ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1.

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng(α).

Khi đó ta còn nói(α)vuông góc dvà kí hiệu d⊥(α)hoặc

(α)⊥d. ^α

d

a

2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Định lí 1. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

4

^! Tóm tắt định lí.











a, b⊂(α) a∩b=O d⊥a d⊥b

⇒d⊥(α). _α

d

a b O

Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3 TÍNH CHẤT

Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

α

d

O A I B

M

4

^! Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳngAB và vuông góc với đường thẳng AB.

Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

O

α

4 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tính chất 3.

1 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

4

^{! Tóm tắt:}

®akb

(α)⊥a ⇒(α)⊥b.

2 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

4

^! Tóm tắt:







a⊥(α) b⊥(α) a6≡b

⇒akb.

α

a b

Tính chất 4.

1 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

4

^{! Tóm tắt:}

®(α)k(β)

a⊥(α) ⇒a⊥(β).

2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

4

^! Tóm tắt:







(α)⊥a (β)⊥a (α)6≡(β)

⇒(α)k(β).

a

β α

Tính chất 5.

1 Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (α) thì cũng vuông góc vớia.

4

^{! Tóm tắt:}

®ak(α)

b⊥(α) ⇒b⊥a.

2 Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

4

^{! Tóm tắt:}







a6⊂(α) a⊥b (α)⊥b

⇒ak(α).

b a

α

5 PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng∆vuông góc với mặt phẳng(α). Phép chiếu song song theo phương của∆lên mặt phẳng(α) được gọi làphép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

B⁰ A

B

A⁰

∆

α

2. Định lí ba đường vuông góc

Định lí 2. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α)vàblà đường thẳng không thuộc(α)đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b⁰ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc vớib⁰.

A

B

a

A⁰ B⁰

b⁰ b

α

4

^{! Tóm tắt:}















a⊂(α) b6⊂(α) b6⊥(α)

b⁰ là hình chiếu vuông góc b trên(α)

⇒a⊥b⇔a⊥b⁰.

3. Góc Giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa 2. Cho đường thẳngdvà mặt phẳng(α).

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng(α) bằng90^◦.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng(α)thì góc giữa đường thẳng dvà hình chiếu d⁰ của nó trên(α) gọi là góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng(α).

A

O

H

d

d⁰ ϕ

α

4

^{! Nếu} ϕlà góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng(α) thì ta luôn có 0^◦ ≤ϕ≤90^◦.

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α), ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

1 Chứng minh ∆vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc (α).

a b

∆

α

2 Chứng minh ∆song song với đường thẳng (d), trong đó (d) vuông góc với (α).

∆

α

d

Để chứng minh đường thẳng (∆)vuông góc với đường thẳng (d), ta thực hiện theo một trong các cách sau:

1 Chứng minh (∆) vuông góc với mặt phẳng (α) chứa (d).

d

∆

α

2 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

d

∆

α

3 Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì ta có thể sử dụng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. Gọi I là giao điểm củaAC và BD. Chứng minh rằng SI ⊥(ABCD).

-Lời giải.

A

D

B

C S

I

Để chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ta cần chứng minhSI vuông góc với hai cạnh cắt nhau trong mặt phẳng đó.

Theo giả thiết,4SAC và 4SBDlà tam giác cân tại S. Hơn nữa I =AC∩BD là trung điểm củaAC và BD(do ABCDlà hình vuông). Từ đó ta có:







SI ⊥AC SI ⊥BD AC∩BD=I

⇒SI ⊥(ABCD)

VậySI ⊥(ABCD).

Ví dụ 2. Cho lăng trụABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰ có đáyABCD là hình bình hành, các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.4ACD vuông tạiA,AC =AA⁰. Chứng minh rằng AC⁰ ⊥(A⁰D⁰C).

-Lời giải.

