B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 1 VÍ DỤ - Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình

VÍ DỤ 1. Giải phương trình:4 cos²x−_{4 sin}x−₁=0. ĐS:





 x = ^π

6 +k2π x = ^5π

6 +k2π

(k ∈ _Z)

L Lời giải

4 cos²x−4 sinx−1=0 ⇔4(1−sin²x)−4 sinx−1=0

⇔4−4 sin²x−4 sinx−1 =0

⇔4 sin²x+4 sinx−3 =0.

Đặtt =sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²+4t−3=0 ⇔(2t−1)(2t+3) = 0⇔





 t= ¹

2 t= −3

2 .

Vì−1≤t≤1nênt=sinx= ¹ 2 ⇔





 x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +_k2π

(k∈ _Z).

VÍ DỤ 2. Giải phương trình:cos 2x−3 cosx+2=0. ĐS:







x =k2π x = −_π

3 +k2π x = ^π

3 +k2π

(k ∈ _Z)

L Lời giải

cos 2x−_{3 cos}x+₂ =₀ ⇔_cos²x−_sin²x−_{3 cos}x+₂=₀

⇔2 cos²x−3 cosx+1=0.

Đặtt =_cosx(−₁≤t≤₁). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−3t+1 =0⇔ (2t−1)(t−1) = 0⇔



 t = ¹

2 t =1.

Vì−1≤t≤1nên





t =cosx = ¹ 2 t =cosx =1

⇔







x=_k2π x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z).

VÍ DỤ 3. Giải phương trình3 cos 2x+7 sinx+2=0. ĐS:







x = −π

6 +k2π x = ^7π

6 +k2π

(k ∈ _Z)

L Lời giải

3 cos 2x+7 sinx+2=0 ⇔3(1−2 sin²x) +7 sinx+2 =0

⇔_{6 sin}²x−_{7 sin}x−₅=_0.

Đặtt =sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

6t²−7t−5=0 ⇔(3t−5)(2t+1) = 0⇔





 t= ⁵

3 t= −1

2 .

Vì−1≤t≤1nênt=sinx= −1

2 ⇔







x= −_π

6 +k2π x= ^7π

6 +k2π

(k∈ _Z).

VÍ DỤ 4. Giải phương trình:4 sin⁴x+_{5 cos}²x−₄ =0. ĐS:







x = −_π 2 +kπ x = −π

6 +kπ x = ^π

6 +kπ

(k ∈ _Z)

L Lời giải

4 sin⁴x+5 cos²x−4=0 ⇔4 sin⁴x+5(1−sin²x)−4=0

⇔4 sin⁴x−5 sin²x+1=0.

Đặtt =sin²x(0≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−5t+1 =0⇔ (4t−1)(t−1) = 0⇔



 t = ¹

4 t =1.

Vì0≤t≤1nên





t =sin²x= ¹ 4 t =sin²x=1

⇔





t=sinx=±¹ 2 t=sinx=±1

⇔







x = −π 2 +kπ x = −_π

6 +kπ x = ^π

6 +kπ

(k∈ _Z).

VÍ DỤ 5. Giải phương trình:cos 4x+12 sin²x−1=0. ĐS: x=kπ(k ∈ _Z) L Lời giải

cos 4x+12 sin²x−1=0 ⇔cos²2x−sin²2x+12 sin²x−1=0

⇔(_cos²x−_sin²x)²−_{4 sin}²xcos²x+_{12 sin}²x−₁ =₀

⇔(1−2 sin²x)²−4 sin²x(1−sin²x) +12 sin²x−1=0

⇔1−4 sin²x+4 sin⁴x−4 sin²x+4 sin⁴x+12 sin²x−1=0

⇔8 sin⁴x+4 sin²x =0.

Đặtt =sin²x(0≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

8t²+4t=0⇔_4t(2t+1) =0⇔



 t=0 t= −1

2 .

Vì0≤t≤₁nênt=_sin²x =₀ ⇔x =kπ(k∈ _Z).

