, A 0 BCD 0 - Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Nguyễn Chín Em

= C⁰I, A⁰BCD⁰

= (C⁰I, HI) =C’⁰IH.

Trong tam giác vuôngC⁰HI, có

tanC’⁰IH = C⁰H IH =

AB√ 2 2 AB

√ 2.

D H A⁰

B⁰ C⁰

D⁰

B C

Chọn đáp án D

Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,BC = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng(α)đi quaS vuông góc vớiAB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α)với hình chóp đã cho.

A. S = a²√ 3

4 . B. S = a²√ 3

2 . C. S =a²√

3. D. S= a² 2 . -Lời giải.

GọiH là trung điểm AB⇒SH⊥AB.

Suy ra SH ⊂ (α) và SH ⊥ (ABCD) (do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyếnAB).

KẻHM ⊥AB(M ∈CD)⇒HM ⊂(α).

Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tạiH.

Ta cóSH= a√ 3

2 ,HM =BC = 2a.

VậyS4SHM = 1 2 ·a√

2 ·2a= a²√ 3 2 .

B C

H M

A D

Chọn đáp án B

Câu 52. Cho hình chóp đềuS.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnha, tâmO;SO = 2a. GọiM là điểm thuộc đoạnAO(M 6=A;M 6=O). Mặt phẳng(α) đi quaM và vuông góc vớiAO. ĐặtAM =x. Tính diện tíchS của thiết diện tạo bởi (α) với hình chópS.ABC.

A. S = 2a². B. S = 2x². C. S =

√3

2 (a−x)². D. S= 2(a−x)². -Lời giải.

Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABC) (O là tâm của tam giácABC).

Do đó SO⊥AA⁰ mà(α)⊥AA⁰ suy ra SOk(α).

Tương tự ta cũng cóBC k(α).

QuaM kẻIJ kBC vớiI ∈AB, J ∈AC; kẻM K kSO vớiK∈SA.

Khi đó thiết diện là tam giácKIJ.

Diện tích tam giácIJ K làS4IJ K = 1

2IJ·M K.

Trong tam giácABC, ta có IJ

BC = AM

AA⁰ suy ra IJ = AM ·BC

AA⁰ = 2x√ 3 3 .

A C

N S

B M

J I O

Tương tự trong tam giácSAO, ta có M K

SO = AM

AO suy raM K = AM·SO

AO = 2x√ 3.

VậyS4IJ K = 1

2 ·2x√ 3 3 ·2x√

3 = 2x².

Chọn đáp án B

Câu 53. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=avà vuông góc với đáy. Mặt phẳng(α) quaA và vuông góc với trung tuyếnSI của tam giác SBC. Tính diện tíchS của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.

A. S = 2a²√ 21

49 . B. S = 4a²√ 21

49 . C. S = a²√ 21

7 . D. S= 2a²√ 21 7 . -Lời giải.

GọiI là trung điểmBC ⇒AI ⊥BC. KẻAK ⊥SI(K∈SI).

TừK kẻ đường thẳng song song vớiBC cắtSB, SC lần lượt tạịM, N. Khi đó thiết diện là tam giácAM N. Ta có

®BC⊥AI

BC⊥SA ⇒BC ⊥(SAI)⇒BC ⊥AK ⇒M N ⊥AK.

Tam giác vuôngSAI, có AK = SA·AI

√

SA²+AI² = a√ 21 7 . Trong tam giácSBC, ta có

M N

BC = SK

SI = SA²

SI² = SA²

SA²+AI² = 4

7 ⇒M N = 4a 7 .

VậyS4AM N = 1

2AK·M N = 2a²√ 21 49 .

A M B

N S

C I

Chọn đáp án A

Câu 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=avà vuông góc với đáy. Mặt phẳng(α)qua trung điểm E củaSC và vuông góc vớiAB. Tính diện tíchS của thiết diện tạo bởi(α) với hình chóp đã cho.

A. S = 5a²√ 3

16 . B. S = a²√ 7

32 . C. S = 5a²√ 3

32 . D. S= 5a²√ 2 16 . -Lời giải.

GọiF là trung điểm AC, suy ra EF kSA.

DoSA⊥(ABC)⇒SA⊥AB nênEF ⊥AB. (1)

GọiJ, Glần lượt là trung điểm AC, AJ.

