong không gianOxyz, cho điểm A(1; 3; 2), mặt phẳng(P) : 2x−y+z−10 = 0và đường thẳng d: x+ 2
2 = y−1
1 = z−1
−1 . Đường thẳng ∆ cắt (P) và d lần lượt tại hai điểm M,N sao cho A là trung điểm của đoạn M N. Biết #»u = (a;b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆, giá trị củaa+b bằng
A. 11. B. −11. C. 3. D. −3.
Lời giải.
Theo giả thiết ta có N(2t−2;t+ 1; 1−t)∈d vàA là trung điểm của đoạn M N. Do đó, tọa độ điểm M(4−2t; 5−t; 3 +t).
Do M ∈(P) nên 2 (4−2t)−(5−t) + (3 +t)−10 = 0⇔t=−2.
Suy ra tọa độ điểmN(−6;−1; 3) và M(8; 7; 1). Suy ra # »
M N = (−14;−8; 2).
Vì #»u = (a;b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆nên #»u ,# »
M N là 2 véctơ cùng phương.
Do đó ta có a
−14 = b
−8 = 1 2 ⇒
(a =−7
b =−4 ⇒a+b=−11.
Chọn đáp án B
Câu 37. Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 1; 3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tạiM,N,P sao cho tứ diệnOM N P có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng d :
x= 2 +t y= 1−t z = 4 +t
với (P) có toạ độ là
A. (4; 6; 1). B. (4; 1; 6). C. (−4; 6;−1). D. (4;−1; 6).
Lời giải.
Gọi M(a; 0; 0), N(0;b; 0) , P(0; 0;c). Theo giả thiết, ta có a,b, clà các số dương.
Phương trình mặt phẳng (P)là x a + y
b +z c = 1.
(P) đi qua điểm A(2; 1; 3) nên 2 a +1
b +3 c = 1.
Ta có 2 a +1
b +3 c ≥33
…2 a · 1
b · 3
c = 3√3 6
√3
abc ⇔1≥ 3√3 6
√3
abc ⇔√3
abc≥3√3
6⇔abc≥112.
VOM N P = abc
6 ≥27. Dấu bằng xảy ra khi
2 a = 1
b = 3 c 2
a + 1 b + 3
c = 1
⇒
a= 6 b = 3 c= 9.
Vậy (P) : x 6 +y
3 + z 9 = 1.
Tọa độ giao điểm của d và(P) là nghiệm của hệ
x= 2 +t y= 1−t z = 4 +t
x 6 +y
3 + z 9 = 1
⇔
x= 4 y =−1 z = 6 t = 2.
Chọn đáp án D
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x−x0
a = y−y0
b = z−z0
c . ĐiểmM nằm trên đường thẳng ∆thì điểm M có dạng nào sau đây?
A. M(at;bt;ct). B. M(x0t;y0t;z0t).
C. M(a+x0t;b+y0t;c+z0t). D.M(x0+at;y0+bt;z0 +ct).
Lời giải.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có véc-tơ chỉ phương #»u = (a;b;c) nên đường thẳng ∆ có phương trình tham số là∆ :
z =x0+at y=y0+bt z =z0+ct .
ĐiểmM nằm trên đường thẳng ∆nên điểm M có dạng M(x0+at;y0+bt;z0+ct).
Chọn đáp án D
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0;−1; 0) và C(0; 0; 2).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là A. x−2y+z = 0. B. x−y+ z
2 = 1. C. x+y
2−z = 1. D. 2x−y+z = 0.
Lời giải.
Áp dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng(ABC)làx−y+z 2 = 1.
Chọn đáp án B
Câu 40. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : x−2
2 = y+ 2
1 = z−6
−2 ; d2 : x−4
1 = y+ 2
−2 = z+ 1
3 . Phương trình mặt phẳng (P) chứad1 và song song với d2 là A. (P) :x+ 8y+ 5z+ 16 = 0. B. (P) :x+ 8y+ 5z−16 = 0.
C. (P) : 2x+y−6 = 0. D.(P) :x+ 4y+ 3z−12 = 0.
Lời giải.
