(1)Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7

(1)

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7

---***---

CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :

+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;

+Quy tắc dấu ngoặc;

+Quy tắc chuyển vế;

+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng …

2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :

a) a² + 2a.b + b² = (a + b)² ; b) a² - 2a.b + b² = (a - b)² ; c) (a - b).(a + b) = a² - b² . Thật vậy :

a) a² + 2ab + b² = (a.a + a.b) + (a.b + b.b)

= a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)

= (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)

= (a + b)².

* Các Công thức b)c) HS tự chứng minh. Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức đáng nhớ.

II. DẠNG TOÁN :

Dạng 1. Các phép toán :

+ Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất. Qua một số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những cách làm “đặc biệt “.

Câu 1. Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1

Tính tổng : ¹ ¹ ¹ ¹

1 1 1 1

P x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy

           

(HSG T.p HP – 1997)

+ Hướng dẫn giải :

(2)

2

- Ta có : ¹ ¹ ¹ ¹

1 1 1 1

P x xy xyz y yz yzt  z zt ztx t tx txy

           

¹

1 1 1 1

x xy xyz

x xy xyz x xy xyz xy xyz x xyz x xy

   

            ( nhân vào cả tử và mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )

1 1

x xy xyz x xy xyz

  

    = 1.

* Có thể làm theo cách khác như sau :

- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt a; b; c; d

x y z t

b c d a

    với a,b,c,d là các số thực khác 0 . Khi đó ta có :

Biểu thức P được biến đổi thành :

1 1 1 1

1 a a b. a b c. . 1 b b c. b c d. . 1 c c d. c d a. . 1 d d a. d a b. . b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c

  

           

1 1 1 1

1 a a a 1 b b b 1 c c c 1 d d d

b c d c d a d a b a b c

   

           

1.

bcd acd abd abc

bcd acd abd abc acd abd abc bcd abd abc bcd acd abc bcd acd abd bcd acd abd abc

bcd acd abd abc

   

           

  

   

Vậy P = 1. 

* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi bằng cách làm như trên (đặt a; b; c; d

x y z t

b c d a

    ).

+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( ^.

. A B B A C C ) . Kĩ năng tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó. Thật vây :

Câu 2. Tính : 1 ¹ 1 ¹ ... 1 ¹

1 2 1 2 3 1 2 3 ... 1986

A                 (BD HSG toán 8- T.77)

- Ta có : ( nhớ rằng  ¹

1 2 3 ...

2 n n n

     )

(3)

3

     

1 1 1

1 1 ... 1

1 2 1 2 3 1 2 3 ... 1986

1 1 1

1 1 ... 1

2 2 1 3 3 1 1986 1986 1

2 2 2

1 1 ... 1

2.3 3.4 1986.1987 2 5 9 1987.1986 2

. . ....

3 6 10 1987.

A                

    

    

       

  

    

    

    

        

 

1986 4 10 27 1987.1986 2

. . .... ; (1)

6 12 20 1987.1986

 

Mặt khác :

1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988

= 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có :

 

4.1 5.2 6.3 1988.1985 . . ....

2.3 3.4 4.5 1986.1987 4.5.6...1988 (1.2.3...1985) (2.3.4...1986) (3.4.5...1987). A



1987.1988 1.2 2.3 .1986.1987



1988 994 1986.3 2979

  .

* Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là :

1 1 1

1 1 ... 1

1 2 1 2 3 1 2 3 ...

A n

    

                với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.

+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :

0) a^m = a.a.a…a (m thừa số );a⁰ = 1 ; a¹ = a.

1) a^m.aⁿ = a^{m + n}

2) a^m : aⁿ = a^{m – n} ( hay :

m

m n n

a a

a

  ) 3) (a^m)ⁿ = a^m.n

4) (a.b)ⁿ = aⁿ.bⁿ 5)

n n

n

a a

b b

  

  

6) a^-n = ¹_n

a

(4)

4

( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) Câu 3. Rút gọn : 2 .27 15.4 .9¹⁹ ₉ ₁₀ ₁₀⁹ ⁴

6 .2 12



 ( HSG quốc

gia – 1971)

- Ta có :

 

^ ^

18 3 6

19 9 4 19 3 18 9 6

9 10 10 19 9 10 20 18 9 2 6

2 .3 2.1 5.1.3

2 .27 15.4 .9 2 .3 5.2 .3 2 5.3 734 367

6 .2 12 2 .3 3 .2 2 .3 2.1 3.2 3 2 3.4 10206 5103

   

    

   

Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5⁵⁰ (NC&PT toán 7/T11)

- Ta có : 5.A = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + … + 5⁵¹ Do đó : 5.A - A = 5⁵¹ - 1 . Vậy A = ⁵⁵¹ ¹

4

 .