Suy raCJ ⊥AB và F GkCJ nên F G⊥AB. (2) Trong 4SAB kẻ GH kSA(H ∈SB), suy ra GH ⊥AB. (3) Từ(1),(2)và(3), suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuôngEF GH.

Do đó S_{EF GH} = 1

2(EF +GH)·F G. Ta có EF = 1

2SA= a

2;F G= 1

2CJ = a√ 3 4 ; GH

SA = BG

BA ⇒GH =BG= 3a 4 . VậyS_{EF GH} = 1

2 Åa

2+ 3a 4

·a√ 3

4 = 5a²√ 3 32 .

A J G

B S

F H

Chọn đáp án C

Câu 55. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA= 2avà vuông góc với đáy. Gọi (α)là mặt phẳng đi qua B và vuông góc vớiSC. Tính diện tíchS của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.

A. S = a²√ 15

10 . B. S = a²√ 5

8 . C. S = a²√ 3

12 . D. S= a²√ 15 20 . -Lời giải.

GọiI là trung điểm củaAC, suy raBI ⊥AC.

Ta có

®BI ⊥AC

BI ⊥SA ⇒BI ⊥(SAC)⇒BI ⊥SC. (1)

KẻIH ⊥SC(H ∈SC). (2)

Từ(1)và (2), suy raSC ⊥(BIH).

Vậy thiết diện cần tìm là tam giácIBH.

DoBI ⊥(SAC)⇒BI ⊥IH nên 4IBH vuông tạiI.

Ta cóBI đường cao của tam giác đều cạnhanên BI = a√ 3 2 . Tam giácCHI đồng dạng tam giácCAS, suy ra

IH SA = CI

CS ⇒IH = CI·SA

CS = CI·SA

√SA²+AC² = a√ 5 5 . VậyS4BIH = 1

2BI·IH = a²√ 15 20 .

A S

I H

Chọn đáp án D

Câu 56. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc vớiSC. Tìm hệ thức giữaavà bđể (α) cắtSC tại điểm C1 nằm giữa S vàC.

A. a > b√

2. B. a > b√

3. C. a < b√

2. D. a < b√ 3.

-Lời giải.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên SG⊥(ABC). GọiC⁰ là trung điểm AB. Suy ra C, C⁰, Gthẳng hàng.

Ta có

®AB⊥CC⁰

SG⊥AB ⇒AB⊥(SCC⁰)⇒AB⊥SC. (1)

Trong tam giácSAC, kẻ AC1⊥SC. (2)

Từ(1)và (2), suy raSC ⊥(ABC1).

Suy ra thiết diện cần tìm là tam giácABC₁ thỏa mãn đi quaAvà vuông góc với SC. Tam giác SAC cân tạiS nên để C1 nằm giữa S và C khi và chỉ khiASC <’ 90⁰.

C M C₁ S

B G

Suy racosASC >’ 0⇔SA²+SC²−AC²>0⇔2b²−a² >0⇒a < b√ 2.

Chọn đáp án C

Câu 57. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuơng gĩc với mặt phẳng(ABCD),SA= 6. Gọi M là trung điểm AB. Gọi (P) là mặt phẳng quaM và vuơng gĩc vớiAB. Thiết diện của(P) và hình chĩp cĩ diện tích bằng:

A. 10. B. 20. C. 15. D. 16.

-Lời giải.

Do(P)⊥AB⇒(P)kSA.

GọiI là trung điểm củaSB ⇒M I kSA⇒M I ⊂(P).

GọiN là trung điểm của CD⇒M N ⊥AB⇒M N ⊂(P).

GọiK là trung điểm của SC ⇒IK kBC, mà M N kBC ⇒M N k IK ⇒IK ⊂(P).

Vậy thiết diện của P và hình chĩp là hình thang M N KI vuơng tại M. Ta cĩ M I là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ M I =

2SA = 3; IK là đường trung bình của tam giác SBC ⇒ IK = 1

2BC= 3;M Nlà đường trung bình của hình thangABCD⇒M N = 1

2(AD+BC) = 7.

VậyS_{M N KI} = IK+M N

2 ·M I = 15.

A I

M N

B C

D K

Chọn đáp án C

Câu 58. Cho hình chĩp đềuS.ABC cĩ đáyABC là tam giác đều cạnha, tâmO, đường caoAA⁰;SO= 2a.

