Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn Toán (Đề 3) - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Đề gồm 40 câu trắc nghiệm

Sản phẩm được thực hiện bởi nhóm Chinh Phục Olympic Toán

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2 2

m x m m x

  m x  

 Có đúng một nghiệm nhỏ hơn 10.

A. 5 B. 4 C. 9 D. Vô số.

Câu 2: Cho 2 dãy cấp số cộng u_nu u₁; ₂;...u_n có công sai d₁và v_n v v₁; ₂;...v_n có công sai d2. Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là

1 2 ... 7 1

n n

S u u  u  n và T_n v₁v₂  ... v_n 14n27. Tính tỉ số của ¹¹

11

u v A. ⁵

3 B. ⁴

3 C. ⁹

4 D. ⁵

4

Câu 3: Cho hình chóp S ABC. có SA x BC y AB AC SB SC ,  ,    1. Thể tích khối chóp .

S ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng



x y



bằng : A. 2

3. B. 3. C. 4

3. D. 4 3.

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình sau có nghiệm :

   

2 3

3 3

log log 2 2

2

x y xy

x y xy m

    



  



A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 5: Cho ^{2 sin}



^{a b}



^cos



^{a b a b k}



^{,   .} Tính giá trị của biểu thức

1 1

1 2 sin 2 1 2 sin 2

E a b

 

A. 2.

3 B. ¹.

2 C. 2. D. 0.

Câu 6: Cho dãy

 

un thỏa mãn 25.2^2u5115.2^{u u1 5 2}5.2^u515.2^u1  4 0 và u_n1 u_n8.

Giá trị nhỏ nhất của n để u_n 2019.

A. 512. B. 258. C. 511. D. 257.

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD. có đ{y ABCD là hình vuông,AB1, cạnh bên SA1và vuông góc với mặt phẳng đ{y _ABCD. Kí hiệu Ml| điểm di động trên đoạn CD và Nlà điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN45. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMN. là ?

A. 2 1 9

 B. 2 1

3

 C. 2 1

6

 D. 2 1

9



Câu 8: Cho một cấp số cộng : u u u u₁, , ,_{2 3 4} thỏa u u_{1 4}u u_{2 3} 6 . Tìm tập x{c định D của hàm f x

 





x u 1



x u 2



x u 3



x u 4



9

A. ^{D }



^;6



^{B. D}



^6;



C. D D. ^{D }



^6;6



Câu 9: Cho hàm số ²



^sin



^{sin 1}

 

1

x x

y C

x ^

    

  . Tìm  để

 

^C sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?

A. 2 .

4 k

     B. . 4 k

     C. 2 . 2 k

     D. . 3 k

    

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1.Gọi G là trọng tâm của tam giác .

BCD Mặt phẳng

 

P thay đổi luôn luôn đi qua AG cắt BC BD, lần lượt tại ^{I K, .} Tính thể tích nhỏ nhất của ABIK.

A. ².

27 B. ².

18 C. ⁴.

9 D. ².

36

Câu 11: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁ 2 3i  17 ; z₂ 1 5. Biết rằng

  

1 1 2 1 0

z   i k z  i k . Tìm k khi P z₁z₂ đạt giá trị lớn nhất.

A. k1 B. k 2 C. k 3 D. k 5

Câu 12: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.

A. ²⁵⁷

90000 B. ²⁵⁷

18000 C. ¹²⁷

90000 D. ¹²⁷

30000 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 5. Tìm GTLN của P2 z8i   z 7 9i . A. P 109 B. P  1 109 C. P 109 2 D. P 109 1

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 4 z    z i 1 2 z i 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 2 2i

A. ³⁰ 2 2

P 3  B. ³⁰ 3 2

P 4  C. ³⁰ 4 2

P 5  D. ³⁰ 5 2

P 6  Câu 15: Biết tổng

2 2 2

2 2

1 1 1

2 2 ... 2

2 2 2

n

n n

S           . Giá trị nhỏ nhất của n để 399 2 4

4

n

n n

S   n , n ^*

A. 41 B. 40 C. 51 D. 50

Câu 16: Cho 3 số phức z z z₀, ,_{1 2} thỏa mãn đồng thời

1 3 3 2

2 2 8

z z

z z z z

    



  

 , với ₃ 1 ³

z   2i. Biết

rằng ^{0 1}

 

0 2

, , , z z a bi

a b c d R z z c di

  

 

   

 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ¹

P2 ad bc

A. P17 B. P18 C. P19 D. P20

Câu 17: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm trên . Gọi

     

C1 , C2 , C3 lần lượt l| đồ thị của các hàm số ^{y f x y}

 

^{,  f f x}

   

^{,y f x}



^21



. Các tiếp tuyến

   

C1 , C2 tại điểm

0 2

x  có phương trình lần lượt là y2x1,y4x3, hỏi tiếp tuyến của

 

C3 tại điểm

0 2

x  đi qua điểm n|o sau đ}y?

