BC   SAM 

Câu 54: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD. Côsin góc giữa AB và mp



^BCD



^bằng:

A

B

C M S

A. 3

2 . B. 3

3 . C. 1

3. D. 2

3 . Lời giải

Chọn B

Gọi độ dài các cạnh của tứ diện đều ABCD là a. Gọi Mlà trung điểm của CD. Gọi Olà trọng tâm của tam giác BCD.

Ta có ^AO



^BCD



^{ BO} là hình chiếu vuông góc của AB lên ^{mp BCD}

 

^.

Do đó



^{AB BCD,}

  

^



^{AB BO,}



^ABO.

Trong ABO vuông tại O, ta có 

2 3

. 3

3 2

cos 3

a ABO BO

AB a

   .

Câu 55: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Hình chóp .S ABCDcó đáy là hình vuông, hai mặt bên



^SAB



^và



^SAD



vuông góc với mặt đáy. AH, AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB, tam giácSAD. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. HK SC. B. SAAC. C. BC AH. D. AK BD. Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết:

   

   

SAB ABCD SAD ABCD





 



 ^SA



^ABCD



^SAAC, đáp án B đúng.

Ta có: BC AB BC SA

 

 



^BC



^SAB



^{, mà AH}



^SAB



^{ BC AH} , đáp án C đúng.

O A

B

C

D M

A D

B C

S

H

K

Ta có

 

 

AH SBC SC AK SCD SC

 



  



 ^SC



^AHK



^{, mà HK}



^AHK



^{HK SC}, đáp án A đúng.

Vậy đáp án D sai.

Câu 56: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với ABBCa, AD2a, SA vuông góc với đáy và SAa. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng:

A. 2 6

a . B. 3

3

a . C. 6

3

a . D. 2

9 a . Lời giải

Chọn C

Dựng hình bình hành ACDE, kẻ AH SE tại H. Ta có: ^AC//



^SDE





^,

 

^,

  

d AC SD d AC SDE

  ^{d A SDE}



^,

  

^{ AH.}

Vì ^{ACCDAEEDDE}



^SAE



^{DE AHAH}



^SDE



_.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

2 2

AH  SA  AE a  a  a 6 3 AH a

  .

Câu 57: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, ^SA



^ABCD



^{, SAa 3. Gọi M} là trung điểm SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM.

A. 3 4

a. B. 3

2

a . C. 3

4

a . D. 2 3

3 a . Lời giải

Chọn B

M

A D

B C

S

H

Vì AB //CD nên ^{AB //}



^SCD



^.

Do đó ^{d AB CM}



^,



^{d AB SCD}



^,

  

^{d A SCD}



^,

^{ } 

^{ AH với H} là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAD.

Ta có

 

^{2 2}

. 3. 3

3 2

SA AD a a a

AH SD

a a

  



.

Câu 58: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và  là góc tạo bởi đường thẳng

MC và mặt phẳng



^ABC



^{. Khi đó tan bằng}

A. 7 7

2 . B.

2

3. C.

7

3 . D.

3 3 2 . Lời giải

Chọn D

Ta có MC là hình chiếu của MC lên



^ABC



^{. Suy ra  C CM .}

Xét tam giác MCC vuông tại C có: 2 3

tan 3 3

2 CC a CM a

 ^   .

Câu 59: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

A. 1

2. B. 1

3 . C. 1

3. D. 1

2 . Hướng dẫn giải

Chọn B

A

O H

B S

D C

Gọi O là trung điểm của AC. Vì .S ABCD là hình chóp đều nên ^SO



^ABCD



^.

Gọi H là trung điểm của BC và góc giữa mặt bên



^SBC



và mặt đáy



^ABCD



^{là .}

Ta có



^SBC

 

^{ ABCD}



^{BC mà BCSH và BCOH nên SHO.}

SH là đường cao của tam giác đều SBC cạnh a nên 3 2 SH a ,

Xét tam giác SOH vuông tại O có: cos OH

  SH 2 1

3 3

2 a a

  .

Câu 60: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho chóp S ABCD. có đáy là hình vuông, ^SA



^ABCD



. Góc giữa đường SC và mặt phẳng



^SAD



^{là góc?}

A. CSA. B. CSD. C. CDS. D. SCD. Hướng dẫn giải

Chọn B

C

A D

B

S

Ta có ^{CD AD CD}



^SAD



CD SA

 

 

 



. Do đó góc giữa SC và



^SAD



bằng góc giữa SC và SD. Do góc CSD90 nên chọn B.

Câu 61: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AD2a, ABBCSAa. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng



^SCD



^.

A. 3

h a. B. 6 6

ha . C. 3 6

h a . D. 6 3 h a . Hướng dẫn giải

Chọn B

2a a

a

a

A M D

B C

S

H

Ta có

   

 

 

, 2

, d A SCD

d M SCD 



^,

  

¹



^,

^{ } 

d M SCD 2d A SCD

  .

