LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2020
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG NĂM
2019-2020 LẦN 4
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Nghiệm của phương trình x2+ 4 = 0 trong tập số phức là
A. 2i; −2i. B. 1 +i; −1−i. C. 1−i; −1 +i. D. 4i; −4i.
Câu 2. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(α)có phương trình làx+ 2y+ 3z+ 4 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)?
A. #»n = (−1; 2; 3). B. #»n = (1;−2; 3). C. #»n = (1; 2;−3). D. #»n = (1; 2; 3).
Câu 3. Bảng biến thiên là của hàm số nào dưới đây?
x y0
y
−∞ −1 1 +∞
− 0 + 0 − +∞
+∞
0 0
4 4
−∞
−∞
A. y=x4−2x2−3. B. y=x3−3x+ 4. C. y=−x3+ 3x+ 2. D. y= x−1 2x−1. Câu 4. Tìm tọa độ điểmM biểu diễn số phứcz = (1 +i)10.
A. M(0;−23). B. M(−32; 0). C. M(0;−16). D. M(0; 32).
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho hai véc-tơ #»a = (3; 1; 2) và #»
b = (2; 0;−1). Khi đó 2#»a − #»
b có độ dài bằng
A. √
11. B. 3√
5. C. √
29. D. 5√
3.
Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm sốy= 1
3x3+ 2x2+ 3x−4 trên đoạn [−2; 0] là A. −16
3 . B. −4. C. −14
3 . D. −2.
Câu 7. Cho hình chóp có15 cạnh đáy. Tính số mặt của hình chóp đó.
A. 12. B. 16. C. 20. D. 10.
Câu 8. Từ một nhóm gồm 6học sinh, có bao nhiêu cách chọn ra 2học sinh?
A. 2. B. 6. C. 15. D. 30.
Câu 9. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
A. Vô số. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 10. Số nghiệm thực của phương trình (x2+ 5x−8)·ln(x−1) = 0 là
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 11. Nghiệm của phương trình log2(2x−1) = log2(3−x)là A. 3
4. B. 2. C. 1. D. 4
3.
Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào không là nguyên hàm của hàm sốf(x) =x3? A. x4
4 . B. 3x2. C. x4
4 −1. D. x4
4 + 1.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên vuông góc với đáy,SA=a√
3. Thể tích của khối chóp S.ABCDlà A. a3√
3
3 . B. a3
3√
3. C. a3
3. D. a3√
3.
Câu 14. Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có chiều cao bằng a và bán kính đáy bằnga√ 2.
Tính giá trị của V. A. 2
3πa3. B. √
6πa3. C. √
3πa3. D. πa3.
Câu 15. Trong không gianOxyz, cho mặt cầu (S) : (x+ 2)2+y2+ (z−1)2 = 9,(S) có tọa độ tâm I và bán kínhR là
A. I(4; 0;−2), R= 1. B. I(−2; 1; 0), R= 3. C. I(−2; 0; 1), R = 3. D. I(0; 2;−1), R= 9.
Câu 16. Cho hàm sốf(x) = 3x+ 1
1−x và các mệnh đề sau (I) Hàm số đồng biến trên khoảng(2; 3).
(II) Đồ thị của hàm số đi lên từ trái qua phải trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
(III) f(x)> f(2) với mọi xthuộc khoảng (2; +∞).
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 17. Giá trị cực đại của hàm số y=−x2−4 bằng
A. −2. B. −4. C. 4. D. 2.
Câu 18. Biểu thứclog2(sin12π) + log2(cos12π)có giá trị bằng A. log2√
3−1. B. 1. C. −1. D. −2.
Câu 19. Gọi n là số nghiệm thực của phương trình (z−2)(z−i) = 0. Tính n.
A. n = 1. B. n= 0. C. n= 2. D. n = 3.
Câu 20. Trong không gianOxyz, cho hai véc-tơ #»a = (1; 2; 2) và #»
b = (1; 2;−2). Khi đó #»a(#»a +#»
b) có giá trị bằng
A. 10. B. 4. C. 8. D. 18.
Câu 21. Căn bậc hai của−21 là A. −i√
21. B. √
21;−√
21. C. i√
21;−i√
21. D. i√ 21.
Câu 22. Cho hàm sốy= 1
2x4 −2x2+ 3. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. (−√ 2;√
2). B. (2; +∞). C. (−√
2; 0). D. (0;√ 2).
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình2x ≥2.
