GIÁO ÁN K11 - HK1 - ĐS_GT11.C3-Bài 2. Dãy số.doc

(1)

Trường:………..

Tổ: TOÁN

Ngày soạn: …../…../2021 Tiết:

Họ và tên giáo viên: ………

Ngày dạy đầu tiên:………..

BÀI 2: DÃY SỐ

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 11 Thời gian thực hiện: ... tiết

I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức

- Nắm được định nghĩa dãy số, dãy số hữu hạn, ba cách cho một dãy số, cách biểu diễn hình học của dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn.

- Biết tìm số hạng cụ thể của dãy số, tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đơn giản, biết biểu diễn hình học một dãy số,

- Tự cho một vài dãy số theo các cách cho một dãy số đã học, nhận dạng cách cho một dãy số.

- Xét được tính chất tăng, giảm, bị chặn của một dãy số.

- Biết cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học trong việc xây dựng công thức số hạng tổng quát của dãy số.

2. Năng lực

- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất:

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU Giáo viên

- Hệ thống câu hỏi các kiến thức bài học; máy chiếu - Chọn lọc bài tập thông qua các phiếu học tập.

- PP dạy học nhóm; PP giải quyết vấn đề Học sinh

+ Tìm hiểu trước trước bài học

+ Chuẩn bị bảng phụ, bảng nhóm, bút viết bảng, máy tính cầm tay.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :

(2)

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Ôn tập lại hàm số có tập xác định là tập con của _ b) Nội dung:

H1- Cho hàm số

 

¹

2 1

f n  n

 . Tính ^f

      

^{1 ,}^f ^{2 ,} ^f ^{3 ,} ^f ²⁰²¹



.

H2- Cho các số : 1, 4, 7, 10, 13, 16,…… dự đoán số hạng tiếp theo? Nhận xét gì về các số này?

c) Sản phẩm:

L1:

 

¹ ^1;

 

² ¹^;

 

³ ¹^;



²⁰²¹



¹

3 5 4041

f  f  f  f  .

L2: Các số đã cho có dạng: 3n2;n^*. d) Tổ chức thực hiện:

Chuyển giao - GV yêu cầu học sinh đứng tại chỗ trả lời.

- HS nhớ lại kiến thức đã học và làm bài

Thực hiện - HS trả lời câu hỏi, học sinh dưới lớp lắng nghe và bổ sung nếu cần.

- GV viết và chuẩn hóa câu trả lời của học sinh lên bảng

Báo cáo thảo luận - Sau khi các học sinh làm xong bài GV gọi HS dưới lớp nhận xét và chữa bài trên bảng nếu cần

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức và các bước thực hiện

ĐVĐ. Dãy số có mối liên hệ như thế nào với hàm số và được cho bằng cách nào?

2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI HĐ1. Định nghĩa

a) Mục tiêu: - Biết khái niệm dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn.

- Xác định được số hạng tổng quát của dãy số, số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn.

- Lấy được ví dụ cho dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, hoàn thành các phiếu học tập Phiếu học tập số 1

Cho hàm số ^{u n}

 

^ⁿ²^³, n N ^*. Tính ^u

 

¹ , ^u

 

² , ^u

 

³ , ^u

 

⁴ , ^u

 

⁵ . Phiếu học tập số 2

Cho dãy số sau:

0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

, , , , , ,....

2 2 2 2 2 2

           

           

            1) Dãy số trên tuân theo quy luật nào?

2) Với mỗi số nguyên dương ⁿ, kí hiệu v_n là số nằm ở vị trí thứ ⁿ (kể từ trái qua phải) của dãy số trên, hãy biểu diễn vn theo ⁿ?

c) Sản phẩm: Nội dung kiến thức và hoàn thành phiếu học tập I. Định nghĩa

1. Định nghĩa dãy số. Cho hàm số u:^*  ⁿ  ^{u n}

 

Hàm số ^u được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là

 

un trong đó un u n

 

. u1: số hạng đầu

un: số hạng thứ ⁿ và là số hạng tổng quát của dãy số.

(3)

Dạng khai triển của dãy số

 

un : u u u₁, , ,..., ,...₂ ₃ u_n

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn. Mỗi hàm số ^u xác định trên tập M 



1, 2,3,...,m

 m*

được gọi là dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u u u₁, ₂, ₃,...,u_m trong đó u₁ là số hạng đầu, um là số hạng cuối.

