chuyên dề phương trình đương thảng trong mặt phảng tọa đọ OXYZ LTĐH

CHUYấN ĐỀ:

PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG A- Những kiến thức cơ bản

PHẦN I: ễN TẬP KIẾN THỨC TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I- ễN TẬP:

Các công thức toạ độ:

+ Cho

A x y (

_A

;

_A

), B x y (

_B

;

_B

), C x y (

_C

;

_C

)

:

*

AB   x

B

 x

A

; y

B

 y

A



*

AB AB   ( x

_B

 x

_A

)

²

 ( y

_B

 y

_A

)

²

+

I x y ( ;

_{I I}

)

là trung điểm của AB,

G x (

_G

; y

_G

)

là trọng tõm

 ABC

:

2 2

3 3

*

*

A B

I

A B

I

A B C

G

A B C

G

x x x

y y y

x x x x

y y y

y

  

  

  

 

 

   

 



Gọi M Trung điểm AB; G, I, H trọng tâm,tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC. Nêu các cách tìm toạ độ của chúng.

Chú ý Biểu thức véctơ:

IA IB IC IH     3 IG

.

+ Biểu thức toạ độ của tích vô h-ớng: Cho

a x y ( ; ); ( ; )

_{1 1}

b x y

_{2 2} thì:



_{1 2}



_{1 2}

. a b x x y y .

và

   

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos ; x x y y

a b x y x y

Hệ quả:

a b   a b .   0 x x

_{1 2}

 y y

_{1 2}

.  0

II-LUYỆN TẬP:

Bài 1: Cho tam giác ABC; Biết A(1;2), B(-2;-1), C(3;-2) .

a) Tìm toạ độ trọng tâm , trực tâm , tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

b) Tính diện tích tam giác, độ dài đ-ờng cao AH.

c) Tìm toạ độ điểm M thoả mãn hệ thức:

MA  2 MB  3 MC  0

.

d) Tìm toạ độ điểm P thuộc đ-ờng thẳng: x+ y +2 = 0sao cho

PA  2 PB  3 PC

min Bài 2: Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc (Oxy) cho hình vuông ABCD có A(0;2),

C(4;0). Tìm toạ độ các điểm B,D.

Bài 3: Trong hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc (Oxy) cho điểm A(1;1). Tìm toạ độ các điểm B thuộc trục hoành,

điểm C thuộc đ-ờng thẳng y = 2 sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

PHẦN II: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG I- Lí THUYẾT:

1- Ph-ơng trình đ-ờng thẳng:

a) Ph-ơng trình tổng quát:

Ax  By C   0

(1) ( A²+B²> 0) + Véc tơ pháp tuyến:

n

= (A;B); véc tơ chỉ ph-ơng

u

= (



B;A)

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm M₀(x₀;y₀) có véc tơ pháp tuyến

n

= (A;B) là

A x   x

0

  B y   y

0

  0

b) Ph-ơng trình tham số:

y

x d

O

a b

Ph-ơng trình tham số của đ-ờng thẳng (d) di qua điểm M₀(x0;y0), có véc tơ chỉ ph-ơng

u

=(a;b) là:

  

 

 



0 0

x x at

y y bt

(t là tham số) (2)

Chỳ ý: Mối quan hệ giữa vectơ phỏp và vectơ chỉ phương:

n   u n u .  0

c) Ph-ơng trình chính tắc:

Ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng thẳng (d) di qua điểm M₀(x₀;y₀), có véc tơ chỉ ph-ơng

u

=(a;b)

 a b .  0 

là:

 

0



0

x x y y

a b

⁽³⁾

Chú ý: Trong (3): Nếu a = 0 thì pt (d) là x = x0.

Nếu b = 0 thì pt (d) là y = y₀. (Xem là quy ước) * Thêm một số cách viết khác của pt đ-ờng thẳng:

+ Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua 2 điểm A(x₁;y₁), B(x₂;y₂) là:

 



¹

 

⁰

2 1 2 1

x x y y

x x y y

⁽⁴⁾

Trong (4) nếu x2 = x1 thì pt đ-ờng thẳng là x = x1 nếu y₂ = y₁ thì pt đ-ờng thẳng là y = y₁

+ Ph-ơng trình đ-ờng thẳng cho theo đoạn chắn:

Đ-ờng thẳng (d) căt Ox, Oy lần l-ợt tại các điểm A(a;0), B(0;b) có pt là:

x y   1

a b  a b .  0 

⁽⁵⁾

+ Họ pt đ-ờng thẳng đi qua điểm M₀(x₀;y₀) là:

y y 

₀

 k x x ( 

₀

)

(6) (Trong đú

k

: là hệ số gúc của đường thẳng)

Chú ý: Cách chuyển ph-ơng trình đ-ờng thẳng từ dạng này qua dạng khác.

2) Một số vấn đề xung quanh ph-ơng trình đ-ờng thẳng.

a) Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng:

Cho hai đ-ờng thẳng: (d) có pt Ax + By + C = 0 và (d') có pt A'x + B'y+ C' = 0.

Một số phương phỏp để xỏc định (d), (d') cắt nhau, song song, trùng nhau:

Phương phỏp 1: (Giải tớch)

Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của phương trỡnh:

0

' ' ' 0

Ax By C (*)

A x B y C

  

    



Kết luận: + Hệ (*) vụ nghiệm

 ( ) / /( ') d d

+ Hệ (*) vụ số nghiệm

 ( ) d  ( ') d

+ Hệ (*) cú nghiệm

 x y

0

;

0

  ( ) d  ( ') d   M

0

 x y

0

;

0

 

Phương phỏp 2: (Nhận xột về mối quan hệ giữa cỏc vectơ đặc trưng)

Cho 2 đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và (d'): A'x + B'y+ C' = 0 cú vectơ phỏp tương ứng là

 ;  , '  '; ' 

n  A B n  A B

.

 



0 0 0



( ) / /( ')

' ( ) ( ')

' ( ) ( ') ;

TH1:

TH2:

d d

n kn

d d

n kn d d M x y

     

   

Đặc biệt:

n  n '  ( ) d  ( ') d

Thí dụ:

1) Tìm đ/k của m để hai đ-ờng thẳng sau cắt nhau:

H

M₀

d

H d M

₀

d'

I



d d'

T₂ T₁

d

d' M (d): (m+1) x - my + m²- m = 0 và (d'): 3mx - (2+m)y- 4 = 0.

2) Tìm đ/k của m, n để hai đ-ờng thẳng sau song song:

(d): mx + (m - 1)y - 3 = 0 và (d'): x - 2y - n = 0.

KỶ NĂNG:

Cho đường thẳng d :

Ax  By C   0

. Lỳc đú : *

 / / : d 

cú dạng

Ax  By   m 0

*

  d : 

cú dạng

 Bx  Ay   n 0

b) Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đ-ờng thẳng:

Khoảng cách từ điểm M₀(x₀;y₀) đến đt (d): Ax + By + C = 0 là:

      



0 0

0 0 2 2

; Ax By C

h d M d M H

A B

+ Khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng song song:

Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d'): Ax + By + C' = 0.

