50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1
DẠNG 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Tập nghiệm của phương trình log0,25 x2−3x
=−1 là
A {4}. B {1;−4}.
C
ß3−2√ 2
2 ;3 + 2√ 2 2
™
. D {−1; 4}.
Lời giải.
Ta có
log0,25 x2−3x
=−1⇔x2−3x= 4 ⇔x2−3x−4 = 0⇔
ñx=−1 x= 4.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1; 4}. Chọn phương án B
Câu 2. Tập nghiệm S của bất phương trình log2(x−1)<3 là
A S = (1; 9). B S = (1; 10). C S = (−∞; 9). D S = (−∞; 10). Lời giải.
log2(x−1)<3⇔0< x−1<23 ⇔1< x <9.
Chọn phương án A
Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình log3(2x+ 1)−log3(x−1) = 1.
A S ={3}. B S ={1}. C S ={2}. D S ={4}. Lời giải.
Điều kiện:
®2x+ 1 >0
x−1>0 ⇔x >1. Với điều kiện trên, ta có
log3(2x+ 1)−log3(x−1) = 1
⇔ log3(2x+ 1) = log3(x−1) + log33
⇔ log3(2x+ 1) = log3(3x−3)
⇔ 2x+ 1 = 3x−3
⇔ x= 4 (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm S ={4}.
Chọn phương án D
Câu 4. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log1 2
(x−3)≥log1 2
4 là
A 5. B 6. C 3. D 4.
Lời giải.
Ta có
log1 2
(x−3)≥log1 2
4⇔
®x−3>0 x−3≤4 ⇔
®x >3 x≤7.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7].
Từ đó suy ra bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Chọn phương án D
Câu 5. Tổng các nghiệm của phương trình log4x2−log23 = 1 là
A 6. B 5. C 4. D 0.
Lời giải.
Điều kiện: x6= 0. Ta có:
log4x2−log23 = 1⇔log4x2 = log23 + 1
⇔ log4x2= log26
⇔ log4x2= log436
⇔ x2 = 36⇔x=±6. (thỏa mãn) Suy ra tống các nghiệm của phương trình bằng 0.
Chọn phương án D
Câu 6. Biết rằng S là tập nghiệm của bất phương trình log −x2+ 100x−2400
< 2 có dạng S = (a;b)\ {x0}. Giá trị a+b−x0 bằng
A 50. B 150. C 30. D 100.
Lời giải.
BPT tương đương với:
®−x2+ 100x−2400>0
−x2+ 100x−2400<100
⇔
®40< x <60 (x−50)2>0
⇔
®40< x <60 x6= 50.
Do đó, S = (40; 60)\ {50} ⇒a+b−x0 = 40 + 60−50 = 50. Chọn phương án A
Câu 7. Biết tập nghiệm S của bất phương trình logπ
6 [log3(x−2)] > 0 là khoảng (a;b). Tính b−a.
A 12. B 0. C 8. D 10.
Lời giải.
Ta có:
logπ
6 [log3(x−2)]>0⇔0<log3(x−2)<1
⇔
®log3(x−2)>0 log3(x−2)<1
⇔
®x−2>1 0< x−2<3
⇔
®x >3
2< x <5 ⇔3< x <5.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 5)⇒a= 3;b = 5⇒b−a= 2. Chọn phương án D
Câu 8. Số nghiệm của phương trình log3(x−1)2+ log√3(2x−1) = 2.
A 2. B 1. C 4. D 3.
Lời giải.
Với điều kiện x > 1
2, x6= 1.
log3(x−1)2+ log√3(2x−1) = 2
⇔ log3(x−1)2+ log3(2x−1)2= log39
⇔ log3[(x−1)(2x−1)]2= log39
⇔ 2x2−3x+ 12
= 9
⇒
ñ2x2−3x+ 1 =−3 2x2−3x+ 1 = 3
⇔
x=−1 2 x= 2.
Thử lại ta có một nghiệm x= 2 thỏa mãn.
Chọn phương án B
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình log1
3
(x−1) + log3(11−2x)≥0 là A S =
3;11 2
. B S = (−∞; 4]. C S = (1; 4]. D S = (1; 4). Lời giải.
