D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT
2√
2 sin 2x−cos 2x−7 sinx+4=2√
2 cosx. ĐS: π
6 +k2π, 5π
6 +k2π, arctan
√2 4
! +kπ 9
sin 2x−cos 2x+3 sinx−cosx=1. ĐS: π
6 +k2π,5π
6 +k2π 10
sin 2x+cos 2x−3 cosx+2=sinx. ĐS:±π
3 +k2π, π
2 +k2π,k2π 11
sin 2x+2 cos 2x =1+sinx−4 cosx. ĐS:±π
3 +k2π 12
2 sin 2x−cos 2x =7 sinx+2 cosx−4. ĐS: π
6 +k2π,5π
6 +k2π 13
2 sin x+π
3
−sin
2x−π 6
= 1
2. ĐS: π
2 +k2π,−π 3 +kπ 14
√2 sin
2x+π 4
=sinx+3 cosx−2. ĐS:±π
3 +k2π, π
2 +k2π,k2π 15
2−tanx cos
5x− π 4
= 1−tanx
√2 sinx. ĐS: π
12+kπ,5π
12 +kπ,−π 8 + kπ 16 2
√3(sin 2x−3 sinx) =2 cos2x+3 cosx−5. ĐS: 2π
3 +k2π, π
3 +k2π 17
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
cotx−tanx+4 sin 2x= 2
sin 2x. ĐS: π
3 +kπ,2π 3 +kπ 1
cotx−1= cos 2x
1+tanx +sin2x−1
2sin 2x. ĐS: π
4 +kπ 2
BÀI 9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH
sinu±sinv=2⇔
® sinu=1 sinv=±1 cosu±cosv=2⇔
® cosu =1 cosv =±1
sinu·sinv =1 ⇔
®sinu=1 sinv=1
®sinu=−1 sinv=−1
cosu. cosv =1 ⇔
®cosu=1 cosv=1
®cosu=−1 cosv=−1
sinu+sinv =−2⇔
®sinu =−1 sinv =−1 cosu+cosv =−2⇔
®cosu=−1 cosv=−1
sinu. sinv=−1⇔
®sinu =−1 sinv =1
® sinu =1 sinv =−1
cosu. cosv=−1⇔
®cosu=−1 cosv=1
® cosu=1 cosv=−1
B VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải các phương trình lượng giác sau 1 4 cos2x+3 tan2x−4√
3 cosx+2√
3 tanx+4 =0. ĐS:x = π
6 +kπ;x =−π
6 +l2π.
2 4 cos2x−4 cosx+3 tan2x−2√
3 tanx+2=0. ĐS: x= π
3 +k2π; x=−π
3 +k2π;
x= π 6 +lπ.
L Lời giải
1 4 cos2x+3 tan2x−4√
3 cosx+2√
3 tanx+4=0 (1). Điều kiệncosx 6=0.
Khi đó
(1) ⇔ (2 cosx−√
3)2+ (√
3 tanx−1)2=0
⇔
"
2 cosx−√ 3=0
√3 tanx=1
⇔
x = π
6 +kπ x =−π
6 +l2π.
Vậyx = π
6 +kπ;x =−π
6 +l2π.
2 4 cos2x−4 cosx+3 tan2x−2√
3 tanx+2=0 (2) Điều kiệncosx 6=0.
Khi đó
(2) ⇔ (2 cosx−1)2+ (√
3 tanx−1)2=0
⇔
"
2 cosx−1=0
√
3 tanx=1
⇔
x = π
3 +k2π x =−π
3 +k2π x = π
6 +lπ.
Vậyx = π
3 +k2π;x =−π
3 +k2π; x = π 6 +lπ.
VÍ DỤ 2. Giải các phương trình lượng giác sau
1 cosxcos 2x =1. ĐS:x =lπ
2 sinxsin 3x =−1. ĐS:x = π
2 +kπ L Lời giải
1 cosxcos 2x=1⇔
®cosx =1 cos 2x =1
®cosx =−1 cos 2x =−1
⇔
®x =k2π x =lπ
x=π+2mπ x= π
2 +nπ
⇔ x=lπ.
2 sinxsin 3x = −1 ⇔
®sinx =1 sin 3x=−1
®sinx =−1 sin 3x=1
⇔
x= π
2 +k2π x= −π
6 + 2lπ 3
x= −π
2 +2mπ x= π
6 + n2π 3
⇔
x= π
2 +k2π x= −π
2 +2mπ
⇔ x =
π 2 +kπ.
VÍ DỤ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:tan2x+cot2x=2 sin5
x+ π 4
. L Lời giải
Điều kiệnsin 2x 6=0.
