Ch-¬ng III
3. Phương trình bậc nhất một ẩn :
14.19. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn a+b+c = 0.
Chứng minh rằng:
a b a b b c c a 2c3
. 1 .
a b a b b c c a abc
.
c) Số nào trong tập S =
4; 0; 4
là nghiệm của phương trình một ẩn?Giải
a) Các phương trình 2,5x – 10 = 0 và 4x2 – 6x = 5x + 108 là phương trình một ẩn.
b) Phương trình 2,5x – 10 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn.
c) Lần lượt thay các giá trị x = – 4; 0; 4 vào từng phương trình một ẩn ta có:
*Với x = 4 thì 2,5. 4 – 10 = 0
nên x = 4 là nghiệm của phương trình 2,5x – 10 = 0
* Với x = – 4 thì 4x2 – 6x = 4.(– 4)2 – 6.(– 4) = 64 + 24 = 88 và 5x + 108 = 5.(– 4) + 108 = 88
Vậy x = – 4 là nghiệm của phương trình 4x2 – 6x = 5x + 108
Nhận xét : - Muốn xem một số có phải là nghiệm của phương trình ta xét xem giá trị đó của ẩn thỏa mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho bằng cách thay vào từng vế của phương trình. Nếu hai vế có cùng giá trị thì số đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Cho bốn phương trình :
2x – 6 = 0. (1) ; x2 – 2x – 3 = 0. (2)
(x – 1)( x + 5) – 2x2 = 15x – 47. (3)
(5x – 15)(x2 + 1) = 0. (4)
a) Chứng tỏ rằng x = 3 là nghiệm chung của cả bốn phương trình.
b) Chứng tỏ rằng x = –1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).
c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương không. Tại sao?
Giải
a) Với x = 3
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.3 – 6 = 6 – 6 = 0
- Thay vào phương trình (2) ta có 32 – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 - Thay vào phương trình (3) ta có :
Vế trái (3 – 1)(3 + 5) – 2.32 = 2.8 – 2.9 = 16 – 18 = – 2 Vế phải 15.3 – 47 = 45 – 47 =.– 2
- Thay vào phương trình (4) ta có (5.3 – 15)(32 + 1) = (15 – 15).10 = 0.10 = 0
x = 3 nghiệm đúng cả bốn phương trình nên là nghiệm chung của bốn phương trình.
b) Với x = –1
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.(–1) – 6 = – 2 – 6 = – 8 0 - Thay vào phương trình (2) ta có (–1)2 – 2.( –1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 - Thay vào phương trình (3) :
(x – 1)( x + 5) – 2x2 = 15x – 47 ta có :
Vế trái (–1 – 1)( – 1 + 5) – 2.(–1)2 = (–2).4 – 2 = – 10 Vế phải 15.(–1) – 47 = –15 – 47 =.– 62
Vậy x = –1 nghiệm đúng phương trình (2) nhưng không nghiệm đúng phương trình (1) và (3) nên là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).
c) Hai phương trình (1) và (2) không tương đương vì không cùng tập nghiệm.
*Nhận xét : Ta thay các số đã cho vào từng vế của phương trình để xét xem các số đó có phải là các nghiệm của phương trình. Từ đó xác định tập nghiệm của các phương trình.
b) x = –1 là nghiệm của phương trình (2) vì thay vào làm 2 vế cùng có giá trị 0. Nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3) vì khi thay vào 2 phương trình làm hai vế có giá trị khác nhau.
c) Tương tự cách 1.
Ví dụ 3. Cho phương trình với a là tham số : (a2 + 3a – 10)x2 = a – 2. (1) Chứng minh rằng :
a) Với a = 2 phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
b) Với a = –5 phương trình (1) vô nghiệm.
c) Với a = –5 phương trình (1) tương đương với phương trình (a + 5)x + 2016 = 0 . (2)
*Tìm cách giải : Với mọi giá trị của ẩn x :
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị bằng nhau thì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ( x). Tập nghiệm là R .