A. [1; +∞). B. (−∞; 1]. C. R. D. {0}.
Câu 24. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và f(1) = 2, f(4) = 10. Giá trị của I = Z 4
1
f0(x) dx là
A. I = 3. B. I = 48. C. I = 12. D. I = 8.
Câu 25. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= x
x−2 có phương trình là
A. x= 2, x=−2. B. x=−2. C. x= 0. D. x= 2.
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) :
x= 1 + 2t y = 7 +t z = 3 + 4t
và (d0) :
x= 6 + 3t y=−1−2t z =−2 +t
.
Chọn khẳng định đúng.
A. (d),(d0) song song nhau. B. (d),(d0) trùng nhau.
C. (d),(d0) cắt nhau. D. (d),(d0) chéo nhau.
Câu 27. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằnga. GọiS là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A0B0C0D0. Diện tích S là
A. √
3πa2. B. πa2. C.
√2
2 πa2. D. √
2πa2. Câu 28.
Đồ thị hàm số y= ax+b
cx+d có dạng như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. cd > 0. B. ab >0. C. bd <0. D. ac > 0.
x y
O
Câu 29. Biếtf(x)là hàm liên tục trênRvà
9
Z
0
f(x) dx= 9. Khi đó giá trị của
4
Z
1
f(3x−3) dxlà
A. 24. B. 3. C. 27. D. 0.
Câu 30. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác cân ABC với AB = AC = 2x, ABC[ = 120◦, AA0 = x
√3. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =x3. B. V = 9x3
8 . C. V = 3x3
16 . D. 4x3
3 .
Câu 31. Trong không gianOxyz, hình chiếu vuông góc của A(4;−3; 2) trên đường thẳng
(d) :
x=−2 + 3t y =−2 + 2t z =−t
là
A. M(1; 0;−1). B. M(1; 2;−1). C. M(−1; 0; 1). D. M(−1; 2; 1).
Câu 32. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD) bằng
A. 30◦. B. 90◦. C. 60◦. D. 45◦. Câu 33. Biết phương trình 2 log2x+ 3
log2x = 7có hai nghiệm x1 < x2. Tính giá trị của biểu thức T = (x1)x2.
A. T = 16. B. T = 8. C. T = 32. D. T = 64.
Câu 34.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = |x2 −4x+ 3| và y=x+ 3 (phần tô đậm trong hình vẽ).
A. 454
25 . B. 91
5 . C. 109
6 . D. 37
2 .
1 2 3 4 5 x
y
1 2 3 4 5 6 7 8
O
Câu 35. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn zz = 4 là đường tròn có bán kính bằng
A. 2. B. 8. C. 6. D. 4.
Câu 36. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2cây, hàng thứ ba có 3cây,... Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?
A. 79 hàng. B. 76hàng. C. 78hàng. D. 77 hàng.
Câu 37. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn logab= 3
2, logcd= 5
4. Nếua−c= 9 thì b−d nhận giá trị nào?
A. 76. B. 85. C. 71. D. 93.
Câu 38. Giả sử F(x) là một nguyên hàm củaf(x) = ln(x+ 3)
x2 sao cho F(−2) +F(1) = 0. Giá trị F(−1) +F(2) bằng
A. 10
3 ln 2− 5
6ln 5. B. 7
3ln 2. C. 0. D. 3
2ln 2 + 1 2ln 5.
Câu 39. Cho mặt cầu (S)có bán kính R = 5 cm. Mặt phẳng (P)cắt mặt cầu (S)theo giao tuyến là một đường tròn(C)có chu vi bằng8π cm. Bốn điểm A, B, C, Dthay đổi sao cho A,B, C thuộc
đường tròn (C), điểm D thuộc (S) và không thuộc đường tròn (C), tam giác ABC đều. Tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD.
A. 32√
3cm3. B. 20√
3 cm3. C. 60√
3 cm3. D. 96√ 3cm3.
Câu 40. Cho hàm sốy= (x−m)3−3x+m2, vớimlà tham số. M là điểm cực đại của hàm số ứng với giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ứng với một giá trị khác của m. Hỏi số điểm M có tính chất như vậy là bao nhiêu?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 41. Cho số thựcx thỏa mãn 2(2x+ 3) = (2x−1)2. Chọn mệnh đề đúng.
A. 0< x <1. B. 2< x <3. C. 1< x < 2. D. x >3.
Câu 42. Cho hàm sốy=x3−6x2+ 9x+mcó đồ thị (C),m là tham số. Giả sử đồ thị(C)cắt trục hoành tại3điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãnx1 < x2 < x3. Khẳng định nào sao đây đúng?
