A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
BÀI
5 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN, GÓC CÓ
VÍ DỤ 2. Cho hình thang ABCD có AB kCD và AD = DC = CB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Tính số đo của gócAIB‘ với I là giao điểm của AC vàBD.
- LỜI GIẢI.
Từ giả thiết, ta nhận được:
sđ˜AB = 180◦
sđ˜AD=sđ˜DC =sđ˜CB = 1
3sđ˜AB= 60◦ Số đo của gócAIB‘ được cho bởi:
AIB‘ = 1 2
Äsđ˜AB+sđDC˜ä
= 1
2(180◦+ 60◦) = 120◦.
A B
C D
I
Nhận xét. Cách làm trong lời giải của ví dụ trên được hiểu là “Để chứng minh một tam giác là tam giác đều ta đi chứng minh có là tam giác cân và có một góc bằng 60◦”.
VÍ DỤ 3. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến M B, M C. Vẽ đường kínhBOD. Hai đường thẳng CD và M B cắt nhau tạiA. Chứng minh rằngM là trung điểm của AB.
- LỜI GIẢI.
Vì tính chất của hai tiếp tuyến nênM B =M C. (1) VìBAD’ là góc ở đỉnh bên ngoài đường tròn nên:
BAD’ = sđBmD˘ −sđ˘BnC
2 = sđ˘BnD−sđ˘BnC 2
= sđ˜CD
2 =xCD’=÷ACM .
D C
B
O M
A
x
m n
Vậy 4M AC cân tại M, suy ra M A=M C. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M A=M B, tức M là trung điểm củaAB.
Nhận xét. Trong ví dụ trên, ta phải chứng minh M A = M B nhưng M B = M C (tính chất của hai tiếp tuyến) nên ta cần chứng minh M A=M C, tức là ta phải chứng minh 4M AC cân.
Khi tính số đo của góc A ta đã thay thế cung BmD˘ bởi cung BnD˘ có cùng số đo. Nói chung khi phải tính tổng (hay hiệu) số đo của hai cung nào đó, ta thường dùng phương pháp thay thế một cung bởi một cung khác bằng nó để được hai cung liền nhau (nếu tỉnh tổng) hoặc hai cung có một phần chung (nếu tính hiệu).
VÍ DỤ 4. Cho đường tròn (O) và hai dây cung bằng nhau AB, AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AIC‘ =÷ACM.
- LỜI GIẢI.
Ta cĩ ngay: AB˜=˜AC, vì AB=AC.
AIC‘ =AIB‘ = 1 2
Äsđ˜AB−sđ¯M Cä
= 1 2
Äsđ˜AC−sđ¯M Cä
= 1
2AM¯ (1) Lại cĩ: ÷ACM =AM¯ ()gĩc nội tiếp). (2) Từ (1) và (2) suy ra AIC‘ =÷ACM, đpcm.
C A
I B M
Nhận xét. Ta cĩ hai trường hợp đặc biệt của gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn, cụ thể:
Trường hợp 1: Với M T là tiếp tuyến và AB là đường kính. Khi đĩ:
÷T M B = 1 2
Äsđ˜AB−sđT Aˆä
= 1 2
ỵÄ180◦−sđT Aˆä
−sđT Aˆĩ
= 90◦−sđT Aˆ
= 1 2
ỵsđ˜T B−Ä
180◦−sđ˜T Bäĩ
=sđ˜T B−90◦.
T
M A O B
Trường hợp 2: Với M T, M T0 là hai tiếp tuyến.
T M T÷0 = 180◦−sđT mT˘0
=sđ˘T nT0−180◦.
T0
T M O
m n
VÍ DỤ 5. Trên một đường trịn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho sđ˜AC = sđCD˜ = sđ˜DB = 60◦. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường trịn tạiB vàC cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
1 AEB’ =BT C.’
2 CD là tia phân giác của BCT’.
- LỜI GIẢI.
1 Ta có
sđ˜AB= 360◦ −Ä
sđ˜AC+sđ˜CD+sđDB˜ä
= 180◦; AEB’ = 1
2
îsđ˜AB−sđCD˜ó
= 1
2[180◦−60◦] = 60◦; BT C’ = 1
2
îsđ˜AB+sđ˜AC−Ä
sđ˜CD+sđDB˜äó
= 1
2[180◦+ 60◦−(60◦+ 60◦)] = 60◦. Vậy, ta được AEB’ =BT C.’
2 Ta có
BCD’ = 1
2sđDB˜ = 1
2sđ˜CD =DCT .’ Vậy, ta được CD là tia phân giác của gócBCT.
O
D
B A
C
E T
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
BÀI 1. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏBD lấy một điểmM. Tiếp tuyến tại M cắt tiaAB ởE, đoạn thẳng CM cắt AB ởS. Chứng minh ES =EM. - LỜI GIẢI.
