Chuyên đề 6. SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Khái niệm. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.

2.Tính chất.

 Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9 không thể tận cùng bằng 2,3,7,8

4 3 2

Q x x 10x 2x 4

4 3 2

2x 3x 7x 6x 8



x a x 2a x 3a x 4a















a⁴

3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

M  a b c    a b c   b c a   c a b

2 2 3 2 2 3 2 2 3

( ) ( ) ( )

N a b  c a  b c

3 3 3 3

( 2 3 ) 8 27

P x y z  x y  z

( 18)( 7)( 35)( 90) 67 2; B x x x x  x

(4 2).(10 4).(5 7).(2 1) 17.

C x x x x 

4 2

x 8x  x 12

 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.

 Hệ quả. Số chính phương chia hết cho số nguyên tố P thì phải chia hết cho P²

 Một số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là số lẻ.

3. Một số kiến thức khi sử dụng

 Hệ thập phân

soá soá

10 1 99...9 10 1 11...1

9

n n

n n

    



^





n

n soá

a. 10 1 aa....a

9

 Các hằng đẳng thức.

 Nếu a = b.c mà a là số chính phương;

 

^{b;c 1}thì b và c đều là số chính phương.

B. Mét sè vÝ dô VÝ dô 1. Cho

2n soá 1 n 1 soá 1 n soá 6

A 11...1 ; B 11....1 ; C 66...6



   với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

Chứng minh rằng A + B + C + 8 là số chính phương.

Giải

Tìm cách giải. Để chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương, chúng ta cần biến đổi thành bình phương một số tự nhiên. Suy luận rất tự nhiên là dùng hệ thập phân, để đưa chúng về lũy thừa của 10 bằng công thức

soá

10 1 11...1

9

n

n

  và _



^{n }



n soá

a. 10 1 aa....a

9 sau đó dùng hằng đẳng thức đưa về bình phương của một số tự nhiên.

Trình bày lời giải

Ta có    ^  



^



2n n 1 6 10n 1

10 1 10 1

A ; B ; C

9 9 9

Xét A + B +C + 8 =

2n n 1 n 2n n n 2

10 1 10 1 6.10 6 8 10 16.10 64 10 8

9 9 9 9 3

  

            

  .

Mà ⁿ

n 1

10 8 100..08 3 A B C 8



      là số chính phương.

VÝ dô 2. Tìm số tự nhiên n để n +18 và n – 41 là các số chính phương

(thi học sinh giỏi Toán 9, Quảng Ngãi, năm học 2012 – 2013)

Giải

Tỡm cỏch giải. Để tỡm số tự nhiờn n thỏa món điều kiện trờn, chỳng ta đồng nhất hai điều kiện đú bằng cỏch đặt

 

2 2

n 18 a ; n 41 b a; b N;a b      . Sau đú khử n bằng phộp trừ vế cho vế, khi đú ta sẽ tỡm được số tự nhiờn a, b bằng con đường ước số.

Trỡnh bày lời giải

Đặt n 18 a ; n 41 b a; b N;a b  ²   ²



 



Suy ra ^{a2 b2 59}



^{a b a b}



^



^{59 1.59}

Do đú ^{a b 1 a 30} n 882

a b 59 b 29

    

  

 

  

 

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi nNthỡ n² n 1 khụng là số chớnh phương.

Giải

Tỡm cỏch giải. Để chứng tỏ một số khụng phải là số chớnh phương, chỳng ta thường cú hai cỏch: hoặc sử dụng chữ số tận cựng hoặc chứng minh số đú nằm giữa hai số chớnh phương liờn tiếp. Trong vớ dụ này chỳng ta vận dụng cỏch hai.

Trỡnh bày lời giải

Với mọi nN ta cú: n² n²   n 1 (n 1)² mà n²và ( n + 1)²là hai số chớnh phương liờn tiếp. Vậyn² n 1 khụng phải số chớnh phương.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu m, n Z thoả mãn đẳng thức : 3m² + m = 4n² + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính ph-ơng.

Giải

Tỡm cỏch giải. Nếu m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính ph-ơng thỡ (m - n)(4m+ 4n +1) cũng là số chớnh phương. Khi khai triển đẳng thức này cho chỳng ta búng dỏng của giả thiết. Do vậy với suy nghĩ ấy chỳng ta cần:

- Từ giả thiết biến đổi (m - n)(4m+ 4n +1) thành số chớnh phương.

- Chứng minh rằng m - n và 4m + 4n + 1 là hai số nguyờn tố cựng nhau.

Trỡnh bày lời giải

Từ 3m² +m = 4n² + n ta có m ≥ n và

4(m²-n²) + m - n = m²

(m - n)(4m+ 4n +1) =m² (*) Đặt (m -n; 4m+ 4n +1) = d

(m -n)  d ; (4m+ 4n +1)  d và m d

{4m +4n +1 +4(m-n)}  d  (8m +1)  d mà m d

1 d hay d = 1.

Vậy m-n và 4m +4n +1 nguyên tố cùng nhau, kết hợp với (*) ta có:

m -n và 4m + 4n + 1 đều là số chính ph-ơng.

Ví dụ 5. Cho x, y là những số nguyờn lớn hơn 1 sao cho 4x y^{2 2} 7x 7y là số chớnh phương. Chứng minh rằng x = y.