* NX : Với biểu thức A như trên người ta còn thường ra bài toán : Chứng minh rằng A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho 6 hoặc chứng minh A không là số nguyên. Các em hãy thử tìm lời ?

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hữu tỉ :

Câu 5. Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức :

a b c 0

b cc aa b

   .

Chứng minh rằng : ₂ ₂ ₂ 0

( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b 

   ( HSG toán 9 – 1999 – A )

+ Hướng dẫn giải : - Từ giả thiết suy ra :

  

2 2

a b c ab b ac c

b c a c a b a c a b

   

  

     , nhân hai vế với ¹

b c ta được :

   

2 2

( )2

a ab b ac c

b c a c a b b c

  

    

Tương tự :

     

2 2

2

1 cb c ab a

a c b c a b c a

  

   



     

2 2

2

1 ca a cb b

a c b c a b a b

  

   



Cộng theo cột hai vế của ba đẳng thức trên ta có ĐPCM.

Câu 6. Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :

^{a b a c}^^{b c}^ ^  ^ ^{b c b a}^^{c a}^ ^  ^ ^{c a c b}^^{a b}^ ^ ^^{a b}²^ ^^{b c}²^ ^^{c a}^² (Các bài toán chọn lọc …)

+ Hướng dẫn giải : - Ta có :

(5)

5

      

   ¹ ¹

a c b a b c

a b a c a b a c a b a c

  

   

      ;

Tương tự :

^{c a c b}^^{a b}^ ^  ^^{c a}^¹ ^^{c b}¹^ ^;^{b c b a}^^{c a}^ ^ ^^{b c}¹^ ^^{b a}^¹ Cộng theo từng vế các kết quả vừa tìm được , suy ra ĐPCM.

Dạng 3. Toán tìm x :

Câu 7. Tìm số hữu tỉ x , biết rằng : ⁴ ³ ² ¹

2000 2001 2002 2003 x x x x

   ( NC&PT toán 7 -tập 1)

- Ta cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một giá trị là 2 , được :

 

4 3 2 1

2000 2001 2002 2003

4 3 2 1

1 1 1 1

2000 2001 2002 2003

2004 2004 2004 2004

2000 2001 2002 2003 0

1 1 1 1

2004 0

2000 2001 2002 2003

x x x x

x

      

          

       

 

     

Vì ¹ ¹ ¹ ¹ 0

2000200120022003 ( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004.

* Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 + 2001 = 2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán.

Câu 8. Tìm x , biết : ^x-ab

a+b

x ac x bc

a b c a c b c

 

    

  với a b b;  c c;  a

+ Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :

x-ab 0

a+b

x ac x bc

a b c

a c b c

 

        

       

     

Quy đồng mẫu số trong từng dấu ngoặc rồi đặt thừa số chung ta được :

^x-ab-ac-bc ¹ ¹ ¹ ⁰

a b b c c a

   

    

 

Từ đó nếu ¹ ¹ ¹ 0

a bb cc a 

   thì x = ab + bc + ca ;

Nếu ¹ ¹ ¹ 0

a bb cc a 

   thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :

* Các bài

:1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;

44;45;47 - NC&PT toán 7.