Điều kiện:
®x−1>0
11−2x >0 ⇔1< x < 11 2 . Ta có
log1
3
(x−1) + log3(11−2x)≥0
⇔ −log3(x−1) + log3(11−2x)≥0
⇔ log3(11−2x)≥log3(x−1)
⇔ 11−2x≥x−1
⇔ x≤4.
So với điều kiện ta có: S= (1; 4]. Chọn phương án C
Câu 10. Số nghiệm của phương trình log2(x+ 2) + log4(x−5)2+ log1
2
8 = 0 là
A 3. B 2. C 1. D 4.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Với D = (−2; +∞)\ {5}, ta có
log2(x+ 2) + log4(x−5)2+ log1 2
8 = 0
⇔ log2(x+ 2) + log2|x−5| −3 = 0
⇔ log2((x+ 2)|x−5|) = 3
⇔ (x+ 2)|x−5|= 23= 8
⇔
®(x+ 2)(x−5) = 8 x >5
®(x+ 2)(x−5) =−8 x <5
⇔
x= 6 x= 3±√
17 2
(thỏa mãn). Chọn phương án A
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình log22x−3 log2x+ 2 <0 là khoảng (a;b). Giá trị biểu thức a2+b2 bằng
A 16. B 5. C 20. D 10.
Lời giải.
log22x−3 log2x+ 2 <0
⇔ (log2x−1)(log2x−2)<0
⇔ 1<log2x <2⇔2< x <4
⇔ x∈(2; 4).
Vậy
®a= 2
b= 4 ⇒a2+b2= 20. Chọn phương án C
Câu 12. Tích các nghiệm của phương trình logx(125x)·log225x= 1
A 630. B 1
125. C 630
625. D 7
125. Lời giải.
Điều kiện x >0;x6= 1. Ta có
logx(125x)·log225x= 1⇔(logx125 + logxx) 1
2log5x 2
= 1⇔(3·logx5 + 1) log25x= 4.
Đặt log5x=t phương trình tương đương:
3 t + 1
t2= 4 ⇔t2+ 3t−4 = 0⇔
ñt = 1 t =−4 ⇔
ñlog5x= 1 log5x=−4 ⇔
x= 5 x= 1
625.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 1 125. Chọn phương án B
Câu 13. Cho biết phương trình log3 3x+1−1
= 2x+ log1 3
2 có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính tổng S = 27x1 + 27x2
A S = 252. B S = 45. C S = 9. D S = 180.
Lời giải.
Ta có
log3(3x+1−1) = 2x+ log1
32⇔log32(3x+1−1) = 2x
⇔ 2·3x+1−2 = 32x
⇔ 32x−6·3x+ 2 = 0.
Đặt 3x=t,(t >0), phương trình trở thành t2−6·t+ 2 = 0. Phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt.
Đặt 3x1 =t1, 3x2 =t2, t1+t2 = 6, t1·t2 = 2. Ta có
S = (t31+t32) = (t1+t2)3−3t1·t2(t1+t2) = 216−3·2·6 = 180 Chọn phương án D
Câu 14. Cho x thỏa mãn (log2x−1) logx
2(3x−20) = 2. Giá trị của A= 8logx3+x bằng
A 20. B 29. C 30. D 11.
Lời giải.
Điều kiện:
x > 2
3 x6= 2.
Ta có
(log2x−1) logx
2(3x−2) = 2⇔log2 x 2logx
2(3x−20) = 2
⇔ log2(3x−20) = 2
⇔ 3x−20 = 4⇔x= 8 (thỏa mãn). Vậy A= 8log83+ 8 = 11.
Chọn phương án D
Câu 15. Biếtx1, x2là hai nghiệm của phương trìnhlog7
Å4x2−4x+ 1 2x
ã
+4x2+1 = 6xvàx1+2x2 = 1
4(a+√
b) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a+b.
A a+b = 13. B a+b = 11. C a+b= 16. D a+b= 14. Lời giải.
Điều kiện: x >0, x6= 1 2. Ta có:
log
Å4x2−4x+ 1ã
+ 4x2+ 1 = 6x⇔log 4x2−4x+ 1
+ 4x2−4x+ 1 = log (2x) + 2x.
