Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…

18 ' 0

y 

 

   

' 0 (1)

' 1 0 (2)

f x f f x





   

.

Giải (1) :

 

1 2 3 4

1 ' 0 1

3 6 x f x x

x x

  

 

 

 

 



.

Giải (2) :

 

( ) 1 1

( ) 1 1

' ( ) 1 0

( ) 1 3 ( ) 1 6 f x

f f x f x

f x f x

  



  

  

  

  



( ) 0 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 7 f x f x f x f x

 

 



 

 



.

Dựa vào đồ thị ta có:

+) ( )f x 0có 1 nghiệm x₅6 là nghiệm bội l,

+) ( )f x 2có 5 nghiệm x₆    1; 1 x₇ 1;1x₈3;3x₉ 6; 6x₁₀ x₅ là các nghiệm bội 1, +) ( )f x 4có 1 nghiệm x₁₁x₆ là nghiệm bội 1.

+) ( )f x 7có 1 nghiệm x₁₂x₁₁ là nghiệm bội 1.

Suy ra 'y 0có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y' đổi dấu.

Vậy hàm số y2019^{f f x  1} có 12 điểm cực trị.

DẠNG 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị của hàm ^{f x}

  ^{, hoặc}

đạo hàm của hàm ^{f x}

  ^, tìm cực trị của hàm

^yln



^{f x}

  

^{,yef x , sin f x}

 

^{, os fc}

 

^{x ...}

1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ PHẦN 2: BIẾT BIỂU THỨC CỦA HÀM SỐ ^{y f '}

 

^{x .}

Dạng toán 1. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f x}

 

^{h x}

 

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 2. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f x}

 

^{h x}

 

trong bài toán chứa tham số.

Dạng toán 3. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f u x}

   

^trong

bài toán không chứa tham số .

Dạng toán 4. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f u x}

   

^trong

bài toán chứa tham số .

Dạng toán 5. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f u x}

   

^{h x}

 

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 6. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{ f u x}

   

^{h x}

 

trong bài toán chứa tham số.

Dạng toán 7. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

_{ }^{f u x}

   

^_^k

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 8. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x xét cực trị của hàm số ^{yg x}

 

_{ }^{f u x}

   

^_^k

trong bài toán chứa tham số .

Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số ^{y f}



^{u x}

  

xét cực trị của hàm số ^{y f x}

 

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số ^{y f}



^{u x}

  

xét cực trị của hàm số ^{y f x}

 

trong bài toán chứa tham số.

2 DẠNG 1. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x

xét cực trị của hàm số

     

yg x  f x h x

trong bài toán không chứa tham số.

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm

 

^{2 3 2 2 3}

9 9

f x  x  x  x . Khi đó số điểm cực trị của hàm số ^{yg x}

 

^{2f x}

  

^{ x1}



^{2 là}

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3 .

Lời giải Chọn D

Ta có ^{yg x}

 

^{2f x}

  

^{ x1}



^{2 g x}

 

^2f

 

^{x 2}



^x1



^2_^f

  

^{x  x1}



^_^.

Vẽ hai hàm số ^{y f}

 

^{x và y x 1} trên cùng một hệ trục tọa độ, ta có

 

3

0 1

3 x

g x x

x

  

   



  . Bảng xét dấu của hàm ^{g x}

 

^:

Từ bảng xét dấu ta có đáp án đúng là hàm số ^{yg x}

 

^có 3 điểm cực trị.

Câu 2: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f '}

  

^{x  3x}

 

^x21



^{2 ,x  x }. Hỏi hàm số

   

^{2 1}

g x  f x x  đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

A. x 1 . B.x1. C. x3. D. x0. Lời giải

Chọn B

Ta có ^g'

 

^{x  f '}

 

^{x 2x}



^3x

 

^x21



^{2x2x}

^

^3x

^ 

^x21



^.

    

²



³

' 0 3 1 0

1

g x x x x

x

 

         . Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số ^{g x}

 

đạt cực tiểu tại x1 .