A. 0< x1 <1< x2 <3< x3 <4. B. 1< x1 <3< x2 <4< x3. C. 1< x1 < x2 <3< x3 <4. D. x1 <0<1< x2 <3< x3 <4.
Câu 43. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khoảng cách d giữa hai đường thẳngM N và AC0 là
A. d= a√ 2
4 . B. d=a. C. d= a√
2
2 . D. d= a
2. Câu 44. Tìm tập hợp các giá trị tham sốmđể phương trình4Ä√
2 + 1äx
+Ä√
2−1äx
=m có đúng hai nghiệm âm phân biệt.
A. (5; 6). B. (2; 4). C. (3; 5). D. (4; 5).
Câu 45. Cho hàm sốf(x) = x3+ax2+bx+c. Nếu phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt thì phương trình 2f(x)f00(x) = [f0(x)]2 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực?
A. 1 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. 2nghiệm. D. 3 nghiệm.
Câu 46. Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong3năm đầu tiên là6 triệu đồng/tháng. Tính từ ngày đầu tiên làm việc, cứ sau đúng 3năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ16 người đó nhận mức lương là bao nhiêu?
A. 6·(1,1)16 triệu đồng. B. 6·(1,1)6 triệu đồng.
C. 6·(1,1)5 triệu đồng. D. 6·(1,1)4 triệu đồng.
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y =x3 + (a+ 10)x2 −x+ 1 cắt trục hoành tại đúng một điểm?
A. 9. B. 10. C. 8. D. 11.
Câu 48. Trong hệ trục tọa độOxy, cho A(−2; 0), B(−2; 2),C(4; 2), D(4; 0). Chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ(x;y),xvày là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhậtABCD, kể cả các điểm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Gọi A là biến cố: “x, y đều chia hết cho 2”. Xác suất của biến cố A là
A. 2
3. B. 13
21. C. 8
21. D. 7
21.
Câu 49. Chox, y là hai số thực dương thỏa mãnlnx+ lny≥ln(x2+y). Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x+y.
A. 6. B. √
17 +√
3. C. 2√
2 + 3. D. 2 + 3√ 2.
Câu 50. Tìm tất cả các số thựca để đồ thị hàm số y= x−√ x2+ 1
√ax2+ 2 có tiệm cận ngang.
A.
a= 1 a= 4
. B. a≥0. C. a >0. D. a≤0.
ĐÁP ÁN
1. A 2. D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. A
10. C 11. D 12. B 13. A 14. A 15. C 16. A 17. B 18. D 19. A 20. A 21. C 22. D 23. A 24. D 25. D 26. C 27. D 28. A 29. B 30. A 31. A 32. A 33. A 34. C 35. A 36. D 37. D 38. A 39. A 40. C 41. B 42. A 43. B 44. B 45. C 46. C 47. B 48. C 49. C 50. D
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. x2+ 4 = 0⇔x2 =−4⇔x2 = 4i2 ⇔
x= 2i x=−2i.
Chọn đáp án A
Câu 2. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là #»n = (1; 2; 3).
Chọn đáp án D
Câu 3. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số là hàm bậc 3 với hệ số a <0.
Chọn đáp án C
Câu 4. z = (1 +i)10= (1 + 2i+i2)5 = (2i)5 = 32i⇒M(0; 32).
Chọn đáp án D
Câu 5. 2#»a − #»
b = 2(3; 1; 2)−(2; 0;−1) = (4; 2; 5).
2#»a − #»
b =√
42+ 22+ 52 = 3√ 5.
Chọn đáp án B
Câu 6. Xét hàm số y= 1
3x3 + 2x2+ 3x−4 trên đoạn [−2; 0].
y0 =x2+ 4x+ 3 = 0⇔
x=−1 x=−3(loại).
f(−1) =−16
3 , f(−2) =−14
3 , f(0) =−4.
Vậy max
x∈[−2;0]y=−4.
Chọn đáp án B
Câu 7. Hình chóp có 15 cạnh đáy thì có 15mặt bên và 1mặt đáy.
Vậy hình chóp có 16mặt.
Chọn đáp án B
Câu 8. Chọn 2 từ6 em học sinh cóC26 = 15 cách.
Chọn đáp án C
Câu 9. Có vô số mặt cầu chứa đường tròn cho trước.
Chọn đáp án A
Câu 10. Điều kiện xác định x >1.