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Xét hàm số f(t) = log7t+t có f(t) = 1
tln 7 + 1>0,∀t >0 nên là hàm số đồng biến trên (0; +∞). Do đó ta có 4x2−4x+ 1 = 2x⇔4x2−6x+ 1 = 0⇔x= 3±√
5 4 . Khi đó
x1+ 2x2= 3−√ 5
4 + 23 +√ 5
4 = 1
4(9 +√
5) hoặc x1+ 2x2= 3 +√ 5
4 + 23−√ 5
4 = 1
4(9−√ 5). Vậy x1= 3−√
5
4 ; x2= 3 +√ 5 4 .
Do đó a= 9;b= 5 và a+b= 9 + 5 = 14. Chọn phương án C
Câu 16. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn log5
Å4a+ 2b+ 5 a+b
ã
=a+ 3b−4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =a2+b2.
A 1
2. B 1. C 3
2. D 5
2. Lời giải.
log5
Å4a+ 2b+ 5 a+b
ã
=a+ 3b−4⇔log5(4a+ 2b+ 5) = log5(a+b) +a+ 3b−4
⇔ log5(4a+ 2b+ 5) + (4a+ 2b+ 5) = log5[5(a+b)] + 5(a+b) (∗) Xét hàm f(x) = log5x+x, x > 0.
Đạo hàm f(x) = 1
x·ln 5 + 1>0, ∀x >0. Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (0; +∞). Phương trình (∗) viết lại:
f(4a+ 2b+ 5) =f(5(a+b))⇔4a+ 2b+ 5 = 5(a+b)⇔a+ 3b = 5.
Mặt khác: 52 = (a+ 3b)2 ≤ 12+ 32
· a2+b2
⇒T =a2+b2 ≥ 5 2. Dấu xảy ra ⇔ a
1 = b
3 ⇒a= 1
2; b= 3 2. Chọn phương án D
Câu 17. Cho hai số a, b dương thỏa mãn đẳng thức log4a= log25b = log4b−a
4 . Giá trị biểu thức M = log6
a
2 + 4b√ 2
−log6b bằng
A 1. B 2. C 1
2. D 3
2. Lời giải.
Đặt: log4a= log25b = log4b−a 4 =t. Khi đó: a = 4t, b= 25t, 4b−a
4 =10t.
Nên
4·25t−4t
4 = 10t ⇔4·25t−4t = 4·10t ⇔2 5
2t
+ 4·2 5
t
−4 = 0⇔2 5
t
= 2√ 2−2.
Suy ra a b =
4 25
t
= (2√
2−2)2= 12−8√ 2. Vậy M = log6a
2 + 4b√ 2
−log6b = log6a
2b + 4√ 2
= log66 = 1.
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Chọn phương án A
Câu 18. Giả sử S = (a, b] là tập nghiệm của bất phương trình 5x+p
6x2+x3−x4log2x > x2−x
log2x+ 5 + 5p
6 +x−x2. Khi đó b−a bằng
A 1
2. B 7
2. C 5
2. D 2.
Lời giải.
Điều kiện:
®x >0
6 +x−x2 ≥0
⇔
®x >0
−2≤x≤3.
D = (0; 3]. Ta có
5x+p
6x2+x3−x4log2x > x2−x
log2x+ 5 + 5p
6 +x−x2
⇔ 5x+xp
6 +x−x2log2x > x(x−1) log2x+ 5 + 5p
6 +x−x2
⇔ (x−1) (5−xlog2x) +p
6 +x−x2(xlog2x−5)>0
⇔ (5−xlog2x)Ä
x−1−p
6 +x−x2ä
>0
⇔
(5−xlog2x >0 x−1−p
6 +x−x2 >0 (I) (5−xlog2x <0
x−1−p
6 +x−x2 <0
(II).
Giải hệ (I).
(5−xlog2x >0 (1) x−1−p
6 +x−x2>0 (2).
Giải (1): 5−xlog2x >0. Xét hàm số f(x) = x5
x −log2x
=xg(x) với x∈(0; 3]. Ta có g(x) =− 5
x2 − 1
xln 2 <0∀x∈(0; 3]. Lập bảng biến thiên
x 0 3
g0(x) −
g(x)
5
3−log23≈0.08 Vậy f(x) = x
5
−log2x
>0∀x∈(0; 3].
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 Xét bất phương trình (2):
p6 +x−x2 < x−1⇔
®6 +x−x2 <(x−1)2 x >1
⇔
®2x2−3x−5>0 x >1
⇔
x <−1 x > 5
2 x >1
⇔x > 5 2.
