Nhân, chia phân thức

2) Chia hai phân thức:

- Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:

a)

2 2

x 4 x 2

: 2x

x 5x

− +

+ b) ₂

2 2

x xz x

y : yz

⋅y c)

1 1 1 1 x2

x − x x: + ⋅x 2 ...

...

...

d)

x2 9 x 3

x 2 : x

− −

− e)

3

2 3

x xz x :yz

z ⋅ y f)

2 2 1 4 x2

x − x x: + ⋅x 2 ...

...

...

B) BÀI TẬP:

Bài 1: Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

a)

3

2 3

4y 5x

3x ⋅2y b)

2 2

2

x 2x 1 x x

x 1 x 1

− + ⋅ +

− − c)

2 3

2

2x x 3x 3

3x 6

x x 1

+ ⋅ +

− + +

d) 3x 6 2x 4

4x 8 x 2

+ ⋅ −

− + e)

x2 36 x 5

2x 10 6 x

− ⋅ +

+ − f)

3 2

1 y 5y 5

y 1 y y 1

− ⋅ +

+ + +

g) ₂^{x 2y} ₂

(

^{2x y}

)

4x 4xy y

+ ⋅ −

− + h)

2

2

15x 4z

8yz ⋅5xy i) 6x 12 x 2

10 5x x 2

+ ⋅ −

− +

j)

2 2

3x 5y

5xy 12xy

− ⋅ − k)

2 2

3 1

x x 4

2x 1

x 1

+ ⋅ x

−

−

− - Muốn chia phân thức A

B cho phân thức C

D (C khác đa thức 0), ta nhân A

B với phân thức D

C:

A C A D

B D: = ⋅B C với C D ≠0 - Phân thức D

C được gọi là phân thứcnghịch đảo của phân thức C D

Bài 2: Thực hiện các phép chia phân thức sau:

a)

4 3

5x x

: 20y

4y

 

− 

  b)

x2 16 2x 8

x 4 : x

− −

+ c)

( )

³

3

x 3

2x 6

: 2x 4

x 8

+ +

− −

d)

2 2

20x 15x

: 6y

3y

 

− 

  e)

3 3 2 2

2 2

x y x xy y

y x :x 2xy y

+ − +

− − + f)

2 2

9x y 3x y

x y :2x 2y

− +

+ +

g) ^{9 x2: x}

(

³

)

x

− − h)

3

3 2

14x 7x

5yz :15yz i) 2

( )

x 5

: 3x 15 1

x

− −

+

j)

2 2

: 5y 12xy 3x

5xy

−

− k)

2 2

3 2

4x 1 4x 4x 1

8x 1 4x: 2x 1

− + +

− + +

Bài 3: Tính:

a) 1 x ² x 1

x 1 :

x x

− −

 + − 

 

  b)

2 2

3x 15x

1 : 1

x 1 1 x

 

 +   − 

 +  −

    c)

3 2 1 1 x2

x − x x: + ⋅x 3

d)

2

2

4x 2 3x 2 4 2x

x 2 x 4 2x 1

+ ⋅ + ⋅ −

− − + e)

2

2 2

x 3 x 2 x 4

x x 6x 9 x: 3x

+ ⋅ + −

+ + + f)

2 3

3

5x 2xz z

9y⋅ y :8y

g)

2

2

x 2xy y x 1

x y 3x x :3 x

− ⋅ −

− − − h)

(

^{x2− ⋅1}

)

^_{x 1}¹₊ ⁻_x¹₋₁^+1_ ^{i) }_x^{12 −1}_x^_^⋅x_y^{2 + x}_y

j)

2 2 2

2

x 49 x 5 x 5

x 7 x 7

x 5

 

−+ ⋅ −+ − ++  k) 19x 8 2000 x 19x 8 2x 25

x 1975 x 1945 x 1975 x 1945

+ ⋅ − + + ⋅ −

+ + + +

Bài 4: Tìm hai phân thức P và Q thỏa mãn:

a)

x2 x

P 4x2 1

x 1 2x 1

+ +

⋅ + =

− b) ²

( )( )

2 2

x 1 x 2

Q : x 2x

x

x 4x 4

+ + +

= +

− Bài 5: Cho hai phân thức

2 2

x 6x 9

P x 3x

+ +

= + và

2 2 9

x 3x

P x

= +

− a) Rút gọn P và Q

b) Sử dụng kết quả trên tính P.Q và P:Q

Bài 6: Tính nhanh ₂t x 2y z ₂t x y 2z ₂t y z 2x

x y z x y z x y z

t 1 t 1 t 1

− + + − + −

⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + + + +

+ + +

Bài 7: Máy A xát được x tấn gạo trong a giờ, máy B xát được y tấn gạo trong b giờ.

a) Viết các biểu thức biểu thị số tấn gạo mỗi máy xát được trong 1 giờ (gọi là công suất của máy)

b) Công suất của máy A gấp bao nhiêu lần máy B? Viết biểu thức biểu thị số lần này.

c) Tính giá trị của biểu thức trên khi x = 3; y = 2; b = 4.