(x2+ 5x−8)·ln(x−1) = 0⇔
x2+ 5x−8 = 0 ln(x−1) = 0
⇔
x= −5 +√ 57
2 (nhận)
x= −5−√ 57
2 (loại)
x= 2. (nhận)
Vậy x= −5 +√ 57
2 ; x= 2.
Chọn đáp án C
Câu 11. log2(2x−1) = log2(3−x)⇔
3−x >0 2x−1 = 3−x
⇔
x <3 x= 4 3
⇔x= 4 3.
Chọn đáp án D
Câu 12. Nguyên hàm của f(x) =x3 là F(x) = x4 4 +C.
Chọn đáp án B
Câu 13. Diện tích ABCD làSABCD =a2. Thể tíchV = 1
3SA·SABCD = 1 3a√
3a2 = a3√ 3 3 .
Chọn đáp án A
Câu 14. Thể tích V = 1
3h·S(đáy)= 1 3aπÄ
a√ 2ä2
= 2 3πa3.
Chọn đáp án A
Câu 15. Mặt cầu (S)có tâm I(−2; 0; 1)và bán kính R= 3.
Chọn đáp án C
Câu 16. Xét hàm số f(x) = 3x+ 1 1−x . Tập xác định D =R\ {1}.
f0(x) = 4
(1−x)2 >0,∀x∈D. Bảng biến thiên
x y0
y
−∞ 1 +∞
+ +
−3
−3
+∞
−∞
−3
−3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (I),(II),(III) đều đúng.
Chọn đáp án A
Câu 17. Xét hàm số y =−x2−4.
Tập xác định D =R. y0 =−2x= 0 ⇔x= 0.
Bảng biến thiên
x y0
y
−∞ 0 +∞
+ 0 −
−∞
−∞
−4
−4
−∞
−∞
Giá trị cực đại của hàm số yCĐ =−4.
Chọn đáp án B
Câu 18. log2(sin12π) + log2(cos12π) = log2(sin12π ·cos12π) = log2(12sinπ6) = log2 Å1
4 ã
=−2.
Chọn đáp án D
Câu 19. (z−2)(z−i) = 0⇔
z = 2 z =i.
Vậy số nghiệm thực là1.
Chọn đáp án A
Câu 20. #»a(#»a + #»
b) = (1; 2; 2)·(2; 4; 0) = 2 + 8 + 0 = 10.
Chọn đáp án A
Câu 21. Ta có −21 = 21i2. Căn bậc hai của −21là i√
21;−i√ 21.
Chọn đáp án C
Câu 22. Xét hàm số y = 1
2x4−2x2+ 3.
Tập xác định D =R.
y0 = 2x3−4x= 0 ⇔
x= 0 x=√
2 x=−√
2.
Bảng biến thiên
x y0
y
−∞ −√
2 0 √
2 +∞
− 0 + 0 − 0 + +∞
+∞
1 1
3 3
1 1
+∞
+∞
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−√
2), (0;√ 2).
Chọn đáp án D
Câu 23. 2x ≥2⇔x≥1.
Chọn đáp án A
Câu 24. I = Z 4
1
f0(x) dx=f(x)
4
1 =f(4)−f(1) = 10−2 = 8.
Chọn đáp án D
Câu 25. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x= 2.
Chọn đáp án D
Câu 26. (d) quaA(1; 7; 3)và có véc-tơ chỉ phương #»a = (2; 1; 4).
(d0) quaB(6;−1;−2)và có véc-tơ chỉ phương #»
a0 = (3;−2; 1).
Nhận thấy #»a, #»
a0 không cùng phương nên(d) và (d0) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta kiểm tra tích # »
AB·î#»a ,#»
bó .
# »
AB= (5;−8;−5) î#»a ,#»
bó
= (9; 10;−7)
⇒ # »
AB·î#»a ,#»
bó
= 45−80 + 35 = 0.
Suy ra (d)và (d0)đồng phẳng.
Vậy (d) và(d0)cắt nhau.
Chọn đáp án C
Câu 27. Bán kính đáy của hình trụ r=
√2a 2 . Chiều cao của hình trụ h=a.
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2πrh= 2π
√2a 2 a=√
2πa2.
Chọn đáp án D
Câu 28. Tiệm cận đứng của đồ thị x=−d
c >0⇒ d
c <0⇒cd <0.
Chọn đáp án A
Câu 29. Xét I =
4
Z
1
f(3x−3) dx. Đặt t= 3x−3⇒dt= 3dx⇒ dt
3 = dx.
Đổi cận:
• x= 1⇒t= 0.
• x= 4⇒t= 9.