Khoảng cách giữa (d) và (d') là:

     

0 2



2 0

( ; ') ( ; ') C C ' ( )

h d d d d M d M d

A B

Thí dụ:

a) Viết pt đ-ờng thẳng (d) song song với đ-ờng thẳng (d') có pt: x -y + 1 = 0 và cách (d') một khoảng h =

2

b)Viết pt đ-ờng thẳng song song và cách đều hai đ-ờng thẳng sau: x - 2y + 1 = 0 và x - 2y - 5 = 0.

c) Góc giữa hai đ-ờng thẳng:

+ Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d'): A'x + B'y + C' = 0. Gọi

 0     90

⁰



là góc của (d) và (d') thì:

  

 

'

2 2 2 2

'

. ' '

cos =

. ' '

d d d d

n n AA BB

n n A B A B

Mở rộng thờm:

Cho (d) và (d') là hai đ-ờng thẳng có hệ số góc lần l-ợt là: k₁, k₂ góc giữa (d) và (d') là



thì:

  



1 2 1 2

tan

1 k k

k k

d) Ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng

Cho hai đt (d): Ax + By + C = 0 và (d'): A'x + B'y + C' = 0 cắt nhau thì ph-ơng trình chùm đt tạo bởi chúng là:

     

 

2 2

' ' ' 0 0

' ' ' 0

(*)

hay (**)

Ax By C A x B y C Ax By C t A x B y C

           

     

( Hay mọi đường thẳng



đi qua gđiểm I của (d) và (d’) đều cú pt dạng (*), (**) ) Thí dụ: Viết PT đ-ờng thẳng (l) đi qua giao điểm 2 đ-ờng thẳng (d): 2x - y + 1 = 0 và (d') x + y -3 = 0 vuông góc với đ-ờng thẳng: (d₁): x - 2y -1 = 0.

e) Ph-ơng trình đ-ờng phân giác:

pt đ-ờng phân giác của (d) và (d'):

   

  

2 2 2 2

' '

' '

Ax By C A x B y C

A B A B

Kết luận:

Tồn tại 2 đường phõn giỏc vuụng gúc với nhau của gúc tạo bởi (d) và (d'):

5 5

M₂

M₁ A

d

 

            

 

     

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

' ' ' '

(T ): (T ):

' ' ' '

Ax By C A x B y C Ax By C A x B y C

A B A B A B A B

Chó ý: C¸ch ph©n biÖt ®-êng ph©n gi¸c gãc nhän, gãc tï; ®-êng ph©n gi¸c gãc trong, ngoµi cña gãc tam gi¸c.

ThÝ dô1: ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng ph©n gi¸c gãc nhän t¹o bëi hai ®-êng th¼ng:

(d) 2x - y + 1= 0 vµ (d'): x - 2y - 1 = 0 .

KỶ NĂNG: Vị trí tương đối của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng

d : ax  by   c 0

và 2 điểm

A x y (

_A

;

_A

), B x y (

_B

;

_B

)

Ký hiệu:

T

_A

 ax

_A

 by

_A

 c T ,

_B

 ax

_B

 by

_B

 c

Lúc đó:

TH 1:

T T

A

.

B

  ax

A

 by

A

 c   . ax

B

 by

B

 c   0

thì A, B cùng phía đối với đường thẳng

d

.

TH 2:

T T

A

.

B

  ax

A

 by

A

 c   . ax

B

 by

B

 c   0

thì A, B khác phía đối với đường thẳng

d

.

B- MỘT SỐ NHẬN XÉT VÀ KỶ NĂNG QUAN TRỌNG:

Thông thường để giải tốt một bài toán hình giải tích, ta theo các bước sau:

+ Vẽ hình ở nháp, phân tích kỹ các giả thiết tránh khai thác sai, thừa.

+ Lựa chọn thuật toán và trình bày bài.

I-KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM “THUỘC”

Phương pháp:

1) M x y₀( ;_{0 0})



:ax by c

  

0



ax₀



by₀

 

c 0 VD: M(1;0)



: 2x

  

y 2 0 vì 2.1 0

  

2 0 M(1;1)



: 2x

  

y 2 0 vì 2.1 1 2

    

1 0

2) Cho đt



:ax by c

  

0 và M



. Lúc đó, ta gọi ( ; at c) M t b

 

(nghĩa là tọa độ của M chỉ phụ thuộc một ẩn) VD: M



: 2x

  

y 2 0. Gọi M t t( ; 2



2)

1

: ;

3 4

x t

M t R

y t

  

      ^{. Gọi} M(1



t;3 4 )



t M



: 2x

 

3 0. Gọi 3

( ; ) M 2 t M



:y

 

3 0. GọiM t( ;3). Bài tập minh họa: Cho đường thẳng

d

có ptts: 2 2

3 ;

x t

t R

y t

  

   

 ^.

Tìm điểm M



d sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

Giải: Nhận xét: Điểm M



d nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d.

GọiM(2



2 ;3t

 

t) d. Ta có:uuurAM (22 ; 2t t)

.

Theo giả thiết: uuuurAM

 

5 (2 2 )



t ²

 

(2 t)²



5

2 2

(2 2 )t (2 t) 25

    

2

1

5 12 17 0 17

5 t

t t

t

 

        



. Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt M₁(4; 4) và ₂ 24 2

( ; )

5 5

M

 

. Nhận xét:

Dựa vào hình vẽ ở nháp, ta có thể thấy luôn tồn tại 2 điểm M thỏa ycbt.

Bài tập tương tự:

Cho đt



:x



3y

 

6 0vàA(1; 2). Xác định hình chiếu

H

^của

A

lên đường thẳng



. II-KỸ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

Cho đt



:ax



by

 

c 0.

d A B

d A

B

Khác phía

Cùng phía

* PT đt

d  

có dạng: bx



ay

 

m 0

* PT đt

d // 

có dạng: ax



by



m



0. (trong đó m là tham số).

Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng d qua M₀(x y₀; ₀)và vuông góc (hay song song) với :ax by c 0

   

. Phương pháp:

Cách 1: Xác định Vtcp hoặc Vtp.

Đường thẳng d qua M₀(x y₀; ₀)và nhận ..., pt d:

Cách 2: Do

d  

nên pt d có dạng: bx



ay

 

m 0(m là tham số)

Mặt khác M₀(x y₀; ₀)



d nên: bx₀



ay₀

  

m 0 m. Kết luận...

*Nhận xét:

Ta dễ nhận xét cách giải quyết bài toán của cách 2 là khoa học và tốt hơn cách 1.

Bài tập minh họa:

Viết ptđt

d

qua M(1;1)và song song với



: 2x

  

y 1 0. Giải:

Do

d // 

nên pt

d

có dạng: 2x

  

y m 0(m là tham số).

Mặt khác M(1;1)



d nên: 2.1 1

     

m 0 m 1. Lúc đó, pt d: 2x

  

y 1 0(ycbt).

