Toán 10 Bài tập cuối chương 3 | Giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 3

A. Trắc nghiệm

Bài 3.12 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 135^o. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. 1

S ca.

2 B. S ²ac.

4 C. S ² bc.

4

D. S ²ca.

4

b)

A. a

R .

sin A B. R ²b.

2

C. R ²c.

2

D. R ²a.

2

c)

A. a² b² c² 2ab.

B. b a

sin A sin B.

C. sin B ². 2

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135^o. Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; B 135^o.

a) Diện tích tam giác ABC:

1 1 o 2

S ac.sin B ac.sin135 ac

2 2 4 .

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

a b c

sin A sin B sin C 2R

A. a

R sin A sai vì a R 2sin A

B. R ²b 2

Mà 2 b b 2

sin B R b

2 2sin B 2 2

2. 2

=  = = = .

Do đó B đúng.

C. R ²c

2 (loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. R ²a

2 (loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. a² b² c² 2ab.

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA Không đủ dữ kiện để suy ra: a² b² c² 2ab. Do đó A sai.

B. b a

sin A sin B.

Theo định lí sin, ta có: a b sin A sin B

Nên b a

sin A sin B. Do đó B sai.

C. 2 sin B

2 .

Vì theo câu a, 2 sin B

2 . Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*) Mà B 135=  cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o. Do đó D đúng.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. abc

S .

4r

B. 2S

r .

a b c

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sin A = sin(B + C).

B. cos A = cos(B + C).

C. cos A > 0.

D. sin A ≤ 0.

Lời giải:

a)

A. abc

S .

4r Ta có abc

S 4R . Mà r < R nên abc abc S 4R 4r . Do đó A sai.

B. 2S

r .

a b c

Ta có: S = pr  S r= p.

Mà a b c

p 2

= + +

S S 2S

r p a b c a b c

2

 = = + + = + + .

Do đó B đúng.

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

Sai vì theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² − 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

Sai vì a b c S pr r.

2

= = + + .

Chọn B.

b)

A. sinA = sin(B + C).

Ta có A+ + =B C 180^o B C 180o A

 + = −

 sin(B + C) = sin(180° – A) = sin A.

Do đó, đáp án A đúng.

B. cos A = cos(B + C).

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – A) = – cosA (do B+ =C 180^o −A).

C. cos A > 0.

∙ Nếu 0^o < ^A < 90^o thì cos A > 0.

∙ Nếu 90^o < ^A < 180^o thì cos A < 0.

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận.

D. sin A ≤ 0.

Ta có: 1

S bc.sin A 0

= 2 

Mà b, c > 0 nên sin A > 0.

Do đó D sai.

Chọn D.

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o;

b) ^{o o} 1 ^{o o}

N sin 60 .cos30 sin 45 .cos45

2 ;

c) P = 1 + tan² 60^o;

d) ₂1 _o ^{2 o}

Q cot 120 .

sin 120 Lời giải:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o Ta có: sin 45^o = cos 45^o = 2

2 ; sin 30^o = 1 2. Thay vào M, ta được:

M ². ^{2 1 1 1} 1

2 2 2 2 2 .

b) ^{o o} 1 ^{o o}

N sin 60 .cos30 sin 45 .cos45 2

Ta có: ^o 3

sin 60

= 2 ; ^o 3 cos30

= 2 ; 2

sin 45 cos45

 =  = 2 . Thay vào N, ta được:

N = ³. ^{3 1}. ². ^{2 3 1} 1 2 2 2 2 2 4 4 . c) P = 1 + tan²60^o

Ta có: tan 60^o = 3.

Thay vào P, ta được: P 1 3 ² 1 3 4.

d) ₂1 _o ^{2 o}

Q cot 120 .

sin 120

Ta có: ^o 3

sin120

= 2 ; cot120^{o 1} 3

= −

Thay vào Q, ta được:

Q

2 2

1 1

3 3 2

1 1 4 1

3 3 3 3 1 4

.

Bài 3.15 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 60 ,C^o 45 ,^o AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Theo định lí sin: a b c sin A sin B sin C 2R Ta có:

+ b

R =2sin B.

Mà b = AC = 10, B=60^o.

Nên 10 _o 10

R 2sin 60 3

2. 2

= =

10 10 3 3 3

= = .