Ví dụ 1

Dãy các số chính phương 1, 4,9,16, 25,.... có số hạng đầu u₁1, số hạng tổng quát u_n n² Dãy số hữu hạn ^{1 1 1 1 1}, , , ,

2 4 8 16 32 có số hạng đầu 1

1

u 2, số hạng cuối 5

1 u 32.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận:

Tập hợp các giá trị tương ứng của ^{u n}

 

được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của ⁿ trong tập _^: ^u

 

¹ , ^u

 

² , ^u

 

³ , ^u

 

⁴ , ^u

 

⁵ ,… tạo thành một dãy số.

Với mỗi số nguyên dương ⁿ, ta có

 

¹ ¹

2

n

v n

  

   , công thức này xác định một hàm số với biến là số tự nhiên. Dãy số trong Phiếu học tập số 2 chính là tập hợp các giá trị của hàm số ^{v n}

 

được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của ⁿ trong tập _^.

Như vậy, ta thấy có một sự tương ứng giữa một hàm số với biến tự nhiên với một dãy các số thực trong hai phiếu học tập trên. Vì thế, ta có thể coi dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

HĐ2. Cách cho một dãy số a) Mục tiêu

- Biết được ba cách cho dãy số (bởi công thức của số hạng tổng quát, bởi hệ thức truy hồi, bằng mô tả).

- Lấy được ví dụ minh họa ba cách cho dãy số.

- Tìm được số hạng thứ k trong dãy số cho bởi một trong ba cách trên.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK. Học sinh nhận phiếu học tập, GV yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập.

H1: Có bao nhiêu cách cho một dãy số? Cho ví dụ từng cách cho một dãy số đó.

(4)

Phiếu học tập số 3 Cho các dãy số sau:

 

un ^:un  

 

³ ⁿ,

 

¹ ²

1 2

: 1

, 3

n

n n n

u u

v u u _ u _ n

 

   

 ,

 

wn ^: Dãy các số nguyên tố.

1) Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số trên?

2) Với k là số tự nhiên cho trước, ta có thể xác định được số hạng thứ k của mỗi dãy trên hay không?

c) Sản phẩm: Nội dung kiến thức và hoàn thành phiếu học tập II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

 

un ^:un  f n n N

 

^,  ^* Ví dụ 2.

 

^:

n n 1 u u n

 n



2. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp) - Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu)

- Với n2, cho công thức tính u_n nếu biết u_n_₁ (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó).

Công thức truy hồi thường gặp là

 

1

1 , 2

n n

u a

u f u _ n

 

  

 , ¹



² 1 2



,

, , 3

n n n

u a u b

u f u_ u _ n

 

  



3. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ: 1) Dãy các số nguyên dương nhỏ hơn 10 và chia hết cho 3 là: 3, 6, 9.

2) Dãy các số chính phương lớn hơn 10 và nhỏ hơn 50 là: 16, 25, 36, 49.

Chuyển giao Chia lớp thành 4 nhóm. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Mỗi dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Với k là số tự nhiên cho trước ta luôn xác định được số hạng thứ k của mỗi dãy trên. Do đó, các dãy số đã cho ở trên là hoàn toàn xác định và ta nói

 

un là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát,

 

vn là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi,

 

wn là dãy số cho bằng phương pháp mô tả.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

HĐ3. Dãy số tăng, dãy số giảm

(5)

a) Mục tiêu

- Biết khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm.

- Xét được tính tăng, giảm của dãy số.

- Biết khái niệm dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn.

- Chứng tỏ được một dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn.

b) Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK. Học sinh nhận phiếu học tập, GV yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau tron

g phiếu học tập

Phiếu học tập số 4

Cho dãy số

 

un ^:un ¹ ¹

 n a) Tính un_1?

b) Xét dấu u_n_₁u_n,từ đó hãy so sánh u_n_₁ và u_n với mọi _n__^? Phiếu học tập số 5

Cho

 

vn ^:vn ⁵n¹ a) Tính v_n_₁?

b) Xét dấu vn_1vn, từ đó hãy so sánh vn_1 và vn với mọi n^? Phiếu học tập số 6

Cho dãy số

 

: 2 n n 1 u u n

 n

 . Chứng minh rằng ¹

n 2

u  ,  n ^*? Phiếu học tập số 7

Cho dãy số

 

^: ² ¹

n n 2 v v n

n

  . Chứng minh rằng v_n 1,  n ^*?

c) Sản phẩm: Nội dung kiến thức và hoàn thành phiếu học tập IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm a) Định nghĩa

 

un là dãy số tăng ^ un_1un,  n ^*.

