1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
—Nếu f0(x)≥0,∀x∈K (dấu " =" xảy ra tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K) thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
—Nếu f0(x)≤0,∀x∈K (dấu " =" xảy ra tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K) thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
x y0 y
−∞ −1 0 1 +∞
+ 0 − 0 + 0 −
−∞
−∞
2 2
1 1
2 2
−∞
−∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (1; +∞). B (−1; 0). C (−1; 1). D (0; 1).
Lời giải.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét sự đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên.
2. HƯỚNG GIẢI: Dựa vào định lý về sự đơn điệu.
—Nếu f0(x)>0,∀x∈K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
—Nếu f0(x)<0,∀x∈K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Vì f0(x)>0,∀x∈ (−∞;−1)∪(0; +∞) nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (0; 1).
Chọn phương án D
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 x
y0 y
−∞ 1
2 3 +∞
+ + 0 −
−∞
−∞
+∞
−∞
4 4
−∞
−∞
A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
−∞;−1 2
và (3; +∞). B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
−1
2; +∞
. C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞). D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 3). Lời giải.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số.
Đồng biến trên các khoảng
−∞;−1 2
và
−1 2; 3
. Nghịch biến trên khoảng (3; +∞).
Chọn phương án C
Câu 2. Cho hàm sốy =f(x)xác định trênR\ {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x y0 y
−∞ −1 1 +∞
− − 0 +
+∞
+∞
−∞
+∞
2 2
+∞
+∞
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). C Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞). D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (−∞;−1) đạo hàm y0<0 nên hàm số nghịch biến.
Chọn phương án A
Câu 3. Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x y0
−∞ −2 0 +∞
− 0 + 0 −
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−2; 0). B (−3; 1). C (0; +∞). D (−∞;−2).
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Lời giải.
Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy y0 >0,∀x∈(−2; 0). Suy ra hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng(−2; 0). Chọn phương án A
Câu 4. Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau x
y0 y
−∞ −1 0 1 +∞
+ + 0 − −
1 1
+∞
−∞
0 0
−∞
+∞
1 1 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−∞; 0). B (−1; 1). C (−1; 0). D (1; +∞).
Lời giải.
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y=f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (−1; 0). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0).
Chọn phương án C
Câu 5. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x
y0 y
−∞ −3 −2 +∞
+ 0 + 0 −
−∞
−∞
5 5
−∞
−∞
Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−3;−2). ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 5).
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;−2).
A 1. B 2. C 3. D 4.
Lời giải.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;−2); nghịch biến trên khoảng (−2; +∞).
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng (−∞;−3) chứa khoảng (−∞;−5) nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai.
Chọn phương án A
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Câu 6. Cho hàm số y= x−2
x+ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1). B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1). C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞). Lời giải.
Tập xác định: R\ {−1}. Ta có y0 = 3
(x+ 1)2 >0, ∀x∈R\ {−1}.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (−1; +∞). Chọn phương án B
Câu 7. Cho hàm số y=−x3+ 3x2+ 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). Lời giải.
y0=−3x2+ 6x, y0= 0 ⇔
ñx= 0 x= 2.
Bảng biến thiên:
x y0 y
−∞ 0 2 +∞
− 0 + 0 −
+∞
+∞
1 1
5 5
−∞
−∞
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn phương án A
Câu 8. Cho hàm số y=x4−2x2+ 4. Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; +∞). B Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1) và [0; 1].
C Hàm số đồng biến trên [−1; 0] và [1; +∞). D Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1)∪(0; 1). Lời giải.
Tập xác định: D =R.
Ta có: y0= 4x3−4x;y0= 0 ⇒
ñx= 0 x=±1
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
x y0 y
−∞ −1 0 1 +∞
− 0 + 0 − 0 + +∞
+∞
3 3
4 4
3 3
+∞
+∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0; 1). Chọn phương án D
Câu 9. Hàm số y= 2
3x2+ 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−∞; 0). B (−∞; +∞). C (0; +∞). D (−1; 1).
Lời giải.
Tập xác định D =R. y0= −12x
(3x2+ 1)2.
Ta có y0 <0⇔x >0 nên hàm số y = 2
3x2+ 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Chọn phương án C
Câu 10. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f0(x) = 2x2+ 4−cosx, ∀x∈R. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải.
