Diện tích xung quanh – Thể tích của hình lăng trụ đứng

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

xq 2 S  ph

(plà nửa chu vi đáy, hlà chiều cao)

tp xq 2 day

S S  S

 Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

. V S h

(S là diện tích đáy, h là chiều cao) B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   . Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AA, BB, CC. Chứng minh rằng mp AEC( ) // mp DB F(  ).

Giải

Tìm cách giải: Muốn chứng minh mp AEC( ) / /mp DB F(  ) ta chứng minh hai đường thẳng giao nhau của

( )

mp AEC tương ứng song song với hai đường thẳng giao nhau của mp DB F(  ). Trình bày lời giải.

Ta có: AD//EB và ADEB nên tứ giác AEB D là hình bình hành. Suy ra AE DB// . (1)

Xét AC A có DF là đường trung bình nên DF//AC. (2) Từ (1) và (2) suy ra mp AEC( ) / /mp DB F(  ).

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   , đáy ABC là tam giác vuông tại A. a) Chứng minh rằng mp ABB A



 ' / /



mp ACC A



 '



b) Gọi M là điểm bất kì trên cạnh B C . Chứng minh rằng mp AA M







mp A B C



  



. c) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh B C  để độ dài AM nhỏ nhất.

Giải

Tìm hướng giải: Muốn chứng minh mp ABB A



 ' / /



mp ACC A



 '



ta chứng minh một đường thẳng của mặt này vuông góc với mặt kia.

Trình bày lời giải

a) Ta có ABAA và ABACnên ^AB^^{mp ACC A}



^{ }



. Mặt khác ^AB^



^{ABB A}^{ }



^nên



' / /

 



mp ABB A mp ACC A .

b) Hình lăng trụ ABC A B C.   là hình lăng trụ đứng nên ^AA^^^{mp A B C}



^{  }



. Mặt khác ^AA^^^{mp AA M}



^



nên ^{mp AA M}



^



^^{mp A B C}



^{  }



c) Xét AA M vuông tại A ta có: AM²  AA²A M ²trong đó AA không đổi. Vậy AM nhỏ nhất A M

 nhỏ nhất.

Xét ^{mp A B C}



^{  }



^có^{A M}^ ^{nhỏ nhất}A M B C .

Vậy để độ dài AM nhỏ nhất thì M phải là hình chiếu của A trên B C .

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC A B C.   đáy là hình tam giác vuông cân tại A. Biết hình trụ này có chiều cao là 4m, và thể tích là 18m³. Tính diện tích toàn phần của nó.

Giải

Ta có . V

V S h S

   h . Vậy diện tích đáy của hình lăng trị này là 18 4 4,5

S   (m²).

Vì ABC vuông cân tại Anên 1 ² S 2AB .

Do đó 1 ² ²

4,5 9 3

S 2AB  AB  AB suy ra BC3 2(m).

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là

 

2 3 3 3 2 .4 24 12 2 Sxq  ph     (m²) Diện tích toàn phần

24 12 2 9 33 12 2 50 Stp       (m²).

Ví dụ 4 Một hình lăng trụ đều (tức là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều) có tất cả 18 cạnh, mỗi cạnh dài 4 3 cm. Tính thể tích của hình lăng trụ đó.

Giải

Tìm cách giải

Để tìm thể tích hình lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy. Đáy là một đa giác đều, đã biết độ dài mỗi cạnh nên cần biết số cạnh là song.

Trình bày lời giải

Gọi số cạnh của một đáy là n. Khi đó số cạnh bên là n. Suy ra tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là 3

n n n   n. Theo đề bài, ta có 3n18 n 6.

Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều. Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng 4 3 cm.

Do đó, diện tích đáy là

 

^{4 3} ² ³

.6 72 3

S 4  (cm²).

Thể tích hình trụ V S h. 72 3.4 3864 (cm³) C. Bài tập vận dụng.

Chứng minh song song, vuông góc, tính chiều cao.

19.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   . Gọi E và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABB và ACC. Trong mặt bên ABB A  vẽ EM/ /BB



^M^^AB



. Trong mặt bên ACC A  vẽ _GN_{/ /}_CC



^N^^AC



. Chứng minh rằng ^{mp MNGE}

 

^{/ /}^{mp BCC B}



^{ }



19.2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có cạnh đáy ABAC10cm, BC 12cm. Gọi M là trung điểm B C .

a) Chứng minh rằng ^{B C}^{ }^^{mp AA M}



^



b) Cho biết AM 17cm. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.

19.3 Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình lăng trụ là 540cm³, diện tích xung quanh là 360cm². Tính chiều cao của hình lăng trụ đó.

19.4 Hình hộp đứng ABCD A B C D.    'có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc nhọn 30 . Cho biết diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của nó. Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng.

Tính diện tích, thể tích.

19.5 Hình lăng trụ đứng ABC A B C.   có AB5cm, AC12cm và chiều cao AA 10cm. Biết diện tích xung quanh của hình trụ là 300cm². Tính diện tích của nó.

19.6 Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo bằng 16cm và 30cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 2680cm², tính thể tích của nó.

19.7 Hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE A B C D E.     có cạnh đáy bằng a. Biết hiệu giữa các diện tích xung quanh của hai hình lăng trụ đứng ABCE A B C E.     và CDE C D E.   là 4a². Tính diện tích xuang quanh của hình lăng trụ đã cho.

19.8 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D.    ' có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết BADa, BCD45 và AC 3a. Tính

a) Thể tích hình lăng trụ đứng;

b) Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng.

19.9 Có một tấm bạt hình chữ nhật kích thước a b ,



^a^^b



. Dùng tấm bạt này để dựng một chiếc lều trại có dạng hình lăng trụ đứng, hai đáy (tức là hai cửa) là hai tam giác vuông cân. Cả tấm bạt thành hai mái lều sát mặt đất.

a) Chứng minh rằng dù căng tấm bạt theo chiều dài hay rộng thì diện tích mặt đất bên trong lều là như nhau.

b) Trong hai trường hợp trên, trường hợp nào có thể tích không khí bên trong lớn hơn.

19.10 ng ABCD A B C D. ' t th tích là 1280cm³ và chi u cao là 20cm. Tính giá tr nh nh t c a di n tích xung quanh.

19.11 M t chi ng có d ng, chi u c nh 18cm.

a) Tính di n tích gi làm m t xung quang c b) Tính th tích c

c) N u gi nguyên chi u cao c i gi dài c iêu l th

hai l n.

H M D C

A B

CHUYÊN ĐỀ 20. HÌNH CHÓP ĐỀU A. Kiến thức cần nhớ

Trong tài liệu Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Hình học 8 - THCS.TOANMATH.com (Trang 149-154)