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau thì phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là . - Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương.
Giải
a) Với a = 2 phương trình (1) có dạng (22 + 3.2 – 10)x2 = 2 – 2 hay 0x2 = 0. Phương trình (1) nghiệm đúng x.
b) Với a = –5 phương trình (1) có dạng (25 – 15 – 10)x2 = –5 – 2
hay 0x2 = –7. Phương trình vô nghiệm vì hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau x. Tập nghiệm của phương trình là .
c) Với a = –5 phương trình (2) trở thành
(–5+ 5)x + 2016 = 0 hay 0x + 2016 = 0 . Phương trình này cũng vô nghiệm vì vế trái khác 0, x . Tập nghiệm của phương trình là cùng tập nghiệm với phương trình 0x2 = –7 . Do đó hai phương trình 0x + 2016 = 0 và 0x2 = –7 tương đương.
Ví dụ 4. Bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hãy giải các phương trình : a) (x + 2) + (2x + 4) + (3x + 6) + … + (50x + 100) = – 2550. (1) b) 2x 6 4 3x. (2)
*Tìm cách giải:
Câu a) lưu ý sử dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cộng (từ số thứ hai , các số đều bằng số liền trước cộng với cùng một số) :
Tổng = 1
2(số hạng đầu + số hạng cuối)Số số hạng.
Câu b) sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối : A neu Aˆ 0
A A neu Aˆ 0
.
Sau khi giải xong cần kiểm tra để xác định kết quả tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không.
Giải
a) (1) (x + 2x + 3x + … + 50x) + (2 + 4 + 6 + …+ 100) = – 2550
(1 + 2 + 3 + … + 50)x + (2 + 4 + 6 + …+ 100) = – 2550
(1 50).50 (2 100).50
x 2550
2 2
1275x + 2550 = – 2550
1275x = – 2550 – 2550 1275x = – 5100 x = – 5100 : 1275
x = – 4.
b) 2x 6 4 3x
* Nếu x 3 thì 2x – 6 0 2x 6 2x 6
Phương trình trở thành 2x – 6 = 4 + 3x 2x – 3x = 4 + 6 x = – 10.
(loại vì không thỏa mãn điều kiện)
* Nếu x < 3 thì 2x – 6 < 0 2x 6 2x6
Phương trình trở thành –2x + 6 = 4 + 3x – 2x – 3x = 4 – 6
–5x = – 2 x = 0,4.
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 0,4.
Ví dụ 5. Xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? Giải thích.
a) –5x + 5 = 2x – 7 và –7x + 12 = 0 ; b) 9x – 15 = 12x + 27 và 3x – 5 = 4x + 9 ;
c) (5x – 15)( x2 + 1) = 0 và 3x – 20 = –11 ;
d) 5x – 9 = 11 và a(5x – 9) = 11a với a là một số .
*Tìm cách giải: Để xét các cặp phương trình có tương đương hay không, ngoài so sánh các tập nghiệm ta còn sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình.
Giải
a) –5x + 5 = 2x – 7 – 7x + 12 = 0 vì theo quy tắc chuyển vế –5x + 5 = 2x – 7 – 5x + 5 – 2x + 7 = 0 –7x + 12 = 0.
b) 9x – 15 = 12x + 27 3x – 5 = 4x + 9 vì theo quy tắc nhân.
9x – 15 = 12x + 27
9x 15 .
1
12x 27 .
13 3
3x – 5 = 4x + 9.
c) Phương trình (5x – 15)( x2 + 1) = 0 có x2 + 10 x nên (5x – 15)( x2 + 1) = 0 5x – 15 = 0 x = 3 .