Phương trình tham số d1 :
x= 2 + 2t1
y=−2 +t1,(t1 ∈R).
z = 6−2t1
d1 đi qua điểm M(2;−2; 6) và có vectơ chỉ phương u#»1 = (2; 1;−2).
Phương trình tham số d2 :
x= 4 +t2
y=−2−2t2,(t2 ∈R).
z =−1 + 3t2
d2 đi qua điểm N(4;−2;−1)và có vectơ chỉ phương u#»2 = (1;−2; 3).
Vì mặt phẳng(P) chứad1 và song song với d2, ta có:
(#»n(P)⊥#»u1
#»n(P)⊥#»u2
⇒ #»u(P)= [#»u1,#»u2] =−(1; 8; 5).
Mặt phẳng(P)đi quaM(2;−2; 6)và vectơ pháp tuyến #»u(P) = (1; 8; 5), nên phương trình mặt phẳng (P) : (x−2) + 8(y+ 2) + 5(z−6) = 0 hay (P) :x+ 8y+ 5z−16 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 41. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x−1
2 = y−3
−1 = z−1
1 cắt mặt phẳng (P) : 2x−3y+z−2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a+b+c bằng
A. 9. B. 5. C. 3. D. 7.
Lời giải.
Ta có {I}=d∩(P) suy ra I ∈d và I ∈(P).
Vì I ∈d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t; 3−t; 1 +t) với t∈R.
Vì I ∈(P) nên ta có phương trình: 2(1 + 2t)−3(3−t) + 1 +t−2 = 0⇔t= 1.
Vậy I(3; 2; 2) suy ra a+b+c= 3 + 2 + 2 = 7.
Chọn đáp án D
Câu 42. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA(3; 5; 3)và hai mặt phẳng (P):2x+y+ 2z−8 = 0,(Q):
x−4y+z−4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q).
A.
x= 3 +t y = 5−t z = 3
. B.
x= 3 y= 5 +t z = 3−t
. C.
= 3 +t y= 5 z = 3−t
. D.
x= 3 +t y= 5 z = 3 +t
.
Lời giải.
Ta có #»n(P)= (2; 1; 2) và #»n(Q) = (1;−4; 1).
#»n(P),#»n(Q)
= (9; 0;−9). Do đường thẳngdsong song với hai mặt phẳng(P)và (Q) nêndcó véc-tơ chỉ phương là #»u = (1; 0;−1).
Vậy phương trình đường thẳng d là
x= 3 +t y= 5 z = 3−t.
Chọn đáp án C
Câu 43. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA(−1; 1; 6) và đường thẳng∆ :
x= 2 +t y= 1−2t z = 2t
. Hình chiếu vuông góc của A trên ∆là
A. M(3;−1; 2). B. H(11;−17; 18). C. N(1; 3;−2). D. K(2; 1; 0).
Lời giải.
Gọi B là hình chiếu của A xuống ∆. Do B ∈∆⇒B(2 +t; 1−2t; 2t). # »
AB= (3 +t;−2t; 2t−6).
Do # »
AB⊥ #»u∆⇒ # »
AB· #»u∆= 0⇔1·(3 +t) + (−2)·(−2t) + 2·(2t−6) = 0⇔t = 1.
Vậy B(3;−1; 2).
Chọn đáp án A
Câu 44. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;−1;−1) và mặt phẳng (P) : x−2y−2z + 3 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S)có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng(P).
A. S: x2+y2+z2−4x+ 2y+ 2z−3 = 0. B. S: x2+y2+z2−2x+y+z−3 = 0.
C. S: x2+y2+z2−4x+ 2y+ 2z+ 1 = 0. D.S: x2+y2+z2−2x+y+z+ 1 = 0.
Lời giải.
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Do (S) tiếp xúc với (P)nên R= d(I,(P)) = |2−2(−1)−2(−1) + 3|
p12+ (−2)2 + (−2)2 = 3.
