MB X A MAX B MB MA
BÀI 5: SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ, ĐỊNH NGHĨA VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN
III. Một số bài toán chọn lọc:
1. Cho tam giác ABC thoả 1
( )
b=2 a c+ chứng minh rằng: cos
(
A C−)
+4cosB=3Giải:
Nếua c= , kiểm tra ta thấy đúng.
Nếu a c≠ , lấy D trên AC sao cho DB bằng a. Đặt AD x= Theo định lí Stewart ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0
c b x b x bc a b a x bx c b a x b a c
+ + + = +
⇔ + + − − − =
Thay 1
( )
b= 2 a c+ ta được:
( ) ( ) ( )
2 1 2 2
5 3 0 2
x +2 c− a − a −c = ⇒x= a c− Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABD ta có:
( )
1(
2 2 2)
1(
2 2)
cos 8 3 3
2 2
A C a c x ac a c
ac ac
− = + − = − −
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có
(
2 2 2) (
2 2)
1 1
4cos 4 3 3 2
2 2
B a c b a c ac
ac ac
= + − = + −
Từđó suy ra: cos
(
A C−)
+4cosB=32. Tam giác ABC có sin2 A,sin2B,sin2C lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 3 2. Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt nhau tại I, I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: SIAC =SIBC(SIAC,SIBC là diện tích tam giác IAC,IBC)
Giải:
Vẽđường cao AH, phân giác trong BD, CI cắt AB tại M.
Đặt : BC a CA b AB c= , = , =
Vì I thuộc miền trong tam giác ABC, nên các góc B và C đều nhọn.
sinB cos & sinB A sinC
⇒ = =
Theo định lý Céva : 1 cos cos sin sin cos sin 1
MA HB DC MA HC DA MB HC DA MB HB DB
MA b C c MB c B a
MA B C
BM B A
= ⇒ =
⇒ =
⇒ = =
Do đó M là trung điểm của AB.
Hạ AE và BF vuông góc với CM thì AE=BF Từđó suy ra : SIAC =SIBC
3. Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì cắt các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại Q, M, S, P, N, R như hình vẽ PQ∩RS =
{ }
X RS, ∩MN={ }
Y PQ, ∩MN ={ }
Z .Cmr AX,BY, CZ đồng quy.
Giải :
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác AQR.
( )
1 2
sin sin sin
1 1 sin sin sin
A XQR XRA A XQA XRQ =
tương tự cho tam giác BMS, tam giác CNP ta có:
( )
( )
1 2 1 2
sin sin sin
1 2
sin sin sin
sin sin sin
1 3
sin sin sin
B YSM YMB B YSB YMS C ZNP ZPC C ZNC ZPN
=
=
Nhân (1), (2), (3) đồng thời, lưu ý rằng sinXQR=sinYSB, ta có:
1 1 1
2 2 2
sin sin sin sin sin sin 1
A B C
A B C = ⇒ đpcm.
4. Cho tứ giác lồi ABCD thỏa điều kiện BAD>900.Chứng minh rằng nếu MN và BD cắt nhau tại I thì IA vuông góc AC.
Giải :
Nếu M ≡C( hay N ≡C) thì I ≡D (hay I ≡B). Lúc đó bài toán đúng.
Nếu I ≠B(hay I ≠D), áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với 3 điểm M, N,I ta có:
5 3 1
4 2
sin sin sin
1 1 1
sin sin sin
ANC
AMB AID
AMC AND AIB
S AB A AC A
S S AD A
MB NC ID
MC ND IB = ⇔ S S S = ⇔ AC A AD A AB IAB =
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 3 4 2 5
1 3 2 3 1 2
1 3 1 3 1 2 3 1 3
1 2 3
sin sin sin sin sin sin
sin sin cos cos
1 1
cos cos cos 2 cos
2 2
cos 0
A A A IAB do A A
A A A A A A
A A A A A A A A A
A A A
⇔ = =
⇔ = + +
⇔ − + = + + −
⇔ + + =
Vậy IA⊥AC.
5. Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa điều kiện AB BC CD DE= , = &EF =FA. Chứng minh rằng:
3 2 BC DE FA BE +DA+FC ≥ Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Đặt AC a CE b AE c= , = , = . Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ACEF ta có:
. . .
AC EF CE AF+ ≥ AE CF
Vì EF =FA nên suy ra: FA c FC ≥a b
+
Tương tự ta cũng có: DE b &CB a DA≥ c a BE ≥b c
+ + . Từđó suy ra:
3
( )
2 1
BC DE FA a b c
BE +DA+FC ≥b c c a a b+ + ≥
+ + +
Đẳng thức xảy ra khi các bất đẳng thức ở (1) đồng thời xảy ra, tức là khi các tứ giác
, ,
ACEF ABCE ACDE nội tiếp được, nghĩa là khi ABCDEF là một lục giác nội tiếp.
Ngòai ra để cho đẳng thức xảy ra, bất đẳng thức cuối cùng cũng phải trở thành đẳng thức, tức là ta phải có a b c= = Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCDEF là một lục giác đều.