Bài 8: Đường sắt và đường bộ từ thành phố A đến thành phố B có độ dài bằng nhau và bằng s (km). Thời gian để đi từ A đến B của tàu hỏa là a (giờ), của ô tô khách là b (giờ) (a

< b).

a) Tốc độ của tàu hỏa gấp bao nhiêu lần tốc độ của ô tô?

b) Tính giá trị này khi s = 350; a = 5; b = 7

Bài 9: Một tấm bạt lớn hình chữ nhật có chiều dài a (m), chiều rộng b (m) được ghép bởi các tấm bạt bé hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng

đều bằng 1

k chiều dài, chiều rộng của tấm bạt lớn. Tính diện tích của mỗi tấm bạt bé theo a, b và k.

Bài 10: Tâm đạp xe từ nhà tới câu lạc bộ câu cá có quãng đường dài 15 km với tốc độ x (km/h). Lượt về thuận chiều gió nên tốc độ nhanh hơn lượt đi 4 km/h.

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và về b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về c) Tính T và t với x = 10

Bài 11: Một ca nô đi xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 20 km rồi lại đi ngược dòng từ B về A. Biết tốc độ dòng nước là 3 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B b) Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A

c) Tỉ số của thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A

Bài 12: Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x–1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B.

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

Bài 13: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo dự định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế.

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Bài 14: Tính chiều dài của một hình chữ nhật, biết diện tích của hình chữ nhật là ^{A=x2 −4}

( )

^cm2

⁽

^x>3

⁾

và chiều rộng của nó là ^{x 2 cm}

( )

x 1 +

+

Bài 15: Giả sử một xe cứu thương di chuyển về phía một người với tốc độ v (km/h) và bật còi báo động ở tần số f, người đó sẽ nghe được còi báo động reo ở tần số h, trong

đó v

h f : 1 s

 

=  −  và s là vận tốc của âm thanh (s≈ 1235 km/h)

a) Chứng minh rằng fs h= s v

−

b) Khi xe cứu thương di chuyển về phía người đó với tốc độ 105 km/h và bật còi báo động ở tần số 45 vòng/phút, tìm tần số của còi báo động mà người này nghe được.

Bài 16: Trong năm 2019, một tiệm bánh mì bán một loại bánh mì với giá x nghìn đồng một chiếc. Trong năm 2021, giá một chiếc bánh đó tăng thêm 5 nghìn đồng so với năm 2019. Một người đã dùng 900 000 đồng để mua loại bánh mì đó trong mỗi năm 2019 và 2021.

a) Viết hai phân thức lần lượt biểu diễn số bánh mì người này mua được vào năm 2019 và 2021.

b) Chứng minh rằng số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp x 5 x

+ lần so với

năm 2021.

c) Nếu x = 10 thì số bánh mì người này mua được vào năm 2019 gấp bao nhiêu lần so với năm 2021.

Bài 17: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.

a)

( )

2 2

2 2 2

x 2x y x y xy

A xy y xy x x y

 −  −

= − + − ⋅ −

b) ^B=_x²_+4x¹ ₊₄⁻_x²_−4x¹ ₊₄^{  }_{ }^: _x¹₊₂⁺_x¹₋₂^_^{. x}

(

²⁻⁴

)

ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức P=xy z² −2x yz^{2 2}+3yz 1+ khi x = 1; y = –1; z = 2 Bài 2: Cho đa thức P=3x y² −2xy²−4xy+2

a) Tìm đa thức Q sao cho Q− = −P 2x y³ +7x y² +3xy b) Tìm đa thức M sao cho P+M=3x y^{2 2}−5x y 8xy² + Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) ^{x y 5xy2}

(

^{−2x y2 −y2}

)

^b)

⁽

^{x−2y 2x}

⁾ (

^2+4xy

)

^{c)18x y :124 3}

^{( )}

^{−x 3y}

d) ^{2 2 3} 1 ²

x y 2xy : xy

2

 

−   e)

(

^{2x 1−}

)

^{2−4 x}

(

^{−2 x}

)(

⁺²

)

f)

(

^{2x+5 2x}

)(

^{− −5}

) (

^{2x+3 3x}

)(

⁻²

)