Vậy phương trìnhS: (x−2)2+ (y+ 1)2+ (z+ 1)2 = 9⇔x2+y2+z2−4x+ 2y+ 2z−3 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 45. Cho hai đường thẳngd1:
x= 1 +t y = 2−t z = 3 + 2t
và d2: x−1
2 = y−m
1 = z+ 2
−1 , (vớim là tham số ). Tìmm để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
A. m = 4. B. m = 9. C. m= 7. D. m= 5.
Lời giải.
d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vec-tơ chỉ phương u#»1 = (1;−1; 2).
d2 đi qua điểm M2(1;m;−2)và có vec-tơ chỉ phương u#»2 = (2; 1;−1).
[u#»1;u#»2] = (−1; 5; 3) và # »
M1M2 = (0;m−2;−5).
d1 và d2 cắt nhau ⇔[u#»1;u#»2]· # »
M1M2 = 0⇔ −1·0 + 5(m−2)−15 = 0⇔m = 5.
Chọn đáp án D
Câu 46. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1;−1; 2) và hai đường thẳng d1:
x=t y= 1−t z =−1
,
d2: x+ 1
2 = y−1
1 = z+ 2
1 . Đường thẳng∆ đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳngd1, d2 có véc tơ chỉ phương là u# »∆= (1;a;b).Tính a+b.
A. a+b =−1. B. a+b =−2. C. a+b= 2. D. a+b= 1.
Lời giải.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆với d1, d2
A∈d1 ⇒A(t1; 1−t1;−1) ;B ∈d2 ⇒B(−1 + 2t2; 1 +t2;−2 +t2).
M ∈∆⇔M, A, B thẳng hàng ⇔ # »
M A=k# » M B (1)
# »
M A= (t1−1; 2−t1;−3) ; # »
M B = (2t2−2;t2+ 2;t2−4).
(1) ⇔
t1−1 =k(2t2−2) 2−t1 =k(t2+ 2)
−3 = k(t2−4)
⇔
t1 −2kt2+ 2k = 1
−t1−kt2 −2k =−2 kt2−4k =−3
⇔
t1 = 0 kt2 = 1
3 k = 5
6.
Từ t1 = 0 ⇒ A(0; 1;−1).Do đường thẳng ∆ đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của đường thẳng∆ làu# »∆= # »
AM = (1;−2; 3).
Vậy a=−2, b = 3⇒a+b= 1.
Chọn đáp án D
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC)vuông góc với nhau;
góc giữa hai mặt (SAB) và (SBC) là 60◦; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 45◦. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), tínhcosα
A. cosα= 1
2. B. cosα=
√2
2 . C. cosα=
√3
2 . D. cosα =
√2 3 . Lời giải.
Dựng hệ trục tọa độAxyz như hình vẽ trên
Không mất tính tổng quát, giả sử ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1, chiều cao của hình chóp S.ABCD bằng c,(c >0)
Ta có tọa độ các điểm
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0) Do hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt đáy nằm trong hình vuôngABCD nên gọiH(a, b,0) với 0< a, b <1 (∗)⇒S(a;b;c).
Ta có # »
AS = (a;b;c),# »
AD = (0; 1; 0) nên chọn
#»n(SAD) =î# » AS,# »
ADó
= (−c; 0;a)
S
A
B
D y H
C z
x
# »
BS = (a−1;b;c),# »
BC = (0; 1; 0) nên chọn #»n(SBC) =î# » BS,# »
BCó
= (−c; 0;a−1)
# »
AB = (1; 0; 0),# »
AS = (a;b;c) nên chọn #»n(SAB) =î# » AB,# »
ASó
= (0;−c;b) Chọn #»n(ABCD) = #»
k = (0; 0; 1)
Do (SAD)⊥(SBC)⇒ #»n(SAD)· #»n(SBC) = 0 ⇔c2+a(a−1) = 0⇔c2+a2 =a (1) Góc giữa (SAB) và (SBC) là 60◦
⇒cos 60◦ =
#»n(SAB).#»n(SBC)
#»n(SAB) .