Ta có Ta có f0(x) = 2x2+ 4−cosx >0,∀x∈R⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Chọn phương án D
Câu 11. Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f0(x) = (x−2)(x+ 5)(x+ 1). Hàm sốf(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (2; +∞). B (−2; 0). C (0; 1). D (−6;−1).
Lời giải.
Cho f0(x) = 0⇔
x=−5 x=−1 x= 2.
Ta có bảng xét dấu của f0(x) như sau:
x f0(x)
−∞ −5 −1 2 +∞
− 0 + 0 − 0 +
Nhìn vào bảng xét dấu củaf0(x)ta thấy hàm sốf(x)đồng biến trên các khoảng(−5;−1)và(2; +∞). Vậy hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Câu 12. Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f0(x) =x3(x−1)2(x+ 2). Khoảng nghịch biến của hàm số là
A (−∞;−2); (0; 1). B (−2; 0); (1; +∞). C (−∞;−2); (0; +∞). D (−2; 0). Lời giải.
Bảng biến thiên:
x y0 y
−∞ −2 0 1 +∞
+ 0 − 0 + 0 +
−∞
−∞
f(−2) f(−2)
f(1) f(1)
+∞
+∞
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Chọn phương án D
Câu 13.
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax+b
cx+d với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A y0 <0,∀x6= 1. B y0 >0,∀x∈R. C y0 <0,∀x∈R. D y0 >0,∀x6= 1.
x y
O
1
Lời giải.
Ta có
Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được:
+ Điều kiện x6= 1.
+ Đây là đồ thị của hàm nghịch biến.
Từ đó ta được y0 <0,∀x6= 1.
x y
O
1
Chọn phương án A Câu 14.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Cho hàm sốf(x)có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A (0; 1). B (−∞; 1). C (−1; 1). D (−1; 0).
x y
O
−1 1
−2 Lời giải.
Hàm số đồng biễn trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Chọn phương án D
Câu 15.
Cho hàm sốf(x)có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A (0; 2). B (−2; 0). C (−3;−1). D (2; 3).
y
x
−3
2 3
−1 1
−3 3
Lời giải.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 1) và (2; 3). Chọn phương án D
Câu 16. Cho bốn hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)?
x y
1 O
x y
O 1
2 x
y
O 1
3 x
y
O
1 4
A 4. B 2. C 3. D 1.
Lời giải.
Có ba hàm số trong các hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +∞). Chọn phương án C
Câu 17.
Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x) xác định, liên tục trênR và f0(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số f(x) đồng biến trên (−∞; 1).
B Hàm số f(x) đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). C Hàm số f(x) đồng biến trên (1; +∞).
D Hàm số f(x) đồng biến trên .
O
x y
1
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số f0(x), ta thấy f0(x) > 0,∀x ∈ (1; +∞) suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (1; +∞).
Chọn phương án C Câu 18.
Hình bên là đồ thị của hàm số y = f0(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (2; +∞). B (1; 2).
C (0; 1). D (0; 1) và (2; +∞). x
y
O 1 2
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy f0(x)>0,∀x >2 nên y=f(x) đồng biến trên khoảng(2; +∞). Chọn phương án A
Câu 19.
Cho hàm sốy=f(x)xác định, liên tục trênR và có đạo hàmf0(x). Biết rằng hàm số f0(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 0). B Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (−∞;−3). D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;−2).
O
x y
−3−2
Lời giải.
Ta có f0(x)<0 trên khoảng (0; +∞) nên hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Chọn phương án B
Câu 20.
Cho hàm số y =f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàmy=f0(x)như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y=f(x).
A Hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị.
B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 0). C f(0) > f(3).
D lim
x→+∞f(x) = +∞ và lim
x→−∞ =−∞.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 x
y
−2
0 −1
Lời giải.
Ta thấy trên khoảng (0; 3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0; 3). Vì thế f(0)> f(3).
Chọn phương án C
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. A 3. A 4. C 5. A 6. B 7. A 8. D 9. C 10. D
11. A 12. D 13. A 14. D 15. D 16. C 17. C 18. A 19. B 20. C
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1