Vậy nghiệm của hệ (I) là D =5 2; 3i
. Hệ (II) vô nghiệm.
Vậy S = 5
2,3 i
. b−a= 3−5
2 = 1 2. Chọn phương án A
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trìnhlog2 x√
x2+ 2 + 4−x2
+2x+√
x2+ 2 ≤1là −√ a;−√
b . Khi đó tích a.b bằng
A 12
5 . B 5
12. C 15
16. D 16
15. Lời giải.
Ta có
xÄp
x2+ 2−xä
+ 4 = 2x
√
x2+ 2 +x + 4 = 2 3x+ 2√
x2+ 2
√
x2+ 2 +x . Nhận xét: √x2+ 2 +x >|x|+x≥0, ∀x∈R.
Khi đó x√
x2+ 2 + 4−x2 >0⇔2√
x2+ 2>−3x. (*)
Với điều kiện (∗) bất phương trình đã cho tương đương log22 3x+ 2√
x2+ 2
√x2+ 2 +x + 2x+p
x2+ 2≤1
⇔ 1 + log2Ä
3x+ 2p
x2+ 2ä
−log2Ä
x+p
x2+ 2ä
+ 2x+p
x2+ 2≤1
⇔ 3x+ 2p
x2+ 2 + log2Ä
3x+ 2p
x2+ 2ä
≤x+p
x2+ 2 + log2Ä x+p
x2+ 2ä
⇔ fÄ
3x+ 2p
x2+ 2ä
≤fÄ
x+p
x2+ 2ä . (1) Xét hàm số f(t) =t+ log2t trên khoảng (0; +∞).
f(t) = 1 + 1
tln 2 >0 với ∀t >0 nên hàm số f(t) luôn đồng biến trên trên khoảng (0; +∞). Do đó
(1) ⇔ 3x+ 2p
x2+ 2 ≤x+p x2+ 2
⇔ p
x2+ 2≤ −2x⇔
®x≤0
x2+ 2 ≤4x2
⇔
x≤0
x≤ −
…2 3 x≥
…2 3
⇔x≤ −
…2
3. (∗∗)
Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Với điều kiện trên thì (∗)⇔4 x2+ 2
>9x2⇔ −
…8
5 < x <
…8 5. Kết hợp (∗∗) ta được tập nghiệm của bất phương trình là
Ç
−
…8 5;−
…2 3 ô
. Vậy a·b= 16
15. Chọn phương án D
Câu 20. Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log2
Å2x2+ 1 2x
ã + 2x+
1 2x = 5.
A 2. B 0. C 1
2. D 1.
Lời giải.
Điều kiện:
2x6= 0 2x2+ 1
2x >0
⇔x >0. Khi đó, ta có
log2
Å2x2+ 1 2x
ã
+ 2x+2x1 = 5⇔log2
x+ 1 2x
+ 2x+2x1 = 5⇔log2
x+ 1 2x
= 5−2x+2x1 .
Đặt t=x+ 1 2x ≥2
… x· 1
2x =√
2, phương trình trở thành: log2t= 5−2t, t≥√ 2. Xét f(t) = log2t, t≥√
2. Ta có: f(t) = 1
t·ln 2 >0, ∀t≥√
2 nên f(t) đồng biến trên √
2; +∞
. Xét g(t) = 5−2t, t≥√
2.
Ta có: g(t) =−2t·ln 2 <0, ∀t≥√
2 nên g(t) nghịch biến trên √
2; +∞
. Từ đó phương trình f(t) =g(t) có nhiều nhất một nghiệm t≥ √
2. Ta nhận thấy t = 2 là nghiệm, và đây là nghiệm duy nhất của phương trình log2t = 5−2t trên √
2; +∞
. Suy ra x+ 1
2x = 2 ⇒2x2−4x+ 1 = 0⇔
x= 2 +√ 2 2 x= 2−√
2 2
.
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện x >0, nên đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Tích hai nghiệm là 2 +
√2
2 ·2−√ 2
2 = 1
2. Chọn phương án C
50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN1 BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. A 7. D 8. B 9. C 10. A
11. C 12. B 13. D 14. D 15. C 16. D 17. A 18. A 19. D 20. C