A. ^Q



^{2; 11}



^{B. M}



^2;11



^{C. N}



^{ 2; 21}



^{D. P}



^{2; 21}



Câu 18: Cho dãy ( )x_n thỏa mãn x₁ 5,x_n1 x²_n  2, n 1. Tính giá trị của

1 1 2 1 2

1 1 1

lim ...

... _n

M x x x x x x

 

     

 

A. 5 21

M 2

 B. 5 21

M 2

 C. 3 31

M 3

 D. 3 15

M 3



Câu 19: Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

^{a b; thỏa mãn 0a b, 100} sao cho đồ thị của 2 hàm số y ¹_x ¹

a b

  và y ¹_x ¹ b a

  cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt?

A. 9704 B. 9702 C. 9698 D. 9700

Câu 20: Xét các hình chóp S ABCD. thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đ{y và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



SBC



bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S ABCD. đạt giá trị nhỏ nhất V₀ khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



^ABCD



^bằng p,

q trong đóp q, là các số nguyên dương v| ph}n số p q là tối giản. Tính T 



p q V



. .0

A. T3 3 .a³ B. T  6 .a³ C. T 2 3 .a³ D. ^{5 3 3}. T  2 a

Câu 21: Cho số phức z z z₁, ,_{2 3} lần lượt thỏa mãn z₁  3 i, z₂ là số thuần ảo với thuần ảo không âm, z₃ là số thực không âm. Biết rằng z₂ z₃  z₂ z₁² z₃z₁² . Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z₂z z_{1 3}z₁ . Khi đó M.n bằng?

A. M n. 90 B. M n. 80 C. M n. 100 D. M n. 70

Câu 22: Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn ⁵



^x2y2z2



^9



^{xy2yz zx}



^{. Tìm giá}

trị lớn nhất của biểu thức:

 

³

2 2

1 P x

y z x y z

 

   .

A. 14 B. 16 C. 12 D. 18

Câu 23: Gieo một con súc sắc c}n đối đồng chất hai lần. Giả sử m là tích số chấm mà con súc sắc xuất hiện sau hai lần gieo. Tính xác suất sao cho hàm số



3



²



41 2



2

y m x   m x đồng biến trên khoảng



0; 



. A. ¹

2 B. ²

3 C. ³

4 D. ¹⁷

36 Câu 24: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{ln 1 1}₂

x

 

     . Biết rằng :

 

²

 

^{3 ...}



²⁰¹⁸



^{ln ln ln ln}

f  f   f  a b c d trong đó a c d, , l| c{c số nguyên tố v| a b c d   . Tính P a b c d   

A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989

Câu 25: Cho hàm số ^{y f x}

 

^x3



^2m1



^x2



^{2m x}



^2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ^{y f x}

 

có 5 điểm cực trị.

A. ⁵ 2

4  m B. 2 ⁵

m 4

   C. ⁵ 2

4 m

   D. ⁵ 2

4 m

Câu 26: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

1; 2 thỏa mãn đẳng thức:

 

 

2 ³

 

2

   

3 ' , 1; 2

' '

x f x

f x x x f x xf x x    

 

 

 

và

 

1 ⁷

f 3. Tính f

 

2 . A.

 

^{2 7 7 1}

f  3 B.

 

^{2 7 7 1}

f  3 C.

 

^{2 2 7 1}

f  3 D.

 

^{2 2 7 1}

f  3 Câu 27: Cho hàm số đa thức bậc ba y f x

 

có đồ thị đi qua c{c điểm sau



2; 4 ,

   

3;9 , 4;16



A B C . C{c đường thẳng AB AC BC, , lại cắt đồ thị tại lần lượt tại các điểm D E F, , (D khác A và B, E khác A và C , F khác B và C ). Biết rằng tổng các ho|nh độ của D E F, , bằng 24. Tính f

 

0 .

A. f

 

0  2 B. f

 

0 0 C.