Ta có
tan2x+cot2x ≥2 2 sin5
x+ π 4
≤2 ⇔
tan2x+cot2x =2 2 sin5
x+π 4
=2. (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy ra khi:tanx =cotx.
Khi đó(1) ⇔
tanx =cotx sin
x+π 4
=1 ⇔x= π
4 +k2π.
VÍ DỤ 4. Tìm tham sốmđể các phương trình sau có nghiệm
1 cos(2x−15◦) = 2m2+m. ĐS:−1≤m≤ 1
2
2 mcosx+1=3 cosx−2m. ĐS:m∈
−4;2 3
3 (4m−1)sinx+2=msinx−3. ĐS:m∈
−∞; −4 3
∪[2;+∞)
L Lời giải
1 Để phương trìnhcos(2x−15◦) =2m2+mcó nghiệm thì
®2m2+m≥ −1
2m2+m≤1 ⇔ −1≤m ≤ 1 2. 2 mcosx+1=3 cosx−2m (2)
Vớim=3thì1trở thành1=−6(vô lý). Suy ram=3không thỏa yêu cầu đề bài.
Vớim6=3
Khi đó(1) ⇔cosx = −2m−1 m−3 (2). Để(2)có nghiệm thì
−2m−1 m−3 ≤1
−2m−1
m−3 ≥ −1
⇔
−3m+2 m−3 ≤0
−m−4 m−3 ≥0
⇔
m∈
−∞;2 3
∪(3;+∞) m∈ [−4; 3)
⇔
m∈
−4;2 3
.
3 (4m−1)sinx+2 =msinx−3 (3) Vớim = 1
3 thì(3)trở thành2 =−3 . (vô lý) Suy ram = 1
3 không thỏa yêu cầu đề bài.
Vớim 6= 1
3 thì(3) ⇔sinx = −5
3m−1. (4) Để(4)có nghiệm thì
−5
3m−1 ≤1
−5
3m−1 ≥ −1
⇔
−3m−4 3m−1 ≤0 3m−6
3m−1 ≥0
⇔
m∈
−∞; −4 3
∪ 1
3;∞
m∈
−∞;1 3
∪[2;+∞)
⇔m∈
−∞; −4 3
∪[2;+∞).
VÍ DỤ 5. Cho phương trìnhcos 2x−(2m+1)cosx+m+1=0 1 Giải phương trình khim= 3
2. ĐS:x = −π
3 +2kπ 2 Tìm tham sốmđể phương trình có nghiệm nằm trong khoảng
π 2; 3π
2
. ĐS:
m ∈ [−1; 0) L Lời giải
1 Vớim= 3
2 thì phương trình trở thành2 cos2x−4 cosx+3
2 =0. Ta có 2 cos2x−4 cosx+3
2 =0 (1.1)
⇔
cosx = 3 2 cosx = 1 2
(1.2)
⇔ cosx= 1
2 (1.3)
⇔
x= π
3 +2kπ x= −π
3 +2kπ.
(1.4)
2 cos 2x−(2m+1)cosx+m+1=0⇔2cos2x−(2m+1)cosx+m=0. (1) Đặtt=cosxkhix∈
π 2;3π
2
thìt∈ [−1; 0). (1)trở thành2t2−(2m+1)t+m=0. (2) Để phương trình(1)có nghiệm nằm trong khoảng
π 2;3π
2
thì phương trình(2)có nghiệm nằm trong khoảngt ∈ [−1; 0).
Mà2t2−(2m+1)t+m =0⇔ (2t−1)(t−m) =0⇔
t= 1
2 t=m.
Do đóm ∈ [−1; 0).
C BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau 2 sin2x+3 tan2x−6 tanx−2√
2 sinx+4=0. ĐS:x = π
4 +k2π 1
cos2xtan24x+1+sin 2x =0. ĐS: x= −π
4 +lπ 2
Lời giải.
2 sin2x+3 tan2x−6 tanx−2√
2 sinx+4=0 (1). Điều kiệncosx 6=0.
Khi đó(1) ⇔(√
2 sinx−1)2+ (√
3 tanx−√
3)2=0⇔
sinx=
√2 2 tanx=1
⇔x = π
4 +k2π.
1
cos2xtan24x+1+sin 2x =0 (1). Điều kiệncos 4x 6=0.
Khi đó
(1) ⇔ (cosx·tan 4x)2+ (sinx+cosx)2 =0
⇔
®cosx·tan 4x=0 cosx+sinx =0
⇔
"
cosx =0 sin 4x =0 sin
x+ π 4
=0
⇔
x = π
2 +kπ x = mπ
4 x= −π
4 +lπ
⇔ x= −π 4 +lπ.