Bài tập tương tự:

1) Viết ptđt

d

qua M(1;1)và vuông góc với



: 2x

  

y 1 0.

2) Cho

 ABC

với A(0;1), (2;1)B và C( 1; 2)



. Lập phương trình các đường cao của



ABC. ---

II-LUYỆN TẬP:

I. Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng

Bµi 1: LËp ph-¬ng tr×nh TQ vµ TS cña ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt:

a,

M 1; 1 ; n       2;1

^b,

M 0;4 ; n      1;3 

Bµi 2: LËp PTTS vµ PTTQ cña ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm M vµ cã vtcp u biÕt:

a, ^{M 1; 2 ; u}

     

^{1;0 b, M 5;3 ; u}

    

^3;1



Bµi 3: LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm A vµ B trong c¸c tr-êng hîp sau:

a, ^A



1;1 , B 2;1

  

b, ^{A 4; 2 , B}

  

^{ 1; 2}



Bµi 4: LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB biÕt:

a, ^{A 1;1 , B}

  

^3;1



^b, A 3; 4 , B 1; 6

  





Bµi 5: LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) biÕt:

a, ®i qua ®iÓm M(2;-1) vµ cã hÖ sè gãc k = 2 b, ®i qua ®iÓm M(0;4) vµ cã hÖ sè gãc

 2

k 3

c, ®i qua ®iÓm M(-3;-1) vµ t¹o víi h-íng d-¬ng trôc Ox gãc 45⁰. d, ®i qua ®iÓm M(3;4) vµ t¹o víi h-íng d-¬ng trôc Ox gãc 60⁰. Bµi 6: ChuyÓn (d) vÒ d¹ng tham sè biÕt (d) cã ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t:

a, 2x



3y = 0; b, x + 2y



1 = 0 c, 5x



2y + 3 = 0 Bµi 7: ChuyÓn (d) vÒ d¹ng tæng qu¸t biÕt (d) cã ph-¬ng tr×nh tham sè:

a,  

  

 x 2

y 3 t ^b,

  

  



x 2 t

y 4 t ^c,

  

  



x 2 3t

y 1

Bµi 8: T×m hÖ sè gãc cña c¸c ®-êng th¼ng sau:

a, 2x



3y + 4 = 0 b, x + 3 = 0 c, 2y



4 = 0

d, 4x + 3y



1 = 0 e, x 2 t y 5 3t

  

  

 ^f,

x 4 2t y 5t 1

  

  

 Bµi 9: LËp PTTQ vµ PTTS cña ®-êng th¼ng (d) ®i qua 2 ®iÓm A, B biÕt:

a, A 1; 3 , B 2;2





  

b, ^{A 5; 1 , B}



^

 

^{ 2; 4}



Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), A2



1;2



, A 1;33

 

, A 1; 14







, ₅ 1 A ;2

2

 

 

 ^{, 6} A 7 1;

3 3

 

 

 ^, A7

 

3;1 , điểm nào nằm trên đ-ờng thẳng

 

^{d : x 2 t}

y 1 2t

  

  



Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)

a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác b, Lập ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác ABC c, Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC

d, Lập ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác ABC e, Lập ph-ơng trình các đ-ờng trung bình của tam giác ABC Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)

a, Lập ph-ơng trình đ-ờng trung trực cạnh AB

b, Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đ-ờng trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC

Bài 13 (ĐHQG 1995): Lập ph-ơng trình các cạnh và các đ-ờng trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần l-ợt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)

II. Đ-ờng thẳng song song, vuông góc với một đ-ờng thẳng cho tr-ớc Bài 1: Lập PTTQ đ-ờng thẳng

 

^ đi qua A và song song đ-ờng thẳng (d) biết

a, A 1;3 , d : x

   

  y 1 0 b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0c, A(3;2), (d): Trục Ox d, ^A



^{1;1 , d :}

  

^{x 1 t}

y 2 2t

  

     ^e, A 3;2 , d :

   

^{x 3 2t}

y 4

  

 

Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đ-ờng thẳng

 

^ đi qua A và vuông góc với đ-ờng thẳng (d) biết:

a, A 3; 3 , d :2x 5y 1





  

  0 b, ^A



 1; 3 , d : x

  

 2y 1 0 c, ^{A 4;2 , d}

   

^Oy

d, A 1; 6 , d :

   

^{x 1 t}

y 2 2t

  

    ^e, A 4; 4 , d :

   

^{x 4 2t}

y 1 5t

  

   

Bài 3: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đ-ờng cao (d₁) và (d₂) có ph-ơng trình là

 

d1 : x  y 2 0; d

 

2 :9x 3y  4 0

Bài 4: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đ-ờng cao (d₁) và (d₂) có ph-ơng trình là

 

d1 : x  y 1 0; d

 

2 :3x  y 7 0

Bài 5: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đ-ờng cao qua đỉnh A và B lần l-ợt là (d₁): x + 2y – 13 = 0 và (d₂): 7x + 5y – 49 = 0. Lập ph-ơng trình cạnh AC, BC và đ-ờng cao thứ 3

Bài 6: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các đ-ờng cao qua đỉnh A và C lần l-ợt lá (d₁): 5x + y – 6 = 0 và (d₂): x + 2y – 1 = 0. Lập ph-ơng trình cạnh AB, BC và đ-ờng cao thứ 3

Bài 7: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đ-ờng cao và đ-ờng trung tuyến kẻ từ một

đỉnh có ph-ơng trình lần l-ợt là:

 

d1 :5x4y 1 0; d

 

2 :8x  y 7 0

Bài 8: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đ-ờng cao và đ-ờng trung tuyến kẻ từ một

đỉnh có ph-ơng trình lần l-ợt là:

 

d1 :2x 7y 230; d

 

2 :7x4y 5 0

Bài 9: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đ-ờng trung tuyến (d₁) và (d₂) có ph-ơng trình là:

 

d1 :2x  y 1 0; d

 

2 :x 1 0

Bài 10: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đ-ờng trung tuyến (d1) và (d2) có ph-ơng trình là:

 

d1 :3x 5y 12  0; d

 

2 :3x 7y 14  0

Bài 11: Ph-ơng trình 2 cạnh của một tam giác là:

 

d1 :x  y 2 0; d

 

2 : x2y 5 0 và trực tâm H(2;3).

Lập ph-ơng trình cạnh thứ 3

Bài 12: Ph-ơng trình 2 cạnh của một tam giác là:

 

d1 :3x y 240; d

 

2 : 3x4y 96 0 và trực tâm H 0;32

3

 

 

 . Lập ph-ơng trình cạnh thứ 3

Bài 13: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), ph-ơng trình đ-ờng cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần l-ợt là:

 

d1 : 3x 2y 3  0; d

 

2 :7x  y 2 0

Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập ph-ơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M(2;3), ph-ơng trình (AB): x – y – 1 = 0; ph-ơng trình (AC): 2x + y = 0

Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập ph-ơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm 4 2 G ;

3 3

 

 

  ^và ph-ơng trình (AB): x – 3y + 13 = 0; ph-ơng trình (AC): 12x + y – 29 = 0

Bài 16: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đ-ờng cao kẻ từ A và B lần l-ợt là:

 

d1 : 2x 5y 290; d

 

2 : 10x 3y 5  0

III, Hình chiếu vuông góc của điểm lên đ-ờng thẳng

Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đ-ờng thẳng (d) và xác định toạ độ điểm M1 đối xứng với M qua (d)

a,

M( 6;4);(d) : 4x 5y 3     0

b,

M(1;4);(d) : 3x 4y 4    0

c, x 1 2t M(3;5);(d)

y 3 4t

  

  

 Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC

a, A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b, A(-2;1); B(2;-3); C(5;0).