D⁰

D

A

A⁰ B⁰

C⁰

B

C Theo giả thiết ta có

®AA⁰C⁰C là hình chữ nhật AA⁰ =A⁰C⁰

⇒AA⁰C⁰C là hình vuông⇒AC⁰ ⊥A⁰C (1)

Lại cóAA⁰⊥(A⁰B⁰C⁰D⁰)⇒AA⁰⊥A⁰D⁰. Lại có4D⁰A⁰C⁰ vuông tạiA⁰ nên A⁰D⁰⊥A⁰C⁰. Từ đó ta được A⁰D⁰ ⊥(AA⁰C⁰C)⇒A⁰D⁰⊥AC⁰ (2).

Từ (1) và (2) ta cóAC⁰ ⊥(A⁰D⁰C).

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥(ABC), SA= a√ 3 2 . GọiI, K lần lượt là trung điểm BC, SI. Chứng minh rằngAK ⊥(SBC).

-Lời giải.

A

B

C I K S

Theo giả thiết4ABC là tam giác đều cạnh a,I là trung điểm BC suy ra AI ⊥BC (1) và AI = a√ 3 2 . Lại cóSA⊥(ABC)⇒SA⊥BC (2).

Từ (1) và (2) ta cóBC ⊥(SAI)⇒BC ⊥AK. (3) Tam giác SAI có SA =AI = a√

3

2 nên 4SAI là tam giác cân tạiA, hơn nữaK là trung điểmSI suy ra AK ⊥SI.(4)

Từ (3) và (4) ta cóAK ⊥(SBC).

Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng dvà mặt phẳng (P) cắt nhau.

Nếu d⊥(P) thì(d,(P)) = 90^◦.

A

O H

d

d⁰ ϕ α

Nếu d6⊥(P) thì để xác định góc giữad và(P), ta thường làm như sau 1 Xác định giao điểm O của dvà (P).

2 Lấy một điểm A trên d (A khác O). Xác định hình chiếu vuông góc (vuông góc) H của A lên (P). Lúc đó (d,(P)) = (d, d⁰) =AOH.’

4

^! 0^◦ ≤(d,(P))≤90^◦.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√

6 và SA vuông góc(ABCD). Hãy xác định các góc giữa

1 SC và(ABCD).

2 SC và(SAB).

3 SB và (SAC).

4 AC và (SBC).

-Lời giải.

A D

B C

S

O M

1 VìAC là hình chiếu vuông góc củaSC lên(ABCD) nên góc giữaSC và(ABCD) làSCA.’ Trong tam giácSCA, ta có tanSCA’= SA

SC =√

3 nên(SC,(ABCD)) =SCA’= 60^◦. 2 VìBC ⊥(SAB) tạiB nên SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB).

Do đó (SC,(SAB)) = (SC, SB) =CSB’. Trong tam giácSCB, ta có tanCSB’ = BC

SB = a a√

7 nên (SC,(SAB)) = arctan 1

√7. 3 VìBO⊥(SAC) tại O nên SO là hình chiếu vuông góc của SB lên(SAC).

Do đó (SB,(SAC)) = (SB, SO) =BSO.’ Trong tam giácSBO, ta có sinBSO’= BO

SB = a√

2 2 a√

7 = 1

√14 nên (SB,(SAC)) = arcsin 1

√14.

4 GọiM là hình chiếu vuông góc củaA lênSB. Lúc đó AM ⊥SB và AM ⊥BC (vìBC ⊥(SAB) và AM ⊂(SAB)) nênAM ⊥(SBC)tại M. Do đóM C là hình chiếu vuông góc của AC lên(SBC).

Suy ra(AC,(SBC)) = (AC, M C) =ACM÷. Trong tam giácSAB, ta cóAM = SA.AB

SB = a√

√6

7 và trong tam giácACM, ta cósin÷ACM = M A AC =

√ 21

7 nên (AC,(SBC)) = arcsin

√ 21 7 .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD).