3 Câu 3: Cho hàm số f x( ) liên tục và có đạo hàm trên



^0;



^{và f x'( )lnxx}. Hỏi hàm số

( ) ( ) 2019

g x  f x  x có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng



^0;



^?

A.

3

. B.

2. C.

1. D. 0 .

Lời giải Chọn D

Ta có: g x'( ) f '( ) 1x  lnx x 1.

Xét hàm số h x( )lnx x 1trên



^0;



^{. Ta có: h x'( ) 1 1 1 x}

x x

    . Có h x'( )0x1.

Bảng biến thiên của hàm h x( )như sau:

x 0 1 

'( )

h x + - ( )

h x

0

 

Vậy ^{h x( )0, x}



^{0; }



^{g x'( )0, x}



^0;



Do đó g x'( ) không đổi dấu trên



^0;



nên hàm số ^{g x}

 

không có cực trị trên khoảng đó.

Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có ^{f '}

  

^{x  x1 2}

 

^x23x9



. Hỏi hàm số

   

^{3 3 2 9 6}

g x  f x x  x  x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải Chọn D

Vì hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên nên hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{x33x29x6}cũng liên tục trên .

Có ^g'

 

^{x  f '}

 

^{x 3x26x 9}



^{x1 2}

 

^x23x9



^3

^

^x1

^

^x3

^{ }

^{ x1}

^

^{x3 2}

^

^x6

^

 

1

' 0 3

3 x

g x x

x

  

  



  



Ta có bảng biến thiên

x _ 3 1 3 

 

'

g x  0  0  0 

 

g x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ^{g x}

 

có 3 điểm cực trị.

Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có đạo hàm ^{f '}

 

^{x x2}



^x1

 

^{2 x2}



^.

Hỏi hàm số

   

^{2 3 2 9}

g x  f x  3x x  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.

Lời giải Chọn C

Ta có:

4

         

      

3 2

2

' ' 2 1 1 2 2

0 1

' 0 1 1 2 0 1

2 2

g x f x x x x x x x x

x x

g x x x x x x

x x

       

 

  



       

  



 

 Lập bảng biến thiên của hàm số ^{y g x}

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ^{y g x}

 

có 3 điểm cực tiểu.

Câu 6: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^{x 3.}



^x21

 ^

^x2

^

. Khi đó hàm số

   

^{3 3}

g x  f x x  x đạt cực đại tại

A. x1. B. x2. C. x 1. D. x3. Lời giải

Chọn A Ta có:

   

^{3 2 3 3.}



^{2 1 .}

 ^

²

^

³



^{2 1}



³



^{2 1 .}

 ^

³

^

g x  f x  x   x  x  x   x  x

 

2 1

1 0

0 1

3 0

3 x x

g x x

x x

 

   

         Bảng biến thiên:

x  1 1 3 

 

g x  0  0  0 

 

g x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số ^{yg x}

 

đạt cực đại tại x1. Câu 7: Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm thỏa mãn

  

¹



²

  

²⁰¹⁹

f x  x x g x  với ^{g x}

 

^{0 với  x .}

Hàm số ^{y f}



^1x



^{2019x2020} đạt cực đại tại

A. x₀ 1 . B. x₀ 2. C.x₀0. D. x₀ 3. Lời giải

Chọn D

Đặt ^{h x}

 

^{ f}



^1x



^{2019x2020}

Ta có: ^{h x}

 

^{ f}



^1x



^{2019 }_^1



^1x

 

^{ }_{ } ^1x



^2_^g



^1x



^{2019 2019}

;

 

^{0 0}

3 h x x

x

 

     . Bảng biến thiên của hàm số ^{h x}

 

^.

0 0 _ 0 +

_ _

1 2 0

+ 0 +

-1

+ + 0

- 2

+ -

y y' x

 

y f x  ^{f '}

 

^x



³

 

¹



x x g x

   

5 Vậy hàm số đạt cực đại x₀ 3.

Câu 8: Cho hàm số y f x( )có tập xác định^D



^0;



và có đạo hàm f '( )x 2 lnx xx, x 0.

