: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT - Đề cương học tập môn Toán học kỳ I lớp 11

Giải: ...

...

 Tổng quát:

Giả sử một nhiệm vụ X nào đĩ được hồn thành lần lượt qua k giai đoạn A A₁, ,...,₂ A_k : Giai đoạn A₁ cĩ n₁ cách làm, giai đoạn A₂ cĩ n₂ cách làm, giai đoạn A₃ cĩ n₃ cách làm,

………, giai đoạn thứ A_k cĩ n_k cách làm.

Khi đĩ cơng việc X cĩ số cách thực hiện là: ₁ ₂ ₃

(X) . . ...

k i

n n n n n n



 



^cách.

 Qui tắc bù trừ

Ví dụ 1. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà khơng bắt đầu bởi 12 ? Giải: ...

...

Ví dụ 2. Trong một hộp cĩ 6 bi đỏ, 5 bi trắng và 4 bi vàng. Cĩ bao nhiêu cách lấy 3 viên bi từ hộp này sao cho chúng khơng đủ ba màu ?

Giải: ...

...

 Tổng quát:

Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x _vàx đối lập nhau. Nếu X cĩ m_{cách chọn}, x_cĩn cách chọn. Vậy x_cĩ(mn) cách chọn.

Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa a_vàb. Ta cần làm:

Bài tốn 1 : Đếm những đối tượng thỏa a.

Bài tồn 2 : Đếm những đối tượng thỏa a, khơng thỏa b.

Do đĩ, kết quả bài tốn  kết quả bài tốn 1 kết quả bài tốn 2.

 Lưu ý

 Nếu bài tốn chia ra từng trường hợp khơng trùng lặp để hồn thành cơng việc thì dùng qui tắc cộng, nếu bài tốn chia ra từng giai đoạn thực hiện thì ta dùng qui tắc nhân.

Trong nhiều bài tốn, ta kết hợp giữa hai qui tắc này lại với nhau để giải mà cần phải phân biệt khi nào cộng, khi nào nhân, khi nào trừ.

 "Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng. Khi đĩ thì số phần tử của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A B , tức là: n A B(  )n A( )n B( )n A B(  )". Đĩ là quy tắc cộng mở rộng  Khi giải các bài tốn đếm liên quan đến tìm số sao cho các số đĩ là số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực hiện (chọn) chúng trước và nếu chứa số 0 nên chia 2 trường hợp nhằm tránh trùng lặp với nhau.

 Dấu hiệu chia hết:

Gọi N a a_{n n}_₁...a a_{1 0} là số tự nhiên cĩ n 1 chữ số (a_n  0). Khi đĩ:

 Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8_và125 của số tự nhiên N : + N 2 a0 2a0 



0; 2; 4; 6; 8



+ N 5 a0 5 a0 

 

0; 5 . + N 4 (hay 25) a a_{1 0} 4 (hay 25) . + N 8 (hay 125) a a a_{2 1 0} 8 (hay 125).

 Dấu hiệu chia hết cho 3, 9_làN 3 (hay 9) (a_o a₁a₂   a_n) 3 (hay 9). BÀI TẬP ÁP DỤNG

BT 64. Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Một em bé muốn chọn 1 viên bi để chơi. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ?

BT 65. Chợ Bến Thành cĩ 4 cổng ra vào. Hỏi một người đi chợ:

a) Cĩ mấy cách vào và ra chợ ?

b) Cĩ mấy cách vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau ?

BT 66. Cĩ 8 quyển sách Tốn, 7 quyển sách Lí, 5 quyển sách Hĩa. Một học sinh chọn 1 quyển trong bất kì trong 3 loại trên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn.

BT 67. Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ bên cạnh. Hỏi cĩ bao nhiêu cách đĩng – mở 5 cơng tắc để cĩ được dịng điện đi từ A đến B.

BT 68. Đề thi học kì mơn Hĩa gồm hai phần: trắc nghiệm và tự luận. Trong ngân hàng đề thi cĩ 15 đề trắc nghiệm và 8 đề tự luận. Hỏi cĩ bao nhiêu cách ra đề.

BT 69. Một ca sĩ cĩ 30 cái áo và 20 cái quần, trong đĩ cĩ 18 áo màu xanh và 12 áo màu đỏ;

12 quần xanh và 8 quần đỏ. Cĩ bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn ?

