Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau

Câu 122: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính khoảng cách từ Sđến mặt phẳng



^ABC



^.

A. 2

a. B. 3

2

a . C. a 2. D. a.

Câu 123: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m . Diện tích xung quanh của kim tự tháp này là?

A. 1100 346 m

 

² . B. 4400 346 m

 

² . C. 2200 346 m

 

² . D. ^{2420000 m}

 

^{3 .}

Câu 124: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn chứa một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải Chọn C

A sai vì qua một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

 

^P thì có vô số mặt phẳng khác vuông góc với

 

P .

B sai vì chúng có thể trùng nhau.

C đúng

D sai vì nếu dựng hai mặt phẳng như câu A (đã nói ở trên) thì ta thấy sẽ có hai mặt phẳng bất kì cùng vuông góc với mặt phẳng

 

P .

Câu 125: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính khoảng cách từ Sđến mặt phẳng



^ABC



^.

A. 2

a. B. 3

2

a . C. a 2. D. a. Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi G là tâm tam giác đều ABC thì ^SG



^ABC



^{, SAG30.}

Ta có sin SG SAG SA 1

2 2

SG

  a SGa.

Câu 126: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m . Diện tích xung quanh của kim tự tháp này là?

A. 1100 346 m

 

² . B. 4400 346 m

 

² . C. 2200 346 m

 

² . D. ^{2420000 m}

 

^{3 .}

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi khối chóp tứ giác đều là .S ABCD có O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, SO150 m, BC220 m, OM 110 m, SM  SO²OM² 10 346 m.

Diện tích xung quanh của kim tự tháp:

xq 4 SBC

S  S 1

4. . 2 .

2SM BC SM BC

  4400 346 m

 

² .

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



^{và SOa.}

Khoảng cách giữa SC và AB bằng A. 3

15

a . B. 5

5

a . C. 2 3

15

a . D. 2 5 5 a . Lời giải

Chọn D

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnhAB CD, ; H là hình chiếu vuông góc của O trên .

SN

Vì AB CD// nên^{d AB}



^,SC



^{d AB SCD}



^{, ( )}



^{d M SCD}



^{, ( )}



^{2d O SCD}



^{, ( )}



^{(vì O là trung}

điểm đoạn MN)

Ta có CD SO ( )

CD SON CD OH CD ON

 

   

 



Khi đó ^{CD OH OH (SCD) d O SCD}



^{; ( )}



^OH.

OH SN

 

   

 



Tam giác SON vuông tại O nên 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 5₂

5 4

OH a a

OH ON OS  a  a  

Vậy



^,SC



^{2 2 5}

5 d AB  OH  a .

Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng



^SAB



một góc 45. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Góc giữa hai đường thẳng

BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 48 . B. 51 . C. 42 . D. 39 . Lời giải

Chọn B

Cách 1. Giả sử hình vuông ABCD cạnh a,



^{SD SAB,}

  

^{45 SAADa.}

Xét trong không gian tọa độ Oxyz trong đó: O A, Ox AB Oy, AD Oz,  AS. Khi đó ta có:



^{; 0; 0}



B a , ; ; 0

2 Ia a 

 

 

, ^D



^{0; ; 0a}



^{, S}



^{0; 0;a}



Suy ra ; ; 0

2

IB a a 

  

 



, ^{SD}



^{0;a a;}



S

B

A D

C O

M N

H

Mặt khác:

 

₂ ²

2 2 2

cos ,

4 . IB SD a

a a a a



 

  2

 10 ^



^{IB SD}^,



^51.

Cách 2. Gọi K là trung điểm của AB.

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a,



^{SD SAB,}

  

^{45 SAADa}

Gọi K là trung điểm của AB. Vì KD//BI nên góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng góc giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc SDK. Ta có 5

2

KDSK a ,SDa 2.

Gọi H là trung điểm của SD. Ta có 

2 2 10

cos 5 5

2 a SDK HD

KD a

   .

Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51 .

Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật .

ABCD A B C D    có các cạnh AB2, AD3;AA4. Góc giữa hai mặt phẳng



^{AB D }



^và



^{A C D }



^{là }. Tính giá trị gần đúng của góc ?

A. 45, 2. B. 38,1. C. 53, 4. D. 61, 6.

Lời giải Chọn D

Cách 1: Hai mặt phẳng



^{AB D }



^và



^{A C D }



có giao tuyến là EF như hình vẽ. Từ A và D

ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EF sẽ là chung một điểm H như hình vẽ. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A H và D H .

Tam giác DEF lần lượt có 13

2 2

D E D B 

   , 5

2 2

D F D A

   , 5

2 EF B A

  .

A

B

C

D y

x

S z

K I

H

A

B C

D B

A D

C

F E

x

y z

D

B A

E F

H

Theo hê rông ta có: 61

DEF 4

S  . Suy ra 2 305

10 SDEF

D H  EF  .

Tam giác D A H  có:  ^{2 2 2} 29

cos 2 . 61

HA HD A D A HD HA HD

     

    

  .

Do đó A HD  118, 4 hay



^{A H D H , }



^{180 118, 4 61, 6.}

Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.    vào hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó



^{0; 0; 0 ,}



A ^B



^{2; 0; 0 ,}



^D



^{0;3; 0 ,}



^C



^{2;3; 0 ,}



^A



^{0; 0; 4 ,}



^B



^{2; 0; 4 ,}



^D



^{0;3; 4 ,}



^C



^{2;3; 4}



^.