Khi đóI =
9
Z
0
f(t)dt 3 = 1
3
9
Z
0
f(x) dx= 3.
Chọn đáp án B
Câu 30. Diện tích đáy ABC là S∆ABC = 1
2ABAC ·sinABC[ = 1
2 ·2x·2x·sin120‘◦ =√ 3x2. Thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0 là
V =AA0·S∆ABC = x
√3 ·√
3x2 =x3.
Chọn đáp án A
Câu 31. Gọi M là hình chiếu của M trên đường thẳng(d).
H ∈(d)⇒H(−2 + 3t;−2 + 2t;−t).
# »
AM = (3t−6; 2t+ 1;−t−2).
Véc-tơ chỉ phương của (d)là #»a = (3; 2;−1).
Vì # »
AM ⊥ #»a nên # »
AM · #»a = 0 ⇔3(3t−6) + 2(2t+ 1)−1(−t−2) = 0⇔t = 1⇒M(1; 0;−1).
Chọn đáp án A
Câu 32.
Ta có
CD ⊥AD CD ⊥SA
⇒CD ⊥(SAD)⇒CD ⊥SD.
Ta có
(SCD)∩(ABCD) = CD SD ⊥CD
AD⊥CD
⇒((SCD),(ABCD)) =SDA.[ tanSDA[ = SA
AD = a
a = 1⇒SDA[ = 45◦.
B
A
C
D S
Chọn đáp án A
Câu 33. 2 log2x+ 3
log2x = 7.
Điều kiện xác định
x >0
log2x6= 0
⇔
x >0 x6= 1.
Đặt t= log2x, phương trình trở thành 2t+ 3
t = 7 ⇔2t2−7t+ 3 = 0⇔
t= 1
2 t= 3
⇔
log2x= 1 2 log2x= 3
⇔
x=√
2(nhận) x= 8(nhận).
Vì x1 < x2 nên x1 =√
2, x2 = 8.
Khi đóT = (x1)x2 =Ä√
2ä8
= 16.
Chọn đáp án A
Câu 34. Ta có y =|x2−4x+ 3|=
x2−4x+ 3nếux <1hoặcx >3
−x2+ 4x−3nếu1≤x≤3.
Diện tích hình phẳng (H)là S =
1
Z
0
(x+ 3−x2+ 4x−3) dx+
3
Z
1
(x+ 3 +x2−4x+ 3) dx+
5
Z
3
(x+ 3−x2+ 4x−3) dx
S =
1
Z
0
(−x2+ 5x) dx+
3
Z
1
(x2−3x+ 6) dx+
5
Z
3
(−x2+ 5x) dx
S = Å
−x3 3 +5
2x2 ã
1
0
+ Åx3
3 − 3
2x2+ 6x ã
3
1
+ Å
−x3 3 + 5
2x2 ã
5
3
S = 13 6 + 26
3 + 22
3 = 109 6 .
Chọn đáp án C
Câu 35. Giả sử z =x+yi; x, y ∈R. Khi đó
zz = 4⇔(x+yi)(x−yi) = 4 ⇔x2 −(yi)2 = 4 ⇔x2+y2 = 4.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng 2.
Chọn đáp án A
Câu 36. Theo đề ta có Hàng 1 có1 cây.
Hàng 2 có2 cây.
. . .
Hàng n có n cây.
Với cách trồng theo hình thức này thì số cây của các hàng tuân theo cấp số cộng có u1 = 1 và công said= 1.
Giả sử 3003 cây trồng đượcn hàng, ta có Sn=nu1 +n(n−1)d
2 ⇔3003 =n+ n(n−1)
2 ⇔n2+n−6006 = 0⇔
n= 77
n=−78(loại).
Vậy n= 77.
Chọn đáp án D
Câu 37. Ta có logab= 3
2 ⇔b =a32 ⇔a= √3
b2 =Ä√3 bä2
. Vìa, b nguyên nên √3
b nguyên.
logcd= 5
4 ⇔d=c54 ⇔c=√5
d4 =Ä√5 d2ä2
. Vìa, b nguyên nên √5
d2 nguyên.
Theo đề ta có a−c= 9⇔Ä√3 bä2
−Ä√5 d2ä2
= 9 ⇔Ä√3 b−√5
d2ä Ä√3 b+√5
d2ä
= 9.
Vì Ä√3 b−√5
d2ä
và Ä√3 b+√5
d2ä
là các số nguyên và Ä√3 b−√5
d2ä
> Ä√3 b+√5
d2ä
nên ta suy ra
√3
b−√5 d2 = 1
√3
b+√5 d2 = 9
⇔
√3
b= 5
√5
d2 = 4
⇔
b= 125 d= 32
⇒b−d = 93.