 

0 ²⁴

f  5 D. f

 

0 2 Câu 28: Cho hàm số ^{g x}

 

^{ f}



^{sin2x f}

 

^cos2x



trong đó f thỏa mãn điều kiện :



cot



sin 2 cos 2 ,

f x  x x  x

 

0; . Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g x

 

bằng:

A. ¹ .

25 B. ¹.

5 C. ¹.

5 D. ¹ .

25

Câu 29: Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn

 

1; 4 thỏa mãn f

 

1  1,f

 

4  8 v| đồng thời f x'

 

² x³  f x

 

9 x³  x3 ,x x 

 

1; 4 . Tích phân



₁⁴ f x dx

 

^bằng

A. 7 B. ⁸⁹

 6 C. ⁷⁹

 6 D. 8

O 5 10

y

3 4 8

 

' y h x

x

 

' y f x

 

' y g x

Câu 30: Cho phương trình log 22



x²2x2



2^y2 y² x²x. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương



x y;



, với 0 x 500 thỏa mãn phương trình đã cho?

A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.

Câu 31: Cho hình chóp S ABCD. có đ{y ABCD là hình bình hành. Gọi A l| điểm trên ^SA

sao cho ¹

A A 2A S . Mặt phẳng

 

^{ qua A} cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C D  , , . Tính giá trị của biểu thức T ^{SB SD SC}

SB SD SC

  

  .

A. ³

T  2 B. ¹

T 3 C. T 2 D. ¹

T 2

Câu 32: Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16⁴

9, đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư v| thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi

q thuộc khoảng n|o sau đ}y?

A. q

 

3; 4 B. q

 

1; 2 C. q

 

2; 3 D. q

 

0;1 Câu 33: Cho tích phân

1

2 *

0 2

1 ⁿ ,

I dx n

 x 



 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I được viết dưới dạng ^{a c}

b d

 , trong đó a, b, c, d l| c{c số nguyên dương v| a c, b d là phân số tối giản. Tính S a b c d    ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Câu 34: Cho 3 hàm số y f x y g x y h x

 

, 

 

, 

 

. Đồ thị của 3 hàm số

 

,

 

,

 

y f x y g x y h x     có đồ thị như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn l| đồ thị của hàm số y f x 

 

. Hàm số

  

7

 

5 1



4 ³

k x  f x g x h x 2

  đồng biến trên khoảng n|o dưới đ}y ?

A. 15 4 ;0 .

 

 

  B. 1

; . 4

 

 

  C. 3

8;1 .

 

 

  D. 3

; .

8

 

 

 

Câu 35: Cho 2 số phức z₁ thỏa mãn ₁ ^{7 5} ₁ ^{9 3}

4 4 4 4

i i

z    z   , z₂  a bi với



^{3 2}



^{a b  1 0Biết rằng z1 i 2 z2i} . Tìm GTNN của P z₁  3 i 2 z₂  3 i

A. P 38 B. P 39 C. P2 38 D. P2 39

Câu 36: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn abc a c b   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức ₂² ₂² ₂³ .

1 1 1

P a b c

  

A. _max ⁵.

P  3 B. _max ¹⁰.

P  3 C. _max ⁷.

P 2 D. _max ¹⁴. P  3

Câu 37: Cho hàm số f x

 

liên tục trên , có đạo h|m đến cấp hai trên và thỏa mãn

     

²

   

3 . 4 ' . '' ^x,

f x  f x  f x f x e  x , biết f

 

0 0. Khi đó ^{5ln 2 5}

 

0

f x dx



^bằng?

A.

25ln 22

5 31 5ln 2

2

 

 

 

  B. 1 31 355ln 2

5 2

  

 

 

C.

1 25ln 22

31 5ln 2

5 2

 

 

 

  D. 5 31 ^{355ln 2}

2

  

 

 

Câu 38: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị hàm số ^{y f x }

 

như hình vẽ:

Xét hàm số g x

 

2f x

 

2x³4x3m6 5với m là số thực. Để g x

 

0 5; 5

x  

    thì điều kiện của m là

A. ^{m 2}₃ ^f

 

^{5 B. m2}₃ ^f

 

⁵

C. ²

 

0 2 5

m 3 f  D. ^m2₃ ^f

 

^{ 5 4 5}

O

A

B 13

5 x

 5

2

 

' f x

y

Câu 39: Cho 4 số nguyên a b c d, , , thay đổi thỏa: 1    a b c d 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a c.