Gọi M là điểm thuộc đoạn OA⁰(M 6=A⁰;M 6=O). Mặt phẳng (α) đi qua M và vuơng gĩc với AA⁰. Đặt AM =x. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi(α) với hình chĩpS.ABC.

A. S =−2Ä

8x²−6√

3ax+ 3a²ä

. B. S = 2Ä

8x²−6√

3ax+ 3a²ä . C. S =

√ 3

2 (a−x)². D. S = 2(a−x)². -Lời giải.

VìS.ABC là hình chĩp đều nên SO⊥(ABC) (O là tâm của tam giácABC).

Do đĩ SO⊥AA⁰ mà(α)⊥AA⁰ suy ra SOk(α).

Tương tự ta cũng cĩBC k(α).

Qua M kẻ IJ k BC với I ∈ AB, J ∈ AC; kẻ M N k SO với N ∈SA⁰.

QuaN kẻ EF kBC với E∈SB, F ∈SC.

Khi đĩ thiết diện là hình thang IJ F E.

Diện tích hình thang S_{IJ EF} = 1

2(IJ+EF)M N. Trong tam giácABC, ta cĩ

BC = AM

AA⁰ ⇒IJ = AM ·BC

AA⁰ = 2x√ 3 3 .

A C

A⁰ F E

N S

B O M

I Trong tam giácSBC, ta cĩ EF

BC = SN

SA⁰ = OM

OA⁰ ⇒EF = OM·BC OA⁰ = 2Ä

x√ 3−aä

. Trong tam giácSOA⁰, ta cĩ M N

SO = M A⁰

OA⁰ ⇒M N = SO·M A⁰ OA⁰ = 2Ä

3a−2x√ 3ä

. VậyS_{IJ EF} = 2

3 Ä4x√

3−3aä Ä

3a−2x√ 3ä

=−2Ä

8x²−6√

3ax+ 3a²ä .

Chọn đáp án A

Câu 59. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√

3. Cạnh bên SA= 2avà vuơng gĩc với đáy. Mặt phẳng (α) đi quaA vuơng gĩc vớiSC. Tính diện tíchS của thiết diện tạo bởi (α)với hình chĩp đã cho.

A. S = a²√ 6

7 . B. S = 12a²√ 6

35 . C. S = 6a²√ 6

35 . D. S= a²√ 6 5 . -Lời giải.

Trong tam giácSAC, kẻ AI ⊥SC(I ∈SC).

Trong mp(SBC), dựng đường thẳng đi qua I vuông góc với SC cắtSB tạiM.

Trong mp(SCD), dựng đường thẳng quaI vuông góc vớiSC cắt SDtại N.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α)là tứ giácAM IN.

Ta cóSC⊥(α)⇒SC ⊥AM. (1)

Lại có

®BC ⊥AB

BC ⊥SA ⇒BC ⊥(SAB)⇒BC⊥AM. (2) Từ(1)và (2), suy raAM ⊥(SBC)⇒AM ⊥M I.

Chứng minh tương tự, ta được AN ⊥N I.

M S

B C

D I

Do đó S_{AM IN} =S4AM I +S4AN I = 1

2AM ·M I+1

2AN ·N I.

VìAM, AI, AN là các đường cao của các tam giác vuông SAB, SAC, SAD nên:

AM = SA·AB

√SA²+AB² = 2a

√5;AI = SA·AC

√SA²+AC² =a√

2;AN = SA·AD

√SA²+AD² = 2a√ 21 7 . Suy raM I =√

AI²−AM² = a√ 30

5 vàN I =√

AI²−AN² = a√ 14 7 . VậyS_{AM IN} = 1

2 Ç2a

√5 ·a√ 30

5 +2a√ 21 7 ·a√

14 7

= 12a²√ 6 35 .

Chọn đáp án B

Câu 60. Cho hình lăng trụABC.A⁰B⁰C⁰ có đáyABC là tam giác vuông cân tạiAvớiBC =a√

2;AA⁰ =a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) quaM là trung điểm củaBC và vuông góc với AB⁰. Thiết diện tạo bởi (α) với hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰ là:

A. Hình thang cân. B. Hình thang vuông. C. Tam giác. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.

GọiN là trung điểm AB⇒M N ⊥AB. Ta có

®M N ⊥AB

M N ⊥AA⁰ ⇒M N ⊥ ABB⁰A⁰

⇒M N ⊥AB⁰ ⇒M N ⊂(α). Từ giả thiết suy ra AB = a = AA⁰ ⇒ ABB⁰A⁰ là hình vuông, suy ra BA⁰ ⊥AB⁰.