Chọn đáp án D
Câu 38. F(x) =
Z ln(x+ 3) x2 dx.
Đặt
u= ln(x+ 3) dv= 1
x2 dx
⇒
du = 1 x+ 3dx v =−1
x −1
3 =−x+ 3 x . F(x) = −
Åx+ 3 x
ã
ln(x+ 3) + Z 1
xdx=−
Åx+ 3 x
ã
ln(x+ 3) + ln|x|+C.
Ta có
−1
Z
−2
ln(x+ 3)
x2 dx=F(−1)−F(−2)
2
Z
1
ln(x+ 3)
x2 dx=F(2)−F(1).
Cộng vế theo vế ta có
−1
Z
−2
ln(x+ 3) x2 dx+
2
Z
1
ln(x+ 3)
x2 dx=F(−1) +F(2)−[F(−2) +F(1)] =F(−1) +F(2).
Tính I1 =
−1
Z
−2
ln(x+ 3) x2 dx.
Đặt
u= ln(x+ 3) dv= 1
x2 dx
⇒
du = 1 x+ 3dx v =−1
x −1
3 =−x+ 3 3x . F(x) = −
Åx+ 3 3x
ã
ln(x+ 3)
−1
−2
+
−1
Z
−2
1
3xdx= 2
3ln 2 + 1 3ln|x|
−1
−2
= 2
3ln 2− 1
3ln 2 = 1 3ln 2.
Tính I2 =
2
Z
1
ln(x+ 3) x2 dx.
Đặt
u= ln(x+ 3) dv= 1
x2 dx
⇒
du = 1 x+ 3dx v =−1
x −1
3 =−x+ 3 3x . F(x) = −
Åx+ 3 3x
ã
ln(x+ 3)
2
1
+
2
Z
1
1
3xdx=−5
6ln 5 + 4
3ln 4 + 1 3ln|x|
2
1
=−5
6ln 5 + 3 ln 2.
Vậy F(−1) +F(2) = 1
3ln 2− 5
6ln 5 + 3 ln 2 = 10
3 ln 2− 5 6ln 5.
Chọn đáp án A
Câu 39.
Gọi r bán kính đường tròn (C),h là khoảng cách từ tâm K của đường tròn (C) đến mặt phẳng (P).
Chu vi đường tròn (C)bằng 8π cm nên 2πr= 8π ⇔r= 4 cm.
Xét tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (C) có bán kínhr = 4.
AB
sinA = 2r ⇔AB= 2rsinA= 8 sin 60◦ = 4√ 3cm.
Diện tích tam giácABC là S∆ABC = AB2√
3
4 = 12√
3 cm2 .
Ta có R2 =r2+h2 ⇔h2 = 25−16 = 9⇒h= 3 cm.
Thể tíchD.ABC làV = 1
3d[D,(ABC)]S∆ABC.
Thể tíchV lớn nhất khi và chỉ khid[D,(ABC)]lớn nhất.
Khi đóD là giao điểm của IO và mặt cầu (S), như hình vẽ.
d[D,(ABC)] = DI =OI+OD = 3 + 5 = 8 cm.
V = 1
3 ·8·12√
3 = 32√ 3 cm3.
O D
I B
C
A
Chọn đáp án A
Câu 40. Tập xác định D =R.
y=f(x) = (x−m)3−3x+m2 = (x−m)3−3(x−m) +m2 −3m.
Xétg(x) = x3−3x. Khi đó f(x) = g(x−m) +m2 −3m.
Suy ra đồ thị f(x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của g(x)theo véc-tơ #»v = (m;m2−3m).
g0(x) = 0⇔3x2−3 = 0⇔
x=−1 x= 1.
Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) làA(−1; 2) và B(1;−2).
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị f(x)là C(m−1;m2−3m+ 2)vàD(m+ 1;m2−3m−2).
Ta viết lại tọa độC(m−1; (m−1)2−(m−1)), ta thấy C nằm trên Parabol (P1) : y=x2−x.
Tương tự, D(m−1; (m+ 1)2−5(m+ 1) + 2), ta thấy Dnằm trên Parabol (P2) : y=x2−5x+ 2.
ĐiểmM cần tìm là giao điểm của (P1) và (P2) ⇒M Å1
2;−1 4
ã . Vậy có1 điểm M thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án C
Câu 41. 2(2x+ 3) = (2x−1)2.
