MBD , ABCD



^{; ; 0}



BD m m



, ^{BA  }



^{m; 0;n}



^{, 0; ;}

2 BM  m n

  

 



.

1 , .

BDA M 6

V _  BD BABM

  

1 2

4 m n.

 ^{1 2. 4}

 

4 m m

  ^{1 . . 8 2}

 

8 m m m

 

1 8 2 3

8 3

m m   m

 

  

 

64

 27.

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Góc giữa hai mặt phẳng



^MBD



^và



^ABCD



^bằng

A. 90. B. 30. C. 45. D. 60.

Lời giải Chọn C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, Ta có:

BD SO BD AC

 

 

Câu 31: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



^ABCD



bằng 60. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và ADbằng:

A. 2 2

a . B. 2a. C.

2

a . D. 3

2 a .

Câu 32: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



^ABCD



bằng 60. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và ADbằng:

A. 2 2

a . B. 2a. C.

2

a. D. 3

2 a . Lời giải

Chọn D

60 A

D C

B S

H

Ta có:



^{SB ABCD;}

  

^



^{SB AB;}



^{SAB60 SA AB.tan 60 a 3.}



^SBC



là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên:



^;

 

^;

   

^;

^{ } 

d SC AD d AD SBC d A SBC .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên



^SBC



^{nên d A SBC}



^;

  

^{ AH.}

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: 1 ₂ 1₂ 1₂ 3 2 AH a AH  AB  AS  



^;



^3.

2 d SC AD AH a

  

Câu 33: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một (như hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây sai?

B D C

A

A. Góc giữa AD và



^ABC



^{là góc ADB.} B. Góc giữa CDvà



^ABD



^{là góc CDB.}

C. Góc giữa ACvà



^BCD



^{là góc ACB.} D. Góc giữa ACvà



^ABD



^{là góc CAB.}

Câu 34: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một (như hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây sai?

B D

C A

A. Góc giữa AD và



^ABC



^{là góc ADB.} B. Góc giữa CDvà



^ABD



^{là góc CDB.}

C. Góc giữa ACvà



^BCD



^{là góc ACB.} D. Góc giữa ACvà



^ABD



^{là góc CAB.}

Lời giải Chọn A

Ta có ^CB



^ABD



nên góc giữa CDvà



^ABD



^{là góc CDB}, góc giữa ACvà



^ABD



^{là góc}

CAB.

Ta lại có ^AB



^BCD



nên góc giữa ACvà



^BCD



^{là góc ACB.}

Câu 35: Cho hình chóp .S ABCD có đáy



0;5 là hình chữ nhật,



cạnh ABa, AD 3a. Cạnh bên SAa 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



^SAC



^bằng

A. 75. B. 60. C. 45. D. 30. Câu 36: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

cạnh bên SAa 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng

A. 2 5 5

a . B. 4 5

5

a . C. 15

5

a . D. 2 15 5 a .

Câu 37: Cho hình chóp .S ABCD có đáy



0;5 là hình chữ nhật, cạnh



ABa, AD 3a. Cạnh bên 2

SAa và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



^SAC



^bằng

S

B

A D

C

A. 75. B. 60. C. 45. D. 30. Lời giải

Chọn D

D

B

A

C S

H

Kẻ BH AC và HAC ^BH



^SAC



.

SH là hình chiếu của BH trên mặt phẳng



^SAC



^.

Góc giữa SB và mặt phẳng



^SAC



^{là BSH.}

Ta có

2 2

. 3

2 AB BC a BH

AB BC

 



, SB SA²AB² a 3.

Trong tam giác vuông SBH ta có  1

sin 2

BSH BH

 SB  BSH 30.

Câu 38: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SAa 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng

A. 2 5 5

a . B. 4 5

5

a . C. 15

5

a . D. 2 15 5 a .

Lời giải Chọn B

B C

A D

SS

B C

A D S

B

A D

C

H B C

A D

S

K

Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên

 

SH ABCD .

Theo giả thiết ta có AB2aAH a.

Mà ta lại có SAa 5 nên SH SA²AH² 2a Ta có ^{AD//BCAD//}



^SBC





^,

 

^,

  

d AD SC d AD SBC

  ^{d A SBC}



^,

  

^{2d H SBC}



^,

  

^.

Do mặt phẳng



^SBC

 

^{ SAB}



nên từ H kẻ HK SB thì ^{HKd H SBC}



^,

  

^.

Ta có . 2 . 2 5

5 5 SH HB a a a HK SB  a 

Vậy



^,



^{2 4 5}

5 d AD SC  HK  a .

Câu 39: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có tất các cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA _và B C _.

A. 15 2

a . B. a 2. C. 3

2

a . D. a.

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có tất các cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA _và B C _.

A. 15 2

a . B. a 2. C. 3

2

a . D. a.

Lời giải Chọn C

C'

B'

I

A C

A'

B

AA song song với mặt phẳng



^{BB C C }



^{do đó}



^,

 

^,

  

³

2 d AA B C  d A BB C C   AI a

Câu 41: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên



^ABC



là trung điểm của cạnh BC. Biết SBC đều, tính góc giữa SA và



^ABC



^.

A. 60. B. 45. C. 90. D. 30.

Câu 42: Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C.    là tam giác đều cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC.