 

un là dãy số giảm ^un_1un,  n ^*.

Các dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu.

b) Phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số Phương pháp 1. Xét hiệu u_n_₁u_n

- Nếu u_n_1u_n 0,  n ^*

u_n_₁ u_n,  n ^* 

 

un là dãy số tăng - Nếu u_n_1u_n0,  n ^*

^un_1un,  n ^* 

 

un là dãy số giảm Phương pháp 2. Nếu u_n 0 _{ }_n _^* thì lập tỉ số ⁿ ¹

n

u u

 rồi so sánh với 1 - Nếu ⁿ ¹ ^1,

n

u u

   n N^* u_n_₁ u_n,  n ^*

(6)

^

 

un là dãy số tăng - Nếu ⁿ ¹ ¹

n

u u

   n N^* u_n_1 u_n,  n ^* ^

 

un là dãy số giảm

Ví dụ 3. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau a)

 

un ^:un ²n¹

b)

 

:

n n 3n

v v  n

c)

 

un ^:un  

 

³ ⁿ

Chú ý. Có những dãy số không tăng, không giảm, chẳng hạn

 

un ^:un  

 

^{3 .}ⁿ

2. Dãy số bị chặn Định nghĩa

 

un bị chặn trên  M : u_n M, n ^*.

 

un bị chặn dưới  m: u_n m n, ^*.

 

un bị chặn ^{ }^{M m}^, : m u _n M, n ^*. Ví dụ 4

a) Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì u_n 1,  n ^* b) Dãy số

 

: 2

n n 1 u u n

n

 bị chặn vì 0 ¹

n 2

u  ,  n ^*.

Ví dụ 5. Trong các dãy số

 

un sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) u_n 2n²1 b) ^uⁿ ^ ^{n n}



¹^²



^c)^uⁿ ^^sinⁿ^^cosⁿ^d)uⁿ 2 ²¹ 1

 n



Chuyển giao

Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 4;

Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 5. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 6;

Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 7. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số

 

un được gọi là dãy số tăng, dãy số

 

vn được gọi là dãy số giảm.

(7)

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số

 

un được gọi là bị chặn trên, dãy số

 

vn được gọi là bị chặn dưới.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, hoàn thành ví dụ 3 và chuyển giao nhiệm vụ mới. HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng : - Cách cho dãy số

- Dãy số tăng, dãy số giảm , dãy số bị chặn b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1 Câu 1: Xét các dãy sau:

(1). 1, 2,3, 4...

(2). 1 1 1 1, , , ,...

3 5 7

(3). 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,...

(4). 1 1 1 1 1 1, , , , , ,...

2 2 3 3 3

Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng:

A.

 

1 là dãy đơn điệu giảm,

 

3 là dãy đơn điệu không giảm,

 

4 là dãy đơn điệu không tăng

B.

 

1 là dãy đơn điệu tăng,

 

4 là dãy đơn điệu không tăng

C.

 

4 là dãy đơn điệu không tăng.

D. Cả ba câu trên đều sai

Câu 2: Tổng S 1.3 3.5 5.7¹ ¹ ¹ ^...



2 1 2

 

¹ 1



n n

    

  bằng:

A. 2 1 S n

 n

 B. 1

2 S n

n

  C.

1 S n

 n

 D. 2

2 1

S n

 n

 Câu 3: Xét các câu sau:

(1). Dãy 1, 2,3, 4,... là dãy bị chặn (dưới và trên) (2). Dãy 1 1 1

1, , , ,...

3 5 7 là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng B. Chỉ có (2) đúng

C. Cả hai câu đều đúng D. Cả hai câu đều sai.

Câu 4: Cho dãy số ¹

1

5

n n

u

u _ u n

 

  

 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A.



¹



n 2

n n

u 

 B.



¹



5 2

n

n n

u 

  C. ₅



¹



n 2

u n n

  D. ₅



¹

 

²



n 2

n n

u  

 

(8)

Câu 5: Cho dãy số

 

1

2 1

1 1 ⁿ

n n

u u _ u

 

   

 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A. u_n  1 n B. u_n  1 n C. un   ¹

 

¹ ²ⁿ D. un n Câu 6: Cho dãy số ¹ 2

1

n n

u u _ u n

 

  

 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A. ₁



² ¹

 

¹



n 6

n n n

u  

  B. ₁



¹

 

² ²



n 6

n n n

u  

  C. ₁



¹

 

² ¹



n 6

n n n

u  

  D. Tất cả đều sai

Câu 7: Cho dãy số

1

2 2 1

n

u

u ^ u

  

   

 Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A. 1

n

u n

n

  B. 1

n

u n n

  C. 1

n

u n

n

   D.

n 1 u n

 n

 Câu 8: Cho tổng S_n     1 2 3 ... n. Khi đó S3là bao nhiêu?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 9: Cho tổng ^{S n}

 

^{ }¹² ²²^{ }^... ⁿ²^. Khi đó công thức của ^{S n}

 

là?