#»n(SBC)
⇔ 1
2 = |b(a−1)|
pc2+ (a−1)2.√ c2+b2
⇔ 1
2 = b(a−1)
√1−a.√
c2+b2 do(∗)và (1)
⇔ b√ 1−a
√c2+b2 = 1 2
⇔ b
√c2+b2 = 1 2√
1−a (2)
Góc giữa (SAB) và (SAD) là 45◦
⇒cos 45◦ =
#»n(SAB).#»n(SAD)
#»n(SAB) .
#»n(SAD)
⇔
√2
2 = |ab|
√c2+a2.√ c2+b2
⇔
√2
2 = ab
√a.√
c2+b2 do (∗)
⇔ ab
√a.√
c2+b2 : b√ 1−a
√c2+b2 =
√2 2 : 1
2
⇔
√a
√1−a = √ 2
⇔a = 2 3 (3)
Góc giữa (SAB)và (ABCD) là α
⇒cosα =
#»n(SAB).#»n(ABCD)
#»n(SAB) .
#»n(ABCD)
(2),(3)
= b
√c2+b2
= 1
2
… 1− 2
3
=
√3 2
Chọn đáp án C
Câu 48. Giao điểm của mặt phẳng(P) :x+y−z−2 = 0 và đường thẳngd :
x= 2 +t y =−t.
z = 3 + 3t A. (1; 1; 0). B. (0; 2; 4). C. (0; 4; 2). D. (2; 0; 3).
Lời giải.
Gọi A(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng(P).
Ta có: 2 +t−t−(3 + 3t)−2 = 0⇔ −3t−3 = 0⇔t=−1.
Suy ra
x= 1 y= 1.
z = 0
Vậy A(1; 1; 0).
Chọn đáp án A
Câu 49. Trong không gianOxyz , trục Ox có phương trình tham số là A. x= 0. B. y+z = 0. C.
x= 0 y= 0 z =t
. D.
x=t y= 0 z = 0
.
Lời giải.
TrụcOx đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương #»i(1; 0; 0) nên có phương trình tham số là
x= 0 + 1.t y= 0 + 0.t z = 0 + 0.t
⇔
x=t y= 0.
z = 0
Chọn đáp án D
Câu 50. Trong không gianOxyz, cho điểm A(1; 1;−1),B(2; 1; 2). Độ dài đoạn AB bằng A. √
10. B. √
14. C. 9. D. 10.
Lời giải.
Ta có: AB=»
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2 =»
(2−1)2+ (1−1)2+ (2 + 1)2 =√ 10.
Chọn đáp án A
Câu 51 (Kiếu Văn Công). [2H3B3-5] Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : x+ 2y−8 = 0 và đường thẳng d:
x= 1 + 2t y= 2−t z = 3 +t
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng P bằng
A. 4
√5. B. 2
√5. C. 3
√5. D. 1
√5. Lời giải.
Đường thẳng d:
x= 1 + 2t y= 2−t z = 3 +t
đi qua A(1; 2; 3)và có vectơ chỉ phương #»u = (2;−1; 1).
Mặt phẳng (P) :x+ 2y−8 = 0 có vectơ pháp tuyến #»n = (1; 2; 0).
Ta có
(#»u · #»n = 2−2 + 0 = 0
A /∈(P) , nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).
Vậy khoảng cách giữa đường thẳngdvà mặt phẳng(P)bằng khoảng cách từ Ađến mặt phẳng (P).
d(d; (P)) = d(A; (P)) = |1 + 4−8|
√12+ 22 = 3
√5.
Chọn đáp án C
Câu 52 (Kiều Văn Công). [2H3Y1-3] Trong không gian Oxyz cho mặt cầy (S) : x2 +y2+z2 − 2x+ 4z+ 1 = 0 có tâmI và bán kính R là.
A. I(−1; 0; 2), R = 2. B. I(−1; 0; 2), R= 4. C. I(1; 0;−2), R= 2. D. I(1; 0;−2), R= 4.
Lời giải.
Dễ thấy mặt cầu (S) :x2 +y2+z2−2x+ 4z+ 1 = 0 có:
TâmI(1; 0;−2) và bán kínhR =p
12+ 02+ (−2)2−1 = 2.