Ta có
ESM’ = 1 2
îsđ˜AC+sđBM¯ó
= 1 2
îsđ˜CB+sđBM¯ó
=EM S.’ Suy ra 4ESM cân tại E ⇒ES =EM.
M D
B O S C
E A
BÀI 2. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến M T và cát tuyến M AB đi qua tâm (A nằm giữa M và B). Giả sử số đo của cung nhỏ AT bằng 60◦. Tính số đo của góc ÷T M B.
- LỜI GIẢI.
Ta có
÷T M B= 1 2
Äsđ˜BT −sđATˆä
= 1 2
îÄsđ˜AB−sđˆATä
−sđˆATó
= 1
2(180◦ −60◦−60◦) = 30◦.
T
M A O B
BÀI 3. Qua điểmAnằm ngoài đường tròn(O)vẽ hai cát tuyếnABC vàAM N sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một diểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh Ab−BSM’ = 2÷CM N. - LỜI GIẢI.
Ta có
Ab= 1 2
îsđ˜CN −sđ¯BMó M SB’ = 1
2
îsđ˜CN +sđ¯BMó
=Ab+BSM’
=sđCN˜ = 2CM N .÷
C B
M
N A S
O
BÀI 4. Cho đường tròn(O)và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc vớiAB (Dthuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN vàDN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tạiN cắt đường thẳng AI tại I. Chứng minh rằng:
1 Các tam giác 4IN E và 4IN F là tam giác cân.
2 AI = 1
2(AE+AF).
- LỜI GIẢI.
1 Từ giả thiếtCD ⊥AB và CD là đường kính ⇒˜AC =BC˜ và AD˜ =BD.˜ Ta có
AEC’ = 1 2
Äsđ˜AC−sđ¯BNä
= 1 2
Äsđ˜BC−sđ¯BNä
= 1
2sđN C˜ =CN x’ =’IN E
⇒ 4IN E cân tạiI.
N F I’= 1 2
Äsđ˜AD+sđ¯BNä
= 1 2
Äsđ˜BD+sđ¯BNä
= 1
2sđ¯N D=IN D’
⇒ 4IN F cân tại I.
E B F A
x C
D I
O N
2 Từ kết quả câu a) Ta có IE =IN =IF.
Nhận xét rằng: AI =AE−IE và AI =AF +IF ⇒2AI =AE+AF ⇔AI = 1
2(AE+AF).
BÀI 5. Cho đường tròn (O, R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = R√
2. Vẽ dây CN đi qua điểm M. Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh rằng:
1 xykAC
2 CN là tia phân giác của góc BCD.’ - LỜI GIẢI.
1
Ta có ˜AC = BC. Và˜ AC = √
OC2+OA2 = R√
2. Suy ra 4CAM cân tại A. Nên
÷ACM =÷AM C = 1 2
Äsđ˜AC+sđ¯BNä
= 1 2
Äsđ˜BC+sđ¯BNä
= 1
2sđ˜CN = 1 2CN x.’ Suy ra xy kAC.
O
x B A M
D y N C
2 Ta có BDkAC nên xykBD. Mà ON ⊥xy nên ON ⊥BD.
Mặt khác tam giác OBDcân tại O nên ON là phân giác góc BOD. Suy ra’ N là điểm chính giữa cung BD. Vậy˜ CN là tia phân giác của góc BCD.’
BÀI 6. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt’ CD tại E. Chứng minh rằng:
1 BM là tia phân giác của góc CBD.’ 2 M D2 =M E·M B.
- LỜI GIẢI.
1
Xét 4ABE, ta nhận thấy:
AH vừa là phân giác, vừa là đường cao
⇔ 4ABE cân tại A⇔ABE’ =AEB’
⇔ 1
2sđBM¯ = 1 2
Äsđ˜BC+sđDM¯ä
⇔sđ˜BC+sđ¯CM =sđ˜BC+sđ¯DM
⇔sđ¯CM =sđDM¯ ⇔CBM÷=DBM÷
⇔BM là tia phân giác của góc CBD.’
A
x B
E
D H
C M
2 Xét hai tam giác 4BDM và 4DEM, Ta có Mcchung, DBM÷ =EDM÷. Do đó: 4BDM ∼ 4DEM ⇒ M D
M E = M B
M D ⇔M D2 =M E·M B,đpcm.
BÀI 7. Cho 4ABC cân tại A nội tiếp đường tròn(O). Đường phân giác của hai góc B“và Cb cắt nhau ởE và cắt đường tròn ở F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.
- LỜI GIẢI.
1 Chứng minh EDAF là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song.
2 Chứng minh AE ⊥DF bởiDF kBC.
Vậy, EDAF là một hình thoi.
A
E
F
C D
B
BÀI 8. Cho 4ABC nội tiếp đường trịn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắnBC, CA, AB bởi các gĩc A, B, C.
1 Chứng minhAP ⊥QR.
2 AP cắt CR tại I. Chứng minh 4CP I là tam giác cân.
- LỜI GIẢI.
