Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Kỳ Anh – Hà Tĩnh

UBND HUYỆN KỲ ANH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: Toán 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Tìm x biết

a) 15 22: 14 :134

23 7 11 5

x x

− −

=

b) 1 1 1 1 2 2 4 2 x− ≤ − − Bài 2:

a) Tìm x, y, z biết: 10x=6y =5z _và 2 3 3 2

2 3 4

x y z

z x

− = −

+

b) Tìm các hệ số a, b biết rằng đa thức ax³ +bx² −3x+3 _{chia cho}

(

)(

)

được dư là 7.

Bài 3: Ba anh An, Bình, Dũng cùng góp vốn để thành lập công ty với tổng số tiền góp là 294 triệu đồng. Biết rằng 1

9 số tiền anh An góp bằng 1

8số tiền anh Bình góp; 1

10 ^{số tiền} anh Dũng góp bằng 1

12 số tiền anh An góp.

a) Tính số tiền góp của mỗi người.

b) Theo thỏa thuận, lợi nhuận được chia theo tỷ lệ góp vốn. Năm 2022 lợi nhuận thu về của công ty là 120 triệu đồng. Em hãy tính số tiền lợi nhuận mà mỗi người nhận được trong năm 2022.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE=CA. Qua điểm B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DE tại F.

a) Chứng minh rằng tam giác ABF cân.

b) Tính số đo góc DAF?

c) Tính tỷ số diện tích tam giác CDE và tam giác ADF?

Bài 5: Tìm số nguyên x, y thõa mãn:

(

)

3 2

x− = −y

---Hết---

Họ và tên: ……….; SBD: …………..

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 7

Bài Gợi ý đáp án Điểm

Bài 1 4 đ

a) 15 22: 14 :134 22 14 15 69

23 7 11 5 7 11 23 5

x x x x

− = − ⇒ ⋅− =− ⋅

2 2 9

4 9

x x 4

⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒ ³

x = 2 hoặc 3

x= −2 3

b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4

x− ≤ − − ⇒ − ≤ −x − ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤x x

1 1 1

4 x 2 4

⇒ − ≤ − ≤ 1 3 4 x 4

⇒ ≤ ≤

1

Bài 2 4 đ

a) ^{2 3 3 2 4 2}

(

) (

)( )

2 3 4

x y z x x y z z

z x

− = − ⇒ − = + −

+

2 2 2 2 9

8 12 9 4 2 3

x xy z x xy z 2

⇒ − = − ⇒ − + =

10 6 5

3 5 6 x y z x= y= z⇒ = =

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 9:9 1

9 15 36 18 45 36 18 45 36 4 4 x xy z x xy z x − xy z+

⇒ = = = = = = = =

− +

2 9

x 4

⇒ = ⇒ 3

x= 2 hoặc 3 x= −2

TH1: 3 6 5 15 5; 3

2 2

x = ⇒ y= z = ⇒ =y z =

TH2: 3 6 5 15 5; 3

2 2

x =− ⇒ y= z = − ⇒ =y − z = −

2

b) Gọi q(x) là thương của phép chia đa thức ax³ +bx² −3x+3 _cho

(

)(

)

( )

3 2 3 3 1 ( 1) ( ) 7

ax +bx − x+ = x− x+ q x + Thay x =1 vào ta được: a b+ =7 Thay x= −1 vào ta được: b a− =1 Suy ra: a =3;b=4

2

Bài 3 4 đ

a) Gọi số tiền ba anh An, Bình, Dũng góp lần lượt lá a (triệu đồng), b (triệu đồng), c (triệu đồng). Ta có:

; 294 3

9 8 10 12 36 32 30 98 98 a b c= = a ⇒ a = b = c = a b c+ + = =

108; 96; 90

a b c

⇒ = = =

2

b) Tỷ lệ góp vốn của anh An, Bình và Dũng lần lượt là:

108 36,7%

294≈ _; 96 32,7%

294 ≈ 90 30,6%

294≈

Số tiền lợi nhuận mà anh An, Bình và Dũng:người nhận được lần lượt là:

36,7% 120 44,04⋅ = (triệu đồng); 32,7% 120 39,24⋅ = (triệu đồng);

30,6% 120 36,72⋅ = (triệu đồng);

2

Bài 4 6đ

a) ∆ADB= ∆ADC c g c( − − ⇒) DB DC= Xét 2 tam giác∆DCE và ∆DBF có :

CDE BDF = (đối đỉnh) DB DC= (Chứng minh trên)

 DCE DBF= ₍CE BF ) (1) DCE DBF CE BF

∆ = ∆ ⇒ =

+CE CA gt= ( )⇒CE BA= (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BF BA= ⇒ tam giác ABF cân tại B

2

b) CAB ABF AC BF = (  )⇒ ∆ABC = ∆BAF c g c( − − )

 ABC BAF BC AF

⇒ = ⇒  ^{. Mà}AD BC⊥ ⇒ AD AF⊥ ⇒DAF^=⁹⁰⁰ 2 c) Ta có: S_CDE =S_ACD ⁽³⁾( Hai tam giác có chung đường cao kẻ từ đỉnh D và có 2 cạnh đáy CE=CA)

+ 1 ⁽⁴⁾

ACD 2 ABC

S = ⋅S ( Hai tam giác có chung đường cao AD và có cạnh

đáy 1

DC = ⋅2 BC)

Chứng minh được S_ADF =S_ABF =S_ABC ⁽⁵⁾

Từ (3), (4), (5) suy ra: 1 1

2 ^CDE 2

CDE ADF

ADF

S S S

= ⋅ ⇒ S =

2

Bài 5 2đ

(

)

(

)

(

)

⁽

⁾

Vì: 3y²3;21 3 ⇒2

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

k =0 không thõa mãn.

Vậy k ≠0, k Z∈ ⇒ ≤6 6k² < ⇒7 k² =1;y² =1 + k = ⇒ − = ⇒ =1 x 5 3 x 8

+k = − ⇒ − = − ⇒ =1 x 5 3 x 2

Vây có 4 cặp số x,y gồm (2; 1); (2; -1); (8; 1); (8; -1)

2

Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.