GọiM, N lần lượt là trung điểm SA, BC. Biết rằng góc giữa M N và (ABCD) bằng60^◦. Tính góc giữaM N và (SBD).

-Lời giải.

O

A B

N H

S

M

K

C D

GọiH là trung điểmAO. Ta có M H kSO nên M H ⊥(ABCD), suy raHN là hình chiếu vuông góc của M N lên(ABCD). Do đó (M N,(ABCD)) = (M N, KN) =M N K÷ = 60^◦.

Trong tam giácHCN, ta cóHN² =HC²+CN²−2HC.CN.cosHCN÷, suy ra HN = a√ 10 4 . Mà trong tam giácM N H, ta có √

3 = tanM N H÷ = M H

HN nên M H = a√ 30

4 , suy ra SO= 2M H = a√ 30 2 . GọiK là trung điểm SD.

Ta cóM KCN là hình bình hành nênM N song song KC. Do đó (M N,(SBD)) = (KC,(SBD)).

MàCO⊥(SBD)tạiO (doCO⊥DO vàCO⊥SO) nênKOlà hình chiếu vuông góc củaKC lên(SBD).

Suy ra(KC,(SBD)) = (KC, KO) =CKO.’ Ta cóOK= 1

2SD= 1 2

√

OD²+OS²=a√ 2.

Mặt khác, trong tam giác COK, ta có tanCKO’ = OC OK = 1

2, suy ra (KC,(SBD)) = arctanCKO’ = arctan1

2 ≈26^◦33⁰.

Dạng 3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Để xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với

∆cho trước, ta thực hiện như sau:

Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với ∆ trong đó có ít nhất một đường thẳng đi quaM. Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là(α). Sau đó ta cần tìm giao tuyến của(α) với các mặt của khối đa diện.

Nếu có sẵn hai đường thẳng chéo nhau hoặc cắt nhau a, b vuông góc với ∆ thì ta dựng (α) đi quaM và song song vớia, b.

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A⁰B⁰C⁰ có đáyABC là tam giác vuông cân đỉnh C,CA= 2avà mặt bên ABB⁰A⁰ là hình vuông. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB⁰. Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mặt phẳng(P) và tính diện tích thiết diện đó.

-Lời giải.

GọiH là trung điểm AB⇒CH ⊥AB⇒CH ⊥AB⁰. DựngHK ⊥AB⁰, vớiK thuộc cạnh AA⁰.

Suy ra thiết diện là tam giácCHK và tam giác CHK vuông tạiH.

S_CHK = 1

2CH·HK.

Trong 4ABC,CH = AB 2 =a√

2.

Ta có4AHK vuông cân tạiA vàHK = A⁰B·√ 2 2 = 2a.

VậyS_CHK = 1

2CH·HK = 1 2 ·a√

2·2a=a²√ 2.

B

C B⁰

C⁰

H A

A⁰

K

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnha,SA=avà vuông góc với mặt phẳng(ABC). GọiM là điểm thuộc cạnhAC sao choAM = 3M C. Gọi (α)là mặt phẳng quaM và vuông góc với cạnhAC. Xác định thiết diện của hình chóp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng(α) và tính diện tích thiết diện đó.

-Lời giải.

GọiE là trung điểm AC ⇒BE⊥AC.

Trong (ABC), dựng M N ⊥ AC, với N thuộc cạnh BC ⇒ M N kEB.

Trong(SAC), dựngM P ⊥AC, vớiPthuộc cạnhSC ⇒M P k SA.

Suy ra thiết diện là tam giácM P N và tam giácM P N vuông tạiM.

S_{M P N} = 1

2M N·P M.

Ta có4SAC v4P M C ⇒ P M

SA = CM CA

⇒P M = SA·CM

CA =a·1 4 = a

4.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giác4BEC

⇒M N = 1

2EB = 1 2·a√

3 2 = a√

3 4 . VậySM P N = 1

2M N·P M = 1 2 ·a√

3 4 ·a

4 = a²√ 3 32 .