Dễ thấy ACCD, SACD dựng AH SA^{AH }



^SCD



^.

Vậy ^{d A SCD}



^,

  

^{ AH.}

Xét tam giác vuông ^{SAC A}



^1v



^có _AH^{1 2 } _AC^{1 2 } _AS^{12 AH a}₃^{6 .}

Vậy



^,

  

⁶

6 d M SCD a

  .

Câu 62: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho hình chóp .S ABC có SASBSCAB AC1, 2

BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB, SC.

A. 45. B. 120. C. 30. D. 60.

Lời giải Chọn D

B H C

A

S

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB AC1, BC 2 và 1

SBSC , BC 2. Ta có ^{SC AB}    ^{. SC SB}



^SA



. .

SC SB SC SA

    ₁

0 . .cos 60

SC SB 2

     .

Suy ra ^cos



^{SC AB;}



^{ cos}



^{SC AB ;}



^{ SC AB}_{SC AB}^._. ^{ 1}₂

 

. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB, SC bằng 60.

Câu 63: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC.

A. 2 2

a . B. 3

4

a . C. a. D. 3

2 a . Lời giải

Chọn D

M

C'

B' A'

A C

B

Gọi M là trung điểm của BC. Do ABC là tam giác đều cạnh a nên ta có 3 2 AM a và AM BC (1).

Mặt khác ta lại có ABC A B C.    là lăng trụ đều nên ^{AA }



^ABC



^{AAAM (2).}

Từ (1) và (2) ta có AM là đoạn vuông góc chung của AA và BC. Vậy ^{d AA BC}



^,



^{AM 3}

2

 a .

Câu 64: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng



^{BDD B }



^.

A. 60. B. 90. C. 45. D. 30.

Lời giải Chọn D

O D' B'

A'

C'

B C

A D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AOBD (1).

Mặt khác ta lại có ABCD A B C D.     là hình lập phương nên ^{BB }



^ABCD



^{BB AO (2).}

Từ (1) và (2) ta có ^AO



^{BDD B }



^



^AB,



^ABCD

 

^

^

^{AB B O, }

^

^{AB O .}

Xét tam giác vuông AB O có 1

sin 2

AB O AO

  AB 



AB O 30

  .

Vậy



^AB,



^ABCD

 

^30.

Câu 65: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



^{AB C }



^và



^{A BC}



, tính cos

A. 1

7. B. 21

7 . C. 7

7 . D. 4

7. Lời giải

Chọn A

Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều ABC A B C.    có độ dài bằng a. Gọi M  A B AB và N  A C AC.

Khi đó



^{AB C }

 

^{ A BC}



^MN.

Kẻ A I MN



^IMN



^{mà AA BC, BC MN// AAMN. Vậy AI MN.}

Khi đó

 

^{AB C }

 

^{, A BC}

 

^

^

^{AI A I, }

^

^.

Gọi J là trung điểm BC. 3

2

AJ a , ^{2 2} 7

A J  AA AJ  2 a 1 7

2 4

A I A J a

   .

Xét tam giác A IA có:

 ^{2 2 2} 1

cos 2. . 7

AI A I AA A IA AI A I

 

  

  

 ^{cos cos}



^{AI A I, }



^{cos 180}



^{A IA}



^1₇^.

Câu 66: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. ANBC. B. CM SB. C. CM  AN. D. MN MC. Lời giải

Chọn A

Do tam giác ABC đều nên CM AB, vì ^SA



^ABC



^{nên SACM CM }



^SAB



CM SB

  , CM AN nên B, C đúng.

Do MN SA nên // ^{MN }



^ABC



^{MN MC} nên D đúng.

Vậy A sai.

Câu 67: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Hình lăng trụ có 45 cạnh có bao nhiêu mặt?

A. 15. B. 20. C. 18. D. 17.

Lời giải Chọn D

Gọi x là số cạnh của một mặt đáy hình lăng trụ ta có 3x45x15. Vậy hình lăng trụ có 15 mặt bên và 2 mặt đáy.

Số mặt của hình lăng trụ là 17.

Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng



^SAD



một góc 30. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

3 2

3 .

V  a B.

3 6

3 .

V  a C. V  2 .a³ D.

2 3

3 . V  a Lời giải

Chọn A

Ta thấy:

 

SA ABCD SA CD CD AD

   

 

 

CD SAD

  ^



^{SC SAD;}

  

^{CSD30.}

Trong tam giác vuông SDC: 3

tan 30 1 3 CD a SD  a

 .

Trong tam giác vuông SAD: ^{SA SD2AD2 }



^{a 3}



^{2a2 a 2.}

Thể tích V của khối chóp: 1 3 ^ABCD.

V  S SA 1 ² . . 2 3 a a



3 2

3

 a .

Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Số đo của góc giữa đường thẳng SA và



^ABC



^bằng

A. 45. B. 60. C. 30. D. 75.

Lời giải Chọn B

S

C B

A H

Gọi H là trung điểm của BC,



^SBC



là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có ^SH



^ABC



^.