Bài 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d₁) đối xứng với đt(d) qua điểm I

a,

I( 3;1);(d) : 2x y 3     0

b,

I(1;1);(d) : 3x 2y 1    0

c, x 2 t

I( 1;3);(d) :

y 1 2t

  

     ^d,

x 3 t I(0;2);(d) :

y 5 4t

  

  

 Bài 4: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d₁) đối xứng với đ-ờng thẳng (d) qua đt(



) biết:

a,

(d) : x 2y 1    0;( ) : 2x y 3     0

b,

(d) : 2x 3y 5    0;( ) : 5x y 4     0

c,

x 1 y 3

(d) : 5x y 6 0;( ) :

2 3

 

    



d, x 1 2t

(d) : 2x y 3 0;( ) :

y 3 t

  

       

Bài 5: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); ph-ơng trình 2 đ-ờng phân giác trong xuất phát từ B và C lần l-ợt là

(d ) : x y

_B

  0;(d ) : 2x y 8

_c

   0

Bài 6: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) và ph-ơng trình phân giác trong xuất phát từ C là

(d) : x y 3    0

Bài 7: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh BC: x



4y



8



0 và ph-ơng trình 2 đ-ờng phân giác trong xuất phát từ B và C lần l-ợt là:

(d ) : y

_B

 0;(d ) : 5x 3y 6

_C

   0

Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); ph-ơng trình đ-ờng cao và đ-ờng phân giác trong xuất phát từ A lần l-ợt là

(d ) : x

₁

 2;(d ) : 3x 8y 14

₂

   0

IV, Vị trí t-ơng đối của 2 đ-ờng thẳng

Bài 1: Xét vị trí t-ơng đối của các cặp đ-ờng thẳng sau:

a, ₁ x 1 t ₂ x 2 u

(d ) : ;(d ) :

y 2 t y 5 u

   

 

     

  b, ₁ x 1 t ₂ x 3 2u

(d ) : ;(d ) :

y 3 t y 2 u

   

 

     

 

c, ₁ x 2 3t ₂

(d ) : ;(d ) : 2x 3y 1 0 y 1 t

  

   

  

 d,

(d ) : 3x 2y 1

₁

   0;(d ) : x 3y 4

₂

   0

Bài 2: Cho a²



b²



0 và 2 đt (d₁) và (d₂) có ph-ơng trình:

(d ) : (a₁ b)x y 1;(d ) : (a₂ ²b )x ay²  b

a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d1) và (d2) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao

điểm I của chúng

b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành

Bài 3: Cho 2 đ-ờng thẳng

(d ) : kx y

₁

   k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k

₂



²

  

²

 0

a, CMR: đ-ờng thẳng (d1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k

b, CMR: (d₁) luôn cắt (d₂). Xác định toạ độ của chúng V, Góc và khoảng cách

Bài 1: Tìm góc giữa 2 đ-ờng thẳng (d₁) và (d₂) trong các tr-ờng hợp sau:

a,

(d ) : 5x 3y 4

₁

   0;(d ) : x 2y 2

₂

   0

b,

(d ) : 3x 4y 14

₁

   0;(d ) : 2x 3y 1

₂

   0

c, ₁ x 1 3t ₂

(d ) : ;(d ) : 3x 2y 2 0 y 2 t

     

  

 ^d,

(d ) : x my 1 0;(d ) : x y 2m 1 0

¹

  

²

   

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau:

a,

M(1; 1);(d) : x y 5     0

b,

M( 3;2);(d) : 3x 4y 1     0

c, ^{M 3;2}

 

; (d): Trục Ox d,

M( 3;2);(d) : 2x   3

e, x 2 2t

M(5; 2);(d) :

y 5 t

  

    ^f,

x 2 M(3;2);(d) :

y 1 t

 

  

 Bài 3: Cho 2 đ-ờng thẳng (d₁):2x3y10;(d₂):4x6y30

a, CMR (d₁) // (d₂) b, Tính khoảng cách giữa (d₁) và (d₂).

Bài 4: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M và tạo với (



) một góc



biết:

a,

M( 1;2);( ) : x 2y 3        0; 45

⁰ b, x 1 3t ⁰ M(2; 0);( ) : ; 45

y 1 t

  

       c,

M( 2; 1);( ) : 3x 2y 1         0; 30

⁰ d,

M(4;1);( )   Oy;   30

⁰ Bài 5: Lập ph-ơng trình đ-ờng phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) biết:

a,

(d ) : 2x 3y 1

₁

   0;(d ) : 3x 2y 2

₂

   0

b, _{1 2} x 1 5t (d ) : 4x 3y 4 0;(d ) :

y 3 12t

  

       c,

(d ) : 5x 3y 4

₁

   0;(d ) : 5x 3y 2

₂

   0

d,

(d ) : 3x 4y 5

₁

   0;(d )

₂

 Ox

Bài 6: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:

a,

M(2;5); N(4;1);r  2

b,

M(3; 3); N(1;1);r   2

Bài 7: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7)

Bài 8: Cho 2 đ-ờng thẳng

(d ) : 2x 3y 5

₁

   0;(d ) : 3x y 2

₂

   0

. Tìm M nằm trên Ox cách đều (d₁) và (d₂).

Bài 9 (ĐH 2006A): Cho 3 đ-ờng thẳng (d₁); (d₂); (d₃) có ph-ơng trình:

(d₁):x



y



3



0;(d₂):x



y



4



0;(d₃):x



2y



0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d3) sao cho khoảng cách từ M đến (d1) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d2).

Bài 10: Cho 3 đ-ờng thẳng ;( ):5 1 0;( ):4 3 2 0 1

2 : 1

)

( _{1 2}    ₃   











 d x y d x y

t y

t

d x . Tìm M nằm trên

(d₁) cách đều (d₂) và (d₃)

Bài 11: Cho 2 điểm A(2;1); B(-3;2) và đ-ờng thẳng (d):4x+3y+5=0. Tìm điểm M cách đều A; B đồng thời khoảng cách từ M đến (d) bằng 2.

Bài 12 (ĐH Huế 96): Cho 2 đ-ờng thẳng

(d ) : 2x y 1

₁

   0;(d ) : x 2y 7

₂

   0

. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) qua gốc toạ độ sao cho (d) tạo với (d₁) và (d₂) tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d₁) và (d₂).