VÍ DỤ 6. Giải phương trình:−¹

2tan²x+ ² cosx −⁵

2 =0. ĐS:





 x = ^π

3 +k2π x = −_π

3 +k2π

(k ∈ _Z)

L Lời giải

Điều kiện:cosx6=0⇔x 6= ^π

2 +kπ(k∈ _Z). Ta có:

−¹

2tan²x+ ² cosx −⁵

2 =0 ⇔ − ^sin

2 cos²x + ^{4 cos}^x

2 cos²x −^{5 cos}

2x 2 cos²x =0.

⇔cos²x−1+4 cosx−5 cos²x =0

⇔4 cos²x−4 cosx+1=0

⇔(2 cosx−1)²=0

⇔cosx = ¹ 2

⇔





 x = ^π

3 +_k2π x = −π

3 +k2π

(k ∈_Z).

So sánh hai nghiệm với điều kiện thỏa mãn. Vậy





 x = ^π

3 +k2π x = −_π

3 +k2π

(k ∈_Z).

2

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

2 sin²x−sinx−1=0. ĐS:







x= −π

6 +k2π x= ^7π

6 +k2π x= ^π

2 +k2π

(k∈ Z) 1

4 sin²x+12 sinx−7=0. ĐS:





 x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 2

2√

2 sin²x−(2+√

2)sinx+1 =0. ĐS:





 x= ^π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +kπ

(k∈ _Z) 3

−2 sin³x+sin²x+2 sinx−1=0. ĐS:







x= −_π 2 +kπ x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 4

2 cos²x−3 cosx+1 =0. ĐS:







x=k2π x= −_π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 5

2 cos²x+3 cosx−2 =0. ĐS:







x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 6

2 cos²x+ (√

2−2)cosx =√

2. ĐS:







x=k2π x= −3π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π

(k∈ _Z) 7

4 cos²x−2(√ 3−√

2)cosx =√

6. ĐS:







x= −3π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π x= −_π

6 +k2π x= ^π

6 +k2π

(k∈ _Z) 8

tan²x+2√

3 tanx+3=0. ĐS: x= −π

3 +kπ(k∈ _Z) 9

2 tan²x−2√

3 tanx−3=0. ĐS:







x =arctan

√3−3 2 +kπ x =_arctan

√3+3 2 +kπ

(k∈ _Z) 10

tan²x+ (1−√

3)tanx−√

3=0. ĐS:







x= −π 4 +kπ x= ^π

3 +kπ

(k∈ _Z) 11

3 cot²x+2√

3 cotx+1=0. ĐS: x= −_π

3 +kπ(k∈ _Z) 12

√3 cot²x−(₁+√

3)_cotx+₁=0. ĐS:





 x= ^π

4 +kπ x= ^π

3 +kπ

(k∈ _Z) 13

√3 cot²x+ (1−√

3)cotx−1=0. ĐS:





 x= ^π

4 +kπ x= −_π

3 +kπ

(k∈ _Z) 14

Lời giải.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−t−₁=₀⇔(2t+₁)(t−₁) =₀⇔





t= −1 2 t=1.

Vì−₁≤t≤₁nên





t=sinx= −1 2 t=sinx=1

⇔







x= −π

6 +k2π x= ^7π

6 +k2π x= ^π

2 +k2π

(k∈ _Z). 1

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²+12t−7 =0 ⇔(2t+7)(2t−1) = 0⇔







t = −7 2 t = ¹

Vì−1≤t≤1nên t=sinx = ¹ 2 ⇔





 x = ^π

6 +k2π x = ^5π

6 +k2π

(k ∈ _Z). 2

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2√

2t²−2t−√

2t+1 =0⇔ (2t−1)(√

2t−1) = 0⇔





 t = ¹

2 t =

√2 2 .

Vì−1≤t≤1nên







t=sinx= ¹ 2 t=sinx=

√2 2

⇔





 x= ^π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +kπ

(k∈ _Z). 3

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

−2t³+t²+2t−1=0⇔(−t+1)(t+1)(2t−1) = 0⇔





 t=1 t=−1 t= ¹

Vì−1≤t≤1nên







t=sinx=1 t=sinx=−1 t=sinx= ¹

⇔







x = −π 2 +kπ x = ^π

6 +k2π x = ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z). 4

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−3t+1=0⇔(t−1)(2t−1) =0⇔



 t=1 t= ¹ 2.