Trong mp (ABB⁰A⁰) kẻ N QkBA⁰ với Q∈AA⁰. Trong mp (ACC⁰A⁰) kẻQRkAC vớiR∈CC⁰.

Vậy thiết diện là hình thangM N QRvuông (do M N vàQR cùng song song vớiAC vàM N ⊥N Q).

B⁰ C⁰

A⁰

C M

N B

Chọn đáp án B

Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng BDvuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. SB. B. SD. C. SC. D. CD.

-Lời giải.

SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD. (1)

ABCD là hình vuông⇒AC ⊥BD. (2)

Từ(1)và (2)suy ra BD⊥(SAC)⇒BD⊥SC.

B C

Chọn đáp án C Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọiα là góc tạo bởi đường thẳngBD với(SAD). Tínhsinα.

√3

2 . B. 1

2. C.

√6

4 . D.

√10 4 . -Lời giải.

A H

D S

Trong (SAB), kẻ BH⊥SA(H∈SA). (1)

Ta có







(SAB)⊥(ABCD) (SAB)∩(ABCD) =AB AD⊥AB

⇒AD⊥(SAB), do đóAD⊥BH.

Kết hợp với(1)suy ra BH ⊥(SAD).Do đóHD là hình chiếu củaBD trên (SAD).

Từ đó ta cóα= (BD,(SAD)) = (BD, HD) =÷BDH.

Tam giácSAB đều cạnhanên BH = a√ 3

2 . Hình vuôngABCD cạnhanên BD=a√ 2.

Xét4BDH vuông tạiH, ta có

sin÷BDH = BH BD =

√6 4 .

Chọn đáp án C

Câu 63. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnhavàSA⊥(ABCD). BiếtSA= a√ 6 3 . Tính góc giữaSC và(ABCD).

A. 30^◦. B. 60^◦. C. 75^◦. D. 45^◦. -Lời giải.

Ta cóSA⊥(ABCD)tạiAvàSC∩(ABCD) =Cnên AC là hình chiếu củaSC lênABCD.

Suy ra góc giữaSC và (ABCD) là góc SCA.’ Ta có

tanSCA’= SA AC =

a√ 6 3 a√

2 =

√ 3

3 ⇒SCA’= 30^◦.

A B

Chọn đáp án A

Câu 64. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

-Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chưa chắc đồng phẳng nên không phải lúc nào cũng song song nhau.

Chọn đáp án D

Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng BDvuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. SB. B. SD. C. SC. D. CD.

-Lời giải.

SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD. (1)

ABCD là hình vuông⇒AC⊥BD. (2)

Từ (1) và (2) suy raBD⊥(SAC)⇒BD⊥SC.

D C

Chọn đáp án C

Câu 66. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Gọi (P) là mặt phẳng chứa CD⁰ và tạo với mặt phẳng BDD⁰B⁰ một gócx nhỏ nhất, cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tíchS. Giá trị của S bằng

√6

6 . B.

√6

4 . C. 2√

3 . D.

√6 12. -Lời giải.

A⁰

C⁰

D⁰

I N

B C

O B⁰

Góc của (P) qua CD⁰ hợp với (BB⁰D⁰D) một góc nhỏ nhất bằng với góc giữa đường thẳng CD⁰ và (BB⁰D⁰D).

Ta có









 OD =

√2 2 OD⁰ =

…3 2

⇒cosDOD÷⁰ =

√ 3

3 ⇒OM = 3√ 2

2 ⇒D là trung điểm của BM.

Kéo dài M D⁰ cắtBB⁰ tại N. Đường thẳng CN cắtB⁰C⁰ tại I, ta được I là trung điểmB⁰C⁰.

Ta được thiết diện cần tìm là4ICD⁰.

Tính đượcS =

√ 6 4 .

Chọn đáp án B

Câu 67.

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó tất cả các cạnh bằnga. GọiM là trung điểm củaSD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳngBM và mặt phẳng (ABCD) bằng

√ 2

2 . B.

√ 3

3 . C. 2

3. D. 1

B C

A D

-Lời giải.

B C

I A D

Ta chia bài toán thành 2 phần:

Phần 1: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ta cóS.ABCDlà hình chóp tứ giác đều, suy ra SO⊥(ABCD) với O là tâm hình vuông ABCD.