Đặt t= 2x(t >0), phương trình trở thành
2(t+ 3) = (t−1)2 ⇔t2−4t−5 = 0⇔
t =−1(loại) t = 5.
Suy ra 2x = 5⇔x= log25.
Chọn đáp án B
Câu 42. Xét phương trình x3−6x2+ 9x+m= 0 ⇔m=−x3+ 6x2−9x.
Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y =−x3 + 6x2−9x và đường thẳngy=m.
Xét hàm số y=−x3+ 6x2−9x trên R. Ta có y0 =−3x2+ 12x−9 = 0⇔
x= 1 x= 3.
Bảng biến thiên x f0(x)
f(x)
−∞ 0 1 3 4 +∞
− − 0 + 0 − −
+∞
0
−4
0
−4
−∞
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có 3 nghiệm thì −4 < m < 0, khi đó x1, x2, x3 thỏa mãn 0< x1 <1< x2 <3< x3 <4.
Chọn đáp án A
Câu 43.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, xem a là 1 đơn vị.
M N qua M(1
2; 0; 0) và có véc-tơ chỉ phương
#»a = # »
M N = (0; 1; 0).
AC0 quaA(0; 0; 0)và có véc-tơ chỉ phương
#»b = # »
AC0 = (1; 1; 1).
# » AM =
Å1 2; 0; 0
ã
, î#»a ,#»
bó
= (1; 0;−1).
d[M N, AC0] =
# »
AC0·î#»a ,#»
bó
î#»a ,#»
bó
=
√2 4 . Vậy d= a√
2 4 .
B(1; 0; 0)
A(0; 0; 0)
C(1; 1; 0)
D(0; 1; 0) A0
B0
C0(1; 1; 1) D0
M(12; 0; 0) N(12; 1; 0)
x
y z
Chọn đáp án B
Câu 44. 4Ä√
2 + 1äx
+Ä√
2−1äx
=m.
Đặt t=Ä√
2 + 1äx
⇒Ä√
2−1äx
= 1
t,t >0.
Giả sử x1 vàx2 là hai nghiệm âm của phương trình, khi đó x1 < x2 <0⇔Ä√
2 + 1äx1
<Ä√
2 + 1äx1
<Ä√
2 + 1ä0
⇔0< t1 < t2 <1.
Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để phương trình 4t+1
t =m có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0< t1 < t2 <1.
Xét hàm số f(t) = 4t+ 1
t với 0< t <1.
f0(t) = 4− 1
t2 = 0⇔
t= 1
2(loại) t=−1
2. Bảng biến thiên
t f0(t)
f(t)
0 12 1
− 0 + +∞
+∞
4 4
5 5
Dựa vào bảng biến thiên ta có m∈(4; 5).
Chọn đáp án B
Câu 45. f(x) =x3+ax2+bx+c, f0(x) = 3x2+ 2ax+b,f00(x) = 6x+ 2a, f000(x) = 6.
Giả sử f(x) = 0 có3 nghiệm thực phân biệtx1,x2, x3, theo định lí Rolle thì f0(x) = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt khácx1, x2, x3.
Xét phương trình 2f(x)f00(x)−[f0(x)]2 = 0.
Đặt g(x) = 2f(x)f00(x)−[f0(x)]2.
g0(x) = 2f0(x)f00(x) +f000(x)2f(x)−2f0(x)f00(x) = 2f(x)f000(x) = 12f(x).
Cho g0(x) = 0⇔12f(x) = 0⇔f(x) = 0 ⇔
x=x1 x=x2 x=x3. Bảng biến thiên
x y0
y
−∞ x1 x2 x3 +∞
− 0 + 0 − 0 +
+∞
+∞
−[f0(x1)]2
−[f0(x1)]2
−[f0(x2)]2
−[f0(x2)]2
−[f0(x3)]2
−[f0(x3)]2
+∞
+∞
Vì x2 không là nghiệm của f0(x) nên −[f0(x2)]2 <0.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số g(x)cắt trục hoành tại 2điểm phân biệt.
Chọn đáp án C
Câu 46.
• Mức lương trong 3năm đầu là 6 triệu đồng/tháng.
• Mức lương từ năm thứ4đến năm thứ 6 là6 + 6· 10
100 = 6(1 + 0,1) = 6·0,1 triệu đồng/tháng.
• Mức lương từ năm thứ 7đến năm thứ 9là 6·(0,1)2 triệu đồng/tháng.
• Mức lương từ năm thứ 10đến năm thứ12 là6·(0,1)3 triệu đồng/tháng.
