(0,5đ) Lợi ích cực đại là 80

(1)

Đáp án đề thi cuối kỳ môn Toán Kinh tế 1 HK1 2018-2019 Câu 1: Ta có 40x50y4004x5y40y 8 0,8x

( 5)( 4) ( 5)(12 0,8 ) 0,8 2 8 60

U  x y  x  x   x  x (0,5đ)

' 1,6 8 ; ' 0 5 4

U   x U   x  y (0,5đ) '' 1, 6 0

U    . Suy ra hàm lợi ích U đạt cực đại tại x5,y4. (0,5đ) Lợi ích cực đại là 80.

Câu 2:

Hàm lợi nhuận

1 1 2 2

2

1 1 2 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

(56 4 ) (96 4 ) 15 20( ) ( )

5 5 36 76 2 15

TR C PQ P Q C

Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

     

        

      

(0,5đ)

1 1

2 2

1 2 1

2 1

2

13

10 36 2 0 6

10 76 2 ; 0 43

6

Q Q

Q Q Q

Q Q

Q

 

 

       

 

  

  

      

  

  



(0,5đ)

1 2

28 142 202

; ,

3 3 3

Q P P

   

1 2

10 2

( , )

2 10

H Q Q   

   

có ¹

2

10 0 96 0 M

M

  



 



(0,5đ)

Suy ra ma trận Hessian xác định âm. Vì vậy lợi nhuận đạt cực đại. Lợi nhuận cực đại là 296,333.

Câu 3 :

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có

(2)

0

lim 2 2

x x

x

e e

I x





 



(0,5đ)

Áp dụng quy tắc L’ Hospital một lần nữa, ta được

0

lim 0

2

x x

x

e e^



 

(0,5đ)

Câu 4:

2 2

' 1 2

'' 4 4

''' 12 8

x x

f e xe

 

  

  

 

(0,5đ)

2 3

'(0) ''(0) '''(0)

( ) (0) ( 0) ( 0) ( 0) ...

1! 2! 3!

1 2 2 2 ...

f f f

f x f x x x

x x x

       

    

(0,5đ)

Câu 5:

Thị trường cân bằng

1 1

2 2

3 3

1 2 3

24 3 175

4 15 230

3 20 2 230

S D

Q Q P P P

P P P

Q Q

     

 

      

     



(1đ)

Áp dụng quy tắc Cramer ta có

1 2 3

68350 102525 136700

10; 15; 20

6835 6835 6835

D D D

P P P

D D D

  

        

   là bộ giá cân bằng

thị trường (0,5đ)

1 55, 2 190, 3 195

Q  Q  Q  là bộ sản lượng cân bằng thị trường. (0,5đ) Câu 6:

A có hai trị riêng : ₁9,₂ 4 (0,5đ) Ứng với trị riêng ₁ 9, ta tìm được vector riêng ₁ ¹

x  2

  

 

Ứng với trị riêng ₂ 4, ta tìm được vector riêng ₂ ² x 1

  

  (0,5đ)

(3)

Chuẩn hóa hệ vector



x x1, 2}, ta được ₁ ₂

1 2

5 5

2 , 1

5 5

x x

   

   

     

   

   

,

Đặt



1 2



1 2

5 5

2 1

5 5

P x x

  

 

   

 

 

 

. Khi đó APDP^¹PDP^T (0,5đ)

100 100 1

1 2 1 2

5 5 9 0 5 5

2 1 0 4 2 1

5 5 5 5

A PD P^

    

   

   

    

   

   

100 100 100 100

9 4.4 2.9 2.4

5 5

2.9 2.4 4.9 4

5 5

   

 

  

 

 

 

(0,25đ)

100 100 100

det[A ][det ]A 36 (0,25đ) b) detA360.Suy ra rank[A]=2 (0,5đ)

1 5 0, 2 36 0

M   M  

.Suy ra A xác định dương. (0,5đ)