Chọn đáp án C
Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(α) :x−2z−6 = 0 và đường thẳng d:
x= 1 +t y= 3 +t z =−1−t
. Viết phương trình đường thẳng∆nằm trong mặt phẳng(α)cắt đồng thời vuông
góc với d.
A. x−2
2 = y−4
1 = z+ 2
1 . B. x−2
2 = y−4
−1 = z+ 2 1 . C. x−2
2 = y−3
−1 = z+ 2
1 . D. x−2
2 = y−4
−1 = z−2 1 .
Lời giải.
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ
x= 1 +t y= 3 +t z =−1−t x−2z−6 = 0
⇒I(2; 4;−2).
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến #»n = (1; 0;−2) ; đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
#»u = (1; 1;−1).
Khi đó đường thẳng ∆có một vectơ chỉ phương là [#»n ,#»u] = (2;−1; 1).
Đường thẳng ∆qua điểmI(2; 4;−2)và có một vectơ chỉ phương [#»n ,#»u] = (2;−1; 1) nên có phương trình chính tắc: x−2
2 = y−4
−1 = z+ 2 1 .
Chọn đáp án B
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, điểmM(a;b;c)thuộc mặt phẳng(P) :x+y+z−6 = 0 và cách đều các điểm A(1; 6; 0), B(−2; 2;−1), C(5;−1; 3). Tích a·b·c bằng
A. 5. B. 0. C. −6. D. 6.
Lời giải.
Do M ∈(P) và M A2 =M B2 =M C2, nên ta được hệ
a+b+c= 6
(a−1)2+ (b−6)2+c2 = (a+ 2)2+ (b−2)2+ (c+ 1)2 (a−1)2+ (b−6)2+c2 = (a−5)2+ (b+ 1)2+ (c−3)2
⇔
a+b+c= 6 3a+ 4b+c= 14 4a−7b+ 3c=−1
⇔
a= 1 b= 2 c= 3.
Từ đó ta đượcabc = 6.
Chọn đáp án D
Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2;−3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
A. M0(1; 0;−3). B. M0(0; 2;−3). C. M0(1; 2; 0). D. M0(1; 2; 3).
Lời giải.
Hình chiếu vuông góc của điểmM trên mặt phẳng (Oxy) là điểmM0(1; 2; 0).
Chọn đáp án C
Câu 56. Trong không gianOxyz, tìm phương trình mặt phẳng (α)cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểmA(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;−2).
A. 4x−3y+ 6z−12 = 0. B. 4x+ 3y−6z+ 12 = 0.
C. 4x−3y+ 6z+ 12 = 0. D.4x+ 3y+ 6z+ 12 = 0.
Lời giải.
Phương trình(α) : x
−3+ y 4 + z
−2 = 1⇔4x−3y+ 6z =−12⇔4x−3y+ 6z+ 12 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 57. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 1; 1), B(−1; 1; 0), C(1; 3; 2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận véc-tơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
A. #»a = (1; 1; 0). B. #»c = (−1; 2; 1). C. #»
b = (−2; 2; 2). D. #»
d = (−1; 1; 0).
Lời giải.
Gọi M là trung điểm củaBC, suy ra tọa độ điểm M(0; 2; 1).
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có véc-tơ chỉ phương là # »
AM = (−1; 1; 0).
Chọn đáp án D
Câu 58. Trong không gianOxyz,cho hai điểmA(0; 1; 1)vàB(1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.
A. (P) :x+ 3y+ 4z−26 = 0. B. (P) :x+y+ 2z−3 = 0.
C. (P) :x+y+ 2z−6 = 0. D.(P) :x+ 3y+ 4z−7 = 0.
Lời giải.
Mặt phẳng (P)có một véctơ pháp tuyến #»n = # »
AB= (1; 1; 2).