Trong tam giác4SOD, qua M ta kẻ đường thẳngM I kSO cắtOD tại I. Do đó I là trung điểm củaOD vàM I ⊥(ABCD).

Nên I là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD), suy ra BI là hình chiếu của BM lên mặt phẳng (ABCD).

Vậy(BM,(ABCD)) = (BM, BI) =M BI.’ Phần 2: Tính tan góc M BI’

DoI là trung điểm của OD nên BI = 3

4BD= 3√ 2a 4 .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác4M IDvuông tại I ta có:

M I² =M D²−ID² = a

2 2

− Ç√

2 4

å2

= 1

8 ⇔M I=

√2a 4 . Xét tam giác4M BI vuông tạiI ta có:tanM BI’ = M I

BI =

√2a 4 · 4

3√ 2a = 1

Chọn đáp án D

Câu 68. Cho tứ diện đều ABCD. Tính côsin của góc giữa AB và(BCD).

√ 3

3 . B.

√ 6

3 . C. 1

√

2. D.

√ 3 2 . -Lời giải.

ĐặtAB =a. GọiGlà trọng tâm 4BCD, do tứ diện ABCDđều, suy raAG⊥(BCD).

Suy raBG là hình chiếu củaAB lên (BCD).

Do đó (AB,¤(BCD)) =⁄(AB, BG) =ABG.’ Ta cóGB= 2

3 ·a√ 3 2 = a√

3 3 . Suy racosABG’ = BG

AB =

√3 3 .

G M

B D

Chọn đáp án A

Câu 69. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu sau AC⊥B⁰D⁰

1 2 AC ⊥B⁰C⁰ 3 AC ⊥DD⁰ 4 AC⁰ ⊥BD

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Ta cóAC⊥(BDD⁰B⁰)⇒AC⊥B⁰D⁰.

DoBC kB⁰C⁰ và (BC, AC) = 45^◦ ⇒(B⁰C⁰, AC) = 45^◦. MàDD⁰ ⊥(ABCD)⇒DD⁰ ⊥AC

BD⊥(ACC⁰A⁰) ⇒BD⊥AC⁰.

A B

C A⁰

C⁰ D⁰

B⁰

Chọn đáp án B

Câu 70. Cho tứ diện đều ABCD có điểm M là trung điểm của cạnh CD. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. BM ⊥AD. B. BM ⊥CD. C. AM ⊥CD. D. AB⊥CD.

-Lời giải.

Ta có

BM ⊥CD (vì tam giácBCD đều).

AM ⊥CD (vì tam giácACD đều).

DC⊥(ABM)⇒DC⊥AB.

Vậy khẳng định “BM ⊥AD” là mệnh đề sai.

B C

Chọn đáp án A

Câu 71. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

D. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

-Lời giải.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Đây mệnh đềđúng.

Các mệnh đề còn lại sai.

Chọn đáp án B

Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnha,SA ⊥(ABCD),SA =a√ 6. Gọi α là góc giữaSC và mặt phẳng(ABCD). Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau?

A. α = 45^◦. B. α= 60^◦. C. cosα=

√3

3 . D. α= 30^◦. -Lời giải.

Ta có SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng(ABCD).

Vậy ta có α = (SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SCA’ (do 4SAC vuông tạiA).

* Tính gócα

VìABCD là hình vuông nênAC =a√ 2.

Do4SAC vuông tạiA nên tanα= SA AC =a√

Vậyα = 60^◦.

Chọn đáp án B

Câu 73. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông,SA vuông góc với(ABCD). Mệnh đề nào dưới đâysai?

A. SA⊥BD. B. CD ⊥SD. C. SD⊥AC. D. BC⊥SB.

-Lời giải.

SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD

®CD⊥AD

CD⊥SA ⇒CD ⊥(SAD)⇒CD ⊥SD

®BC ⊥AB

BC ⊥SA ⇒BC⊥(SAB)⇒BC ⊥SB Mệnh đềSD⊥AC là sai.

B C

Chọn đáp án C

Câu 74.

Cho hình lăng trụ đềuABC.A⁰B⁰C⁰ có tất cả các cạnh bằng a. Điểm M và N tương ứng là trung điểm các đoạnAC, BB⁰. Cô-sin góc giữa đường thẳngM N và (BA⁰C⁰) bằng

A. 3√ 21

14 . B. 4√ 21

21 . C.