1) Tính : ⁸ ²⁰⁷²⁰⁷

5 201201

 

(6)

6

2) Rút gọn phân số : ¹⁹⁹⁹

9995 ( TQ : ^199...99

99..995 ) (BD HSG toán 8- trang 73)

3) Tính :

1 1 1

2 3 ... 2002 2001 2000 1999 1

1 2 3 ... 2001

M

  



   

(HSG toán 6 T.p HP–

2002 – A)

4) Rút gọn : A = ¹ ¹ ¹ ... ¹ 1.22.33.4 2009.2010

5) Rút gọn : B = ¹ ¹ ¹ ... ¹

1.2.32.3.43.4.5 1998.1999.2000 ( HSG toán 6 T.p HP–

1999 – A) 6) Rút gọn :

2008 . 2006 ... 1

8 . 6

1 6 . 4

1 4 . 2

1    

 N

7) Biết xyz = 1 . Hãy tính tổng :

A = ⁵ ⁵ ⁵

1 1 1

x xy  y yz z zx

      ;( KQ = 5) (HSG toán 8 – 2001 – A)

8^*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992. Chứng minh rằng :

1992 1

1992 1992 1992 1

x y z

xy x  yz y xz z 

      ( BD HSG toán 8 –

trang 77) 9) Tính : a)

1 3 1 1

6 3 1 : 1

3 3 3

         

       

 

 

b)



⁶³^^3.6²^^{3 :13}³



c) ⁹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹

1090725642302012 6 2 ( HSG quận Ba Đình HN – 2005)

10) Tìm x,biết : ³¹⁵ ³¹³ ³¹¹ ³⁰⁹ 4 0

101 103 105 107

x x x x

   

     ( HSG q. Hoàn Kiếm HN

– 2004)

11) Tìm x , biết :

5 7

5 3

) 10 12

6 8

1 1 1

) 8 8 8

)

a x x

b x

a b c

c x b c c a a b

  

      

    

    

  

  

( HSG Quận 9 - T.p HCM –

2003) 12) TÍnh :

(7)

7 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 1999 2000 2001 2002 2003

1 1 1 1 1

) 1 1 1 1 ... 1

4 9 16 25 121

a A b B

             

      

            

( HSG Quận 9 - T.p HCM – 2003)

13) a)Tính :

1 1 1 2 2 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 5 3 3 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

b) Biết : 1³ + 2³ + 3³ + … + 10³ = 3025. TÍnh : S = 2³ + 4³ + 6³ + … + 20³. c) Cho

3 2 2

2

3 0, 25 4

x x xy

A x y

  

  . TÌm giá trị của A , biết x = ¹

2 và y là số nguyên âm lớn nhất.

( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) 14) Tìm x , biết : 3^x + 3^{x +1} + 3^{x + 2} = 117. ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )

15) Thực hiện phép tính :

111 3 1 2

1 .4 1,5 6 . 31 7 3 19 14

5 1 1 1:93

4 12 5

6 6 3

 

      

   

( HSG – Hà Tây – 2003 )

16) Thực hiện phép tính :

       

1 1 1

( )

a a b a c b b a b c c c b c a

     

( HSG quốc gia – 1963)

17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n :

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 n 1

         

      

      ( HSG quốc gia –

1978)

18) Cho a,b,c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng :

a) ¹ ¹ ¹ 1;

1 a ab1 b bc1 c ca 

     

b) a 1 ¹ b 1 ¹ c 1 ¹ a 1 ¹ b 1 ¹ c 1 ¹

b c a b c a

                   

       

        ( Toán tuổi thơ 2- số

51)

19) TÌm tất cả các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức :

3 2

b c a

a bb cc a 

   . ( Toán tuổi thơ 2- số

51)

(8)

8

20) Cho abc 0 và a + b + c 0. TÌm x , biết :

4 1

a b x a c x b c x x

c b a a b c

         

 

21) Cho x,y,z là các số khác không và x ¹ y ¹ z ¹

y z x

     . Chứng minh rằng : Hoặc x = y = z hoặc x²y²z² = 1.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI :

1) ⁸ ²⁰⁷²⁰⁷ ⁸ ²⁰⁷ ⁸ ⁶⁹ ...

5 201201 5 201 5 67

       

2)

3 3

4

3

2. 10 1

1999 2.10 1 2 2 1

9995 10 5 1 10 5

10. 10 2

  

 

  

   

   

3)

1 1 1

2 3 ... 2002 2001 2000 1999 1

1 2 3 ... 2001

M

  



   

Đặt A = ¹ ¹ ... ¹

2  3 2002 ;

B = ²⁰⁰¹ ²⁰⁰⁰ ¹⁹⁹⁹ ... ¹

1  2  3  2001 , ta có :

2000 1999 1 2002

( 1) ( 1) ... ( 1)

2 3 2001 2002

2002 2002 2002 2002 2 3 ... 2001 2002

1 1 1

2002 ...