2
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau
sin 2xcos 4x=1. ĐS: x= −π
4 +k2π
1 cos 2xcos 6x =1. ĐS:x = kπ
2 2 Lời giải.
sin 2xcos 4x=1⇔
®sin 2x=1 cos 4x=1
®sin 2x=−1 cos 4x=−1
⇔x = −π
4 +k2π.
1
cos 2xcos 6x=1⇔
®cos 2x=1 cos 6x=1
®cos 2x=−1 cos 6x=−1
⇔x = kπ 2 2
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau
2 cosx+√
2 sin 10x =3√
2+2 cos 28xsinx. ĐS:x = π
4 +kπ 1
2 sin 5x+cos 4x =3+cot2x. ĐS:x = π
2 +k2π 2
Lời giải.
2 cosx+√
2 sin 10x=3√
2+2 cos 28xsinx ⇔2 cosx−2 sinxcos 28x =3√ 2−√
2 sin 10x.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakowski cho vế trái ta được.
(2 cosx−2 sinxcos 28x)2≤4+4 cos228x ≤8⇒2 cosx−2 sinxcos 28x≤2√
2 (1) Mặt khác3√
2−√
2 sin 10x ≥3√ 2−√
2 =2√
2 (2). Từ(1)và(2)Dấu “=”xảy ra khi
® cos228x =1
sinxcos 28x =−sinx ⇔x = π
4 +kπ, k ∈Z.
1
2 sin 5x+cos 4x =3+cot2x Ta có
®2 sin 5x ≤2
cos 4x ≤1+cot2x. Do đó
2 sin 5x+cos 4x =3+cot2x
⇔
® sin 5x =1
cos 4x=1+cot2x
⇔
x= π
10+k2π 5 (1) cos 4x= 1
sin2x (2)
(2) ⇔ sin2xcos 4x=1
⇔ (1−cos 2x)cos 4x=2
⇔ (1−cos 2x)2 cos22x−1=2
⇔ 2 cos22x−1−2 cos32x+cos 2x−2=0
⇔ −2 cos32x+2 cos22x+cos 2x−3=0
⇔ −2(cos 2x+1)
cos22x−2 cos 2x+3 2
=0
⇔ cos 2x =−1
⇔ x= π
2 +kπ (3) Từ(1)và(3)ta được x= π
2 +k2π,k∈ Z.
2
BÀI 4. Tìm giá trị của tham sốmđể phương trình sau đây có nghiệm
m2+m
cos 2x =m2−m−3+m2cos 2x. ĐS:m ∈ [−√
3;−1]∪[√ 3; 3] 1
msinx+2 cosx=1. ĐS:m∈ R
2
mcos 2x+ (m+1)sin 2x=m+2. ĐS:m∈ (−∞;−1]∪[3;+∞) 3
Lời giải.
m2+m
cos 2x =m2−m−3+m2cos 2x ⇔mcos 2x=m2−m−3.
Xétm =0khi đó ta được0=3(vô lý).
Xétm 6=0⇔cos 2x= m
2−m−3
m .
Vì−1≤cos 2x ≤1⇔ −1≤ m
2−m−3
m ≤1.
Xét
m2−m−3
m ≥ −1 (1) m2−m−3
m ≤1 (2) (1) ⇔ m
2−3
m ≥0 ⇔m∈ [−√
3; 0)∪[√
3;+∞). (2) ⇔ m
2−2m−3
m ≤0⇔m∈ (−∞;−1]∪(0; 3]. Vậym∈ [−√
3;−1]∪[√ 3; 3]. 1
msinx+2 cosx=1⇔ √ m
m2+4sinx+√ 2
m2+4cosx = √ 1 m2+4. Đặtcosa= √ m
m2+4 ⇒sina= √ 2 m2+4. Ta được
cosa·sinx+sina·cosx = √ 1 m2+11
⇔ sin(x+a) = √ 1 m2+11
⇔
x =−a+arcsin√ 1
m2+11+k2π x =−a+π−arcsin√ 1
m2+11+k2π.
Vậy phương trình có nghiệm∀m∈ R 2
mcos 2x+ (m+1)sin 2x=m+2 (1) Điều kiện
m2+m2+12
≥m2+22
⇔ m2−2m−3≥0
⇔ m∈ (−∞;−1]∪[3;+∞). Khi đó(1) ⇔ p m
m2+ (m+1)2cos 2x+ m+1
pm2+ (m+1)2 sin 2x = m+2 pm2+ (m+1)2. Đặtsina= p m
m2+ (m+1)2 ⇒cosa= m+1 pm2+ (m+1)2. Ta được
sinacos 2x+cosasin 2x = m+2 pm2+ (m+1)2
⇔ sin(a+2x) = m+2 pm2+ (m+1)2
⇔
a+2x=arcsin m+2
pm2+ (m+1)2 +k2π a+2x=π−arcsin m+2
pm2+ (m+1)2 +k2π.
