C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 4 GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Phần đảo: Lấy điểm IthuộcEF˜ của đường tròn(M, M E)nằm trong đường tròn(O). NốiM I cắt đường tròn(O)tạiAvà B. Ta cần chứng minhM A·M B =M I2. Thật vậy,M I2 =M E2 =M A·M B. Kết luận: Vậy quỹ tích điểm I là cungEF˜ của đường tròn (M, M E) nằm trong đường tròn(O).
VÍ DỤ 3 (Bài 33/tr80-SGK). ChoA, B, C là ba điểm cùng nằm trên một đường tròn.Atlà tiếp tuyến của đường tròn tạiA. Đường thẳng song song vớiAtcắtABtại M và cắtAC tạiN. Chứng minh rằngAB·AM =AC·AN.
- LỜI GIẢI.
Ta có CAt‘ =ABC’ = 1
2sđ˜AC ; CAt‘ =AN M÷ (do M N kAt).
Suy ra ABC’ =AM N÷.
Xét4ABC và 4AM N có BAC’ chung;ABC’ =AM N÷. Suy ra 4ABC v4AM N. Nên AB
AC = AC
AM hay AB·AM =AC·AN
B C
t A
N
M
VÍ DỤ 4 (Bài 29/tr79-SGK). Cho hai đường tròn(O) và(O0) cắt nhau tạiA và B. TừA vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn. Hai tiếp tuyến này gặp đường trònO ởC và đường tròn(O0) ởD.
Chứng minh rằngABC’ =ABD.’ - LỜI GIẢI.
Xét4ABC và 4DBA có
ACB’ =DAB’ BCA’ =BDA’ Suy ra ABC’ =ABD.’
A
B
O O0
C
D
Nhận xét:Nếu khai thác thêm sự bằng nhau của hai cặp góc dẫn tới hai tam giác đồng dạng chúng ta sẽ nhận được kết quả khác, ví dụ
1 AB2 =BC.BD 2 AC
AD =
…BC BD.
Thật vậy, ta được 4ABC v4DAB suy ra AB
DB = BC
BA = AC DA. Từ đó
1 AB
DB = BC
BA ⇔AB2 =BC·BD.
2
AB
DB = AC DA BC
BA = AC DA
⇒ AC AD · AC
AD = AB BD ·BC
AB ⇒ ÅAC
AD ã2
= BC
BD ⇒ AC AD =
…BC BD.
VÍ DỤ 5 (Bài 27/tr79-SGK). Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Lấy điểmP khácA và B trên đường tròn. GọiT là giao điểm của AP với tiếp tuyến tạiB của đường tròn. Chứng minh rằng AP O’ =P BT’.
- LỜI GIẢI.
Ta có P BT’ = 1
2sđP B˜ và P AB’ = 1
2sđP B˜ nên P BT’ =P AB.’ Xét4OAP cân tạiO, ta có AP O’ =P AB.’
Kết hợp các điều vừa chứng minh ta được AP O’ =P BT’.
A B
T
O
P
{ DẠNG 2. Giải bài toán định lượng
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 6 (Bài 11/tr72-SGK). Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC =R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O)tại B và C cắt nhau ở A. Tính số đo các góc ABC,’ BAC.’
- LỜI GIẢI.
Ta có BC = OB = OC = R. Suy ra 4OBC đều và BOC’ = 60◦. Nên sđBC˜ =BOC’ = 60◦.
ABC’ = 1
2sđBC˜ = 30◦ ACB’ = 1
2sđBC˜ = 30◦ BAC’ = 180◦−Ä
ABC’+ACB’ä
= 120◦
A O
C
B
VÍ DỤ 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Tính BT P’ + 2T P B.’
- LỜI GIẢI.
Ta có T P B’ = 1
2sđP B˜ = 1
2P OB’ = 1
2P OT’ nên P OT’ = 2T P B.’
Do P T là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P nên OP ⊥P T. Lại có4OP T vuông tạiP. Do đó
BT P’+ 2T P B’ =P OT’+BT P’ = 90◦.