Bài 13: Cho 2 điểm A(0;5); B(4;1) và đ-ờng thẳng

(d) : x 4y 7    0

. Tìm trên (d) điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C

Bài 14: Cho điểm A(3;1). Xác định 2 điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần t- thứ nhất. Lập ph-ơng trình 2 đ-ờng chéo của hình vuông đó.

Bài 15: Cho 3 điểm A(1;-1); B(-2;1) và C(3;5).

a, CMR: A, B, C là 3 đỉnh của tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.

b, Tìm điểm M nằm trên Ox sao cho AMˆB60⁰

Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4; 2 đỉnh A(1;-2), B(2;-3) và trọng tâm của tam giác ABC nằm trên

đ-ờng thẳng

(d) : x y 2    0

. Tìm toạ độ điểm C.

Bài 17 (ĐH 2002A): Cho tam giác ABC vuông tại A ; biết ph-ơng trình cạnh BC là: 3x



y



3



0; điểm A, B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2.

VI, Các bài toán cực trị

Bài 1: Tìm trên (d) điểm M(x_M;y_M) sao cho x²_M



y_M² nhỏ nhất biết:

a,

(d) : x y 4    0

b, (d):2x



3y



5



0 c,















t y

t d x

3 2 ) 1

(

Bài 2: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm M(3;1) và cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm phân biệt A(a;0), B(0;b) với a>0; b>0 sao cho:

a, Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. b, OA + OB nhỏ nhất. c,

1

₂

1

₂

OA  OB

nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:

a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1).

Bài 4: Tìm trên trục tung điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỉ nhất biết:

a, A(-2;1), B(1;1) b, A(1;3), B(3;-3) c, A(-3;-1), B(2;3) Bài 5: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:

a,

(d) : x y   0;A(3;2), B(5;1)

b,

(d) : x y 2    0;A(2;1), B(1;5)

c,

(d) : x y   0;A( 1;3), B( 2;1)  

Bài 6: Cho đ-ờng thẳng

(d) : x 2y 2    0

và 2 điểm A(1;2), B(2;5). Tìm trên (d) điểm M sao cho:

a, MA + MB nhỏ nhất b,

MA  MB

nhỏ nhất

c, MAMB nhỏ nhất d, MAMB lớn nhất

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a,

y  x

²

 4x 8   x

²

 2x 2 

b,

y  x

²

 2x 2   x

²

 6x 10 

c,

y  x

²

   x 1 x

²

  x 1

d,

y  x

²

   x 2 x

²

 3x 3 

Dạng 1 : Lập Ph-ơng Trình đ-ờng thẳng

Bài 1: Viết ph-ơng trình đ-ờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB với A(4;6), B(2;1) Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1;4), B(3;-1), C(6;2)

a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác b, Viết ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác

c, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác d, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung trực của tam giác

Bài 3: Viết ph-ơng trình các cạnh và các đ-ờng trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của BC, CA, AB theo thứ tự là M(2;3), N( 4;-1), P(-3;5).

Bài : Cho ABC với A(1;1) và hai đường thẳng

d x :    y 1 0, :  2 x    y 1 0

(m): x-y+1=0, (d): 2x- y+1=0. Tỡm B, C biết:

a)

d , 

lần lượt là hai đường cao xuất phỏt từ hai đỉnh của ABC.

b)

d , 

lần lượt là hai đường trung tuyến xuất phỏt từ hai đỉnh của ABC c)

d , 

lần lượt là hai đường phõn giỏc trong xuất phỏt từ hai dỉnh của ABC.

d)

d

là đường cao,



là đường trung tuyến xuất phỏt từ hai đỉnh của ABC.

e)

d

là đường cao,



là đường phõn giỏc trong xuất phỏt từ hai đỉnh của ABC.

f)

d

là đường trung tuyến, (d) là đường phõn giỏc trong xuất phỏt từ hai đỉnh của ABC.

g)

d

là đường cao,



là đường trung tuyến xuất phỏt từ một đỉnh của ABC.

h)

d

là đường cao,



là đường phõn giỏc trong xuất phỏt từ một đỉnh của ABC.

k)

d

là đường trung tuyến,



là đường phõn giỏc trong xuất phỏt từ một đỉnh của ABC.

Bài 4: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau :

a, Đi qua điểm M(1;-2) và cắt Ox, Oy lần l-ợt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân b, Đi qua điểm M(4;-2) và cắt Ox, Oy lần l-ợt tại A,B sao cho M là trung điểm của AB c, Đi qua điểm M(1;2) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau d, Đi qua điểm M(1;2) và có hệ số góc k=3

e, Đi qua điểm M(-2;1) và tạo với h-ớng d-ơng trục Ox một góc bằng 30⁰ f, Đi qua điểm M(3;-4) và tạo với trục Ox một góc bằng 45⁰

g, Đi qua điểm M(1;4) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 Bài 5: Cho tam giác ABC biết A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)

a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

b, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng chứa đ-ờng cao AH của tam giác c, CMR tam giác ABC là tam giác vuông cân

Bài 6: Cho tam giác ABC biết rằng A(1;-1), B(-2;1), C(3;5)

a, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng chứa đ-ờng trung tuyến BN của tam giác b, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm A và vuông góc với trung tuyến BN c, Tính diện tích tam giác ABN

Bài 7: Cho tam giác ABC biết các cạnh BC, CA, AB lần l-ợt có các trung điểm là M(1;2), N(3;4), P(5;1) a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

b, Viết ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác

c, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác d, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung trực của tam giác e, Tìm toạ độ tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác Bài 8: Cho tam giác ABC biết A(-2;1), B(4;3), C(2;-3)

a, Viết ph-ơng trình tham số và ph-ơng trình tổng quát của cạnh BC b, Viết ph-ơng trình đ-ờng cao AH

Bài 9:Cho đ-ờng thẳng (d) : 2x +3y +1 = 0. Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua M( 3; -1 ) và:

a, Song song với đ-ờng thẳng (d) b, Vuông góc với đ-ờng thẳng (d)

Bài 13: Cho hình bình hành có ph-ơng trình hai cạnh là : (d1) : x -3y = 0 (d2) 2x +5y + 6 = 0 Và đỉnh C( 4; -1) . Viết PT hai cạnh còn lại

Bài 14:Viết PT các cạnh của tam giác ABC , biết đỉnh A( 2; 2) và hai đ-ờng cao có PT là:

(d1): x +y -2 = 0 (d₂): 9x - 3y +4 = 0

Bài 15 : Cho tam giác ABC với trực tâm H . Biết PT cạnh AB là (AB) : x +y - 9 =0 Các đ-ờng cao qua đỉnh A ,B lần l-ợt là (d_a): x+ 2y -13 =0 ; (d_b ) : 7x +5y -49 = 0 a , Xác định toạ độ trực tâm H và viết PT đ-ờng cao CH

b , Viết PT hai cạnh AC , BC

c , Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đ-ờng AB , BC , Oy

Bài 16: Cho tam giác ABC có đỉnh C (3;5) , đ-ờng cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có PT t-ơng ứng là : (d₁) : 5x +4y -1 = 0 , (d2) 8x +y -7 = 0

a , Viết PT các cạnh còn lại của tam giác b , Viết PT các đ-ờng cao còn lại của tam giác c , Viết PT các đ-ờng trung tuyến còn lại của tam giác