S

A

M

N E

C P

B

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳngd vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong(α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong(α).

B. Nếu đường thẳngd⊥(α)thì dvuông góc với hai đường thẳng trong (α).

C. Nếu đường thẳng dvuông góc với hai đường thẳng nằm trong(α) thì d⊥(α).

D. Nếu d⊥(α) và đường thẳng ak(α) thì d⊥a.

-Lời giải.

Mệnh đề sai là “Nếu đường thẳngdvuông góc với hai đường thẳng nằm trong(α) thì d⊥(α)”.

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong(α).

Ví dụ: đường thẳngavuông góc với hai đường thẳngb vàc nằm trong(α)nhưngbvàcsong song với nhau thì khi đó achưa chắc vuông góc với(α).

Chọn đáp án C Câu 2. Trong không gian cho đường thẳng ∆không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng∆được gọi là vuông góc với mặt phẳng(P) nếu

A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng(P).

B. vuông góc với đường thẳng amàasong song với mặt phẳng (P).

C. vuông góc với đường thẳng anằm trong mặt phẳng (P).

D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp (P).

-Lời giải.

Đường thẳng∆được gọi là vuông góc với mặt phẳng(P)nếu ∆vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng(P). (Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Chọn đáp án D

Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

-Lời giải.

Mệnh đề sai là “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song”.

Vì: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.

Chọn đáp án B

Câu 4. Cho hai đường thẳng phân biệt a, bvà mặt phẳng(P),trong đóa⊥(P).Chọn mệnh đề saitrong các mệnh đề dưới đây.

A. Nếub⊥(P) thìakb. B. Nếu bkathìb⊥(P).

C. Nếu b⊂(P) thìb⊥a. D. Nếua⊥b thìbk(P).

-Lời giải.

Mệnh đề sai là “Nếua⊥b thìbk(P)”, vìb có thể nằm trong(P).

Chọn đáp án D

Câu 5. Cho hai đường thẳnga, b và mặt phẳng(P). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Nếua⊥(P) vàb⊥athìbk(P). B. Nếu ak(P)và b⊥(P) thìa⊥b.

C. Nếu ak(P) vàb⊥athì bk(P). D. Nếuak(P)và b⊥athìb⊥(P).

-Lời giải.

Mệnh đề “a⊥(P) vàb⊥athìbk(P)” sai vì bcó thể nằm trong(P).

Mệnh đề “Nếuak(P) vàb⊥athì bk(P)” sai vì bcó thể cắt P hoặcb nằm trong(P).

Mệnh đề “Nếuak(P) vàb⊥athì b⊥(P)” sai vì bcó thể nằm trong(P).

Chọn đáp án B

Câu 6. Cho a, b, clà các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu a⊥b vàb⊥c thìakc.

B. Nếu avuông góc với mặt phẳng(α) vàbk(α) thì a⊥b.

C. Nếu akbvà b⊥c thìc⊥a.

D. Nếu a⊥b,b⊥c vàacắtc thìb vuông góc với mặt phẳng(a, c).

-Lời giải.

Nếua⊥b vàb⊥c thìakchoặc acắtc hoặcatrùngc hoặcachéo c.

Chọn đáp án D

Câu 7. Chỉ ra mệnh đềsai trong các mệnh đề dưới đây.

A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Qua một điểmO cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng∆cho trước.

C. Qua một điểmO cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

-Lời giải.

Mệnh đề sai là “Qua một điểmO cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước”.

Vì qua một điểmO cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Chọn đáp án C

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

-Lời giải.

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Chọn đáp án D

Câu 9. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Với mỗi điểmA∈(α) và mỗi điểmB∈(β) thì ta có đường thẳngAB vuông góc với giao tuyếndcủa (α)và (β).

D. Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) đều vuông góc với mặt phẳng(γ) thì giao tuyến dcủa(α) và(β) nếu có sẽ vuông góc với(γ).

-Lời giải.