A B
T O
P
VÍ DỤ 8. Cho nửa đường tròn(O)đường kínhAB. Trên tia đối của tiaABlấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyếnM C với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
1 Chứng minh rằng CA là tia phân giác của gócM CH÷. 2 Giả sử M A=a, M C = 2a, tính AB và CH.
- LỜI GIẢI.
A B
O M H
C
1 Nhận xét rằng ACB’ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AC ⊥BC.
Suy ra ACH’ =ABC’. Mặt khác, ta lại cóABC’ =÷ACM. Từ đóACH’ =÷ACM hay CA là tia phân giác của M CH.÷ 2 Ta có M C2 =M A·M B ⇔M B = M C2
M A = 4a, AB=M B−M A= 4a−a = 3a.
Xét4OCM, ta cóOC ⊥M C nên
SOCM = 1
2OC ·M C = 1
2CH ·OM ⇔CH = OC ·M C OM =
AB 2 ·M C M A+AB
2
= 1,2a.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến M T và cát tuyến M AB. Vẽ đường tròn(O0) ngoại tiếp 4M AT. Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O0). Chứng minh rằng
1 M T2 =M A·M B.
2 BT kxy.
- LỜI GIẢI.
1
Hai tam giác 4M AT và 4M T B có Mc:chung
AT M’ =÷M BT Suy ra 4M AT v4M T B. Nên M T
M B = M A M T, hay
M T2 =M A·M B. B A M
T
O0 O
y
x
2 Ta có AM x’ =AT M’. Suy ra AM x’ =÷M BT. Nên xykBT.
BÀI 2. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. Trên đường thẳng AB lấy một điểm M (điểmM không thuộc đoạn thẳngAB). Vẽ tiếp tuyếnM T của đường tròn (O)và cát tuyến M CD của đường tròn(O0). Chứng minh rằng M T2 =M C ·M D.
- LỜI GIẢI.
Xét4AM D và 4CM B, ta có Mc:chung ADM÷=÷CBM Suy ra 4AM Dv4CM B. Nên M A
M C = M D M B, hay M A·M B =M C ·M D. (1) Xét4M AT và 4M T B, ta có
Mc:chung AT M’ =÷M BT
A
B
O O0
I T
M
C D
Suy ra 4M AT v4M T B. Nên M T
M B = M A
M T, hayM T2 =M A·M B. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M T2 =M C ·M D
BÀI 3. Cho hai đường tròn (O) và (O0)cắt nhau tại Avà B. Vẽ dâyBC của đường tròn (O)tiếp xúc với đường tròn (O0). Vẽ dây BD của đường tròn (O0) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng
1 AB2 =AC·AD.
2 BC BD =
…AC AD. - LỜI GIẢI.
Xét hai tam giác 4ABC và 4ADB có ACB’ =ABD’ ABC’ =ADB’ Suy ra 4ABC v4ADB. Nên AB
AD = BC
DB = AC AB. 1 AB
AD = AC
AB ⇒AB2 =AC·AD.
2
AB
AD = BC DB AC
AB = BC DB
⇒ ÅBC
BD ã2
= AC AD
⇒ BC BD =
…AC AD.
A B
O O0
C
D
BÀI 4. Cho 4ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường tròn (O) với các tia OA, OB, OC.
Chứng minh rằng các điểmM,N,P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác4ADF,4BDE, 4CEF.
- LỜI GIẢI.
A
B
O
C E
D
M F
Để chứng minhM là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác4ADF, ta chứng minhM là giao điểm của hai tia phân giác trong của4ADF.
AD, là tiếp tuyến của đường tròn (O)nên AM là tia phân giác của DAF .’ (1) Lại có M DF÷ =M F D÷ =÷M DA. nên DM là tia phân giác của ADF’. (2) Từ (1) và (2) suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác 4ADF.
Chứng minh tương tự với các điểm N và P.