Gọi n₁

là véc tơ pháp tuyến của



^{AB D }



^{. Có} n1AB AD;  



12; 8; 6



  

. Gọi n₂

là véc tơ pháp tuyến của



^{A C D }



^{. Có} n2A C A D ;   



12;8; 6



  

. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng



^{AB D }



^và



^{A C D }



1 2

1 2

cos 29

61 n n

n n

 



  . Vậy giá trị gần đúng của góc  là 61, 6

Câu 4: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3. Gọi O là tâm của đáy ABC, d₁ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng



^SBC



^và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng



^SBC



^{. Tính} d d1d2.

A. 2 2

11

d a . B. 2 2 33

d a . C. 8 2 33

d a . D. 8 2 11 d a . Lời giải

Chọn C

Do tam giác ABC đều tâm O suy ra AOBC tại M là trung điểm củaBC.

Ta có: 3 1 3 2 3

, ,

2 3 6 3 3

a a a

AM  MO AM  OA AM  . Từ giả thiết hình chóp đều suy ra ^SO



^ABC



^,

2

2 2 2 3 2 6

3 9 3

a a

SO SA OA  a   .

Dựng 1

, // ;

3 OK OM OK SM AH SM AH OK

AH AM

     .

Có ^{BC SO BC}



^SAM



^{BC OK}

BC AM

 

   

 



. A

B

C M

K H S

3 a

a O

Có ^{OK SM OK}



^SBC



^,AH



^SBC

 

^{do AH OK//}



OK BC

 

  

 



. Từ đó có d1d A SBC



,

  

AH 3OK d; 2d O SBC



,

  

OK. Trong tam giác vuông OSM có đường cao OK nên:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 36 9 99 2 2

3 24 8 33

OK a

OK  OM SO  a  a  a   .

Vậy _{1 2} 8 2

4 33

d d d  OK a .

Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B, biết ABBCa, AD2a, SAa 3 và

 

SA ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SA. Tính khoảng cách từ M đến



^NCD



^{theo a.}

A. 66 22

a . B. 2a 66. C. 66 11

a . D. 66

44 a . Lời giải

Chọn D

G S

A D

I

B C

N M K

Cách 1 : Gọi I là giao điểm của AB và CD, vì AD2BC nên B là trung điểm của AI. Gọi G là giao điểm của SB và IN, dễ thấy G là trọng tâm tam giác SAI . Do đó,

2 4 1

3 3 4

SG SB SM MG SG, mà ^G



^NCD



^nên

 



^;



¹



^;

  

¹



^;

  

4 4

d M NCD  d S NCD  d A NCD .

Lại có, ^{CDAC CD; SACD}



^SAC



^{. Gọi K} là hình chiếu của A lên NC thì

 



^;



^{AN AC}₂^. ₂

 

^*

d A NCD AK

AN AC

 

 ^{, với}

3; 2

2

AN a ACa thay vào

 

^* ta được 66

11

AK a . Vậy



^;

  

^{1 66}

4 44

d M NCD  AK a

Cách 2 : Gắn hệ trục Oxyz sao cho O A D; Ox B; Oy S; Oz;i a . Khi đó ^A



^{0; 0; 0}



^{, D}



^{2; 0; 0}



^{, B}



^{0;1; 0}



^{, C}



^{1;1; 0}



^{, S}



^{0; 0; 3}



^{, N}_^{0; 0;} ₂^3_

 

, 1 3

0; ;2 2

M 

 

 

 

.

 



^;



d M NCD

;

; CN CD CM

CN CD

 

 



 

 

  

  .

Nhập vào máy tính bỏ túi các tọa độ 3 1; 1;

CN 2 

  

 

 



, ^{CD}



^{1;1; 0}



, 1 3 1; ;

2 2

CM 

  

 

 



. Ta được

kết quả 66

44 ^{. Vậy}



^;

  

⁶⁶

d M NCD  44 a.

Câu 6: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OBOCa 6, OAa. Tính góc giữa hai mặt phẳng



^ABC



và



^OBC



.

A. 60. B. 30. C. 45. D. 90. Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm của BCAIBC. Mà OABC nên AIBC. Ta có:

   

   



^,

 ^

^,

^

^

OBC ABC BC

BC AI OBC ABC OI AI OIA

BC OI

 



    



 



.

Ta có: 1 1 ^{2 2}

2 2 3

OI  BC OB OC a .

Xét tam giác OAI vuông tại A có  3 

tan 30

3

OIA OA OIA

 OI    . Vậy



^



^OBC

 

^{, ABC}

 

^30.

Câu 7: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     _có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và

CD_. A. 5

5

a . B. 2 5

5

a . C. 2a. D. a 2. Lời giải

Chọn B

A

O

B

C I

Gọi O O, lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác COO C là hình bình hành và 2

C O   AC a

Do BD// B D ^BD//



^{CB D }



^{nên d BD CD}



^{; }



^{d O CB D}



^;



^{ }

 

^{d C}



^;

^

^{CB D }

^ 

^.

Ta có : ^{B D A C B D}



^{COO C}



B D CC

   

     

   

Trong tài liệu Trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong các đề thi thử Toán 2018 - TOANMATH.com (Trang 173-181)