Bài 17 : Cho tam giác ABC có đỉnh B(3; 5). đ-ờng cao từ A có PT là (d1) : 2x - 5y +3 = 0 , đ-ờng trung tuyến kẻ từ C có PT (d₂) : x +y -5 = 0

a , Tính toạ độ đỉnh A

b , Viết PT các cạnh của tam giác ABC

Bài 18 . Cho tam giác ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC , cạnh AB và AC có PT là : (AB) : x-2y-2 =0 ; (AC) : 2x +5y +3 =0 . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác

Bài 19: PT hai cạnh của một tam giác là : (d₁) : 5x -2y +6 = 0, (d₂) 4x +7y -21 = 0. Viết PT cạnh thứ ba của tam giác , biết trực tâm H của tam giác trùng với gốc toạ độ

Bài 20 : Viết PT các cạnh của tam giác ABC biết A (1;2) và hai đ-ờng trung tuyến lần l-ợt cóPT là : (d1) : 2x -y +1 = 0 , (d₂) : x +3y -3 = 0

Bài 21: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)

a ,Biết PTđ-ờng cao BH : 5x +3y -25 = 0 , đ-ờng cao CK : 3x + 8y -12 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh B và C b , Biết đ-ờng trung trực của AB là (d) : 3x +2y - 4 = 0 và trọng tâm G (4; -2) . Tìm toạ độ đỉnh B và C

Bài 22:Cho tam giác ABC, biết cạnh BC có trung điểm M(0; 4), còn hai cạnh kia có PT là:

(d₁) : 2x +y -11 = 0 (d₂) x +4y -2 = 0 a , Xác định toạ độ đỉnh A

b , Gọi C là đỉnh nằm trên đ-ờng thẳng (d): x- 4y -2 =0, N là trung điểm của AC . Tìm toạ độ điểm N rồi tìm toạ độ B ,C

Bài 23 : Cho hai điểm P(4; 0) , Q ( 0; -2)

a, Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A (3;2) và song song với đ-ờng thẳng PQ b, Viết PT đ-ờng trung trực của đoạn thẳng PQ

Bài 24 : Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh nằm trên hai đ-ờng thẳng:

(d₁) : x +3y -6 = 0 (d₂) : 2x -5y -1 = 0 và tâm I (3; 5). Viết PT hai cạnh còn lại của hình bình hành

Bài 25: Viết PT các cạnh , biết trực tâm H (3; 3) , trung điểm cạnh BC là M (5; 4) và chân đ-ờng cao trên cạnh AB là K(3;2)

Bài 26 : Một hình chữ nhật có hai đỉnh đối nhau có toạ độ (5; 1) và (0;6) , một cạnh của hình chữ nhật có PT là (d) : x+ 2y -12 =0 . Viết PT các cạnh còn lại của hình chữ nhật

Bài 27: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên (d), từ đó suy ra toạ độ điểm M1 là điểm đối xứng với M qua (d), biết:

a. M(-6; 4) và (d): 4x - 5y + 3 = 0 b. M(6; 5) và (d): 2x + y - 2 = 0 c. M(1; 2) và (d): 4x - 14y - 29 = 0 d. M(1; 2) và (d): 3x + 4y - 1 = 0

Bài 28: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(0; 1), C(-4; -1) a. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC b. Tìm toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC

Bài 29: Một hình thoi có một đỉnh có toạ độ (1; 0), một cạnh có ph-ơng trình:7x + y - 7 = 0 và một đ-ờng chéo có ph-ơng trình: 2x +y - 7 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại của hình thoi

Bài 30: Cho tam giác ABC, biết A(3; 5), B(4;-3) và phân giác trong của góc C có ph-ơng trình(d_c): x + 2y - 8 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 31: Cho tam giác ABC, biết A(0; 3) và hai đ-ờng phân giác trong của góc B và C có ph-ơng trình: (d_B): x - y = 0 , (dC): 2x + y - 6 = 0

Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 32: Cho tam giác ABC, biết B(2; -1), đ-ờng cao qua đỉnh A và đ-ờng phân giác trong qua đỉnh C lần l-ợt là:

(d_A): 3x - 4y + 27 = 0, (d_B): x + 2y - 5 = 0 Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 33: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -1). Ph-ơng trình của một phân giác và một trung tuyến xuất từ hai đỉnh khác nhau theo thứ tự là:(d₁): x - 4y + 10 = 0 ,

(d₂): 6x + 10y - 59 = 0.Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 34: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d₁) đối xứng với đ-ờng thẳng (d) qua đ-ờng (



^{), biết:}

a. (d): x + 2y - 13 = 0 và (



): 2x - y - 1 = 0 b. (d): x - 3y + 3 = 0 và (



): 2x - 6y + 3 = 0 c. (d): x - 3y + 6 = 0 và (



): 2x - y - 3 = 0

Bài 35: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d₁) đối xứng với đ-ờng (d) qua điểm I, biết:

a. (d): 2x - y + 4 = 0 và I(-2; 1) b , (d): x - 2y - 5 = 0 và I(2; 1) Bài 36: Cho tam giác hình bình hành ABCD, biết:(AB): x + 2y - 7 = 0, (AD): x - y + 2 = 0

Và tâm I (1; 1). Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại của hình bình hành

Bài 37: Cho tam giác ABC, biết C(3; 5) đ-ờng phân giác trong và đ-ờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A có ph-ơng trình là: (d₁): 5x + 4y - 1 = 0 , (d₂): 8x + y - 7 = 0

a. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

b. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với (d2) qua (d1).

Bài 38: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3; 1), ph-ơng trình đ-ờng cao và đ-ờng phân giác trong kẻ từ A có ph-ơng trình theo thứ tự là: (d₁): x + 3y + 12 = 0,

(d₂): x + 7y + 32 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 39: Cho tam giác ABC. Biết ph-ơng trình cạnh AB là: (AB): x + y - 9 = 0 các đ-ờng phân giác trong của

đỉnh A và B lần l-ợt là:(d_A): x + 2y -13 = 0,(d_B): 7x + 5y - 49 = 0 a. Viết ph-ơng trình hai cạnh AC và BC

b. Tính diện tích của tam giác gíơi hạn bởi các đ-ờng AB, BC, và Oy.

Bài 40: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình bình hành ABCD, biết tâm I(1; 6), còn các cạnh AB, BC, CD, DA lần l-ợt đi qua các điểm M(3; 0), N(6; 6), P(5; 9), Q(-5; 4).