(Bất đẳng thức cuối cùng ta có thể chứng minh bằng nhiều cách, chúng tôi sẽđưa ra hai cách chứng mình được coi là cơ bản và dễ hiểu:
Cách 1:
Đặt a b c
S =b c c a a b+ +
+ + + . Ta có: S 3
(
a b c)
b c c a a b1 1 1
+ = + + + +
+ + +
Mà theo BCS ta có:
( )
1 1 1 9
b c c a a b+ + ≥ 2 a b c
+ + + + +
Suy ra đpcm.
Cách 2:
Đặt x a b y a c z b c= + , = + , = + . Khi đó:
1 3
2 3 2
a b c x y x z y z
b c c a a b y x z x z y
+ + ≥ + + + + + − ≥
+ + +
6. Giả sử ( )n r là số tất cả các điểm có tọa độ nguyên trên một đường tròn có bán kính 1
r> . Chứng minh rằng: n r( ) 6< 3πr2 . Giải:
Xét đường tròn bán kính r có chứa n điểm có tọa độ nguyên trên đó. Ta cần chứng minh
3 2
6
n< πr .
Vì r>1 và 63π >8 nên ta có thể giả sử n>8Gọi n điểm có tọa độ nguyên nói trên là
1, ,...,2 n
P P P , nằm theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Do tổng các cung
1 3, 2 4,..., n 2
PP P P P P bằng 4π nên một trong các cung PPi i+2 sẽ có sốđo lớn nhất là 4 n
π , và không mất tính tổng quát, ta giả sửđó là cung PP1 3.
Xét tam giác ABC nội tiếp trong cung chứa góc 4 n
π . Diện tích tam giác này lớn nhất khi hai điểm A,C trùng với hai đầu cung, và điểm B là giao điểm của trung trực AC với đường tròn (khi ấy, khỏang cách từ B đến đường thẳng AC lớn nhất). Tại đây, ta có:
0 2
& 180 CAB BCA ABC
n n
π π
= = = −
Do đó:
[ ]
2 sin 2 sin2 2 sin
4 4
r r r
abc n n n
ABC r r
π π π
= =
2 3 3
2 2 2 2
4 4
r r r
n n n r
r n
π π π
π
≤ =
Vì tam giác PP P1 2 3 nội tiếp trong cung chứa góc 4 n
π nên theo kết quả trên ta có:
[
1 2 3]
23 3PP P 4r n
≤ π
Mà P P P1, ,2 3 là các điểm có tọa độ nguyên nên giá trị bé nhất của
[
PP P1 2 3]
là 12 (có thể chứng minh điều này bằng định lí Pick). Vì vậy ta có:
[
1 2 3]
23 3 3 2 3 3 2 3 21 4
8 2 6
2
PP P r n r n r r
n
π π π π
≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ <
IV. Bài tập tự luyện:
1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) vàAC=2AB. Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau tại P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC.
3. (IMO Shortlist) Giả sử M,N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao choMAB NAC =,MBA NBC=. Chứng minh rằng:
. 1 . .
. .
. + + =
CB CA
CN CM BC
BA BN BM AC
AB AN AM
4. (VMO 1997) Trong mặt phẳng, cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm P nằm trong được tròn
(
OP d= <R)
.Trong tất cả các tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) và có hai đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại P, hãy tìm tứ giác có chu vi lớn nhất và tứ giác có chu vi nhỏ nhất. Tính các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất này theo R và d.5. (Bulgaria 2007) Cho tam giác ABC có BC>AB>AC và 11
cos cos cos
A+ B+ C= 8 . Xét các điểm X thuộc BC và Y thuộc AC kéo dài về phía C sao choBX = AY = AB.
a) Chứng minh rằng
2 XY = AB.
b) Gọi Z là điểm nằm trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C sao choZC=ZA ZB+ . Hãy tính tỷ số ZC
XC YC+
6. Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
CM BN AN AM CN
BM
1 1 1 1 1
1 + = + + +
7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn
( )
O′ nằm trong (O) tiếp xúc với (O) tại T thuộc cung AC (không chứa B). Kẻ các tiếp tuyến AA BB CC′, ′, ′tới( )
O′ . Chứngminh rằng:BB AC′. = AA BC CC AB′. + ′. .
8. (Định lý Thebault) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). D là trung điểm của BC. Gọi
( ) ( )
O1 , O2 là các đường tròn nằm trong (O), tiếp xúc với (O), BC và AD. Khi đó đường thẳng nối tâm của( ) ( )
O1 , O2 đi qua I. Hãy chứng minh.9. (CMO 1988, Trung Quốc) Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm O và bán kính R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kính 2R lần lượt tại , , ,A B C D′ ′ ′ ′. Chứng minh rằng chu vi tứ giác A B C D′ ′ ′ ′ không nhỏ hơn hai lần chu vi tứ giác ABCD.
10. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn để AB+2ACđạt giá trị lớn nhất.
11. Lục giác lồi ABCDEF có ABF là tam giác vuông cân tại A, BCEF là hình bình hành.AD=3, BC=1,CD DE+ =2 2. Tính diện tích lục giác.
12. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, P và Q là hai điểm thuộc (O) sao cho PQ song song với AB. AD là đường cao của tam giác ABC. Gọi a là đường thẳng simson của điểm P ứng với tam giác ABC, b là đường thẳng simson của điểm Q ứng với tam giác ABC.
CMR: (a), (b) và AD đồng quy.
13. Cho n giác đều và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp đa giác ấy.
Chứng minh rằng:
2 1 n
i i
MA const
=