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a)

(

^{x 1−}

)

^{2−4 b) 4x2+12x+9 c) x3−8y6}

d) x⁵−x³−x²+1 e) −4x³+4x²+ −x 1 f) 8x³+12x² +6x 1+ Bài 5: Cho x + y = 2 và xy = 2. Tính x³+y³

Bài 6: Rút gọn các phân thức sau:

a)

5 3 3 4

24x 1 x

y y

8 b)

2 2

2x x x y 4y

−

− c)

2 2

12x 28x 8

9x 1

+ +

− d)

3 2

2

x x x 1

x 1

+ + +

− Bài 7: Thực hiện phép tính:

a)

2 2

2x 1 x 3

x 2 x 2

− + − −

− − b) x y

x y+ x y

+ − c)

3

3 2

x 1 x x 1

1 x x 1 x x 1

+ + − +

− − + +

d) x₂ 2 y 2₂

x xy xy y

+ − −

+ + e) ₂1 ₂1

2x 3x −4x 9

− − f) 2x ₂ 1 1

x 3 x 3

9 x + −

− +

−

g) x _{2 2} y

xy y −x xy

+ + h)

2 2

x 4 x x

x 2 2 x

x + −4 −

+ −

− i) 5 9 6

6x 6+14x 14+ 7x 7

− − −

j) x 3

2 1 3

x 4+ −x

− − k) ₂3xy ₂

2x y

x y

x y

2 y + 4x

+

− +

− l)

( )

2 x 6x2 4

3x x 1 2x 1 x

+ + −

− −

m) 1 ₂2

x 1−x 1

− − n)

2 2

2 2

8x 18y 2x 3y 2x 3y

2x 3y 2x 3y

4x 9y

+ − + + −

− +

− o)

2 2

x 4 5x 9x 14 3x 5

2x 1 2x 3x 2 x 2

− + + + − −

− + − +

Bài 8: Thực hiện phép tính:

a)

2 3

2

3x x 3x 3

x 3

x x 1

+ ⋅ −

+ + + b)

2 2

2 2 x 4

x 2 1 x 4x 1

 − ⋅ −

 + −  −

  c)

2 2

2x 4 3x 1 x 2

x 3 x 1 6: 2x

+ ⋅ + +

− − −

d)

2 3

3 2

2x 4x

3y : 21y

 

− 

  e)

( )

²

3

x 5

2x 10

: 2x 8

x 64

+ +

− − f) 1 x y 1₂ y

x y :

x y xy x x

 + − − −

 

+  

g)

2

2 2

x xy x y

:2 y

y−x x 2

+

−

+ h) 2x 1 2x 1 4x

2x 1 2x 1 :10x 5

+ −

 − 

 − +  −

  i)

2

2 2

x 4x 4 3x 1

3 9x 3x 1

− + ⋅ −

− −

j)

2 2

2

y 1

xy :xy y

x −

+ k)

2 2

y 2y 4y

y x .

x y x x y

 − +   − 

 +   − 

  l)

2

2 2

x y x 1 1

x : y x

y y

   

+ − +

   

 

 

m)

( ) ( )

³

2 2

x 5

2x 10

: x 9

x 3

+ +

− − n) ₃

2

2 2

4x 6 25x 10x 1

5x x 7 8x

− ⋅ +

−

−

− o)

3 3

3 3

x y 2 x y

xy x x y

 + − ⋅

  −

 

p)

2

2 2

8y 9x

3x ⋅4y q)

3

2 2

x x 1 1

1 x 1 1 x 1 x

−  

+ + ⋅ − − −  r)

2

2 2

4x 1 1 1 1

2x 1 2x 1

16x 1 1 4x

− − ⋅ + + + + − 

Bài 9: Tìm đa thức P trong các biểu thức sau:

a) 1 ₂ x

P+x 2= x 2x 4

+ − + b) _P ^{4 x}

(

²

)

¹⁶

x 2 x 2

− − =

+ −

c)

2 2

x 2 x 4x 4

P x 3 x 9

− − +

⋅ =

+ − d)

2 2

2

x 9 x 4

P :2x 4 x 3x

− = −

+ +

Bài 10: Cho biểu thức

2 2

x 1 3 x 3 4x 4

A 2x 2 x 1 2x 2 5

+ + −

 

= − + − − + ⋅ a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A.

b) Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 11: Cho biểu thức

2

2 2 2

5x 2 5x 2 x 100

B x 10x x 10x x 4

+ − −

 

= − + + ⋅ + a) Viết điều kiện xác định của biểu thức B.

b) Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1 c) Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Bài 12: Giả sử chi phí C (USD) mà một nhà máy cần phải trả để giảm p% chất ô nhiễm được tính bởi công thức: 1200p

1 0,01p C= −

a) Viết điều kiện xác định của phân thức C.

b) Tính chi phí nhà máy cần phải trả để giảm được 75% chất ô nhiễm.