P b d A. _min ⁵³

P 175 B. _min ⁶¹

P 200 C. _min ⁵⁸

P 175 D. _min ⁷³ P 200

Câu 40: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100 . Chọn ra 6 số bất kỳ. Tính xác suất để chọn ra 6 số sao cho chúng có thể xếp thành 1 cấp số cộng.

A. ⁹⁵

7528752 B. ⁹⁵

1254792 C. ⁹⁵

2509584 D. ⁹⁵

3764376 Câu 41: Cho các số thực x,y thỏa mãn

 

²

     

2 2 2

log x 3 2 log 2 y3 log y 3 2 log x 3 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^P4



^x2y2



^{15xy là?}

A. minP 80 B. minP 91 C. minP 83 D. minP 63 Câu 42 : Cho hàm số ^{f x}

 

^{và g x}

 

^{thỏa mãn f' 1}

 

^g

 

^{1 1;f}

   

^{2 . 2g  f}

 

^{1 v| đồng}

thời 1 f x g x'

   

' g x f x

 

''

 

¹f x'

 

, x \ 0

 

x

 

       . Tính tích phân

   

2

1 '

I



f x g x dx^? A. ^{3 1}ln 2

4 2 B. ^{3 1}ln 2

 4 2 C. ^{3 1}ln 2

4 2 D. ^{3 1}ln 2

 4 4

Câu 43: Có tối đa bao nhiêu hình vuông được tạo bởi các ô vuông của bàn cờ 8x8 khi bớt đi một ô vuông?

A. 204 B. 63 C. 196 D. 150

Câu 44: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C. _{1 1 1} . Giả sử BC a ,AA₁ h. Khi R ngắn nhất thì tam giác ABC

A. Đều. B. Cân tại A. C. Vuông tại A. D. Nhọn

Câu 45: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁  2 ,z₂  5. Biết rằng ¹

2

z i a bi z i c di

  

   

 .

Tìm GTLN của biểu thức ¹

P 2 ad bc .

A. P1 B. P2 C. P3 D. P4

Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện ,

AB CD BC AD AC BD ,  . M là một điểm thay đổi trong không gian. Đặt ,

P MA MB MC MD    giá trị nhỏ nhất của P là?

A. P_min 2R 3. B. P_min 4 .R C. P_min 3 .R D. _min ¹⁶ . 3 P  R Câu 47: Cho 2 số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện

 

³

2 2

2 2 2

log 2 log 4 1 log 11

x y  xy  2

Đặt P x ³y³. Hỏi P có bao nhiêu ước số nguyên?

A. 1 B. 2 C. 5 D. 0

Câu 48: Cho phương trình ^{m3 m3 3}



^{x 10 2 x}



^{ 3x 10 2 x}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

A. 10 B. 11 C. 9 D. 12

Câu 49: Cho hàm số

 

^{sin6 cos cos6 sin}

sin cos

x x x x

y f x

x x

  

 . Hỏi có bao nhiêu giá trị



2019; 2019



x  thỏa mãn hàm số f x

 

đạt giá trị lớn nhất.

A. 2453 B. 5142 C. 2571 D. 4906

Câu 50: Cho 2 hàm số f x

  

 m^{1 6}



^x ₆²x ²m^1,h

 

x 



x^61x



. Tìm tham số m để hàm số g x

 

h x f x

   

. có giá trị nhỏ nhất là 0 với mọi x

 

0;1

A. m1 B. ¹

m2 C. 1;1

m 2 

   D. m1

Câu 51: Cho cấp số nhân u u u₁, , ,..,_{2 3} u_n; trong đó u_i 0,  i 1, 2,...,n. Biết rằng

1 2 3 ... 2018

n n

S u u u  u  ,

1 2 3

1 1 1 ... 1 2019

n

n

T u u u  u  và ₁. . ...._{2 3} ¹

n 100 P u u u u  . Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là:

A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591

Câu 52: Cho tập A{0,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9}. ọi S l| tập hợp tất cả c{c số có 5 năm chữ số ph}n biệt được lập từ A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Khi đó x{c suất để chọn được số có dạng a a a a a_{1 2 3 4 5} sao cho a₁ a₂ a₃ v| a₃ a₄ a₅ l|?

A. ⁵

7 B. ¹

12 C. ⁵

12 D. ¹

24

Câu 53: Cho bất phương trình ^{3 1}



²



³



²



7

log 11_a log x 3ax 10 4 log _a x 3ax 12 0

       

  .

Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đ}y?

A.



^1;0



^B.

 

^{1; 2 C.}

 

^{0;1 D.}



^2;



Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện

 

2 2

2

2 2 log 1

2^x_ ^y 1  ^y _{  }^{y x x} x y 



Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Plog_{x y }1



y x



.2^2x4y A. ¹

2 B. ¹

4 C. ¹

8 D. ¹

16

Câu 55: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.

A. ²⁵⁷

90000 B. ²⁵⁷

18000 C. ¹²⁷

90000 D. ¹²⁷

30000 Câu 56 : Có tất cả bao nhiêu cặp số thực



x y;



thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

 

 

2 2 3 log 53 4

2

3 5

4 1 3 8

x x y

y y y

    

 



    

 ?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 57: Cho (C_m)l| đồ thị của h|m số y x ³3mx1(với m0l| tham số thực). ọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C_m).Đường thẳng dcắt đường tròn t}m



1;0



I  bán kính R3tại hai điểm ph}n biệt A B, . ọi Sl| tập hợp tất cả c{c gi{ trị của msao cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn nhất. Hỏi Scó tất cả bao nhiêu phần tử ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 58: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z y ². Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính log₂ xyz?

 

2 3 3 3 3 4 2 2

2 2

log log 2 2

P xy x y x z   y xy  zy  xz

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 59: Cho phương trình sin 2xcos 2x sinxcosx  2 cos²x m m  0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?

A. 2. B. 3. C. 5. D. 9.

Câu 60: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức ¹₂ ¹₂ 1 ₂ sin

k x x  

 đúng với 0;2

x  

  . Khi đó gi{ trị của k là?

A. 5 B. 2 C. 4 D. 6

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 3

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2

m 2

m x m x

  m x  

 Có đúng một nghiệm nhỏ hơn 10.

A. 5 B. 4 C. 9 D. Vô số.

Lời giải

Phương trình ^{2 .}

 

I

0

m x m m x m x m x

     

 

   Xét m0:

 

I ^.

0 x x x x

 

   mọi x0 đều là nghiệm của phuơng trình đã cho.

Xét m0:

 

I ^{2 .} 0

x m x m x

m x

   

 

  

  

2 2

0 0

x m x m x

x m x

   

 

  



2 0

3 0

0 x m

x m x

   



 

  



vô nghiệm.

Xét m0:

 

I ^{2 2 .} 0

m x m x m x

m x

    

 

  



2

 

² 2

 

0

2 0

m x m x m x

m x m x

    

  

  



2

2 0

0

x m

m x m x

  

  

  



2

x m

   .

Vì x 2m10m  5 ^m_m^_0     m



4, 3, 2, 1



.

Câu 2: Cho 2 dãy cấp số cộng u_n u u₁; ₂;...u_n có công sai d₁và v_n v v₁; ₂;...v_n có công sai d2. Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là

1 2 ... 7 1

n n

S u u  u  n và T_n v₁v₂ ... v_n14n27. Tính tỉ số của ¹¹

11

u v A. ⁵

3 B. ⁴

3 C. ⁹

4 D. ⁵

4 Lời giải

Từ giả thiết, ta có 2 ₁



1



₁

n 2

n u n d

S      và 2 ₁



1



₂

n 2

n v n d

T     

 

   

 

1 1

1 2

11 1 1 1 1

11 1 2 1 2

2 1 7 1

1

2 1 4 27

10 2 20 2

10 2 20

n n

u n d

S n

T v n d n

u u d u d

v v d v d

     

   

 

 

  

  



.

So sách (1) và (2) bằng c{ch đồng nhất ¹¹

11

148 4

1 20 21

111 3

n n u

      v  

Câu 3: Cho hình chóp S ABC. có SA x BC y AB AC SB SC ,  ,    1. Thể tích khối chóp .

S ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng



x y



bằng : A. 2 .

3 B. 3. C. 4 .

3 D. 4 3.

Lời giải Gọi H K, lần lượt l| trung điểm BC SA, .

Đặt BC2 ,x SA2 .y

Có SH SC²CH²  1x AH²;  AB² BH²  1x². Do đó SAH cân tại H. Hay HK SA .

Có d BC SA



,



HK 1x²y². Thể tích khối chóp S ABC. là

   

2 2 ^{2 2 2 2 3}

.