A.



^{1 2}

 

¹



n 6

n n n

u  

 B. 1

n 2 u  n

C.



^{1 2}

 

¹



n 6

n n n

u  

 D. ²



² ¹



n 6

n n

u 

 Câu 10: Tính tổng S n

 

1.2 2.3 3.4¹ ¹ ¹ ^..._



¹ 1



^.

    n n

 Khi đó công thức của ^{S n}

 

là?

A. ⁿ 2

S n

 n

 B.

n 1 S n

 n

 C. 2

2 1

n

S n

 n

 D. 1

n 2n

S  Câu 11: Dãy số 3 1

3 1

n

u n n

 

 là dãy số bị chặn trên bởi A. 1

2 B. 1

3 C. 1 D. Tất cả đều sai

 

un có ûⁿ ²ûⁿ¹û¹³û¹ⁿ²



ⁿ ^*



^.

 

   

  Khi đó số hạng thứ n + 3 là?

A. u_n_3 2u_n_23u_n_1 B. u_n_3 2u_n_23u_n C. u_n_3 2u_n_23u_n_1 D. u_n_3 2u_n_23u_n_1

 

un có un

 

¹ⁿ ¹^.cos² ^.

n



   Khi đó u12bằng:

A. 1

2 B. 3

2 C. 1

2 D. 3

 2 Câu 14: Cho dãy số

 

un có 1

2 .

n n

u n

 Khi đó un_1bằng:

A. 1

1

n 2n

u _  n B. 1

2

n 2n

u _  n C. 1 1

2

n 2n

u _  _n D. 1

n 2n

u _  n

Câu 15: Dãy số 1

n 1 u n

 là dãy số có tính chất?

A. Tăng B. Giảm

C. Không tăng không giảm D. Tất cả đều sai

(9)

Câu 16: Cho dãy số u_n sin . n

  Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?

A. ₁ sin

n 1

u n



 

 B. Dãy số bị chặn

C. Dãy số tăng D. Dãy số không tăng, không giảm Câu 17: Dãy số

 

un xác định bởi ¹

1

6

n 6 n

u

u _ u

 



 

 là dãy bị chặn vì:

A. 5

6uⁿ 2 B. 6u_n 3

C. 6u_n  6 6 D. 6u_n  6 7 Câu 18: Tổng S 2.5 5.8 8.11¹ ¹ ¹ ^...



3 1 3

 

¹ 2



n n

    

  là:

A. ^S ^ ^{2 3}



ⁿⁿ^²



^B.^S ^ ^{2 3}



³ⁿⁿ^²



^C.^S^ ^{2 3}



³ⁿⁿ^^¹²



^D. 3³ 2 S n

 n

 Câu 19: Dãy số

 

un xác định bởi

1

2

1 2

n 2 n

n

u

u u

 u

 

  

    

  



là dãy bị chặn dưới vì:

A. u_n  3 B. u_n  2 C. 3

n 2

u  D. 5

n 3 u 

Câu 20: Dãy số

 

1

1 1 . 2

n

n n

u u _ u

 

     

  



Số hạng unđược biểu diễn dưới dạng .2

.2

n

n n

a b

u c

  thì tổng a b c  là:

A. 1 B. 2 C. 5 D. -1

Câu 21: Cho dãy số ^uⁿ ^ ^{n n}



¹^¹



^{và dãy}

 

vn xác định bởi công thức ¹ ¹

1 1

.

n n n

v u v _ v u _

 

  

 Số hạng

tổng quát vn được biểu diễn dưới dạng . . .

n

a n b v c n d

 

 Khi đó giá trị biểu thức a d b c.  . là :

A.1 B. 2 C. 5 D. 2

 

1

2 1. 2

n n

u u _ u

 

 

  Số hạng

 

un được biểu diễn dưới dạng 2

2

n

n n

u  a thì giá trị a là:

A. 2 B. 3 C. 1 D. 1

Câu 23: Số hạng lớn nhất của dãy số ₂

n 100 u n

n

 là:

A. 1

21 B. 1

20 C. 1

25 D. 1

30 Câu 24: Dãy số

 

1

1 .

n n 2

u u _ u

 

  

 Số hạng tổng quát unđược biểu diễn dưới dạng

n .

u a n b thì tổng a b là:

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

(10)

Câu 25: Dãy số

 

1

2

n 2 n

u

u _ u

 



 

 là dãy bị chặn vì:

A. 3

2uⁿ 2 B. 2u_n 2 C. 1u_n  2 2 D. 5 2uⁿ 3 Câu 26: Dãy số uⁿ 1.2 2.3 3.4¹ ¹ ¹ ^...