Bài 13: Trong hình bên, hình bình hành F có diện tích là

( )

2 2

8x +14x+3 m và chiều cao là ^{2x+3 m}

( )

. Hình bình hành G có diện tích là^{12x2−4x m}

( )

² và chiều cao là ^{3x 1 m−}

( )

. Tính diện tích của tam giác vuông H theo x.

Bài 14: Một hàng rào được dựng bao quanh một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 500 m² Gọi x (m) là độ dài một cạnh của hàng rào.

a) Viết một phân thức theo x biểu diễn chu vi của hàng rào.

b) Tính chu vi đó khi x = 25(m)

Bài 15: Hôm qua, thanh long được bán với giá a đồng mỗi kg. Hôm nay, người ta đã giảm giá 1 000 đồng cho mỗi kg thanh long. Với cùng số tiền b đồng thì hôm nay mua được nhiều hơn bao nhiêu kilôgam thanh long so với hôm qua?

Bài 16: Trên một dòng sông, một con thuyền đi xuôi dòng với tốc độ (x + 3) km/h và đi ngược dòng với tốc độ (x− 3) km/h (x > 3).

a) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng trong 4 giờ, rồi đi ngược dòng trong 2 giờ.

Tính quãng đường thuyền đã đi. Lúc này thuyền cách bến A bao xa?

b) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng đến bến B cách bến A 15 km, nghỉ 30 phút, rồi quay về bến A. Sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì thuyền quay về đến bến A?

Bài 17: Hai người thợ cùng sơn một bức tường. Nếu một mình sơn xong bức tường thì người thứ nhất làm xong lâu hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi x là số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường. Viết phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x.

Bài 18: Số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đô ăn, đô uống khi ra khỏi nhà và dân số P (triệu người) hằng năm của Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 lần lượt được cho bởi công thức sau:

8242,58t 348299,6

A 0 t 6

0,06t 1

P 2,71t 282,7 0 t 6

vôùi vôùi

− +

= ≤ ≤

− +

= + ≤ ≤

Trong đó, t là số năm tính từ năm 2000, t = 0 tương ứng với năm 2000.

Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.

Bài 19: Một xưởng may lập kế hoạch may 80000 bộ quần áo trong x (ngày). Nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm 11 ngày và may vượt kế hoạch 100 bộ quần áo.

a) Hãy viết phân thức theo biến x biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được theo kế hoạch

b) Viết phân thức biểu thị số bộ quần áo thực tế xưởng may được mỗi ngày

c) Viết biểu thức biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch

d) Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may 800 bộ quần áo thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo

Bài 20: Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi r là lãi suất năm của khoản vay trả góp này. Tính số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi thàng theo số tháng vay y (tháng) và lãi suất năm r. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm r theo x và y

b) Tính giá trị của r tại x = 30, y = 48 rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay là bao nhiêu?

Bài 21: Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh với vận tốc 60 km/h và dự kiến sẽ đến Vinh sau 5 giờ chạy. Tuy nhiên, sau 2

23 giờ chạy với vận tốc 60 km/h, xe dừng nghỉ 20 phút.

Sau khi dừng nghỉ, để đến Vinh đúng thời gian dự kiến, xe phải tăng vận tốc so với chặng đầu

a) Tính độ dài quãng đường Hà Nội - Vinh

b) Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ

c) Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm x (km/h). Hãy viết biểu thức P biểu thị thời gian (tính bằng giờ) thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội - Vinh

d) Tính thời gian của P lần lượt tại x = 5, x = 10; x = 15, từ đó cho biết ở chặng thứ hai (sau khi xe dừng nghỉ):

- Nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

- Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì xe đến Vinh có đúng thời gian dự kiến không?

- Nếu tăng vận tốc thêm 15km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

Bài 22: Cho biểu thức ₂

x2 6x 9 4x 8

P 9 x x 3

− + +

= +

− + a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại x = 7 c) Chứng tỏ P 3

x 3

= + 2

+ . Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

Bài 23: Cho biểu thức 2x 1

P x 1

= + + a) Viết điều kiện xác định của P.

b) Hãy viết P dưới dạng b

P a

= − x 1

+ , trong đó a, b là số nguyên dương

c) Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

Trong tài liệu Lý thuyết và bài tập Toán 8 học kì 1 (Chân Trời Sáng Tạo) (Trang 43-54)