2 3 2002

B       

    

 

     

Vậy ¹

2002 M A

 B 

* Tương tự ta có bài toán sau :

(9)

9

Bài toán : Tính giá trị của biểu thức:

a)

1 1 1 1

1 3 5 97 99

1 1 1 1 1

1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 A

    



    

.

b)

1 1 1 1 1

2 3 4 99 100

99 98 97 1

1 2 3 99

B

    



   

. Hướng dẫn:

a) Biến đổi số bị chia:

1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100

(1 ) ( ) ( ) ( )

99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51

            

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.

b) Biến đổi số chia:

100 1 100 2 100 3 100 99

1 2 3 99

100 100 100 100 1 2 3 99

1 2 3 99 1 2 3 99

1 1 1 1 1 1 1

100 100 99 1 100

2 3 99 2 3 99 100

   

    

   

           

   

   

              

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy ¹

B100. 4) Áp dụng đẳng thức : ¹ ¹ ¹

1 ( 1) aa a a

  ( a  0), ta có :

1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ... 2009.2010

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2009

... 1 .

1 2 3 2 4 3 2010 2009 2010 2010

   

           

5) Áp dụng kết quả : ¹ ¹ ¹ ¹

2 a a( 1) (a 1)(a 2) a a( 1)(a 2)

 

 

      

  , ta có :

1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 1998.1999.2000

1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 ... 1998.1999 1999.2000

   

 

        

1 1 1 1999.2000 2

2 2 1999.2000 2.1999.2000

  

   

 

6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : ¹ ¹ ¹

( 2) a a  

 , sau đó áp dụng kết quả nhận được vào giải bài toán.

* Chú ý : Từ kết quả các bài 4,5,6 ở trên ta rút ra một số quy luật ( Công thức ) sau đây :

1) ¹ ¹ ¹

( 1) 1

n n  n n

  .

(10)

10

2) ¹ ¹

( 1) 1

k k

n n n n

 

   

   .

3) ¹ ¹ ¹ ¹

( )

n n k k n n k

 

   

   .

4) ¹ ¹

( )

k

n n k n n k

 

  

   .

5) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹

2 (2n n 2) 4 (n n 1) 2 2n 2n 2 4 n n 1

   

       

       .

6) ¹ ¹ ¹ ¹

(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3

 

   

     .

7) ¹ ¹₂ ¹

.( 1) ( 1).

n n  n  n n

  .

8) ¹ ¹ ¹ ¹

2 a a( 1) (a 1)(a 2) a a( 1)(a 2)

 

 

      

 

(Trong đó: n k,  N^, n1)

7) Nhân lần lượt cả tử và mẫu mỗi phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = 1 , ta được :

 

5 5 5 5 5 5xy 5 1

1 1 1 1 1 1 1 5

x xy A x

x xy y yz z zx x xy xy x x xy x xy

         

              .

* Chú ý : Cũng có thể đặt như phần ví dụ mẫu.

8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy ra : xy ¹⁹⁹²

 z (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức được :

1992

1992 1992 1992 1

1992

1992 1992 1992 1

1 ( 1 ) 1

1

1 1 1

x y z

VT xy x yz y xz z

x y z

yz y xyz xz z z x

xz y z

xz z y z xz xz z

xz z

xz z z xz xz z xz z

xz z VP

  

     

  

   

 

  

     

  

     

 

  

 

9) a)

1 3 1 1 1 4 2 4 16 3 4

6 3 1 : 1 6. 1 1 : 2 : .

3 3 3 27 3 9 3 9 4 3

                       

           

 

 

b)



⁶³^^3.6²^^{3 :13}³



^^_⁶²^{6 3}^{ } ³³^_^:13^



^{2 .3 .3}² ² ²^^{3 :13}³



^^{3 3.2}³



²^^{1 :13}



^^{3 .13 :13}³ ^³³ ^²⁷

c)

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1090725642302012 6 2