Hàm số 1 ^{3 2}

( ) ( )

yg x  f x 3x x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 0 . C. 2. D. 3 . Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{g x'( ) f x'( )x22x2 lnx xx2 x x}



^{2 lnx x 1}



^{,  x 0}

'( ) 0 2 ln 1 0 g x   x  x (*)

Xét hàm số ^{h x}

 

^{2 lnx x 1,  x 0}

 

²

' 1 0

h x  x  , x 0Hàm số ^{yh x}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



Mặt khác: h(1)0Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x1 Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số ^{yg x}

 

có một điểm cực trị.

Câu 9: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^{x x x}



^2



^{3. Số} điểm cực trị của hàm số

    

²



³

g x  f x  x là

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{g x}

 

^{ f}

 

^{x 3 2}



^x



^{2  f}

 

^{x 3}



^x2



^{2 }



^x2



²



^x22x3



 

2

0 1

3 x

g x x

x

 

    



  .

Bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

 

Từ BBT suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.

DẠNG 2. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x

xét cực trị của hàm số

^{yg x}

 

^{ f x}

 

^{h x}

 

trong bài toán chứa tham số.

6 Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm _f _x 



_x²₃



_x²₁



với x. Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để hàm số y f x mx có 4 điểm cực trị?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn A

Xét đạo hàm _y _f _x _m



_x²₃



_x²₁



_m ; _{y  0}



_x²_3

 

_x²_1



_m

YCBT  y0 có 4 nghiệm phân biệt

Đặt _{g x} __x²_3_x²_1_x⁴_2x²_3 ; _{g x} _4x³_4x_{4x x} ²₁ ; BBT

Vậy  4 m 3, mà m nguyên nên không có m nào.

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng



^{12 ; 12}



sao cho hàm số y f x mx12 có đúng một điểm cực trị?

A. 5. B. 18. C. 20. D. 12.

Lời giải Chọn C

Đạo hàm y f x m ; y0 f x  m YCBT  Phương trình y 0 (có 1 nghiệm đơn) hoặc (có 1 nghiện đơn và nghiệm kép)

 đường thẳng y m cắt đồ thị đạo hàm y f x tại 1 điểm có có hoành độ là nghiệm đơn (bội lẻ) hoặc tại hai điểm trong đó có điểm có hoành độ bội

chẵn 3 1

1 3

m m

m m

  

 

 

    

 

Kết hợp với ^{m }



^{12 ; 12}



^{ta được}



^{12 ; 3}

 

^{1 ; 12}



m    và m là số nguyên nên có tất cả 9 11 20 giá trị nguyên.

Câu 3: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ sau:

x –∞ _1 0 ₁ +∞

y – 0 + 0 – 0 +

y +∞

4



3

4



+∞

7 Tìm m để hàm số ^{y f x}

 

^mx có 3 điểm cực trị

A. 0m4. B. 0m4. C. m4. D. m0. Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{y f}

 

^{x m; y0 f}

 

^{x m.}

Dựa vào đồ thị ^{y f}

 

^x , suy ra phương trình ^f

 

^{x m có} 3 nghiệm phân biệt và các đó là nghiệm đơn  đường thẳng ym cắt đồ thị đạo hàm y f x tại 3 điểm phân biệt

0 m 4

   .

Vậy để hàm số ^{y f x}

 

^{mx có} 3 điểm cực trị thì 0m4.

Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f '}

 

^{x  x32x2, x }. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mđể hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^mx3 có 3 điểm cực trị.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A

Hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^mx3 xác định trên .

   

^{3 2}

' ' 2

g x  f x m x  x m

Hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^mx3 có 3 điểm cực trị  ^{g x'}

 

^0 có 3 nghiệm phân biệt

 x³2x²m0 có 3 nghiệm phân biệt

 x³2x² m có 3 nghiệm phân biệt Đặt g x x³2x² ; g x 3x²4x ;  

0

0 4

3 x

g x x

 

  

  



; BBT:

Vậy 0 ³²

m 27

  , mà m nguyên dương nên m1.

y = m

+∞

∞

0 0 0

x 0 y' y

4 3 +

∞ +∞

32 27

+

8 Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f '}

 

^{x x 4x2,  x}



^{2; 2}



. Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{m x2 3m có 2} điểm cực trị.