Phương trình mặt phẳng (P)là: x+y−1 + 2 (z−1) = 0 hay (P) : x+y+ 2z−3 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 59. Trong không gianOxyz, cho bốn điểmA(−1; 2; 0),B(0; 0;−2),C(1; 0; 1),D(2; 1;−1). Hai điểmM,N lần lượt nằm trên đoạnBC vàBDsao cho2BC
BM + 3BD
BN = 10và VABM N VABCD = 6
25. Phương trình mặt phẳng(AM N) có dạng ax+by+cz+ 32 = 0. Tính S =a−b+c.
A. S = 98. B. S = 26. C. S = 27. D. S = 97.
Lời giải.
Đặt: BC
BM =x; BD
BN =y⇒2BC
BM + 3BD
BN = 10⇔2x+ 3y= 10⇔x= 10−3y 2 . Ta có: VABM N
VABCD = 6
25 ⇔ BM BC · BN
BD = 1 xy = 6
25 ⇔ 10−3y
2 ·y= 25
6 ⇔y= 5
3 ⇒x= 5 2. Suy ra:
+ BC BM = 5
2 ⇒5# »
BM = 2# » BC ⇒
xM = 2xC + 3xB 5 yM = 2yC+ 3yB
5 zM = 2zC+ 3zB
5
⇒M Å2
5; 0;−4 5
ã .
+ BD BN = 5
3 ⇒5# »
BN = 3# » BD ⇒
xN = 3xD+ 2xB 5 yN = 3yD+ 3yB
5 zN = 3zD + 3zB
5
⇒N Å6
5;3 5;−7
5 ã
.
Thay A, M, N vào phương trình ax+by+cz+ 32 = 0ta có a= 42; b= 5; c= 61⇒S = 98.
Chọn đáp án A
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 −2x+ 2z−2 = 0 và các điểm A(0; 1; 1), B(−1;−2;−3), C(1; 0;−3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng
A. 9. B. 8
3. C. 7. D. 16
3 . Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0;−1) và bán kínhR = 2.
Khi VDABC lớn nhất thì VDABC
VIABC = d(D,(ABC))
d(I,(ABC)) = R+d(I,(ABC)) d(I,(ABC)) . Ta có # »
AB= (−1;−3;−4), # »
AC = (1;−1;−4), # »
AI = (1;−1;−2). Suy ra VIABC = 1
6
î# » AB, # »
ACó
· # » AI
= 4
3, d(I,(ABC)) = 6VIABC
î# » AB,# »
ACó
= 2 3.
Khi đó,VDABC = 4
3· 2 + 23
2 3
= 16 3 .
Chọn đáp án D
Câu 61. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 +y2+z2−4x−2y+ 2z−19 = 0 và mặt phẳng(P):2x−y−2z+m+ 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6π. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:
A. 4. B. 24. C. −20. D. −16.
Lời giải.
Mặt cầu (S): (x−2)2+ (y−1)2+ (z+ 1)2 = 25 có tâm I(2; 1;−1)và bán kính R= 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r= 3.
Do đó khoảng cách từ tâmI của mặt cầu đến mặt phẳng là d(I,(P)) = √
R2−r2 = 4
⇔ |4−1 + 2 +m+ 3|
3 = 4 ⇔ |m+ 8|= 12 ⇔
"
m = 4 m =−20.
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Chọn đáp án D
Câu 62. Trong không gianOxyz, cho điểm A(2;−1;−3)và mặt phẳng (P) : 3x−2y+ 4z−5 = 0.
Mặt phẳng (Q)đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là A. (Q) : 3x−2y+ 4z−4 = 0. B. (Q) : 3x−2y+ 4z+ 4 = 0.
C. (Q) : 3x−2y+ 4z+ 5 = 0. D.(Q) : 3x+ 2y+ 4z+ 8 = 0.
Lời giải.
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P)nên có vectơ pháp tuyến là #»n = (3;−2; 4).
Phương trình mặt phẳng (Q) : 3(x−2)−2(y+ 1) + 4(z+ 3) = 0⇔3x−2y+ 4z+ 4 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 63. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 1;−2), B(3; 1; 1) và C(−2; 0; 3). Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm nào dưới đây ?