√105

21 . D.

√7 14.

C⁰

B B⁰

A⁰

C M

-Lời giải.

GọiI là trung điểm củaA⁰C⁰ ⇒BM IB⁰ là hình chữ nhật.

GọiK=M N∩BI. Ta có

®IM ⊥A⁰C⁰

BI ⊥A⁰C⁰ ⇒A⁰C⁰ ⊥(BM I).

Suy ra

®(BM I)⊥(A⁰C⁰B) (BM I)∩(A⁰C⁰B) =BI.

Trong mặt phẳng(BM I), dựng M H ⊥BI

⇒M H ⊥(A⁰C⁰B).

⇒(M N¤; (BA⁰C⁰)) =(M K; (BA¤⁰C⁰)) =M KH÷ =M KI.’

C⁰

B B⁰

A⁰

K H

C M

Ta có4N KB∼ 4M KI ⇒ N K

M K = BK

IK = N B M I = 1

2. Suy ra







N K= 1 2M K IK = 2KB

⇔











M K= 2

3M N = 2 3a IK = 2

3IB= 2 3 ·a√

7 2 = a√

7 3 . Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác4IKM, ta có:

cosM KI’ = IK²+M K²−IM² 2·IK·M K =

7a² 9 + 4a²

9 −a² 2·a√

7 3 ·2a

√ 7 14.

Chọn đáp án D

Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a. Góc giữa đường thẳngSB và mặt phẳng đáy bằng

A. 30^◦. B. 90^◦. C. 60^◦. D. 45^◦. -Lời giải.

Góc giữa đường thẳngSB và mặt phẳng(ABCD) làSBA.’ Tam giácSAB vuông tạiA có cosSBA’ = AB

SB = a 2a = 1

2. Suy raSBA’= 60^◦.

C B

A D

Chọn đáp án C

Câu 76. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi tâmO. BiếtSA=SC vàSB =SD. Khẳng định nào dưới đâysai?

A. AC ⊥BD. B. BD⊥SA. C. CD⊥(SBD). D. SO⊥(ABCD).

-Lời giải.

B C

A D

Dễ thấy khẳng địnhCD ⊥(SBD) là khẳng định sai.

Chọn đáp án C

Câu 77. Cho tứ diện ABCD có AB=AC,DB=DC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB ⊥BC. B. CD ⊥(ABD). C. BC ⊥AD. D. AB⊥(ABC).

-Lời giải.

GọiK là trung điểm BC.

Ta có:

®AK ⊥BC

DK⊥BC ⇒BC ⊥(ADK)⇒BC ⊥AD.

A C

K D

Chọn đáp án C

Câu 78. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Số các mặt của hình chópS.ABC là tam giác vuông là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

-Lời giải.

DoSA⊥(ABC) nênSA⊥AB,SA⊥AC.

Vậy4SAB và4SAC vuông tại A.

Ta có

®SA⊥BC

AB⊥BC ⇒BC⊥(SAB)⇒BC ⊥SB. Vậy4SBC vuông tạiB.

Suy ra hình chópS.ABC có 4 mặt là tam giác vuông. A C

B S

Chọn đáp án C

Câu 79. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao h = a

√2. Góc giữa cạnh bên với mặt đáy là

A. 60^◦. B. 15^◦. C. 45^◦. D. 30^◦. -Lời giải.

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông vàSO⊥(ABCD).

Ta có

®O là hình chiếu củaS trên (ABCD) C là hình chiếu của C trên (ABCD).

⇒OC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

Nên(SC,(ABCD)) = (SC, OC) =SCO.’ Xét tam giácADC vuông tạiD:

AC² =AD²+DC² ⇒AC=a√ 2.

⇒OC= a√ 2 2 .

Xét tam giácSOC vuông tạiO:

tanSCO’= SO

OC = 1⇒SCO’= 45^◦.

a O

Chọn đáp án C

Câu 80. Cho hình chóp S.ABC có SA=SC = a√ 6

2 , SB =a√

2,AB =BC = a√ 2

2 ,AC =a. Tính góc (SB,(ABC)).

A. 90^◦. B. 45^◦. C. 30^◦. D. 60^◦. -Lời giải.

GọiH là trung điểm AC.

Do tam giác SAC cân tại S nên SH ⊥ AC, tam giác BAC cân tạiB nên BH ⊥AC suy ra AC ⊥(SHB).