• Mức lương từ năm thứ 13đến năm thứ15 là6·(0,1)4 triệu đồng/tháng.
• Mức lương từ năm thứ 16đến năm thứ18 là6·(0,1)5 triệu đồng/tháng.
Vậy tháng đầu tiên của năm thứ16 người đó nhận mức lương là6·(0,1)5 triệu đồng/tháng.
Chọn đáp án C
Câu 47. Xét phương trình x3+ (a+ 10)x2−x+ 1 = 0⇔(a+ 10)x2 =−x3+x−1.
Vì x= 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình tương đương a+ 10 = −x3+x−1
x2 . Xét hàm số g(x) = −x3+x−1
x2 . Tập xác định D =R\ {0}.
g0(x) = −x4−x2+ 2x x4 .
Cho g0(x) = 0⇔ −x4−x2+ 2x= 0 ⇔
x= 0(loại) x= 1.
Bảng biến thiên
x y0
y
−∞ 0 1 +∞
− + 0 −
+∞
+∞
−∞ −∞
−1
−1
−∞
−∞
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có một nghiệm thì a+ 10>−1⇔a >−11.
Vì a nguyên âm nên a∈ {−10;−9;−8;−7;−6;−5;−4;−3;−2;−1}.
Vậy có10 giá trịa cần tìm.
Chọn đáp án B
Câu 48.
Gọi Ω là không gian mẫu.
Ω ={(x;y)| −2≤x≤4,0≤y≤2;x, y ∈Z}.
Vì xcó 7 cách chọn,y có 3 cách chọn nên n(Ω) = 7·3 = 21.
A là biến cố: “x, y đều chia hết cho 2”. Khi đó x có4 cách chọn, y có2 cách chọn nên
n(A) = 4·2 = 8.
Vậy xác suất cần tìm là P(A) = n(A) n(Ω) = 8
21.
−2 −1 1 2 3 4 x
y
1 2
O A
B C
D
Chọn đáp án C
Câu 49. Ta có lnx+ lny≥ln(x2+y)⇔ln(xy)≥ln(x2+y)⇔xy≥x2+y. (1) Vì x,y dương nên từ (1)⇒xy > y ⇒x >1.
Khi đó(1) ⇔y(x−1)≥x2 ⇔y≥ x2 x−1. P =x+y≥x+ x2
x−1 = 2x2−x x−1 . Xét hàm số f(x) = 2x2−x
x−1 với x >1.
f0(x) = 2x2−4x+ 1
(x−1)2 = 0 ⇔
x= 2 +√ 2 2 x= 2−√
2 2 (loại).
Bảng biến thiên
t f0(t)
f(t)
1 2+
√2
2 +∞
− 0 +
+∞
+∞
3 + 2√ 2 3 + 2√
2
+∞
+∞
Ta có min
x∈(1;+∞)f(x) = 3 + 2√
2 tại x= 2 +√ 2 2 . Suy ra Pmin = 3 + 2√
2tại x= 2 +√ 2
2 , y= 4 + 3√ 2 2 .
Chọn đáp án C
Câu 50. Ta có y = x−√ x2+ 1
√ax2+ 2 .
• Trường hợp 1.a <0. Tập xác định của hàm số D = Ç
−
…−2 a ;
…−2 a
å . Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
• Trường hợp 2.a= 0. Hàm số trở thành y= x−√ x2+ 1
√2 .
x→−∞lim
x−√ x2+ 1
√2 =−∞.
x→+∞lim
x−√ x2+ 1
√2 = lim
x→+∞
(x−√
x2 + 1)(x+√
x2+ 1)
√2(x+√
x2+ 1) = lim
x→+∞
√ −1
2(x+√
x2+ 1) = 0.
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngangy = 0.
• Trường hợp 3.a >0.
x→−∞lim
x−√ x2+ 1
√ax2+ 2 = lim
x→−∞
x+x
… 1 + 1
x2
−x
… a+ 2
x2
= lim
x→−∞
1 +
… 1 + 1
x2
−
… a+ 2
x2
=− 2
√a.
x→+∞lim
x−√ x2+ 1
√ax2+ 2 = lim
x→+∞
x−x
… 1 + 1
x2 x
… a+ 2
x2
= lim
x→+∞
1−
… 1 + 1
x2
… a+ 2
x2
= 0.
Suy ra đồ thị hàm số có2 đường tiệm cận ngang y=− 2
√a, y= 0.
Vậy a≥0 thì đồ thị có đường tiệm cận ngang.
Chọn đáp án D