¹ 1



    n n

 là dãy số bị chẵn trên bởi

A. 1

n 2

u  B. u_n 1 C. 2

n 3

u  D. 3

n 4 u  c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình

ĐÁP ÁN

1-C 2-A 3-D 4-B 5-D 6-C 7-C 8-D 9-A 10-B

11-C 12-A 13-D 14-C 15-B 16-C 17-B 18-A 19-B 20-C

21-B 22-A 23-B 24-A 25-B 26-B

Câu 1: Đáp án C Dựa vào định nghĩa Câu 2: Đáp án A

1 1 1 1 1 1

2 1 ... 1

3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1

S S n

n n n n

     

                 Câu 3: Đáp án D

 

1 chỉ bị chặn dưới vì các phần tử luôn 1 và khi n tăng đến dương vô cùng thì các phần tử cũng tăng đến dương vô cùng

 

2 chỉ bị chặn trên vì các phần tử luôn 1 và bị chặn dưới bởi 0 Câu 4: Đáp án B

   

2 1 3 2 1

1 2 1 2 1 2 3 ... 1 5 1

n n 2

n n

u u u u u u n u 

                  Câu 5: Đáp án D

 

²

1 1 ⁿ 1 2 1 1 2 3 2 1 3 ...

n n n n

u _ u   u  u    u u u    u n Câu 6: Đáp án C

 

²

   

2 2 2 2 2 2

2 1 3 2

1 2 1

1 1 1 2 ... 1 1 2 ... 1 1

n 6

n n n

u u u u u n  

                 Câu 7: Đáp án C

2 3

3 4

2 3...

u   u   Dự đoán công thức tổng quát là n ¹

u n

n

   Kiểm tra bằng quy nạp thấy đúng

Câu 8 : Đáp án D

 

3

1 6

n 2

S n n S

  

Câu 9 : Đáp án A

Đây là công thức cơ bản cần nhớ, có thể kiểm tra bằng quy nạp Câu 10 : Đáp án B

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1

1 2 2 3 3 4 1 1 1

S n n

n n n n

           

  

Câu 12 : Đáp án C

(11)

3 1 2

1 1

3 1 3 1

n

u n

n n

    

  do đó dãy số bị chẵn trên bởi tất cả các số a1 Câu 12 : Đáp án A

Thay n bằng n + 3 vào công thức truy hồi Câu 13 : Đáp án D

 

^{12 1}

12

2 3

1 .cos

12 2

u  

   

Câu 14 : Đáp án C

 

1 1 1

1 1 2

2 2

n n n

n n

u _   _  _ Câu 15: Đáp án B

   

1

1 0

2 1

n n

u u

n n



   

  nên dãy un giảm Câu 16 : Đáp án A

sin 1 sin

n n 1

u u

n n

 

    

 A đúng

Ta có ^{1 sin} ¹ ¹ un ¹

 

un

n

         B đúng

Lại có 1

1

sin

sin sin sin 1

1

n

n n

n

u n u u

n n

u n



 

 ^



 

    

 

 

 



Với 1 1 sin sin 1 0 1

 

n n 2 n n n

n u u _       u u _  u tăng

Với 1 1

 

2 sin sin 1 3 0

2 3 2

n n n n n

n u u   u u u

 

           giảm

Tùa đó ta có C sai và D đúng Câu 17 : Đáp án B

Ta có ¹

1 2

6 6

6 0

n n

n

n n

u u

u u u



 

  

  

   



Ta sẽ chứng minh u_n 3 (1) bằng phương pháp quy nạp toán học Với n 1 u_n  u1 6 3 

 

1 đúng

Gỉa sữ (1) đúng vưới ^{n k k}^



^^^*



^hay^u^k ^^3, ta cần chứng minh (1) đúng với ^{n k}^{ }^1, tức

1 3

uk_ 

Thật vậy, ta có u_k_1 6u_k  6 3 3  từ đó u_n 3 Như vậy ⁶ un  ³

 

un bị chặn

Câu 18 : Đáp án A

   