BÀI 5. Cho hai đường tròn (O)và(O0)cắt nhau tại AvàB. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O0) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng
1 CAD’ +CBD’ = 180◦.
2 Tứ giácBCED là hình bình hành.
- LỜI GIẢI.
1 Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, ta có CAB’ = BCD’ và DAB’ =BDC.’
Trong 4BCD có
180◦ =BCD’ +BDC’ +CBD’
=CAB’+DAB’ +CBD’
=CAD’ +CBD.’ 2 Trong đường tròn (ACD), ta có
EDC’ =CAB’ =BCD’ ⇒BC kDE ECD’ =DAB’ =BDC’ ⇒BD kCE.
Vậy tứ giácBCDE là hình bình hành.
A
B C
D E
O0 O
BÀI 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳngBC ở I. Kẻ AH ⊥BC. Chứng minh rằng
1 AB là tia phân giác của ’IAH.
2 IA2 =IB·IC.
- LỜI GIẢI.
O H
I B H O C
A
1 BAC’ = 90◦ nên AC ⊥AB⇒ACH’ =BAH.’ (1)
Mặt khác, ta lại có ACH’ =BAI‘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BAH’ =BAI‘. Nên AB là tia phân giác của ’IAH.
2 Chứng minh tương tự như các bài toán trên ta có 4IAB v4ICA⇒IA2 =IB·IC.
BÀI 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC). Gọi E là điểm đối xứng vớiB qua A.
1 4BCE là tam giác gì?
2 Gọi Dlà giao điểm của CE với nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Bx với nủa đường tròn(Bx và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc ’DBx.
3 CA cắt BD, Bx theo thứ tự ở I, K. Tứ giác BKEI là hình gì?
- LỜI GIẢI.
O I E
B O C
K A x
D
1 Xét 4BCE, ta có BAC’ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra CA⊥BE.
4BCE có CE vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên4BCE cân tạiC.
2 KBA’ =BCA’ =ECA’ =DCA’ =DBA’ nên BA là tia phân giác của gócDBx.’
3 4BKI cóBAvừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên4BKI cân tạiB. Suy raKA=IA và BK =BI.
Xét tứ giác BKEI có hai đường chéoKI vàBE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường vàBK =BI nê tứ giác BKEI là hình thoi.
BÀI 8. Cho hai đường tròn(O)và (O0)cắt nhau tạiAvà B. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn (O0)cắt đường tròn (O)tại điểm thứP. TiaP B cắt đường tròn(O0)tại Q. Chứng minh AQsong song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
- LỜI GIẢI.
A
B
O O0
P
Q
y
m
Xét đường tròn (O) ta có
P AB’ = 1
2sđP B˜ (góc nội tiếp chắn cung P B)˜ P By‘ = 1
2sđP B˜ (góc tạo bởi tiếp tuyến P y và dây cung P B)˜
Suy ra P By‘ =P AB.’ (1)
Xét đường tròn (O0) ta có
AQB’ = 1
2sđAmB˘ (góc nội tiếp chắn cung AmB)˘ P AB’ = 1
2sđAmB˘ (góc tạo bởi tiếp tuyếnAP và dây cung AB)˜
Suy ra AQB’ =P AB.’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AQB’ =P By. Nên‘ AQkxy.
BÀI 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BH, nó cắt AB ở M. Vẽ đường tròn tâm K có đường kínhCH, nó cắtAC ở N.
1 Tứ giácAM HN là hình gì?
2 Chứng minh rằngM N là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
3 Vẽ tiếp tuyết Ax của đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Chứng minh rằng Ax song song với M N.
- LỜI GIẢI.
A M
N B
C I
K H
x
1 Tứ giác AM HN là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
2 N M I’ =N M H÷ +IM H’ =AHM÷+IHM’ =’AHI = 90◦ nên M N ⊥M I.
Chứng minh tương tự có M N ⊥N K.
3 xAC‘ =ABC’ =M BH÷ =N M H÷ =M N A÷ nên AxkM N.
BÀI