C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 2 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định nghĩa 1. Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
1 Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng căng hai dây bằng nhau.
2 Cung lớn hơn khi và chỉ khi nó căng dây lớn hơn.
Trong đường tròn(O), ta có minh họa:
˜AB=CD˜ ⇔AB=CD⇔AOB’ =COD.’
˜AB >CD˜ ⇔AB > CD⇔AOB >’ COD.’
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1. Cho 4ABC vuông cân tạiA và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng:
AB˜ =AC.˜
a) b) ˜AB <BC.˜
- LỜI GIẢI.
Xét4ABC vuông cân tại A, ta có ngay:
AB=AC (hai cạnh bên của tam giác cân) ⇐˜AB=˜AC.
AB < BC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) ⇔AB <˜ BC˜.
A B
C
O
Chú ý:
1 Giữa đường kính với dây và cung căng dây có sự liên hệ như “Đường kính vuông góc với dây thì”:
Đường kính đi qua trung điểm của dây.
Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung.
2 Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
VÍ DỤ 2.
1 Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB˜ có số đo bằng 60◦. Hỏi dâyAB dài bao nhiêu xen-ti-mét?
2 Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình bên.
A
O
B
- LỜI GIẢI.
1 Cách vẽ:
Lấy điểm A tùy ý trên đường tròn.
Vẽ đường tròn tâm A, bán kínhOA= 2 cm.
Đường tròn (A)cắt (O) tại B.
Cung AB˜ = 60◦ cần dựng và AB= 2 cm.
Chứng minh:
Đường tròn tâmA, bán kính OA= 2 cm cắt (O) tại B ⇒OA=AB.
Ngoài ra ta cóOA=OB.
Vậy,4ABC đều ⇒AOB’ = 60◦ ⇒AB˜= 60◦. 2
Để chia hình tròn (O;R) thành 6 cung bằng nhau. Ta thực hiện theo các bước sau:
Từ điểm A bất kì trên đường tròn (O;R), vẽ đường tròn (A;R) cắt (O) tại B.
Từ điểm B vừa vẽ, vẽ đường tròn (B;R) cắt (O)tại C.
Từ điểm C vừa vẽ, vẽ đường tròn (C;R) cắt (O) tại D.
Từ điểm Dvừa vẽ, vẽ đường tròn (D;R)cắt (O) tại E. Từ điểm E vừa vẽ, vẽ đường tròn (E;R)cắt (O) tại F.
Vậy các điểm A, B, C, D, E, F chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau.
A
O
B
C D
E F
VÍ DỤ 3. Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây M C cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc vớiAB tại D, cắtOC ởK. Chứng minh rằng4KCD là tam giác cân.
- LỜI GIẢI.
VìM là điểm chính giữa của cung AB nên
OM ⊥AB⇒OM kKD
Suy ra KDC’ =OM C÷=÷OCM ⇔ 4KCD là tam giác cân.
O
A B
M C
D K
H
Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh họa cho chúng ta thấy việc sử dụng tính chất đường kính vuông góc với một dây để giải toán. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa sử dụng việc sử dụng tính chất “Hai
cung chắn giữa hai dây song song”.
VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
- LỜI GIẢI.
Xét hai dây song song AB và CD, kẻ bán kính ON ⊥AB, khi đó vì:
ABkCD ⇒ON ⊥CD Do tính đối xứng trụcN A˜ =¯N B và N C˜ =N D.¯ Suy ra N A˜ −N C˜ =¯N B−N D¯⇒AC˜=BD.˜
O
A B
C D
N
Nhận xét: Mở rộng, chúng ta có thêm tính chất: “Tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây”.
Tức là, theo hình vẽ ta có:
xykAB ⇒AM =BM ⇔AM¯ =BM¯
O
A
B M x
y
VÍ DỤ 5. Cho 4ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn(O). Đường caoAH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.
1 Chứng minh rằng BECD là hình thang cân.
2 Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
3 Tính bán kính của đường tròn biết BC = 24 cm, IM = 8 cm.
- LỜI GIẢI.
1
Ta có AD⊥BC (giả thiết)
AD⊥DE (vì AE là đường kính).
Suy raBC kDE ⇒BE˜ =CD˜ (hai cung chắn giữa hai dây song song)
Suy ra BE =CD (liên hệ giữa cung và dây).
Mặt khác ta có
BE˜+ED˜ =CD˜ +ED˜ ⇒BD˜ =CE˜ ⇒BD =CE.
Vậy,BEDC là hình thang cân.
A
B C
O H
E D
I
M
2 Ta có BE˜+EM¯ =CD˜+DM¯ ⇒M B¯ =M C¯.
Suy ra IB=IC (đường kính đi qua điểm chính giữa của cung).
3 Ta có BI =IC ⇒OI ⊥BC (đường kính đi qua trung điểm của dây).
Đặt OC =OM =R, xét4OIC vuông ta có
OC2 =OI2+IC2 ⇔R2 = (R−8)2+ 122 Suy ra R2 =R2 −16R+ 64 + 144⇒16R = 208⇒R= 13 cm.
Nhận xét:
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa đủ là hình thang cân. Do đó không thể chứng minh BDEC là hình thang cân bằng cách chứng minh BD=CE để suy ra BD =CE.
Câu c) là một bài toán thực tế: “Biết độ dài dây BC và khoảng cách IM từ trung điểm dây đến điểm chính giữa cung bị chắn, ta tìm được bán kính của đường tròn”.
VÍ DỤ 6. Cho hai đường tròn bằng nhau(O)và(O0)cắt nhau tại hai điểmAvàB. Kẻ các đường kính AC, của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O0). Gọi E là giao điểm thứ hai củaAC với đường tròn (O0).