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A

Hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{m x2 3m} xác định trên



^{2; 2}



^.

Đạo hàm ^{g x'}

 

^{ f '}

 

^{x m2 x 4x2 m2}

YCBT: Hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{m x2 3m có 2} điểm cực trị  ^{g x'}

 

^{0 có 2} nghiệm phân biệt và ^{g x'}

 

đổi dấu qua các nghiệm đó

Xét phương trình ^{x 4x2 m2 0}

 

^*

 x 4x² m²

Xét hàm số ^{h x}

 

^{x 4x x2,  }



^{2; 2}



 

2 2

' 4 2 4 h x x

x

 



, ^{h x'}

 

^{0x  2}

Bảng biến thiên của hàm ^{h x}

 

Vậy 0 ² 2 ^{2 2}

0 m m

m

  

   

 



, m nguyên dương nên ^{m }



^1;1



^.

Câu 6: Cho hàm số ^{y f x}

 

có biểu thức đạo hàm ^f

  

^{x  x3}



^x1



^x2



và hàm số

 

⁶

 

^{2 3 3}



¹



^{2 6}



²



²⁰¹⁹

yg x  f x  x  m x  m x . Gọi ^{S  }



^;a

 

^{ b c;}



là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{yg x}

 

có ba cực trị. Giá trị của a2b3c bằng

A. 2. B. 4. C. 6 . D. 8 .

Lời giải Chọn D

Từ yêu cầu bài toán ta có: ^{g x}

 

^6f

 

^{x 6x26}



^m1



^x6



^m2



 ^{g x}

 

^6



^x3



^x1



^x2



^6x26



^m1



^x6



^m2



 ^{g x}

 

^6



^x1

 

^{x22xm4}



^.

Suy ra ^{g x}

 

^0 ₂ ¹

2 4 0

 

      x

x x m .

Để hàm số ^{yg x}

 

có ba cực trị thì ^{g x}

 

^0 có ba nghiệm phân biệt

 phương trình x²2xm 4 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Hay 5 0

1 0

   



   m m

5 1

 

   m

m . Suy ra ^{S  }



^;1

 

^{ 1;5}



^.

9 Như vậy a1, b1, c5 và a2b3c8.

Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}

 

có biểu thức đạo hàm ^f

 

^{x x33x21} và hàm số

   

²⁰²⁰

yg x  f x mx . Gọi ^{S }



^{a b;}



là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{yg x}

 

có ba cực trị. Giá trị của 2a3b bằng

A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 7 .

Lời giải Chọn D

Từ yêu cầu bài toán ta có: ^{g x}

 

^{ f}

 

^{x m  g x}

 

^{x33x2 1 m.}

Suy ra ^{g x}

 

^{0 x33x2 1 m0 x33x2 1 m.}

Để hàm số ^{yg x}

 

có ba cực trị thì ^{g x}

 

^0 có ba nghiệm phân biệt. Hay phương trình

3 2

3 1

  

x x m có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số ^{yh x}

 

^{x33x21 có h x}

 

^{3x26x và h x}

 

^{0 2}

0

  

   x

x . Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số ^{yh x}

 

^{như sau:}

Để phương trình x³3x² 1 m có ba nghiệm phân biệt thì đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số ^{yh x}

 

tại ba điểm phân biệt. Nghĩa là  1 m3. Hay ^{S  }



^1;3



^{. Do đó 2a3b7}

DẠNG 3. Biết biểu thức hàm số ^{y f}

 

^x

xét cực trị của hàm số

^{yg x}

 

^{ f u x}

   

Trong tài liệu Khi đó hàm số f 2x1 đồng biến trên khoảng nào sau đây A (Trang 100-109)