A. N(2; 1; 0). B. Q(−2; 1; 0). C. M(2;−1; 0). D. M(−2;−1; 0).
Lời giải.
Ta có # »
AB= (3; 0; 3), # »
AC = (−2;−1; 5) và # » AB∧ # »
AC = (3;−21;−3).
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm B(3; 1; 1), có 1 véc-tơ pháp tuyến #»n = 1 3
î# » AB, # »
ACó
= (1;−7;−1) nên có phương trình làx−7y−z+ 5 = 0. Vì2−7·1−0 + 5 = 0 nên N(2; 1; 0)∈(ABC).
Chọn đáp án A
Câu 64. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S: x2+y2+z2−2x+ 2y−4z−3 = 0. Bán kính R của mặt cầuS bằng
A. R = 3. B. R = 2. C. R = 6. D. R= 9.
Lời giải.
Ta có x2+y2+z2−2x+ 2y−4z−3 = 0⇔ (x−1)2+ (y+ 1)2 + (z−2)2 = 9, nên bán kính mặt cầu S bằng 3.
Chọn đáp án A
Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;−1;−3), B(−2; 2; 1). Véctơ có # »
AB tọa độ là
A. (−3; 3; 4). B. (−1; 1; 2). C. (3;−3; 4). D. (−3; 1; 4).
Lời giải.
Ta có # »
AB= (−2−1; 2 + 1; 1 + 3) = (−3; 3; 4).
Chọn đáp án A
Câu 66. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng(P) : 2x−y+ 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là
A. (2; 1; 0). B. (2;−1; 3). C. (2;−1; 0). D. (2; 1; 3).
Lời giải.
Mặt phẳng (P)có VTPT là #»n = (2;−1; 0).
Chọn đáp án C
Câu 67. Trong không gianOxyz cho các điểmA(1;−1; 3), B(2; 1; 0), C(−3;−1;−3)và mặt phẳng (P) : x +y −z − 4 = 0. Gọi M(a, b, c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức T =
|3# »
M A−2# »
M B+ # »
M C| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thứcS =a+b+c.
A. S = 3. B. S =−1. C. S = 2. D. S = 1.
Lời giải.
Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn3# »
IA−2# » IB+ # »
IC = #»
0. Ta có
IA# » = (1−x;−1−y; 3−z)⇒3# »
IA= (3−3x;−3−3y; 9−3z).
IB# » = (2−x; 1−y;−z)⇒2# »
IB= (4−2x; 2−2y;−2z).
IC# »= (−3−x;−1−y;−3−z).
Khi đó3# »
IA−2# » IB+ # »
IC = (−2x−4;−2y−6;−2z+ 6) = 0.
⇔
−2x−4 = 0
−2y−6 = 0
−2z+ 6 = 0
⇔
x=−2 y=−3 z = 3
. Vậy I(−2;−3; 3).
Ta có T = 3# »
M A−2# »
M B+ # » M C =
3(# »
M I+# »
IA)−2(# » M I+# »
IB) + (# » M I+ # »
IC) = 2
M I . Suy ra Tmin ⇔
# » M I
min khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
Đường thẳngM I đi quaI(−2;−3; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là M I :
x=−2 +t y=−3 +t z = 3−t
. Lấy M(−2 +t;−3 +t; 3−t)∈M I.
Mặt khác M ∈(P)⇒(−2 +t) + (−3 +t)−(3−t)−4 = 0⇒t= 4.
Suy ra M(2; 1;−1). Vậy a+b+c= 2.
Chọn đáp án C
Câu 68. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;−1; 3), B(0; 1;−5). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
A. (x−2)2 +y2+ (z+ 1)2 = 21. B. (x−2)2+y2+ (z−1)2 = 17.
C. (x−1)2 + (y−2)2+z2 = 27. D.(x+ 2)2+y2 + (z−1)2 = 21.
Lời giải.
Vì mặt cầu (S) có đường kính AB nên mặt cầu có tâm là trung điểm I(2; 0;−1) của AB và bán kínhR = AB
2 =√ 21.