Bài 41: Cho hai điểm A(4; 6), B(2; 4), đ-ờng thẳng (d₁) : x - 3y + 4 = 0. (d₂) : 2x-y-2=0 a. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d₃) đối xứng với đ-ờng thẳng (d₂) qua đ-ờng thẳng (d₁).

b. Tìm trên (d1) điểm N sao cho tam giác ABN là tam giác cân. Vị trí t-ơng đối giữa hai đ-ờng thẳng.

Bài 42: Xét vị trí t-ơng đối giữa hai đ-ờng thẳng (d₁) và (d₂), biết:

a. (d1) :

  

   2

x t

y t

và (d2):

  

   



1 1

x u

y u

^{b. (d1) :}

 

   2 2 x t

y t

^{và (d2):}

 

  

 4 2 x u

y u

c. (d₁) :

   

   2 2 2

x t

y t

^{và (d2)}

   

   2

x u

y u

^{d. (d1) :}

  

   



1 1

x t

y t

^{và (d2}): x + y +1 = 0 f. (d₁) :

   

   2

x t

y t

và (d₂): x - y + 2 = 0 g. (d1): 2x + 3y - 8 = 0 và (d2): 3x - 2y + 1 = 0 h. (d₁): 2x + 3y - 1 = 0 và (d₂): 4x + 6y - 2 = 0 i. (d₁): x - 2y + 1 = 0 và (d₂): 2x - 4y + 3 = 0 j. (d₁): mx + y + 2 = 0 và (d₂): x + my + m + 1 = 0 Bài 43: Cho hai đ-ờng thẳng:

(d₁) :

 

   3 2 x t

y t

và (d₂):

   

   



1 3 3 6

x u

y u

a. Xác định giao điểm I của (d₁) và (d₂) b. Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2) Bài 44: Cho a² = 4b² + 1 và hai đ-ờng thẳng:

(d₁): (a - b)x + y = 1 , (d₂): (a² - b²)x + ay = b a. Xác định giao điểm I của (d₁) và (d₂).

b. Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.

c. Tìm tập hợp giao điểm I của (d₁) và (d₂) khi a, b thay đổi.

Bài 45: Cho hai đ-ờng thẳng:

(d₁): (a + 1)x - 2y - a - 1 = 0 , (d₂): x + (a - 1)y - a² = 0 a. Xác định giao điểm I của (d1) và (d2)

b. Tìm a để đ-ờng thẳng qua M(0; a), N(a; 0) cũng đi qua giao điểm I.

Bài 46: Cho hai đ-ờng thẳng:

(d1): x - my - m = 0 , (d2): 2mx - (m² - 1)y - m² - 1 = 0 a. CMR: Khi m thay đổi (d1) luôn đi qua một điểm cố định

b. Với mỗi giá trị của m, hãy xác định giao điểm I của (d₁) và (d₂) c. Tìm quỹ tích giao điểm I khi m thay đổi

Bài 47: Cho điểm M(3; 0) và hai đ-ờng thẳng: (d1): 2x - y - 2 = 0 , (d2): x + y + 3 = 0

Gọi (d) là đ-ờng thẳng qua M và cắt (d1), (d2) lần l-ợt tại A, B. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) biết MA = MB.

Bài 48: Cho điểm M(1; 2) và hai đ-ờng thẳng: (d₁): x - y - 1 = 0, (d₂): 3x - y + 1 = 0.

Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua M và cắt (d1), (d2) lần l-ợt tại A, B và thoả mãn các điều kiện

a, MA=MB b, MA = 2MB

Bài 49:Viết PT đ-ờng thẳng (d) cắt các đ-ờng thẳng (d₁) x +y +3 = 0 và (d₂): 2x - y -5 = 0 tại các điểm A, B sao cho M (1; 1) là trung điểm AB .

Bài 50: Viết PT đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau :

a, Qua M (-2 ; -4) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân b, Qua M (5 ; 3) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho M là trung điểm của đoạn AB

c, Qua M ( 8;6) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12 d, Qua M (-4 ; 3) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho 5

MA  3 MB

e, Qua M(1;3) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn thẳng có độ dài bằng 5 Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a, P = (x +y -2)²+ ( x + my -3)² b, Q = (x -2y +1)²+ ( 2x + my +5)² c, K = (x +my -2)²+ [ 4x + 2(my -2)y -1 ]²

Bài 52: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ 3y -9 =0 và (d2) : 3x -2y -5 =0 đồng thời đi qua điểm A (2; 4)

Bài 53: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d₁): 3x+ y -1 =0 và (d₂) : 3x +2y -5 =0 đồng thời song song với đ-ờng thẳng (a) : x - y +4 =0

Bài 54: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d₁): x+ 3y -4 =0 và (d₂) : 3x -y -2 =0 đồng thời vuông góc với đ-ờng thẳng (a) : x - y -1 =0

Bài 55: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d₁): x+ 3y -8 =0 và (d₂) : 3x -2y -2 =0 đồng thời tạo với đ-ờng thẳng (a) : x - y -1 =0 một góc 45^o Bài 56: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ y -2 =0 và (d2) : 3x -4y +1 =0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn thẳng bằng nhau.

Bài 57: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d₁): x- y -2 =0 và (d₂) : 2x +y +8 =0 đồng thời cắt trục Ox, Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân

Bài 58: Viết PT đ-ờng thẳng d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d₁): 2x- y +5 =0 và (d₂) : x +y -2 =0 đồng thời tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác co diện tích bằng 8 Bài 59: Cho tam giác ABC biết PT các cạnh : (AB) : x-y-2=0 , (AC) : 3x -y -5 =0 , (BC) : x-4y -1 =0 . Viết PT các đ-ờng cao của tam giác

Bài 60: Cho tam giác ABC biết PT cạnh AB là 5x -3y +2 =0, đ-ờng cao AD: 4x-3y +1 =0.

đ-ờng cao BE : 7x +2y - 22=0

a, Viết PT đ-ờng cao CF b, Viết PT các cạnh AC, BC c, Tìm toạ độ đỉnh C

Bài 61:Tính góc giữa hai đ-ờng thẳng (d₁) và (d₂) biết : a, (d₁): 4x+3y+1=0 và (d₂): 3x+4y+3=0 b, (d₁):

 

  

 1 1

y x t

^{và (d2}): x+2y-7=0 c, (d₁):

 

  



1 3 2 x t

y t

^{và (d2):}

  

  



1 2 2

x u

y u

Bài 62: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau:

a, Qua điểm M(2;3) và tạo một góc 45⁰ với đ-ờng thẳng (d): x-y=0

b, Qua điểm M(2;-1) và tạo một góc 45⁰ với đ-ờng thẳng (d):

 3   2

1 1

x y

c, Qua điểm M(-1;2) và tạo một góc 45⁰ với đ-ờng thẳng (d):

 

  

 x t 1

y t

Bài 63: Cho tam giác ABC biết: (AB): x+y+1=0 (BC): 2x-3y-5=0

a, Viết ph-ơng trình các cạnh sao cho tam giác ABC cân tại A và AC đi qua điểm M(1;1) b, Tính các góc của tam giác

Bài 64: Cho hai đ-ờng thẳng: (d₁): 2x- y - 2 = 0 , (d₂) : 2x + 4y - 7 = 0 a. Viết ph-ơng trình các đ-ờng phân giác của góc tạo bởi (d₁) và (d₂) .

b. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua P(3; 1) cùng với (d₁), (d₂) tạo thành một tam giác cân có

đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).