A. 2 3 . B. 1. C. 4 . D. 3 .

Câu 43: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên



^ABC



là trung điểm của cạnh BC. Biết SBC đều, tính góc giữa SA và



^ABC



^.

A. 60. B. 45. C. 90. D. 30. Lời giải

Chọn B

M C

B

A S

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó góc giữa SA và



^ABC



là góc giữa SA và MA. Tam giác SAM vuông tại M có 3

2

SM  AM a nên SAM 45.

Câu 44: Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C.    là tam giác đều cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC.

A. 2 3. B. 1. C. 4 . D. 3 .

Lời giải Chọn A

M A C

A' C'

B'

B

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM AA tại A, AM BC tại M. Do đó AM là đoạn vuông góc chung giữa AA và BC,

suy ra ^{d AA BC}



^,



^{ AM 4 3 2 3}

 2  .

Câu 45: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. ^SA



^ABCD



và mặt bên



^SCD



^hợp

với mặt đáy



^ABCD



^{một góc 60}. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



^SCD



^bằng

A. 3 3

a . B. 2

3

a . C. 2

2

a . D. 3

2 a .

Câu 46: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. ^SA



^ABCD



và mặt bên



^SCD



^hợp

với mặt đáy



^ABCD



^{một góc 60}. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



^SCD



^bằng

A. 3 3

a . B. 2

3

a . C. 2

2

a . D. 3

2 a . Lời giải

Chọn D

Ta có góc giữa



^SCD



và mặt đáy là góc SDA60.

Kẻ AH SD, do ^CD



^SAD



^{CD AH AH}



^SCD



nên



^,

  

^{.sin 60 3}

2 d A SCD  AH AD  a .

Câu 47: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng



ABCD



bằng:

A. , với cot 3. B. 30^. C. 60^. D. 45^.

Câu 48: Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . Góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



và



A BD 



bằng:

A. 30. B. 90. C. 45. D. 60.

Câu 49: Cho hình chóp tứ giác đều .AS BCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng



^ABCD



^bằng:

A. , với cot 3. B. 30^. C. 60^. D. 45^. Lời giải

Chọn D

Ta có :  2

cos 2

SAO AO

 SA  .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng



^ABCD



^{bằng 45.}

Câu 50: Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . Góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



và



^{A BD }



bằng:

A. 30. B. 90. C. 45. D. 60.

Lời giải

Chọn D

J

D' B' C'

A'

D B C

A

I

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A B và BC. Khi đó ^{B I }



^{A BD }



^{, B J }



^ABC



^nên

góc giữa mặt phẳng



^ABC



^và



^{A BD }



là góc giữa B I và B J . Tam giác B IJ đều vì có ba cạnh bằng nhau và bằng 2

2

AB . Do đó IB J 60.

Câu 51: Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B C ,  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng



^{A B C D   }



. Giá trị sin bằng:

A. 1

2. B. 2 5

5 . C. 2

2 . D. 5

2

Câu 52: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với (ABC), ABC vuông tại A. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

A. 4

 . B. 3

4

 . C.

3

 . D.

2

 .

Câu 53: Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B C ,  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng



^{A B C D   }



. Giá trị sin bằng:

A. 1

2. B. 2 5

5 . C. 2

2 . D. 5

2 Hướng dẫn giải

Chọn B

N M' M

A'

D'

B' C'

C B

A D

Gọi M là trung điểm cạnh A C ,ta có ^MM



^{A B C D   }



nên hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng



^{A B C D   }



^{là M N}

MNM

  , 5

2 MN a

' 2 5

sin 5

MM

 MN

   .

Câu 54: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với (ABC), ABC vuông tại A. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

A. 4

 . B. 3

4

 . C.

3

 . D.

2

 . Hướng dẫn giải

Chọn D Cách 1:

. .( ) . . 0

AB SCAB ACAS  AB ACAB AS

       

cos( , ) . 0

. AB SC AB SC

AB SC

 

 



^,



AB SC 2

  .

Cách 2:

Ta có ABSA và ABAC

 

AB SAC

  ABSC

Câu 55: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. _{1 1 1}có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng 5 . Số đo góc giữa hai mặt phẳng



A BC1



là

A. 30. B. 90. C. 45. D. 60.

Câu 56: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA2, SB6, SC9. Độ dài cạnh SD là

A. 5 . B. 8 . C. 7 . D. 11.

Câu 57: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. _{1 1 1}có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng 5 . Số đo góc giữa hai mặt phẳng



A BC1



và



^ABC



^là

A. 30. B. 90. C. 45. D. 60.

Hướng dẫn giải Chọn A

C1

B1

A1

H A

B

C

Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều nên AH BC khi đó ta có



1



BC AHA ^

 

^{A BC1}

 

^{, ABC}

 

^

^

^{AH A H, 1}

^

^AHA1.

Xét tam giác vuông A AB₁ có AA₁² A B₁ ²AB²   5 4 1.

Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh AB2 nên AH  3. Xét tam giác vuông AA H₁ có  ¹

1

tan 1

3 AHA AA

 AH  

1 30

AHA  



^

  

Trong tài liệu Trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong các đề thi thử Toán 2018 - TOANMATH.com (Trang 140-150)