Bổ sung

- Hai tam giác có chung một cạnh (hoặc một cặp cạnh bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao ứng với cạnh đó).

- Hai tam giác có chung một đường cao (hoặc một cặp đường cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh ứng với đường cao đó.

- ABCD là hình thang



^{AB/ /CD}



. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thì S_AODS_BOC. - Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

- Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy.

- Tam giác đều cạnh a có diện tích là

2 3

4 a . B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB12cm, AD6,8cm. Gọi H, I , E, K là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC.

a) Tính diện tích tam giác DBE. b) Tính diện tích tam giác EHIK.

Giải

* Tìm cách giải. Dễ dàng tính được diện tích hình chữ nhật ABCD. Mặt khác, đề bài xuất hiện nhiều yếu tố trung điểm nên chúng ta có thể vận dụng tính chất: hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh đáy ứng với đường cao đó. Từ đó rút ra nhận xét: đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Từ nhận xét quan trọng đó, chúng ta lần lượt tính đượ diện tích các tam giác BCD, BCE, DBE, BEH, ECH , HCK, CKI,…

* Trình bày lời giải

a) ABCD là hình chữ nhật nên

1 1 1 2

. . .12.6,8 40

2 2 2

D CD

BC AB

S  S  AB AD  cm E là trung điểm của CD, suy ra:

1 2

20, 4

BDE BCE 2 BCD

S S  S  cm b) H là trung điểm

1 1 2

.20, 4 10, 2

2 2

CHE BCE

BCS  S   cm

K là trung điểm 1 ²

2 5,1

HKC CHE

CES  S  cm I là trung điểm CH

1 2

2 2,55

CKI HKC

S S cm

  

Vậy S_EHIK S_CHE S_CIK 10, 2 2,55 7,65 cm² .

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 24cm². Lấy điểm E thuộc BC và F thuộc CD sao cho diện tích tam giác ABE và ADF lần lượt là 4cm² và 9cm². Tính diện tích tam giác AEF.

(Olypic Toán, Châu Á- Thái Bình Dương, năm 2001) Giải

* Tìm cách giải. Quan sát hình vẽ, suy luận rất tự nhiên: muốn tính diện tích tam giác AEFchúng ta chỉ cần tính diện tích tam giác CEF.

Nhận thấy không thể và cũng không cần tính cụ thể độ dài CE và CF. Chúng ta biết rằng, nên chỉ cần tìm mối quan hệ giữa CE và BC; CF và CD. Phân tích như vậy, chúng ta chỉ cần tìm mối quan hệ giữa BE và BC;

DF và CD.

Mặt khác hình chữ nhật ABCD và tam giác vuông ABE có chung cạnh AB đồng thời biết diện tích của chúng nên dễ dàng tìm được mối quan hệ giữa BE và BC. Tương tự như vậy hình chữ nhật ABCD và tam giác vuông ADF có chung cạnh AD, đồng thời biết diện tích của chúng nên dễ dàng tìm được mối quan hệ giữa

DF và CD. Từ đó ta có lời giải sau:

* Trình bày lời giải

Ta có: S_ABCD 24cm² suy ra:

1 2

2 12

ABC ACD ABCD

S S  S  cm

ABC và ABE có chung đường cao AB

nên ⁴

12

ABE ABC

S BE

BC  S 

E K

I H

C

A B

D

A B

E

hay 1 2

3 3

BE CE

BC   BC 

ADF và ADCcó chung đường cao AD nên ⁹ 12

ABE ABC

S DF

DC  S 

hay 3 1

4 4

DF CF

DC  CD  .

Ta có: ^{. 1 2 1}. . ^{1 1} . ¹ .24 2 ²

2. . 2 3 4 12 12 12

CEF

CEF ABCD

ABCD

S CE CF

S S cm

S  BC CD      .

Do vậy S_AEF S_ABCD S_ABE S_ADF S_CEF S_AEF  24 4 9 2   9cm² .

Ví dụ 3. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Biết BD7cm; ABD 45 . Tính diện tích hình thang ABCD.

(Olympic Toán Châu Á – Thái Bình Dương 2007)

Giải

Cách 1. Nối ACcắt BDtại E. ABE vuông cân BE AC

  . Diện tích hình thang là:

2 2

1 1 49

2 . 2 2

S  AC BD BD  cm

Cách 2. Kéo dài tia BA lấy điểm E sao cho AECD, ta được:

AED CDB

   (c.g.c) suy ra:

45

AEDCDB  . Từ đó suy ra:

BDE vuông cân tại D.

ABCD ABD CDB ABD AED

S S S S S

2 2

1 49

2 2

SDBE BD cm

   .

Cách 3. Kẻ DH AB, BKCD. Do AB//CD nên HDK  90 mà DBlà phân giác HDK (vì BDK  45 )

HDKB là hình vuông mà HAD KCB (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra S_HDAS_BCK nên S_ABCD S_ABKDS_CKB S_ABKDS_AHDS_DHBK

2

2 49 2

2 2

BK BD cm

   .

Ví dụ 3. Cho ABC vuông tại A. AH là đường cao. Gọi M , N là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh: S_BIC S_AMIN.

Giải

Ta có: ANH và BNH có chung HN và đường cao hạ từ A và B bằng nhau nên

ANH BNH ANH CNH BNH CNH

S S S S S S

AHC BNC

S S

  (1)

Mặt khác MAHN nên S_AHC S_AMC (2) Từ (1) và (2) ta có:

BNC AMC BNC NIC AMC NIC

S S S S S S Vậy S_BIC S_AMIN .

Nhận xét.

Kĩ thuật so sánh S_BIC với S_AMIN ta so sánh S_BNC với S_AHC từ đó dẫn đến so sánh S_BHN và S_AHN.

Ví dụ 4. Gọi M, Nlần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:

 

²

1.

ABCD 2

S  AMAN .

Giải

* Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải của phần kết luận có độ dài hai cạnh của tam giác AMN, mặt khác dễ thấy

 

²

1 1

. . .

2 2 4

AMN

AM AN

S AM AN 

  (vận dụng kết quả

 

²

4 ab a b

 ). Do vậy chúng ta cần biến đổi S_ABCD theo S_AMN. Định hướng cuối cùng là S_ABCD 4.S_AMN.

* Trình bày lời giải

2. 2.

ABCD ABC ACD AMC ANC

S S S  S  S

 

Trong tài liệu Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Hình học 8 - THCS.TOANMATH.com (Trang 59-63)