GọiI là hình chiếu củaS trênHB. Suy raSI ⊥(ABC).

Do đó (SB,(ABC)) =SBI‘ =SBH.’ Tam giácSHC vuông tạiH có

SH =p

SC²−HC² = a√ 5 2 ; Tam giácBHC vuông tạiH có

HB =p

BC²−HC² = a 2;

cosSBH’ = SB²+BH²−SH² 2·SB·BH =

√ 2 2 . Vậy gócSBH’ = 45^◦.

A B

Chọn đáp án B

Câu 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật, AB = 2,BC = 2√

2,I là trung điểm củaAB. Biết SI vuông góc với(ABCD) và 4SAB đều. Tính góc ϕgiữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

A. ϕ= 30^◦. B. ϕ= 45^◦. C. ϕ= 75^◦. D. ϕ= 60^◦. -Lời giải.

B C

Ta cóSI =√

3,IC = 3. Lại có ϕ=SCI‘ nên tanϕ= SI CI =

√3

3 ⇒ϕ= 30^◦.

Chọn đáp án A Câu 82. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E,M lần lượt là trung điểm củaBC và SA. Gọiα là góc tạo bởi EM và(SBD). Khi đótanα bằng

A. 1. B. 2. C. √

2. D. √

-Lời giải.

•GọiOtâm của hình vuôngABCDcạnha,N là điểm đối xứng với D qua C. Khi đó SO ⊥(ABCD) và có EM là đường trung bình của4SAN nên EM kSN.

Do đó

EM¤; (SBD)

SN¤; (SBD)

(1).

M D A

N E

•Ta có

®AC⊥SO vì SO⊥(ABCD)

AC⊥BD vìABCD là hình vuông ⇒AC ⊥(SBD).

Kết hợpBN kAC (vìABN C là hình bình hành) ta được BN ⊥(SBD). (2)

•Từ (1)và(2) ta được

EM¤; (SBD)

=BSN’ =α.

Vậytanα= BN

SB = AC SB = a√

2 a =√

Chọn đáp án C

Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh vuông cạnh a,SA =a√

2 và SA vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và(ABCD) bằng

A. 45^◦. B. 30^◦. C. 60^◦. D. 90^◦. -Lời giải.

Do giả thiết ta cóSA ⊥(ABCD) suy raSA ⊥AC và AC là hình chiếu vuông góc củaSC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc(SC,(ABCD)) = (SC, AC) =’SCA.

Xét tam giácSAC ta có tanSCA’= SA AC. MàAC =√

2anên tan’SCA= 1⇔SCA’= 45^◦.

B C

D S

Chọn đáp án A

Câu 84. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, SA = √

3a và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.

A. 60^◦. B. 30^◦. C. 45^◦. D. 90^◦. -Lời giải.

Ta cóABkCD suy ra (SB, CD) = (SB, AB) =SBA.’ Trong tam giácSAB vuông tạiA, ta có

tanSBA’ = SA AB =

√ 3a a =√

3⇒SBA’= 60^◦. Vậy(SB, CD) = 60^◦.

B C

Chọn đáp án A

Câu 85. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình thoi cạnh a,ABC’ = 60^◦, cạnh bên SA=√ 2avà SAvuông góc với (ABCD). Tính góc giữaSB và(SAC).

A. 90^◦. B. 30^◦. C. 45^◦. D. 60^◦. -Lời giải.

GọiO là giao điểm của AC và BD.

DoABCD là hình thoi nênBO⊥AC (1).

Lại cóSA⊥(ABCD) ⇒SA⊥BO(2).

Từ(1)và (2)suy ra BO⊥(SAC).

Vậy(SB,(SAC)) = (SB, SO) =BSO.’

Trong tam giác vuông BOA, ta có ABO’ = 30^◦ nên suy ra AO = 1

2AB= a

2 vàBO= a√ 3 2 .

Trong tam giác vuôngSAO, ta có SO =p

SA²+AO² =

2a²+a² 4 = 3a

2 .

B C

BO⊥(SAC) ⇒BO⊥SO ⇒∆SOB vuông tại O.

Ta cótanBSO’ = BO SO = a√

3 2 · 2

3a =

√ 3 3 . Vậy(SB,(SAC)) = (SB, SO) =BSO’= 30^◦.

Chọn đáp án B

Câu 86. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy(ABCD).