Bài 65: Cho hai đ-ờng thẳng: (d1): 2x- y - 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y - 7 = 0

a. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua góc toạ độ sao cho đ-ờng thẳng (d) tạo với (d₁), (d₂) một tam giác cân có đỉnh giao điểm của (d₁), (d₂).

b. Tính diện tích tam giác

Bài 66: Cho hai đ-ờng thẳng: (d1): x + 2y - 3 = 0 (d2) : 3x - y + 2 = 0

Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) qua điểm P(3; 1) và cắt (d₁), (d₂) lần l-ợt tại A, B sao cho (d) tạo với (d₁), (d₂) một tam giác cân có cạnh đáy AB.

Bài 67: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có ph-ơng trình theo thứ tự là:

(d): x + 2y - 1 = 0 , (d’) : 3x - y + 5 = 0

Tìm ph-ơng trình cạnh còn lại biết nó đi qua điểm M(1; 3)

Bài 68: Cho hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình: (d₁): x + 2y - 4 = 0, (d₂) : 4x- 2y + 1 = 0

Cắt nhau tại I. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (



) đi qua A(2; 3) và (



) cùng với (d₁), (d₂) tạo thành tam giác cân đỉnh I.

Bài 69: Cho tam giác ABC, biết B(-3; 1), đ-ờng cao qua đỉnh A và đ-ờng phân giác trong qua đỉnh C lần l-ợt là:

(d_A): x + 3y + 12 = 0 , (d_C) : x + 7y + 32 = 0 Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác.

Bài 70: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình vuông, biết hình vuông có một đỉnh là (-4; 5) và một đ-ờng chéo có ph-ơng trình là (d): 7x - y + 8 = 0.

Bài 71: Một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông là A(4; -1), cạnh huyền có ph-ơng trình là (BC): 3x - y + 5 = 0. Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại.

Bài 72: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), B(3; 4), CosA =

2

5

^{, CosB =}

3 10

^.

Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác.

Bài 73: Cho tam giác ABC có C(-3; 2), CosA =

2

5

^{, CosB =}

3

5

và ph-ơng trình cạnh (AB): 2x - y - 2 = 0. Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại

Bài 74: Cho tam giác ABC cân tại A có B(-3; -1), C(2; 1) và CosA =

3

5

. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác

Bài 75: Cho hai điểm A(-1; 2), B(3; 5). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 2.

Bài 76: Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 6). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3.

Bài 77: CMR: Qua điểm A(4; -5) không có đ-ờng thẳng nào mà khoảng cách từ B(-2; -3) tới đ-ờng thẳng đó bằng 12.

Bài 78: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2), B(5; 4).

Bài 79: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(-2; 3) và cách đều hai điểm A(5; -1), B(3; 7).

Bài 80: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cách đều hai điểm A(2; 3), B(4; -5).

Bài 81: Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và cách đều hai điểm B, C.

Bài 82: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) cách điểm A(3; 1) một đoạn bằng 2 và cách

điểm B(-2; -4) một đoạn bằng 3.

Bài 83: Cho hai điểm B (1; 1), C(2; 3) và đ-ờng thẳng (d): 4x + 3y + 3 = 0.

a. Tìm điểm A thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.

b. Tìm điểm A thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC vuông.

c. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (



) cách điểm B một khoảng bằng 2 và cách điểm C một khoảng bằng 4.

Bài 84: Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm cách đ-ờng thẳng (d): 4x + 3y + 5 = 0 một

đoạn bằng 6 và cách đều hai điểm A(-2; -5), B(12; -3).

Bài 85: Cho hai đ-ờng thẳng: (d₁): x - 3y + 3 = 0 , (d₂) : 3x - y - 1 = 0 Tìm tất cả những điểm cách đều (d₁) và (d₂):

a. Nằm trên trục hoành b. Nằm trên trục tung

Bài 86: Cho ba đ-ờng thẳng: (d₁): x + y + 3 = 0 , (d₂) : x - y - 4 = 0 , (d₃) : x - 2y = 0 . Tìm điểm M thuộc

đ-ờng thẳng (d₃) sao cho khoảng cách từ M đến đ-ờng thẳng (d₁) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đ-ờng thẳng (d2).

Bài 87: Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) và đ-ờng thẳng (d): x - 2y + 8 = 0 a. Xác định điểm C thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.

b. Xác định điểm M thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho diện tích tam giác ABM bằng 17.

Bài 88: Diện tích tam giác ABC bằng

2

3

, hai đỉnh A(2; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của tâm thuộc đ-ờng thẳng: (d): 3x - y - 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.

Bài 89: Cho hai điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đ-ờng thẳng (d): x + y + 4 = 0 a. Tìm trên (d) điểm C cách đều hai điểm A, B.

b. Với C tìm đ-ợc, tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành.

Bài 90: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (



) song song với (d): 3x - 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến đ-ờng thẳng (d) bằng 1.

Bài 91: Cho hình vuông ABCD có hai cạnh là(d₁): 4x - 3y + 3 = 0 , (d₂) : 4x - 3y - 17 = 0 Và đỉnh A(2; -3). Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại của hình vuông.

Bài 92: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(5; -1) và một trong các cạnh nằm trên đ-ờng thẳng (d): 4x - 3y - 7 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại.

Bài 93: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết AB, CD, BC, AD lần l-ợt

đi qua các điểm M(2; 1), N(3; 5), P(0; 1), Q(-3; -1).

Bài 94: Tìm M thuộc d): 2x + y - 1 = 0 và cách đ-ờng thẳng (



) : 4x + 3y - 10 = 0 một khoảng bằng 2.

Bài 95: Cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đ-ờng thẳng (d): y = 2x.

a. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC đều b. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân.

c. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC vuông.

Bài 96: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3; 1), B(1; -3) a. Tìm toạ độ điểm C biết C trên Oy.

b. Tìm toạ độ điểm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy.

Bài 97: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4) và trọng tâm G(0; 4).

a. Giả sử M(2; 0) là trung điểm cạnh BC. Xác định toạ độ các đỉnh A, B.

b. Giả sử M di động trên đ-ờng thẳng (d): x + y - 2 = 0. Tìm quỹ tích điểm B. Xác định M để cạnh AB ngắn nhất.

Bài 98: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và PT các cạnh.

(AB): 4x + y + 15 = 0 (AC) : 2x + 5y + 3 = 0 a. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.

b. Tìm toạ độ đỉnh B và viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng BC.

Bài 99: Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)

a. Tìm toạ độ trọng tâm G, trục tâm H và tâm I của đ-ờng tròn ngoại tiếp



ABC.

b. CMR: I, H, G thẳng hàng c. Tính diện tích tam giác ABC Bài 100