Giải

Tỡm cỏch giải. Nếu x = y thỡ 4x y^{2 2} 7x 7y 4x y  ^{2 2} là số chớnh phương. Do



^{2xy 1 ; }



²



^



²

4x y ; 2xy 12 2 là ba số chớnh phương liờn tiếp nờn để cú 4x y^{2 2}7x 7y 4x y  ^{2 2}ta chỉ cần chứng minh



^{2xy 1}



^{2 4x y2 2 7x 7y }



^{2xy 1}



^{2là đủ.}

Trỡnh bày lời giải

Do x, y là cỏc số nguyờn lớn hơn 1 nờn x; y ≥ 2.

4xy 1 7x 7y 4xy 1

       

2 2 2 2 2 2

4x y 4xy 1 4x y 7x 7y 4x y 4xy 1

        



^{2xy 1}



^{2 4x y2 2 7x 7y}



^{2xy 1}



²

      

Suy ra 4x y^{2 2} 7x 7y là số chớnh phương . Ta cú x; y ≥ 2 nờn 1 2xy 1 2xy 1    . Do đú:

 

²

4x y2 2 7x 7y  2xy  x y.

Ví dụ 6. Giả sử a là số nguyên d-ơng và d là một -ớc số nguyên d-ơng của 2.a² . Chứng minh rằng : a² + d không thể là số chính ph-ơng.

Giải

Giả sử 2.a² =k.d và a²+d = b² với a, b, k, dZ⁺. Từ a²+d = b²  ² 2 ^{2 2}

k b

a  a   k²b² =a²(k²+2.k)

 (kb)² = a²(k²+ 2k)  k² +2k là số chính ph-ơng.

Mà k² < k² +2k < (k +1)²  k² +2k không thể là số chính ph-ơng Vậy a² + d không thể là số chính ph-ơng.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng với x, y là hai số tự nhiờn thỏa món x² 2ylà số chớnh phương thỡ x² 2y là tổng của hai số chớnh phương

Giải

Vỡ x,y Nnờn  x² 2y x ². Do x² 2ylà số chớnh phương ta cú:

 

   ²

x2 2y x t với t N

2y t ² 2tx  t 2K K Z

2y 4K ² 4Kx

 y 2K² 2Kx

 

 x²  y K²  x K ² điều phải chứng minh.

VÝ dô 8. Cho x, y, z N^ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn 1 1 1

x y z  . Hỏi x + y có phải là số chính phương không?

Giải

 

1 1 1 x y .z xy xz yz zy 0 x y z         Hay ^{xy xz z  2 yz z 2 }



^{x z y z}



^



^z2

Nếu



^{x z ; y z}

 

^



^{d 1 z d2 2(vô lí) }



^{x z; y z }



^1

Hay x – z và y – z là các số chính phương.

  x z K²

  ²

y z m (Với K, m N^*) z² K .m^{2 2}  z Km Vậy x + y = x – z + y – z + 2z

= K² + m² + 2Km x+ y = ( K + m)².

Vậy x + y là số chính phương.

C. Bµi tËp vËn dông 6.1.Chứng minh rằng số

n 2 soá 9 n soá 0

A 224 99...9100....09



 là số chính phương (n ≥ 2)

6.2. Cho số nguyên dương n. Đặt

2

44...4; 88...8

n n

A B

Chứng minh rằng A + 2.B + 4 là số chính phương 6.3.Cho

2

111....1

n

a ; 444....4

n

b . Chứng minh rằng a b 1là số chính phương.

6.4.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 14n 256²   là số chính phương.

6.5.Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn n²2018 là số chính phương.

6.6.Chứng minh rằng có thể biểu diễn lập phương của một số nguyên dương bất kì dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

6.7.Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a  b c d và a d  b c. Chứng minh rằng a²  b² c² d² là tổng của ba số chính phương.

6.8.Cho hàm số ^{f x}

  

 x 2 x 3 x 4 x 5















1.

Chứng minh rằng f(x) luôn có giá trị là số chính phương với mọi giá trị nguyên của x.

(thi học sinh giỏi Toán 9, Lâm Đồng , năm học 2012-2013) 6.9.Chứng minh rằng:

a) Với mọi số tự nhiên n1thì An⁶n⁴2n³2n² không phải số chính phương.

b) Các số a và b đều là tổng 2 số chính phương thì tích ab cũng là tổng của 2 số chính phương.

(thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2006- 2007) 6.10. Tìm số tự nhiên n để n5và n30 là các số chính phương.

( tuyển sinh lớp 10, THPT Chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2015-2016) 6.11. Cho hai số tự nhiên avà b. Chứng minh rằng nếu tích a b. là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên

csao cho a²b²c²là số chính phương.

6.12. a) Tìm số tự nhiên x sao cho x²21 là số chính phương.

b) Chứng minh rằng nếu m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp thì (m-1)(n-1) chia hết cho 192.

6.13. Tìm xQ để x² x 6 là một số chính phương.

6.14. Tìm số nguyên dương n để tổng n⁴ n³ n²n 1là số chính phương.

6.15. Nếu a, b, Z ^thỏa mãn 2a²  a 3b² bthì a – b và 2a + 2b + 1 là những số chính phương.

Trong tài liệu Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Đại số 8 - THCS.TOANMATH.com (Trang 31-36)