Vì−1≤t≤1nên





t=_cosx =₁ t=cosx = ¹ 2

⇔







x=k2π x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z). 5

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²+3t−₂=0⇔(t+2)(2t−₁) = 0⇔





t =−2 t = ¹

Vì−1≤t≤1nên t=cosx= ¹ 2 ⇔







x = −π

3 +k2π x = ^π

3 +k2π

(k∈ _Z). 6

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²+√

2t−2t−√

2=0⇔(t−1)(2t+√

2) =0⇔



 t=1 t= −√

2 2 .

Vì−1≤t≤1nên





t=cosx =1 t=cosx = −√

2 2

⇔







x=k2π x= −_3π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π

(k∈ _Z). 7

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−₂√

3t+₂√

2t−√

6=₀⇔(2t+√

2)(2t−√

3) =₀⇔







t= −√ 2 2 t=

√3 2 .

Vì−1≤t≤1nên







t=cosx = −√ 2 2 t=cosx =

√3 2

⇔







x= −_3π

4 +k2π x= ^3π

4 +k2π x= −π

6 +k2π x= ^π

6 +k2π

(k∈ _Z). 8

Đặtt=tanx(x 6= ^π

2 +kπ,k ∈_Z). Khi đó, phương trình trở thành:

t²+2√

3t+3 =0 ⇔(t+√

3)² =0⇔t=−√ 3 Vớix 6= ^π

2 +kπ,k∈ _{Z, ta có}t =_tanx =−√

3 ⇔x = −_π

3 +kπ(k ∈_Z). 9

Đặtt=tanx(x 6= ^π

2 +kπ,k ∈_Z). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−₂√

3t−₃=0⇔ _t−

√3 2

= ⁹ 4 ⇔





 t =

√3−₃ 2 t =

√3+3 2 .

Vớix 6= ^π

2 +kπ,k∈ _Z, ta có







t=tanx=

√3−3 2 t=tanx

√3+3 2

⇔







x =arctan

√3−3 2 +kπ x =arctan

√3+3 2 +kπ

(k ∈_Z). 10

Đặtt=tanx(x 6= ^π

2 +kπ,k ∈_Z). Khi đó, phương trình trở thành:

t²+t−√

3t−√

3 =0 ⇔(t+1)(t−√

3) = 0⇔

t=−1 t=√

Vớix 6= ^π

2 +kπ,k∈ _{Z, ta có}

t =tanx =−1 t =_tanx =√

3 ⇔







x = −_π 4 +kπ x = ^π

3 +kπ

(k ∈_Z). 11

Đặtt=_cotx(x6=kπ,k∈ _Z). Khi đó, phương trình trở thành:

3t²+2√

3t+1 =0 ⇔(√

3t+1)² =0⇔t= −√ 3 3 . Vớix 6=kπ,k∈ _{Z, ta có}t=_cotx= −√

3 ⇔x = −_π

3 +kπ(k∈ _Z). 12

Đặtt=cotx(x6=kπ,k∈ _Z). Khi đó, phương trình trở thành:

√

3t²−t−√

3t+1=0⇔(t−1)(√

3t−1) =0⇔



 t=1 t=

√3 3 .

Vớix 6=kπ,k∈ _{Z, ta có}





t=cotx =1 t=cotx =

√3 3

⇔





 x = ^π

4 +kπ x = ^π

3 +kπ

(k ∈_Z). 13

Đặtt=_cotx(x6=kπ,k∈ _Z). Khi đó, phương trình trở thành:

√3t²+t−√

3t−₁ =₀⇔ (t−₁)(t√

3+₁) = ₀⇔



 t =1 t = −√

3 3 .