Phương trình 3x – 20 = –11 3x = –11 + 20 3x = 9 x = 3 Tập nghiệm của phương trình (5x – 15)( x2 + 1) = 0 là S =
3Tập nghiệm của phương trình là 3x – 20 = –11 là S =
3Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên
(5x – 15)( x2 + 1) = 0 3x – 20 = –11.
d) Nếu a 0 thì 5x – 9 = 11 a(5x – 9) = 11a theo quy tắc nhân.
Nếu a = 0 thì a(5x – 9) = 11a trở thành 0x – 0 = 0 phương trình này nghiệm đúng với mọi x nên không tương đương với phương trình 5x – 9 = 11 có một nghiệm duy nhất là x = 4.
*Nhận xét : b) Để ý rằng nhân hai vế với 1
3 nghĩa là chia cả hai vế cho 3.
c) Khi áp dụng quy tắc nhân phải lưu ý số nhân (hay chia) phải khác 0.
Ví dụ 6. Cho phương trình (m2 – 9)x2 + 2(m – 3)x + 49 = 0 với m là số đã cho.
a) Tìm giá trị của m để phương trình trở thành phương trình bậc nhất có một ẩn số và giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa tìm được ;
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm là x = 2.
* Tìm cách giải: a) Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0 , (a 0). Để phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất một ẩn thì hệ số của x2 là m2 – 9 = 0 và hệ số của x là m – 3 0.
b) x = x0 là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu A(x0) = B(x0) Giải
a) Ta có
2 m 3
(m 3)(m 3) 0 m 9 0
m 3
m 3 m 3
m 3 0
m 3
Với m = – 3 phương trình trở thành (9 – 9)x2 + 2(– 3– 3)x + 49 = 0 hay 0x2 – 12x + 49 = 0 hay – 12x + 49 = 0 là phương trình bậc nhất có một ẩn số. Nghiệm của phương trình là x = 49 1
12 412
.
b) Để phương trình có nghiệm là x = 2 ta phải có:
(m2 – 9).22 + 2(m – 3).2 + 49 = 0
4m2 – 36 + 4m – 12 + 49 = 0 4m2 + 4m + 1 = 0
(2m + 1)2 = 0 2m + 1 = 0 m = 1
2. Ví dụ 7. Giải phương trình :
(x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + …+ (x – 2015) = 0.
*Tìm cách giải: Vế trái của phương trình là tổng của 2015 các hạng tử, mỗi hạng tử là một hiệu giữa x và một số tự nhiên từ 1 đến 2015. Vậy ta có 2015x còn tổng đại số – 1 – 2 – 3 – … – 2015 ta viết thành – (1 + 2 + 3 +
…+ 2015) và sử dụng công thức tính tổng của n số tự nhiên khác 0 đầu tiên n (1 n)n
S 2
để tính.
Giải
Ta có (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + …+ (x – 2015) = 0
2015x – (1 + 2 + 3 + … + 2015) = 0
2015x – (1 2015).2015 2
= 0 2015x – 1008. 2015 = 0
2015x = 1008. 2015 x = 1008.
Ví dụ 8. Giải phương trình :
1 2 3 4
99 98 97 96 4
x x x x
. (1)
*Tìm cách giải : Ở phương trình (1), nếu ta quy đồng mẫu số ở hai vế thì mẫu số chung rất lớn : 99.98.97.96.
Để ý rằng nếu mỗi hạng tử (phân thức) ở vế trái được bớt đi 1 (thêm vào –1) rồi quy đồng từng cặp thì xuất hiện (x – 100) ở tử. Vì vậy ta chuyển 4 từ vế phải sang thành – 4 rồi tách – 4 = –1 –1–1 –1 và ghép mỗi số –1 với một hạng tử. (Cũng có thể coi cộng vào hai vế cùng một số – 4).
Gi¶i
a) (1) 1 2 3 4
1 1 1 1 0
99 98 97 96
x x x x
100 100 100 100
99 98 97 96 0
x x x x
100
1 1 1 1 099 98 97 96
x ; Do 1 1 1 1
99989796 0
Nên x – 100 = 0 x = 100.