. . , sin , 2 2 1 2 3

1 . .

6 3 3 3 27

S ABC

BC SA d BC SA BC SA x y x y

V xy x y      

       

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 ^{2 2} 3 2 .

3 3

x y  x y   x y   x y Chọn đ{p {n A.

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình sau có nghiệm :

   

2 3

3 3

log log 2 2

2

x y xy

x y xy m

    



  



A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Đặt log2



x y



a, log3



xy2



b khi đó a b 2

Lại có:



x y



² 4xy

 

^{2a 2 4 3}



^b2

 

^{4 32a2}



^{12a8.3a36 0}

Xét hàm g a

 

12^a8.3^a36 đồng biến trên , g

 

1   0 a 1

 

^{3 3}

 

²

  

^{2a 3 3 32 a 2 .2}



^{a 2 3}



^{2 a 2}

  

m x y  xy x y  xy  ^   ^   f a H|m f đồng biến trên



1;



suy ra m f (1) 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình thứ 2 có nghiệm

1 1

a m

Câu 5: Cho ^{2 sin}



^{a b}



^cos



^{a b a b k}



^{,   .} Tính giá trị của biểu thức

1 1

1 2 sin 2 1 2 sin 2

E a b

 

A. ².

3 B. ¹.

2 C. 2. D. 0.

Lời giải

Dễ dàng chứng minh được: sin 2a2 sin²



a b 



cos



a b

 

sin a b



     

     

           

2 2 2

1 2 sin 2 a 1 4sin 2 cos sin 1 cos 2 cos sin

sin 2 cos sin sin sin 2 cos

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

       

     

           

Tương tự ta có: 1 2 sin 2 b sin 



a b



sin



a b 



2 cos



a b



 Suy ra:

   

2 2 2 2

2 2

2 sin

1 2

E .

sin sin ( ) 4 cos ( ) sin ( ) 4 sin ( ) 4

2 2

sin ( ) cos ( ) 4 3 a b

a b a b a b a b a b

a b a b

  

       

  

   

Câu 6: Cho dãy

 

un thỏa mãn 25.2^2u5115.2^{u u1 5 2}5.2^u5 15.2^u1 4 0 và u_n1 u_n8.

Giá trị nhỏ nhất của n để u_n 2019.

A. 512. B. 258. C. 511. D. 257.

Lời giải

Từ u_n1 u_n 8.

 

u_n là CSC công sai d 8 u_n u18



n 1



u5 u132 Thay vào giả thiết ta được:



³²



^{1 2}



³²



¹

2 5.2 3 2^u   5.2 3 2^u  4 0

Có dạng phương trình bậc 2 suy ra:



^{5.232 3 2}



^{u1 1 4 33 u1 log2 4 5.2}



^{1 32333}



 

     

   

  

 

 

¹

1 min

8 1 2019 2019 1 257,63 258

n 8

u u n n u n

         

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD. có đ{y ABCD là hình vuông,AB1, cạnh bên SA1và vuông góc với mặt phẳng đ{y _ABCD. Kí hiệu Ml| điểm di động trên đoạn CD và Nlà điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN45. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMN. là ?

A. ^{2 1} 9

 B. ^{2 1}

3

 C. ^{2 1}

6

 D. ^{2 1}

9



Lời giải Đặt DM x ,BN y ta có

 

^{tan tan}

tan 45 tan

1 tan .tan 1 DAM BAN x y DAM BAN

DAM BAN xy



     

  . Suy ra ¹

1 y x

x

 

 .

và AM AD² DM²  x² 1, _{2 2 2 1} ^{2 2}



^{2 1}



1 1

1 1

x x

AN AB BN y

x x

 

 

           .

Vì vậy  



²

  

1 . 1 . . sin 45 1 2 1 2 1

3 ^AMN 6 6 1 3

V SA S SA AM AN f x x f

x

 

       

 .

A D

B C

S

N

M

Câu 8: Cho một cấp số cộng : u u u u₁, , ,_{2 3 4} thỏa u u_{1 4}u u_{2 3} 6 . Tìm tập x{c định D của hàm f x

 





x u 1



x u 2



x u 3



x u 4



9

A. D 



;6



B. D



6;



C. D D. D 



6;6



Lời giải Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : u₁u₄ u₂u₃

Do đó



x u 1



x u 2



x u 3



x u 4



x² 



u1u x u u4



 1 4  x²



u2u x u u3



 2 3

 

^*

Đặt t x ² 



u1u x x4



 ² 



u2 u x3



, khi đó :

 

*  f t( ) 



t u u1 4



t u u 2 3



  9 t²



u u1 4u u t u u u u2 3



 1 4 2 39 Với :  t



u u1 4u u1 3



²4u u u u1 2 3 436



u u1 4u u2 3



² 36.