1 Gọi K là giao điểm của AP và RQ. Ta cĩ AKR’ = 1
2
Äsđ˜AR+sđ˜CQ+sđ˜CPä
= 1 2
Å1
2sđ˜AB+1
2sđ˜AC+1 2sđ˜BC
ã
= 1 4
Äsđ˜AB+sđ˜AC+sđ˜BCä
= 90◦. Vậy, ta đượcAP ⊥QR.
2 Ta cĩ CIP‘ = 1
2
Äsđ˜AR+sđ˜CPä
= 1 2
Äsđ˜BR+sđ˜BPä
=ICP .‘ Vậy, ta được4CP I cân tạiP.
A
B C
P
Q R
I H
BÀI 9. Cho 4ABC nhọn vàAB < AC nội tiếp đường trịn tâmO. GọiD, E, F lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏAB, BC, CA. Tiếp tuyến tại A của đường trịn cắt các đường thẳngBC và DF lần lượt tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng DF và AE.
1 Chứng minh rằngAE ⊥DF.
2 Chứng minh rằngM A=M Q, M N =M P.
- LỜI GIẢI.
Trước hết, từ giả thiết ”D, E, F lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏAB, BC, CA”, ta được:
AD˜ =BD,˜ BE˜ =CE,˜ CF˜ =AF .˜ 1 Gọi I là giao điểm của AE và DF, ta cĩ ngay:
AID‘ = 1 2
Äsđ˜AD+sđ˜EFä
= 1 2
Äsđ˜AD+sđ˜EC+sđ˜CFä
= 1 2
Å1
2sđ˜AB+ 1
2sđ˜BC+ 1 2sđ˜CA
ã
= 1 4
Äsđ˜AB+sđ˜BC+sđ˜CAä
= 1
4 ·360◦ = 90◦.
⇔AE ⊥DF, đpcm.
2 Xét4M AQsử dụng định lí về gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến với một dây và gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn ta cĩ
÷M AQ= 1
2sđ˜AE = 1 2
Äsđ˜AB+sđ˜BEä
= 1 2
Äsđ˜AB+sđ˜CEä
=÷AQM 4M AQ cân tạiM ⇔M A=M Q, đpcm.
A
N
E
B M P
F
C
D
Q I
Xét 4M N P, sử dụng định lí về góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn và hai góc đối đỉnh Ta có
M P N÷ = 1 2
Äsđ˜CF −sđBD˜ä
= 1 2
Äsđ˜AF −sđ˜ADä
=AN F’ =M N P÷ 4M N P cân tại M ⇔M N =M P, đpcm.
BÀI 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD = 80◦ nằm cùng phía đối với AB (D thuộc cungBC). GọiE là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm củaAD và BC. Tính AEB,’ AF B.’ - LỜI GIẢI.
AEB’ = 1 2
Äsđ˜AB−sđ˜CDä
= 180◦−80◦
2 = 90◦. AF B’ = 1
2
Äsđ˜AB+sđ˜CDä
= 180◦ + 80◦
2 = 130◦.
B D
E
O A
C F
BÀI 11. Cho tam giácABC cân tại Anội tiếp đường tròn (O). Lấy điểmM thuộc tia đối của tia BC.
Gọi I là giao điểm củaM A với đường tròn Chứng minh rằng:
1 ÷AM C =ACI.‘ 2 AI ·AM =AC2. - LỜI GIẢI.
1 Tam giácABC cân tại A nên AB=AC
⇒˜AB=˜AC.
÷AM C = 1 2
Äsđ˜AC−sđˆBIä
= 1 2
Äsđ˜AB−sđˆBIä
= 1
2sđˆAI =ACI.‘
2 Từ ý a) ta suy ra4AM C v4ACI (g-g).
⇒ AM
AC = AC
AI ⇒AM ·AI =AC2.
O
B
A
I
M C
BÀI 12. Cho đường tròn (O), đường kính AB vuông góc với dây CD. Qua điểm M thuộc cung AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắtCD ở I. Gọi E là giao điểm củaBM và CD.
1 Chứng minh rằngIM =IE.
2 Gọi F là giao điểm củaAM và CD. Chứng minh rằng AF C’ =÷ABM . - LỜI GIẢI.
1 Vì AB⊥CD nên AB là trung trực của CD, suy ra BC =BD. Dẫn đến BC˜ =BD.˜
M EI’ = 1 2
ÄsđM D¯ +sđ˜BCä
= 1 2
ÄsđM D¯ +sđ˜BDä
= 1
2sđ¯M B =EM I.’ Suy ra tam giác 4IM E cân tạiI.
2 M thuộc đường tròn đường kính AB nên AM B÷= 90◦. Từ đó suy ra ÷ABM =AF C, vì cùng phụ với góc’ ÷BAM.
C
O
M
B
F A
I D E