Vớix 6=kπ,k∈ _{Z, ta có}





t=cotx =1 t=cotx = −√

3 3

⇔





 x = ^π

4 +kπ x = −_π

3 +kπ

(k ∈_Z). 14

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau

6 cos²x+5 sinx−2=0. ĐS:







x= −π

6 +k2π x= ^7π

6 +k2π

(k∈ _Z) 1

2 cos²x+5 sinx−4=0. ĐS:





 x= ^π

6 +k2π x= ^π

6 +k2π

(k∈ _Z) 2

3−_{4 cos}²_x=sinx(2 sinx+1). ĐS:





 x= ^π

2 +k2π x= −5π

6 +k2π x= −_π

6 +k2π

(k∈ _Z) 3

−_sin²_x−_{3 cos}_x+3=0. ĐS:x =k2π(k∈ _Z)

−2 sin²x−3 cosx+3=0. ĐS:







x=k2π x= ^π

3 +k2π x= −_π

3 +k2π

(k∈ _Z) 5

2 cos²2x+5 sin 2x+1=0. ĐS:







x= −5π 12 +kπ x= −π

12 +kπ

(k∈ _Z) 6

3 sin²x+2 cos⁴x−2=0. ĐS:







x=k2π x= −π

4 +kπ x= ^π

4 +kπ

(k∈ _Z) 7

4 sin⁴x+2 cos²x =7. ĐS:





 x= ^π

4 +kπ x= −_π

4 +kπ

(k∈ _Z) 8

4 cos⁴x=4 sin²x−1 ĐS:







x= −3π 4 +kπ x= ^3π

4 +kπ

(k∈ _Z) 9

4 sin⁴x+5 cos²x−4=0. ĐS:







x= −π

6 +k2π x= ^π

6 +k2π x=k2π

(k∈ _Z) 10

Lời giải.

Ta có:

6 cos²x+5 sinx−2=0 ⇔ −6 sin²x+5 sinx+4=0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành

−6t²+5t+4 =0 ⇔





 t= ⁴

3 t= −1

2 .

Vì−1≤t≤1nên t=sinx = −₁

2 ⇔







x = −π

6 +k2π x = ^7π

6 +k2π

(k ∈ _Z). 1

Ta có:

2 cos²x+5 sinx−4=0 ⇔2−2 sin²x+5 sinx−4=0

⇔2 sin²x−5 sinx+2=0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành

2t²−5t+2 =0 ⇔



 t=₂ t= ¹ 2.

Vì−1≤t≤1nên t=sinx = ¹ 2 ⇔





 x = ^π

6 +k2π x = ^π

6 +k2π

(k ∈ _Z). 2

Ta có:

3−_{4 cos}²x =_sinx(_{2 sin}x+₁) ⇔₃−₄(₁−_sin²x)−_{2 sin}²x−_sinx =₀

⇔_{2 sin}²_x−_sin_x−₁=0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−t−₁ =₀ ⇔



 t=1 t= −1

2 .

Vì−₁≤t≤₁nên





t=sinx1 t=sinx= −1

⇔





 x= ^π

2 +k2π x= −_5π

6 +k2π x= −π

6 +k2π

(k∈ _Z). 3

Ta có:

¯ sin²x−3 cosx+3 =0⇔cos²x−3 cosx+2=0.

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

t²−3t+2 =0 ⇔

t=2 t=_1.

Vì−1≤t≤1nên t=cosx=1⇔x =k2π(k ∈_Z). 4

Ta có:

−_{2 sin}²_x−_{3 cos}_x+₃ =₀⇔_{2 cos}²_x−_{3 cos}_x+₁=_0.

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−3t+1 =0 ⇔



 t=1 t= ¹ 2.

Vì−₁≤t≤₁nên





t=cosx =1 t=cosx = ¹ 2

⇔







x=k2π x= ^π

3 +k2π x= −π

3 +k2π

(k∈ _Z). 5

Ta có:

2 cos²2x+5 sin 2x+1=0 ⇔ −2 sin²2x+5 sin 2x+3=0.

Đặtt=sin 2x(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−5t−₃=₀⇔



 t=3 t= −1

2 .

Vì−1≤t≤1nên t=sin 2x = −1

2 ⇔







x = −5π 12 +kπ x = −_π

12 +kπ

(k ∈ _Z). 6

Ta có:

3 sin²x+2 cos⁴x−2=0⇔2 cos⁴x−3 cos²x+1=0.

Đặtt=cos²x(0≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−3t+1 =0 ⇔



 t=1 t= ¹ 2.