1 1 1 1 1 1 1 1 3

2 5 5 8 ... 3 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

n n

S S

n n n n n

     

                  

(12)

Câu 19 : Đáp án B

Từ ₁ ₁

1

1 2 1 2

2 2

n n n n

n n

u u u u

u u

 



   

       

   

Ta có ngay 1 1

1

1 2

0 .2 . 2

n n 2 n

n

u u u

  u



   

Dấu “=” xảy ra

1

1 1

0 2

n

n n

u

u u



 

  

 u_n_¹ 2 u¹ 2, vô lý un  ²

 

un bị chặn dưới Câu 20 : Đáp án C

Tham số hóa

1 1

1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 2 2

n n n n

u m u m m m u u

 

                           

Đặt ¹ ¹ 1 1 ¹ ¹

1

2.1

2 1 2 . 2.1 2

2 1

n

n n

v u

v u v v q

v v q

 



  

  

        

     

2 2

1 2.2 2

2. 2 2 5

2 2

1

n

n n

a

u b a b c

c

 

 

              

Câu 21 : Đáp án B Ta có 1 1

1

v u 2 và ^vⁿ^¹^{ }^vⁿ ^uⁿ^¹ ^



ⁿ^¹

 

¹ⁿ^²



^ ⁿ¹^¹^ⁿ^¹²^^vⁿ^¹^ⁿ¹^²^{ }^vⁿ ⁿ¹^¹

Đặt ¹ ¹ 1 ¹

1

1 1

1 2 . 1

1 1

n

n n n

n n

r v

r v r r q

n r r q





   

          1

1 0

1 1

1

1 1

1

n n

a n b

v v ad bc

c

n n

d

 

 

           

  Câu 22 :Đáp án A

Tham số hóa 1

 

1

 

1 1 1

2 2 2 2

n n n n

u _  m u m  m     m m u _   u 

Đặt

1 1 1

1 1 1 2

1 1 1 .

2 2

n n

n n n n

n n

v u

v u v v q

v v q





  

  

           

2 2 2

1 2

2 2

n

n n n n

u u  a

      

Câu 23 :Đáp án B

2 2

1 100 2 .100 20

n

n u

u u  u 



Câu 24 :Đáp án A

Ta có ¹ 1

   

1

1 2

1 2 1 2 1 1

2 ⁿ 1

n n

u a

u u n d n n a b

d u _ u b

 

 

           

      



Câu 25 :Đáp án B

(13)

Ta có

Ta sẽ chứng minh u_n 2 (1) bằng phương pháp quy nạp toán học Với n 1 u_n u1 2 2 

 

1 đúng

Giả sử (1) đúng với ^{n k k}^



^^*



hay u_k 2, ta cần chứng minh (1) đúng vớin k 1 , tức

1 2

uk_ 

Như vậy ²un ²

 

un bị chặn Câu 26 :Đáp án B

 

1 1 1 1 1 1 *

1 ... 1 1,

2 2 3 1 1

n n

u n u

n n n

     

                 bị chặn trên

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo 4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu:

- Giải quyết một số bài toán ứng dụng hàm số liên tục trong thực tế . b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài toán: Một khách hàng có 100 triệu đồng đem gửi Ngân hàng với lãi suất 0,4 % /3 tháng, tỷ lệ lãi suất trên được tính dồn cả gôc + lãi cho mỗi Quý nếu khách hàng không rút tiền ra. Hỏi Vị khách hàng này sau hai năm thu được số tiền lãi là bao nhiêu ?

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà . Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.

*Hướng dẫn làm bài

Theo thể thức của ngân hàng, ta lập bảng sau

(14)

A.-Thời điểm B.Tiền gốc + lãi C.Lãi cộng dồn Đầu Năm

2018 100 000 000

Năm thứ nhất

cuối Q

1 104 000 000 4 000 000

Cuối

Q2 108 160 000 8 160 000

Cuối

Q3 112 486 400 12 486 400 Cuối

Q4 116 985 856 16 985 856

Năm thứ hai

cuối Q

1 121 665 290 21 665 290 Cuối

Q2 126 531 902 26 531 902 Cuối

Q3 131 593 178 31 593 178 Cuối

Q4 136 856 905 36 856 905

Như vậy, sau 2 năm ( 8 quí )vị khách hàng trên mới có số tiền lãi 36 856 905 đồng . Ngày ... tháng ... năm 2021

TTCM ký duyệt