1 So sánh các cung nhỏ BC˜ và BD.˜
2 Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD˘ (tức là điểm B chia cung EBD˘ thành hai cung bằng nhau BE˜ =BD).˜
- LỜI GIẢI.
1 Tứ giácAOBO0 là hình thoi do AO=OB =O0A=O0B.
Do đóAOB’ =AO’0B. Suy raBOC’ =BO÷0D⇒sđ˜BC =sđ˜BD.
Do (O) và (O0) là các đường tròn bằng nhau và sđ˜BC =sđBD˜ nên BC˜ =BD.˜ 2
Gọi I là giao điểm củaO0B vàDE. Lại có, OAkO0B
Theo định lý Ta-lét, ta có DI
DE = DO0 DA = 1
2. Suy ra, I là trung điểm của DE.
Mặt khác 4EAD vuông tại E (vì EO0 =O0A=O0D) Suy ra DE ⊥AO⇒DE ⊥BO0 (vì AOkBO0).
Xét 4BED có
BI vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ 4BED là tam giác cân đỉnh B.
Do đó BD =BE ⇒ BD˜ = BE˜ hay B là điểm chính giữa cung EBD.˘
O O0
A
B
C D
E I
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Tứ giácABCD cóB“=D“= 90◦. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.
- LỜI GIẢI.
Với giả thiếtB“=D“= 90◦, suy ra
ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Ta có AB < AD⇔AB <˜ AD˜ ⇔ −˜AB >−˜AD.
⇔180◦−˜AB >180◦−AD˜ ⇔AC˜−AB >˜ ˜AC−AD˜ ⇔BC >˜ CD˜ ⇔BC > CD (đpcm).
A C
D
B
BÀI 2. Hai đường tròn(O) và (O0)cùng bán kính cắt nhau tại M và N. 1 Chứng minh rằng hai cung nhỏ M N¯ của hai đường tròn bằng nhau.
2 Vẽ các đường kínhM Acủa đường tròn (O)và đường kínhM B của đường tròn (O0). Chứng minh rằng N A˜ =¯N B.
3 Vẽ đường kính N OC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng các cung nhỏ M N¯, AC˜ và CD˜ bằng nhau.
- LỜI GIẢI.
1 Vì M N là dây cung chung của hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ M N¯ của hai đường tròn bằng nhau.
2 Ta có AM¯ =M B, vì hai đường tròn bằng nhau¯
AN˜ =AM¯−M N¯ =M B¯−M N¯ =¯N B (đpcm).
3
Tứ giác ACM N là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên
CM kAN ⇒˜AC =M N¯ (1) Mặt khác, ta cóA,N, B thẳng hàng và AN =BN.
Suy ra ON là đường trung bình của 4ABD do đó
CN kDM ⇒M N¯ =CD.˜ (2) Từ (1) và (2), ta đượcM N¯ =˜AC =CD˜ (đpcm).
O O0
M
N
A B
C
D
BÀI 3. Cho 4ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD =AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp 4DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD (H ∈BC, K ∈BD).
1 Chứng minh rằngOH > OK. 2 So sánh hai cung nhỏBD˜ và BC.˜ - LỜI GIẢI.
1
Xét 4OBD và 4OBC cân tại đỉnh O có các đường cao kẻ từ đỉnh theo thứ tự là OK và OH nên chúng đồng thời là các trung tuyến.
Do đóKD= 1
2BD;HC = 1 2BC.
Mặt khác, trong4DBC có BD=BA+AD=BA+AC > BC.
Suy ra KD > HC.
Xét4OKD và 4OHC vuông ta có:
OK =√
OD2−KD2 =√
OC2−KD2 <√
OC2 −HC2 =OH.
Vậy, ta luôn cóOK < OH.
A
B C
D
O
H K
2 Ta có BD > BC ⇒BD >˜ BC.˜
BÀI 4. Trên dây cung ˜AB của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và quaD cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng ˜AE =BF <˜ EF˜. - LỜI GIẢI.
1 Tam giác cânAOB cóOAB’ =OBA.’
Mặt khác, 4AOC = 4BOD (c.g.c) vì có OA = OB, OAB’ = OBA,’ AC = BD. Từ đó suy ra AOC’ =BOD’ suy ra ˜AE =F B.˜
2
Tam giác OCD là tam giác cân (OC = OD do 4AOC = 4BOD) nên ODC <’ 90◦, từ đó suy raCDF >’ 90◦.
Mặt khác, trong tam giác CDF có CDF >’ CF D’ suy ra CF > CD hay CF > CA.
Xét 4AOC và 4COF có OA=OF,OC chung, nhưng CF > AC suy ra COD >’ AOC. Từ đó suy ra’ EF >˜ AE.˜
O C D
A B
E F
BÀI 5.
1 Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
2 Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
- LỜI GIẢI.
1
Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB.
Nghĩa là AC =CB. Suy ra Oc1 =Oc2. Gọi I là giao điểm củaCD và AB, ta có
OI vừa là tia phân giác vừa là trung tuyến của 4OAB.
Vậy, I là trung điểm củaAB.
Mệnh đề đảo không đúng, ta cần bổ sung thêm “Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì nó vuông góc với dây đó”.
O
A
B I
C D
1 2
2 Đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB nên AC =CB.
Suy ra AOC’ =COB’ ⇒OC là tia phân giác của gócAOB’
Vì 4OAB cân tại O nên đường phân giác đồng thời là đường cao.
Vậy, ta có OC ⊥AB ⇔CD ⊥AB.