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau”

sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề “Với mỗi điểmA ∈(α) và mỗi điểm B ∈(β) thì ta có đường thẳngAB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β)” sai vì ít nhất nếu cả A lẫn B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α)∩(β).

Chọn đáp án D

Câu 10. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳngbvớibvuông góc với(P).

C. Góc giữa đường thẳng avà mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳnga và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng (Q).

D. Góc giữa đường thẳngavà mặt phẳng(P) bằng góc giữa đường thẳngbvà mặt phẳng(P) thìasong song vớib.

-Lời giải.

Mệnh đề “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳngbvớib vuông góc với(P)” sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề “Góc giữa đường thẳngavà mặt phẳng(P)bằng góc giữa đường thẳngavà mặt phẳng(Q) thì mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng (Q)” sai vì (P) có thể trùng(Q).

Mệnh đề “Góc giữa đường thẳngavà mặt phẳng(P)bằng góc giữa đường thẳngbvà mặt phẳng (P) thìasong song vớib” sai vì acó thể trùng b.

Chọn đáp án A

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SAvuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB vàSB. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. CH ⊥AK. B. CH ⊥SB. C. CH ⊥SA. D. AK ⊥SB.

-Lời giải.

VìH là trung điểm của AB, tam giácABC cân suy raCH ⊥AB.

Ta cóSA⊥(ABC)⇒SA⊥CH. MàCH ⊥AB suy ra CH ⊥(SAB).

Mặt khácAK ⊂(SAB).

NênCH vuông góc với các đường thẳngSA,SB,AK.

VàAK ⊥SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giácSAB cân tại S.

A

K

C S

H B

Chọn đáp án D

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy.

GọiH là chân đường cao kẻ từ A của tam giácSAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. SA⊥BC. B. AH ⊥BC. C. AH ⊥AC. D. AH ⊥SC.

-Lời giải.

Theo bài ra, ta cóSA⊥(ABC) màBC ⊂(ABC)⇒SA⊥BC.

Tam giácABC vuông tạiB, có AB⊥BC.

⇒ BC⊥(SAB)⇒BC ⊥AH.

Khi đó

®AH⊥SB

AH⊥BC ⇒AH ⊥(SBC)⇒AH ⊥SC.

Nếu cóAH ⊥AC, trong khiSA⊥AC thìAC ⊥(SAH)

⇒AC⊥AB (vô lý).

A H

C S

B

Chọn đáp án C

Câu 13. Cho tứ diện ABCD. GọiH là trực tâm của tam giácBCDvàAH vuông góc với mặt phẳng đáy.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. CD ⊥BD. B. AC =BD. C. AB=CD. D. AB⊥CD.

-Lời giải.

VìAH vuông góc với(BCD) nênAH ⊥CD. (1)

DoH là trực tâm của tam giác BCDnên BH ⊥CD. (2) Từ(1),(2) suy ra

®CD⊥AH

CD⊥BH ⇒CD⊥(ABH)⇒CD ⊥AB.

B D

A

C H

Chọn đáp án D

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB ⊥(SAC). B. CD ⊥AC. C. SO ⊥(ABCD). D. CD⊥(SBD).

-Lời giải.

VìSA=SC nên 4SAC cân tại S.

MàO là trung điểm AC nên SO⊥AC.

Tương tự, ta cũng cóSO⊥BD.

MàAC∩BD=O⊂(ABCD)⇒SO ⊥(ABCD).

A S

B C

O

D

Chọn đáp án C

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy.

Khẳng định nào sau đây làsai?

A. SA⊥BD. B. SC ⊥BD. C. SO ⊥BD. D. AD⊥SC.

-Lời giải.

VìSA vuông góc với(ABCD)⇒SA⊥BD.

MàABCD là hình thoi tâm O nên AC ⊥BD.

Suy raBD⊥(SAC).

Mặt khácSO ⊂(SAC)và SC⊂(SAC) suy ra

®BD⊥SO BD⊥SC.