Vì0≤t≤1nên





t=cos²x =1 t=_cos²_x = ¹ 2

⇔





cosx =₁ cosx =±

√2 2

⇔







x =k2π x = −π

4 +kπ x = ^π

4 +kπ

(k ∈_Z). 7

Ta có:

4 sin⁴x+12 cos²x =7 ⇔_{4 sin}⁴_x−_{12 sin}²_x+5=0.

Đặtt=sin²x(0 ≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−12t+5=0⇔





 t = ¹

2 t = ⁵ 2.

Vì0≤t≤1nên t=sin²x = ¹

2 ⇔sinx=±

√2

2 ⇔





 x= ^π

4 +kπ x= −π

4 +kπ

(k∈ _Z). 8

Ta có:

4 cos⁴x=4 sin²x−1 ⇔4 cos⁴x+4 cos²x−3=0.

Đặtt=cos²x(0≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²+4t−3=0⇔





 t= ¹

2 t= −3

2 .

Vì0≤t≤1nên t=cos²x = ¹

2 ⇔cosx=±

√2

2 ⇔







x= −3π 4 +kπ x= ^3π

4 +kπ

(k∈ _Z). 9

Ta có:

4 sin⁴x+5 cos²x−4=0⇔4 sin⁴x−5 sin²x+1=0.

Đặtt=_sin²x(₀ ≤t≤₁). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−5t+1=0⇔



 t= ¹

4 t=1.

Vì0≤t≤1nên





t=sin²x = ¹ 4 t=sin²x =1

⇔





t=sinx= ¹ 2 t=sinx=1

⇔







x = −π

6 +k2π x = ^π

6 +k2π x =k2π

(k ∈ _Z). 10

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

2 cos 2x−_{8 cos}_x+5=0. ĐS:







x= −_π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 1

1+cos 2x =2 cosx. ĐS:





x=k2π x= −π

2 +kπ (k∈ _Z) 2

9 sinx+cos 2x=8. ĐS: x= ^π

2 +k2π(k∈ _Z) 3

2+cos 2x+5 sinx =0. ĐS:







x= −π

6 +k2π x= −5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 4

3 sinx+2 cos 2x =2. ĐS:







x =k2π x =_arcsin³

4 +_k2π x =−arcsin3

4 +_π+k2π

(k∈ Z) 5

2 cos 2x+8 sinx−₅=0. ĐS:





 x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 6

2 cos²2x+5 sin 2x+1=0. ĐS:







x= −_5π 12 +kπ x= −π

12 +kπ

(k∈ _Z) 7

5 cosx−2 sinx

2 +7 =0. ĐS:x =π+4kπ(k∈ _Z)

sin²x+cos 2x+cosx =2. ĐS:x =k2π(k∈ _Z)

cos 2x+cos²x−sinx+2=0. ĐS: x= ^π

2 +k2π(k∈ _Z) 10

Lời giải.

Ta có:

2 cos 2x−_{8 cos}x+₅=₀⇔_{4 cos}²x−_{8 cos}x+₃ =_0.

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−8t+3 =0 ⇔





 t= ³

2 t= ¹ 2.

Vì−1≤t≤1nên t=cosx= ¹ 2 ⇔







x = −_π

3 +k2π x = ^π

3 +k2π

(k∈ _Z). 1

Ta có:

1+cos 2x =_{2 cos}x ⇔_{2 cos}²x−_{2 cos}x =_0.

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−2t =0 ⇔

t=₀ t=1.

Vì−1≤t≤1nên

t =cosx =0 t =cosx =1 ⇔





x=k2π x= −π

2 +kπ (k∈ _Z). 2

Ta có:

9 sinx+cos 2x =8⇔ −2 sin²x+9 sinx−7 =0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−9t+7=0⇔





t =₁ t= ⁷

2. Vì−1≤t≤1nên t=sinx =1⇔x = ^π

2 +k2π(k∈ _Z). 3

Ta có:

2+cos 2x+5 sinx=0⇔ −_{2 sin}²_x+5 sinx+3=0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−5t−3=0⇔



 t=3 t= −₁

2 .

Vì−1≤t≤1nên t=sinx = −1

2 ⇔







x = −_π

6 +k2π x = −_5π

6 +_k2π

(k ∈ _Z). 4

Ta có:

3 sinx+2 cos 2x=2⇔ −4 sin²x+3 sinx =0.