Rõ ràng u u_{1 4}u u_{2 3}     6 _t 0 f t( ) 0,  t ^{f x}

 

có nghĩa với mọi x.

Câu 9: Cho hàm số ²



^sin



^{sin 1}

 

1

x x

y C

x ^

    

  . Tìm  để

 

^C sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?

A. 2 .

4 k

     B. . 4 k

     C. 2 . 2 k

     D. . 3 k

     Lời giải

Hàm số

   

 

2 sin sin 1

1

x x U x

y x V x

    

 

 có miền x{c định D \ 1

 

 v| đồng thời ta

có

 

 

2

2

2 sin sin 1

' 1

x x x

y x

     

  . Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là  ^'_y' 0 hay sin sin  0 sin 0.

Gọi x x₁, ₂ lần lượt l| ho|nh độ c{c điểm cực đại, cực tiểu của

 

C_ thì khi đó:

     

1

 

2

max 1 min 2

1 2

' '

2 sin , 2 sin

' '

U x U x

y x y x

V x V x

       

Gọi A x



1,2x1 sin

 

,B x2,2x2 sin



l| c{c điểm cực đại, cực tiểu tương ứng của

 

C_ , khi đó x x₁, ₂ là 2 nghiệm của phương trình y' 0 nên ^{1 2}

1 2

2

sin sin 1 2 sin 1 x x

x x

  

        



Ta có AB² 



x_Bx_A



²



y_By_A



² 5



x2x1



²  40 sin Do vậy AB lớn nhất khi 2

 

2 k k

     

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1.Gọi G là trọng tâm của tam giác .

BCD Mặt phẳng

 

P thay đổi luôn luôn đi qua AG cắt BC BD, lần lượt tại ^{I K, .} Tính thể tích nhỏ nhất của ABIK.

A. 2.

27 B. 2.

18 C. ⁴.

9 D. 2.

36 Lời giải

G H

O

B D

C A

I

K

Đặt BK x BI y , 

Sử dụng công thức tính tỷ số thể tích ta có ^{. . . .}

. . .BCD .

2

2 2 2

, ,

3 3

A BKG A BKG A BGI A BIK

A BHD A BCD A A BCD

y

V V x V V

V  V  V  V xy

Mặt khác ta có _{. .} ¹ _.

A BHD A BCH 2 A BCD

V V  V nên ²

 

⁴ 4

6 6 9

x y xy

xy xy

    

Ta có _. ^{2 2}

12 27

A BIK

V  xy  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ².

x y 3 Chọn đ{p {n A.

Câu 11: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁ 2 3i  17 ; z₂ 1 5.

Biết rằng z1  1 i k z



2  1 i k



0



. Tìm k khi P z₁z₂ đạt giá trị lớn nhất.

B. k1 B. k 2 C. k 3 D. k 5

Lời giải

K

H A

I J

N M

Gọi M z

      

1 ,N z2 , 2; 3 , 0; 1I J 



. Theo giả thiết ta có:

 Điểm M thuộc đường tròn

 

C1 tâm I bán kính R₁  17

 Điểm N thuộc đường tròn

 

C2 tâm J bán kính R₂  5 Ta thấy rằng số phức z 1 i đều thỏa mãn ^{2 3 17}

1 5

z i

z

   



   . Điều này chứng tỏ ^A



^{1; 1}



l| giao điểm của

   

C1 , C2 và theo giả thiết ta suy ra đượcA M N, , thẳng hàng.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I,J lên MN P MN 2HK2IJ.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN IJ. Khi đó phương trình MN đi qua điểm A và có vector pháp tuyến ^IJ



^{ 3; 3}



^{là MN x y:   2 0}. Từ đ}y suy ra điểm ^M

  

^{6; 4 ,N 0; 2}



Vậy ¹

2

1 6 4 1 5

1 2 1

z i i i

k z i i i

    

   

     . Chọn ý D.

Câu 12: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.

A. ²⁵⁷

90000 B. ²⁵⁷

18000 C. ¹²⁷

90000 D. ¹²⁷

30000 Lời giải

Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số là abcde Chọn a0có 9 cách.