Khẳng định nào sau đây sai?

A. CD ⊥(SBC). B. SA⊥(ABC). C. BC ⊥(SAB). D. BD⊥(SAC).

-Lời giải.

Từ giả thiết, ta có :SA⊥(ABC).

Ta có :

®BC ⊥AB

BC ⊥SA ⇒BC⊥(SAB).

Ta có:

®BD⊥AC

BD⊥SA ⇒BD⊥(SAC).

Do đó:CD ⊥(SBC) sai.

Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau:

®CD ⊥AD

CD ⊥SA ⇒CD ⊥(SAD).

Mà(SCD)và (SAD) không song song hay trùng nhau nên CD⊥(SCD)là sai.

D C

Chọn đáp án A

Câu 87. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO,SA=SC, SB=SD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. SA⊥(ABCD). B. SO ⊥(ABCD). C. SC⊥(ABCD). D. SB ⊥(ABCD).

-Lời giải.

Ta cóSA=SC suy ra SO⊥AC.

Ta cóSB =SDsuy ra SO⊥BD.

VậySO ⊥(ABCD).

B C

D S

Chọn đáp án B

Câu 88. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Nếuak(α) vàb⊥athì bk(α). B. Nếu ak(α) và b⊥a thìb⊥(α) . C. Nếu ak(α) vàb⊥(α) thìa⊥b. D. Nếuak(α) và bkathìbk(α).

-Lời giải.

Nếuak(α)và b⊥(α)thì a⊥b.

Chọn đáp án C

Câu 89. Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh bằng 6a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaCA,CB,P là điểm trên cạnh BD sao choBP = 2P D. Diện tíchS của thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng(M N P)là

A. S = 5√ 147a²

2 . B. S = 5√ 147a²

4 . C. S = 5√ 51a²

2 . D. S= 5√ 51a² 4 . -Lời giải.

GọiE là trung điểm của AB.

Do giả thiết

®DE⊥AB

CE⊥AB ⇒AB⊥(CED).

Dễ thấyM N là đường trung bình trong 4ABC nên M N kAB.

Gọi Q là giao điểm của DA với mặt phẳng (M N P) suy ra P Q k AB (Q ∈ AD). Nên M N P Q là hình thang. Mà BP = 2P D nên

DP DB = 1

3. Mặt khác, xét tam giác DAB theo định lý Talét ta có DQ

DA = DP

DB = P Q AB. Suy raP Q= 1

3AB⇔P Q= 2a.

B M

N J

C D

I P

Gọi{I}=P Q∩DE và{J}=M N∩CE. DoM N kAB theo chứng minh trênM N ⊥(DEC).

Do đó M N ⊥IJ nên SM N P Q= (P Q+M N)·IJ

2 .

Dễ thấyEJ = CE 2 = 3√

2 vàEI = 2

3DE = 2√ 3a.

Xét tam giácIJ E ta có IJ² =IE²+J E²−2IE·J E·cosIEJ‘ (1).

Mặt khác trong tam giácEDC ta có cosDEC’ = DE²+EC²−DC²

2ED·EC ⇔cosDEC’ = 27a²+ 27a²−36a² 2·3√

3a·3√

3a ⇔cosDEC’ = 1 3 (2).

Từ(1)và (2)suy ra IJ² = 27a²

4 + 12a²−2·3√ 3a 2 ·2√

3a·1

3 ⇔IJ²= 51a²

4 ⇔IJ=

√ 51a

2 . Do đó SM N P Q=

(2a+ 3a)·

√51a 2

2 = 5√

51a² 4 .

Chọn đáp án D

Câu 90. Trong không gian cho đường thẳng ∆và điểmO. Qua Ocó bao nhiêu đường thẳng vuông góc với

∆?

A. Vô số. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Trong không gian cho đường thẳng∆ và điểmO. QuaO có vô số đường thẳng vuông góc với∆, nằm trên mặt phẳng đi quaO và vuông góc với ∆.

Chọn đáp án A

Câu 91. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. AB ⊥(SAD). B. AB⊥(SAC). C. AB⊥(SBC). D. AB⊥(SCD).

-Lời giải.

Ta cóSA⊥(ABCD)nên SA⊥AB, màAB⊥AD nên AB⊥(SAD).

Chọn đáp án A

Trong tài liệu Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Nguyễn Chín Em - TOANMATH.com (Trang 152-200)