Khi đó ta có hình chiếu vuông góc của SA lên



^ABC



^{là AH}. Suy ra góc giữa SA và



^ABC



bằng góc giữa SA và AH bằng góc SAH .

Ta có: 1

AH 2BC, 3

SH BC 2 . Do đó trong tam giác SAH ta có tan SH 3 SHA AH  . Vậy góc SAH 60.

Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SASC và SBSD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. ^CD



^SBD



^{. B. SO}



^ABCD



^{. C. BDSA. D. ACSD.}

Lời giải Chọn A

O

C

A D

B

S

Ta có ^CD



^SBD



^CDBD điều này vô lý vì COD là tam giác vuông tại O.

Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng ,a góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



^SMN



^bằng

A. 3

a. B. 7

3

a. C. 3 7

a. D.

7 a. Lời giải

Chọn C

60°

a

I G M

N

A C

B

S

H

Ta có: ^{d A SMN}



^;

  

^{3d G SMN}



^;

^{ } 

^.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là giao điểm của MN và BG, H là chân đường cao kẻ từ G của tam giác SIG. Khi đó ^{d G SMN}



^;

  

^GH.

Lại có:

 3

3

BGa , 3 4

BI a IGBGBI ³ 12

 a .

 SGBG. tan 60 a.

 1 ₂ 1₂ 1₂ 49₂ HG  SG IG  a

7 GH a

 



^;

  

³

7 d A SMN a

  .

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



SMN



bằng 3 7

a.

Câu 5: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng .

a Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CB _bằng A. 6

3

a . B. 2 3

3

a . C. 2

2

a . D. 3

3 a . Lời giải

Chọn D

I

O

D' B' C'

A'

A D

B C

H

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng



^ABCD



dựng hình vuông BOCI khi đó ta có ^{CI }



^{BB I}



^



^{B CI}

 

^{ BB I}



^.

Trong mặt phẳng



^{BB I}



^{kẻ BH B I} khi đó ta có ^{d BD CB}



^{,  }



^BH. Xét tam giác vuông B BI ta có 1 ₂ 1 ₂ 1₂

BH  BB BI

 ^{2 2}

1 2

a a

  3₂

 a 3

3 BH a

  .

Vậy



^,



³

3 d BD CB a .

Câu 6: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC. có các mặt ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Số đo của góc giữa đường thẳng

SA và



^ABC



^bằng

A. 45. B. 75. C. 60. D. 30. Lời giải

Chọn A

H S

C A

B

Theo giả thiết ta có



^ABC

 

^{ SBC}



^.

Trong mặt phẳng



^SBC



^{kẻ SH BCSH}



^ABC



^{hay SH} là đường cao của hình chóp.

Khi đó ta có



^{SA ABC,}

  

^

^

^{SA AH,}

^

^SAH.

Mặt khác theo giả thiết tam giác SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và 3

2 AH SH a .

Xét tam giác vuông SHA ta có tan SH 1

SAH  AH  SAH45. Vậy



^{SA ABC,}

  

^45.

Câu 7: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC. có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng



^ABC



và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ đường cao AH của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. AH SC. B. AH BC. C. SABC. D. AH AC. Lời giải

Chọn D

Ta có ^SA



^ABC



^SABC, suy ra C đúng.

Lại có BCAB, BCSA^BC



^SAB



^{AH BCAH}, suy ra B đúng.

Mặt khác AH SB, AH BC^{AH }



^SBC



^{SCAH SC}, suy ra A đúng.

Vậy Chọn D

Câu 8: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC. có ASB120, BSC60,

 90

CSA   và SASBSC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng



^ABC



^{. Khẳng}

định nào sau đây đúng?

A. I là trung điểm AC. B. I là trọng tâm tam giác ABC. C. I là trung điểm AB. D. I là trung điểm BC.

Lời giải Chọn C

Đặt aSASBSC, với a0.

S

A _B

C I

60

120

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SAB và SBC, ta có ABa 3 và BCa. Tam giác SAC vuông cân tại S có ACa 2.

Tam giác ABC có BC²CA² AB² nên nó vuông tại C

Gọi I là trung điểm cạnh AB thì IAIBIC và SASBSC^{SI }



^ABC



^{I là hình}

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng



^ABC



^.

Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tứ diện .S ABC có các cạnh SA, SB; SC đôi một vuông góc và SASBSC1. Tính cos, trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng



^SBC



^và



^ABC



^?

A. 1

cos  2. B. 1

cos 2 3 . C. 1

cos3 2 . D. 1

cos 3. Lời giải

Chọn D

 Cách 1:

Gọi D là trung điểm cạnh BC. Ta có ^{SA SB SA}



^SBC



SA SC

 

 

 



SA BC

  .

Mà SDBC nên ^BC



^SAD



^.



^

  

Trong tài liệu Trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong các đề thi thử Toán 2018 - TOANMATH.com (Trang 77-91)