VàAD,SC là hai đường thẳng chéo nhau. A

S

B C

D

Chọn đáp án D

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật tâm O. Đường thẳng SAcuông góc với mặt đáy(ABCD). GọiI là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây làsai?

A. IO⊥(ABCD). B. BC ⊥SB.

C. Tam giácSCD vuông ởD. D. (SAC) là mặt phẳng trung trực củaBD.

-Lời giải.

Vì O,I lần lượt là trung điểm của AC, SC nên OI là đường trung bình của tam giácSAC ⇒OI kSA.

MàSA⊥(ABCD) nên OI ⊥(ABCD).

Ta cóABCD là hình chữ nhật⇒BC⊥AB.

MàSA⊥BC suy ra BC⊥SB.

Tương tự, ta có được

®CD⊥AD

CD⊥SA(SA⊥(ABCD)) ⇒CD⊥SD.

Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD ⇒ BD ⊥ AC: điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.

A S

D C

O

B I

Chọn đáp án D

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AD = CD = a, AB= 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD),E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.

A. CE ⊥(SAB). B. CB ⊥(SAC).

C. Tam giácSDC vuông tạiD. D. CE ⊥(SDC).

-Lời giải.

Từ giả thết suy ra ADCE là hình vuông⇒

®CE⊥AB CE=AD=a.

Ta có

®CE ⊥AB

CE ⊥SA (do SA⊥(ABCD)) ⇒CE ⊥(SAB).

Do đó CE⊥(SAB) đúng.

VìCE=AD=anên CE= 1 2AB.

⇒ 4ABC vuông tạiC ⇒CB⊥AB.

Kết hợp vớiCB⊥SA(doSA⊥(ABCD)) suy raCB ⊥(SAC).

Do đó CB⊥(SAC) đúng.

A S

E

B C

D

Ta có

®CD⊥AD

CD⊥SA(doSA⊥(ABCD)) ⇒CD ⊥(SAD)⇒CD ⊥SD. Do đó Tam giác SDC vuông tạiD là đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra Tam giácSDC vuông tạiD là phương án sai.

Chọn đáp án D

Câu 18. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình chữ nhật, cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy. GọiAE,AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. SC ⊥(AF B). B. SC ⊥(AEC). C. SC⊥(AED). D. SC⊥(AEF).

-Lời giải.

VìSA vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nênSA⊥BC.

MàAB⊥BC nên suy ra BC⊥(SAB)⇒BC ⊥AE ⊂(SAB).

Tam giácSAB có đường caoAE ⇒AE ⊥SB.

MàAE ⊥BC⇒AE ⊥(SBC)⇒AE ⊥SC.

Tương tự, ta chứng minh đượcAF ⊥SC. Do đó SC⊥(AEF). E S

B C

A

D F

Chọn đáp án D

Câu 19. Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. BC ⊥(SAH). B. SB ⊥(CHK). C. HK ⊥(SBC). D. BC⊥(SAB).

-Lời giải.

Ta có

®BC ⊥SA

BC ⊥SH ⇒BC ⊥(SAH).

Ta có

®CK ⊥AB

CK ⊥SA ⇒CK⊥(SAB)⇒CK ⊥SB.

Mặt khác ta cóCH ⊥SB. Từ đó suy ra SB ⊥(CHK).

Ta có

®BC ⊥(SAH)⇒BC ⊥HK

SB ⊥(CHK)⇒SB ⊥HK ⇒HK⊥(SBC).

Dùng phương pháp loại trừ suy raBC ⊥(SAB) là sai.

Chọn đáp án D

Câu 20. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Đường thẳng AC⁰ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. (A⁰BD). B. (A⁰DC⁰). C. (A⁰CD⁰). D. (A⁰B⁰CD).

-Lời giải.

Trong tài liệu Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Nguyễn Chín Em - TOANMATH.com (Trang 129-152)