Chọn b c d e, , , mỗi số có 10 cách.

Nên A 9.10⁴.

Gọi Blà biến cố "chọn được tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2''.

Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2 là abcd2 Ta có abcd2 10. abcd 2 7abcd3abcd2

2

abcd chia hết cho 7 nên 3abcd2 chia hết cho 7 hay 3abcd 2 7 ,(t t )

7 2 2

3 2 7 2

3 3

t t

abcd  tabcd  abcd t  Suy ra (t2) 3hay t 2 3n t 3n2

Khi đó abcd7n4 mà 1000abcd9999 nên 1000 7 4 9999 ^{996 9995}

7 7

n n

     

Mặt khác nlà số nguyên  n



143;144;145;...;1427



Nên B 1285.

Khi đó, ( ) ¹²⁸⁵₄ ²⁵⁷ 9.10 18000

P B   .

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 5. Tìm GTLN của P2 z8i   z 7 9i . A. P 109 B. P  1 109 C. P 109 2 D. P 109 1

Lời giải ọi ^I

     

^{1;1 ,A 7;9 ,B 1;8 .}

Yêu cầu b|i to{n chuyển về tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức P2MB MA .

Ý tưởng cho b|i to{n n|y l| ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam gi{c, nhưng do có số 2 ở giữa nên ta sẽ nảy ý tưởng tìm một điểm K cố định thỏa mãn MA2MK. iả sử tồn tại một điểm K như thế thì ta có:

I C A

B D

M

K

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 4 4

3 4 2 4 0

MA MK MA MK MI IA MI IK

MI IK IA MI IK IA

      

     

Để tồn tại điểm K thì

2 2 2 2

3 4 0 2

3 0

4 0 4

MI IK IA R IA

IK IA

     

   

  

   

 . Dễ thấy điều này luôn

đúng do đó luôn tồn tại điểm K cố định thỏa mãn MA2MK v| điểm K này nằm trên IC.

Lấy điểm K thuộc IC sao cho

2 IK R.

Ta có: IK IA IM.  ²  IAM IMK c g c



. .



MA2MK

Vậy khi M thay đổi thì MA2MK. Theo bất đẳng thức tam giác thì ta có:

 

2 2 2

P MB MA  MB MK  BK

Ta có: ⁵;3 2 109

K2    P BK

  .

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 4z    z i 1 2 z i 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 2 2i

A. ³⁰ 2 2

P 3  B. ³⁰ 3 2

P 4  C. ³⁰ 4 2

P 5  D. ³⁰ 5 2

P 6  Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 

²

     

2 2 2 2 2

16z  z i  1 2 z i 1  1 4 z i 1   z i 1 5 2 z 2i1 Từ đ}y sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có ³⁰ 2 2

P 3

   .

Câu 15: Biết tổng

2 2 2

2 2

1 1 1

2 2 ... 2

2 2 2

n

n n

S           . Giá trị nhỏ nhất của n để 399 2 4

4

n

n n

S   n , n ^*

A. 41 B. 40 C. 51 D. 50

Lời giải Ta có 2² 2 ¹₂ 2⁴ 2 ¹₄ ... 2² 2 ¹₂

2 2 2

n

n n

S             

     



^{2 4 2}



2 4 2

1 1 1

2 2 .. 2 2 ..

2 2 2

n

n  n

         

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : ₁ 1 1

n n

S u q q

 

 :

 

¹



1 1 4 1 4 1

4 1 1 4

4. 3 2 4. 1 1 2 3.4

4

n

n n

n

n n

S n n

   

   

  

    

 Theo đề bài ta có:

 

¹



⁹⁹

 

¹



¹⁰⁰ min

4 1 4 1 3 2 4

2 4 1 4 1 3 39,124... 40

3.4 4

n n n

n n

n n

n n n n



   

         

Câu 16: Cho 3 số phức z z z₀, ,_{1 2} thỏa mãn đồng thời

1 3 3 2

2 2 8

z z

z z z z

    

   

 , với ₃ 1 ³

z   2i. Biết

rằng ^{0 1}

 

0 2

, , , z z a bi

a b c d R z z c di

  

 

   

 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ¹

P 2 ad bc

A. P17 B. P18 C. P19 D. P20

Lời giải

Gọi A z

   

1 ,B z2 ,M z

   

3 ,C z0 . Theo giả thiết ta có z₁z₃ z₃z₂