+ a

R =2sin A  a = 2R. sin A.

Mà 10 3

R = 3 , A 180^o B C = 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.

Nên a = 2.10 3

3 . sin 75^o ≈ 11,15.

Diện tích tam giác ABC là:

1 1 o

S ab.sin C .11,15.10.sin 45 39, 42

2 2 (đvdt)

Khi đó:

+ c

R =2sin C 10 3 ^o 10 6

c .2.sin 45 8,16

3 3 .

+ a b c 5,58 10 8,165

p 14,66

2 2

+ + + +

=   .

+ S 48,3

r 2,69

p 14,66

=   .

Vậy a ≈ 11,15; 10 3

R = 3 , c ≈ 8,16, r ≈ 2,69.

Bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) cosAMB cosAMC 0;

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cosAMB và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos AMC;

c)

2 2 2

2 2 AB AC BC

MA 4 (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: AMB AMC 180^o

 AMC 180^o AMB

 cosAMB cos 180^o AMB cosAMC

 cosAMB cosAMC cosAMC cosAMC 0

Vậy cosAMB cosAMC 0 (đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cosAMB

 MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cosAMB (1) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cosAMC

 MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cosAMC (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cosAMB Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC² + 2MA.MC.cosAMC Cộng vế với vế, ta được:

2MA² = (AB² – MB² + 2MA.MB.cosAMB) + (AC² – MC² + 2MA.MC.cosAMC)

 2MA² = AB² + AC² – MB² – MC² + 2MA.MB.cosAMB + 2MA.MC.cos AMC

Mà BC

MB MC

2 (do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB² + AC² – BC 2

2

 

 

  – BC 2

2

 

 

  + 2MA.MB.cosAMB + 2MA.MB.cosAMC

 2MA² = AB² + AC² –

BC 2

2. 2

 

 

  + 2MA.MB.(cosAMB + cosAMC)

 2MA² = AB² + AC² – BC2

2



2

2 2

2

AB AC BC MA 2

2 + −

=



2

2 2

2

AB AC BC MA 2

2 + −

= (bỏ dòng này đi)



2 2 2

2 2 AB AC BC

MA 4 (công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²; b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²; c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a². Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

 b² + c² – a² = 2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0  2bccosA > 0 Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA > 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0  2bccosA < 0 Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0  2bccosA = 0 Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).

Bài 3.18 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Lời giải:

a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30 km/h nên quãng đường BC = 30t.

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50 km/h nên quãng đường AC = 50t.

Theo định lí sin, ta có: ^{a b} sin =sin ABC

 .

Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, B 124= ^o,  =BAC. Khi đó, 30t 50t _o

sin =sin124



o o

30t.sin124 3sin124

sin 0, 497

50t 5

  = = 

 α ≈ 30^o hoặc α ≈ 150^o (loại).

Do đó AC hợp với hướng bắc một góc 34^o + 30^o = 64^o. Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64^oE.

b) Xét tam giác ABC, ta có: A=30 ; ABC 124^o = ^o.

o o o o o

C 180 (A B) 180 (30 124 ) 26

 = − + = − + = .

Theo định lí sin, ta có:

a c

sin A =sin C c.sin A a sin C

 =

Mà a = BC = 30t, c = AB = 53, A= 30 ; C=26. Khi đó,

o o

53.sin 30 30t= sin 26

 30t ≈ 60

 t ≈ 2 (h)

Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B.

Bài 3.19 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Lời giải:

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD.

Hay OCD=ACD=45.

Ta có: CD = 27,4  AC = CD . ² = 27,4 . ² ≈ 38,75.

 OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31.

Xét tam giác OCD, áp dụng định lí côsin ta có:

OD² = CD² + CO² – 2.CD.CO. cos ACD .

Trong đó CD = 27,4; CO = 20,31; ACD=45 Khi đó: OD² = 27,4² + 20,31² – 2.27.20,31. cos45^

 OD² ≈ 376,255

 OD≈ 19,4 (m)

Xét ΔCOB và ΔCOD, có:

BC = CD (ABCD là hình vuông)

BCO=DCO=45 (CA là tia phân giác của góc BCD) Cạnh CO chung

Do đó ΔCOB = ΔCOD (c.g.c)

Suy ra OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng).

Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 khoảng 19,4 m.