Đặtt=_sinx(−₁≤t≤₁). Khi đó, phương trình trở thành:

−4t²+3t =0 ⇔



 t=0 t= ³ 4.

Vì−1≤t≤1nên





t=sinx=0 t=_sinx= ³ 4

⇔







x=k2π x=arcsin3

4+k2π x=−arcsin3

4+π+k2π

(k ∈ _Z). 5

Ta có:

2 cos 2x+_{8 sin}x−₅=₀⇔ −_{4 sin}²x+_{8 sin}x−₃=_0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

4t²−8t+3 =0 ⇔





 t= ³

2 t= ¹ 2.

Vì−1≤t≤1nên t=sinx = ¹ 2 ⇔





 x = ^π

6 +k2π x = ^5π

6 +k2π

(k ∈ _Z). 6

Ta có:

2 cos²2x+5 sin 2x+1=0 ⇔ −2 sin²2x+5 sin 2x+3=0.

Đặtt=sin 2x(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t²−5t−3=0⇔



 t=₃ t= −₁

2 .

Vì−1≤t≤1nên t=sin 2x = −1

2 ⇔







x = −5π 12 +kπ x = −π

12 +kπ

(k ∈ _Z). 7

Đặty= ^x

2. Khi đó, phương trình trở thành:

5 cos 2y−2 siny+7=0⇔ −10 sin²y−2 siny+12=0.

Đặtt=siny(−1 ≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

10t²+2t−₁₂=0⇔



 t =1 t = −6

5 . Vì−1≤t≤1,y= ^x

2 nênt=sin x

2 =1⇔x =π+4kπ(k∈ _Z). 8

Ta có:

sin²x+cos 2x+cosx=2 ⇔1−cos²x+2 cos²x−1+cosx−2=0

⇔cos²x+cosx−2=0.

Đặtt=cosx(−1≤t ≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

t²+t−2=0⇔

t=−2 t=1.

Vì−1≤t≤1nên t=cosx=1⇔x =k2π(k ∈_Z). 9

Ta có:

cos 2x+cos²x−sinx+2=0 ⇔1−2 sin²x+1−sin²x−sinx+2=0

⇔_{3 sin}²x+_sinx−₄=_0.

Đặtt=sinx(−1≤t≤1). Khi đó, phương trình trở thành:

3t²+t−₄=₀⇔





t = −4 3 t =1.

Vì−1≤t≤1nên t=sinx =1⇔x = ^π

2 +k2π(k∈ _Z). 10

3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau:

3 cos²x−2 cos 2x =3 sinx−1. ĐS: x= ^π

2 +k2π(k∈ _Z) 1

cos 4x+_{12 sin}²x−₁=0. ĐS:x =kπ(k∈ _Z)

cos 4x−2 cos²x+1 =0. ĐS:







x=kπ x= −2π

3 +kπ x= −4π

3 +kπ

(k∈ _Z) 3

16 sin² x

2−cos 2x=15. ĐS:x =_π+2kπ(k∈ _Z)

cos 2x+2 cosx=2 sin² x

2. ĐS:







−5π

3 +k2π x= −π

3 +k2π

(k∈ _Z) 5

cos 2x−3 cosx=4 cos² x

2. ĐS:







x= −4π

3 +k2π x= −2π

3 +k2π

(k∈ _Z) 6

1+cos 4x−2 sin²x=0. ĐS:





 x= ^π

2 +kπ x= −π

6 +kπ x= ^π

6 +kπ

(k∈ _Z) 7

8 cos²x−cos 4x =1. ĐS:







x=±2 arctan

» 2√

3−3+k2π x=±2 arctan

…1

3(3+2√

3) +k2π

(k∈ _Z) 8

6 sin²3x−cos 12x=4. ĐS:







x= −_7π 12 + ^kπ

12 x= −π

12 +^kπ 12 9

5(1+cosx) =2+sin⁴x−cos⁴x. ĐS:







x= −2π

3 +k2π x= ^2π

3 +k2π

(k∈ _Z) 10

cos⁴x−sin⁴x+cos 4x=0. ĐS:







x= −π 2 +kπ x= −_π

6 +kπ x= ^π

6 +kπ

(k∈ _Z) 11

4(sin⁴x+cos⁴x) +cos 4x+sin 2x =0. ĐS: x= −_π

4 +kπ(k∈ _Z) 12

BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

cos

2x+^2π 3

+_{3 cos}x+^π 3

+₁=0. ĐS: x= −5π

6 +kπ(k∈ _Z) 1

cos²π 3 +x

+4 cosπ 6 −x

=4. ĐS: x= ^π

6 +k2π(k∈ _Z) 2

4 cos²(6x−₂) +_{16 cos}²(₁−3x) =13. ĐS:







x= ^π 18+¹

3 +^kπ 3 x= −π

18 +¹ 3 +^kπ

(k∈ _Z) 3

5 cos

2x+^π 3

=4 sin 5π

6 −x

−9. ĐS: x= ^π

3 +k2π(k∈ _Z) 4

sin

2x+^5π 2

−3 cos

x−^7π 2

=1+2 sinx. ĐS:







x=kπ x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ Z) 5

cos 2x−√

3 sin 2x−√

3 sinx+4=cosx. ĐS: x= ^π

3 +k2π(k∈ _Z) 6

√3 sin 2x+√

3 sinx+cos 2x−_cos_x=2. ĐS:







x= −5π 6 +kπ x=π+k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 7

cos²x+ ⁴ cos²x

cosx −cosx

=1. ĐS:







x=kπ x= −2π

3 +kπ x= ^2π

3 +kπ

(k∈ _Z) 8

sin²x+ ¹ sin²x

sinx+ ¹ sinx

=7. ĐS:







x= −π

6 +k2π x= ^7π

6 +k2π

(k∈ _Z) 9

cos²x+ ¹

cos²x +2=2

cosx+ ¹ cosx

. ĐS:x =k2π(k∈ _Z)

BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

cos²x =₃+_{2 tan}²x. ĐS:x =kπ(k∈ _Z)

cos²x +3 cot²x =5. ĐS:







x= −3π 4 +kπ x= −_π

4 +kπ x= −2π

3 +kπ x= −4π

3 +kπ

(k∈ _Z) 2

√3

sin²x =_{3 cot}_x+√

3. ĐS:







x= −π 2 +kπ x= −_5π

6 +kπ

(_k∈ _Z) 3

9−_{13 cos}_x+ ⁴

1+tan²x =0. ĐS:x =_k2π(_k∈ _Z)

2 tan²x+3= ³

cosx. ĐS:x =k2π(k∈ _Z)

−¹

2tan²x+ ² cosx −⁵

2 =0. ĐS:







x= −_π

3 +_k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 6

√3 sinx+cosx= ¹

cosx. ĐS:





x=kπ x= −2π

3 +kπ (k∈ _Z) 7

2 sin²x+tan²x =2. ĐS:







x= −3π 4 +kπ x= −_π

4 +kπ

(k∈ _Z) 8

BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau:

8 sinxcosx−cos 4x+₃=0. ĐS: x= −_π

4 +kπ(k∈ _Z) 1

2 sin²8x+6 sin 4xcos 4x =5. ĐS:x = ^π

16 +^kπ

4 (k∈ _Z) 2

cosx

1+sinx =1−sinx. ĐS:





x=k2π x= ^π

2 +k2π (k∈ _Z) 3

1−_cosx(_{2 cos}x+₁)−√ 2 sinx

1−cosx =1. ĐS:







x= −π

4 +k2π x= −3π

4 +k2π

(k∈ Z) 4

3 sin 2x−2 sinx

sin 2xcosx =2. ĐS:







x=k2π x= −_π

3 +_k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 5

2 sin²x+3√

2 sinx−sin 2x+1

(sinx+cosx)² =−1. ĐS: x= −3π

4 +k2π(k∈ _Z) 6

2 cos 2x−8 cosx+7= ¹

cosx. ĐS:







x =k2π x = −π

3 +k2π x = ^π

3 +k2π 7

√3

cos²x +⁴+2 sin 2x sin 2x −2√

3 =2(cotx+1). ĐS:







x= −_π 3 +kπ x= −5π

6 +kπ

(k∈ _Z) 8

3 cos 4x+2 cos²x+3 =8 cos⁶x. ĐS:







x=kπ x= ^π

4 +kπ x= −π

4 +kπ

(k∈ _Z) 9

3 cosx−2=−3(1−cosx)cot²x. ĐS:







x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +_k2π x=−2 arctan√

5+k2π x=2 arctan√

5+k2π

(k∈ _Z) 10

sin 3x+cos 2x=1+2 sinxcos 2x. ĐS:







x=kπ x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 11

2 cos 5xcos 3x+sinx=cos 8x. ĐS:





 x= ^π

2 +k2π x= −5π

6 +k2π x= −_π

6 +k2π

(k∈ _Z) 12

4(sin⁶x+cos⁶x) =4 sin 2x. ĐS:







x=−2 arctan 3

2 +¹ 2

√

15±^»2(4+√ 15)

+k2π

x=−_{2 arctan} ³ 2 −

√15

2 ±

…1

2(4−√ 15)

+k2π

(k∈ _Z) 13

sin 4x+2=cos 3x+4 sinx+cosx. ĐS:







x=k2π x= ^π

6 +k2π x= ^5π

6 +k2π

(k∈ _Z) 14

BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau:

cos 2x−tan²x = ^cos

2x+_cos³x−₁

cos²x . ĐS:







x= ^2π

3 +k2π x= −2π

3 +k2π x=k2π

(k∈ _Z) 1

3 tan 2x− ³

cos 2x −^{2 tan}^x−2

1+tanx +4 cos²x =2. ĐS:x = −π 12 +^kπ

3 (k∈ _Z) 2

(2 tan²x−1)cosx =2−cos 2x. ĐS:







x=_π+k2π x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 3

2 cos²x+3 cosx−2 cos 3x =4 sinxsin 2x. ĐS:







x= −π 2 +kπ x= −_2π

3 +k2π x= ^2π

3 +k2π

(k∈ _Z) 4

4 sinx+3=2(1−sinx)tan²x. ĐS:







x= −5π

6 +k2π x= −π

6 +k2π

(k∈ _Z) 5

2 sin³x−3= (3 sin²x+2 sinx−3)tanx. ĐS:







x= −2π

3 +k2π x= ^2π

3 +k2π

(k∈ _Z) 6

5 sinπ 2 −x

−3(1−cosx)cot²x=2. ĐS:







x= −π

3 +k2π x= ^π

3 +k2π

(k∈ _Z) 7

3 sin²x+2 sinx−3

cotx +3=2 sin³x. ĐS:







x= −2π

3 +k2π x= ^2π

3 +k2π

(k∈ _Z) 8

5 sinx+^{cos 3x}+sin 3x

1+2 sin 2x =₃+_cosx. ĐS:







x =−_arcsin³

4 +π+k2π x =arcsin3

4 +k2π

(k∈ _Z) 9

√3

cos²x −tanx−2√

3=sinx

1+tanxtan x 2

. ĐS:







x= −2π 3 +kπ x= −_π

6 +kπ

(k∈ _Z) 10

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng tổng quát:asinx+bcosx=c,(a,b ∈_R\ {0}). (1) Phương pháp giải:

a²+b²<c², phương trình vô nghiệm.

a²+b²≥c², ta làm như sau:

Chia hai vế của(1)cho √

a²+b²,(1) ⇔ √ ^a

a²+b²sinx+ √ ^b

a²+b² cosx = √ ^c a²+b². (2)

Đặtcosα = √ ^a

a²+b²,sinα = √ ^b

a²+b²,α ∈ [0; 2π]. Ta có (2) ⇔ sinxcosα+cosxsinα = √ ^c

a²+b² ⇔ sin(x+_α) = √ ^c

a²+b², đây là phương trình ở dạng cơ bản.

Lưu ý: Hai công thức hay sử dụng là sinacosb±cosasinb =sin(a±b); cosacosb±sinasinb =cos(a∓b). Các dạng có cách giải tương tự

asinmx+bcosmx=c;

asinmx+bcosmx=csinnx+dcosnx, a²+b² =c²+d².

B VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

Trong tài liệu Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 67-87)