Vậym∈ (−∞;−1]∪[3;+∞)thì phương trình có nghiệm.
3
BÀI 5. Cho phương trìnhcos 4x+6 sinxcosx=m
Giải phương trình khim =1. ĐS:x = kπ
1 2
Tìm tham sốmđể phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạnh 0;π
4 i
.ĐS:2≤m< 17 2 8
Lời giải.
Khim=1ta được
cos 4x+6 sinxcosx=1
⇔ 1−2 sin22x+3 sin 2x−1=0
⇔ −2 sin22x+3 sin 2x=0
⇔
sin 2x =0 sin 2x= 3 2
⇔ x = kπ 2 . 1
Đặt f(x) =−2 sin22x+3 sin 2x+1vàg(x) =m.
Xét f(x) = −2 sin22x+3 sin 2x+1trênh 0;π
4 i. Suy ra0≤sin 2x ≤1.
Đặta =sin 2x ⇒0≤a≤1.
Xét f(a) =−2a2+3a+1trên[0; 1]. Bảng biến thiên
a
f(a)
0 3
4 1
1 1
17 8 17
8
2 2
Vậy f(x) = g(x)có hai nghiệm phân biệt khi2≤m < 17 8 . 2
D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau
4 sin2x+sin23x =4 sinxsin23x. ĐS:x =kπ;x= π
6 +k2π;x = 5π
6 +k2π 1
sin22x+2 sin 2x+ 1
cos2x +2 tanx+1 =0. ĐS:x = 3π
4 +kπ 2
−4 cos2x+3 tan2x+2√
3 tanx =4 sinx−6. ĐS:x = 5π
6 +k2π 3
8 cos 4xcos22x+√
1−cos 3x+1 =0. ĐS: x= 2π
3 +k2π;x = 3π
3 +k2π 4
sin2x+ sin
23x
3 sin 4x cos 3xsin3x+sin 3xcos3x
=sinxsin23x. ĐS:
x = π
6 +k2π;x= 5π
6 +k2π 5
BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau
cos2x−sin2xsin 5x+1=0. ĐS:x = π
2 +k2π 1
(cosx+sinx)(sin 2x−cos 2x) +2=0. ĐS: x=∅
2
sin 7x−sinx =2. ĐS: x=∅
3
cos 4x−cos 6x=2. ĐS:x = π
2 +kπ 4
sin3x+cos3x=1. ĐS:x =k2π;x = π
2 +k2π 5
sin5x−cos3x=1. ĐS:x =π+k2π;x = π
2 +k2π 6
BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau
tan 2x+tan 3x = −1
sinxcos 2xcos 3x. ĐS:x∈ ∅
1
(cos 2x−cos 4x)2 =6+2 sin 3x. ĐS:x = π
2 +k2π 2
sin4x−cos4x=|sinx|+|cosx|. ĐS:x = π
2 +kπ 3
cos23xcos 2x−cos2x=0. ĐS:x = kπ
4 2
cos 2x+cos3x
4 −2=0. ĐS: x=k2π
5
cos 2x+cos 4x+cos 6x=cosxcos 2xcos 3x+2. ĐS: x=kπ 6
BÀI 9. Tìm giá trị của tham sốmđể phương trình sau đây có nghiệm
msinxcosx+sin2x=m. ĐS:0≤m≤ 4
1 3
sinx−√
5 cosx+1=m(2+sinx). ĐS:−1≤m≤ 5
2 3
sin 2x+4(cosx−sinx) = m. ĐS:−1 ≤m≤5
3
2(sinx+cosx) +sin 2x+m=1. ĐS:−1 ≤m≤3
4
sin 2x−2√
2m(sinx−cosx) +1=4m. ĐS:−1 ≤m≤0
5
3 sin2x+msin 2x−4 cos2x=0. ĐS:m∈ R
6
(m+2)cos2x+msin 2x+ (m+1)sin2x =m−2. ĐS:m∈ (−∞;−2√
3)∪(2√
3;+∞) 7
sin2x+ (2m−2)sinxcosx−(1+m)cos2x =m. ĐS:−2 ≤m≤1 8
BÀI 10. Tìm tham sốmđể phương trìnhcos2x−cosx+1=mcó nghiệm∀x ∈ h0; π 2 i
. ĐS:
3
4 ≤m ≤1
BÀI 11. Tìm tham sốmđể phương trình2 sinx+mcosx =1−mcó nghiệm∀x ∈ h−π 2; π
2 i.ĐS:
−1≤m≤3
BÀI 12. Tìm tham số m để phương trình 2 cos 2x+ (m+4)sinx = m+2 có 2 nghiệm ∀x ∈ h−π
2; π 2
i. ĐS:−4≤m≤4