BT 70. Trong lớp 11A cĩ 39 học sinh trong đĩ cĩ học sinh tên Chiến, lớp 11B cĩ 32 học sinh trong đĩ cĩ học sinh tên Tranh. Cĩ bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 2 học sinh khác lớp mà khơng cĩ mặt Chiến và Tranh cùng lúc ?

BT 71. Trong lớp 11A cĩ 50 học sinh, trong đĩ cĩ 2 học sinh tên Ưu và Tiên. Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh đi thi mà trong đĩ cĩ mặt ít nhất 1 trong 2 học sinh tên Ưu và tên Tiên ?

A B

BT 72. Cĩ 20 bơng hoa trong đĩ cĩ 8 bơng hồng, 7 bơng cúc, 5 bơng đào. Chọn ngẩu nhiên 4 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn để trong đĩ hoa được chọn cĩ đủ cả ba loại ? BT 73. Cĩ 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10.

Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối cĩ ít nhất 1 học sinh ? BT 74. Cĩ bao nhiêu biển số xe gồm hai chữ cái ở đầu (26 chữ cái) và 4 chữ số theo sau (chữ

số đầu khơng nhất thiết khác 0 và chữ số cuối khác 0),_{sao cho:}

a) Số chữ cái tùy ý và bốn chữ số tùy ý chia hết cho 2 theo sau.

b) Số chữ cái khác nhau và 4 chữ số đơi 1 khác nhau chia hết cho 5 tiếp theo sau.

BT 75. Người ta cĩ thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường Đại học bằng một chữ cái (26 chữ cái) và một số nguyên dương theo sau mà khơng vượt quá số 100. Bằng cách ghi như vậy, nhiều nhất cĩ bao nhiêu chiếc ghế cĩ thể được ghi nhãn khác nhau ?

BT 76. Cho tập hợp A



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số được lấy từ tập A, sao cho các chữ số này:

(1) Tùy ý.

(2) Khác nhau từng đơi một.

(3) Khác nhau từng đơi một và năm chữ số này tạo thành một số lẻ.

(4) Khác nhau từng đơi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 5.

(5) Khác nhau từng đơi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 2.

BT 77. Từ các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đơi một và chữ số chính giữa luơn là số ² ?

BT 78. Cho tập hợp X 



0;1;2; 3; 4;5;6;7



 Cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đơi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng ¹. BT 79. Cho sáu số: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Cĩ thể tạo ra bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau.

Trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5.

BT 80. Cho tập A



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7



 Cĩ bao nhiêu số gồm sáu chữ số cĩ nghĩa đơi một khác nhau chia hết cho 5 và luơn cĩ chữ số 0 được lấy từ tập A ?

BT 81. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đơi một khác nhau, trong đĩ chữ số 1 phải cĩ mặt một trong hai vị trí đầu ?

BT 82. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số mà trong đĩ cĩ hai chữ số chẵn đứng liền nhau, cịn chữ số cịn lại lẻ ?

BT 83. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300; 500) ?

BT 84. Cho các số 1; 2; 5; 7; 8 cĩ bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ năm chữ số trên sao cho số tạo thành là một số nhỏ hơn 278 ?

BT 85. Từ các số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ ba chữ số khác nhau nhỏ hơn 400 ?

BT 86. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ năm chữ số khác nhau và nhỏ hơn 34000 ? BT 87. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà khơng bắt đầu bởi 12 ? BT 88. Cho tập A



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác

nhau đơi một được lấy từ tập A và trong đĩ cĩ chứa chữ số 4 ?

BT 89. Hỏi từ 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và số 1 ?

BT 90. Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm cĩ sáu chữ số đơi một khác nhau, trong đĩ phải cĩ mặt chữ số 7.

BT 91. Cho tập A



0; 1; 2; 3; 4; 5 ,



_từA cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đĩ nhất thiết phải cĩ chữ số 0 và 3.

BT 92. Cho tập A



0; 1; 2; 3; 4; 5 ,



từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ năm chữ số và số đĩ chia hết cho 3 ?

BT 93. Từ các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đơi một và chữ số chính giữa luơn là số 2 ?

BT 94. Trong một trường THPT A,_khối11 cĩ: 160 em tham gia câu lạc bộ Tốn, 140 em tham gia câu lạc bộ Tin học, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi khối 12 cĩ bao nhiêu học sinh ?

BT 95. Một lớp cĩ 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai mơn thể thao: bĩng đá và cầu lơng. Cĩ 30 em đăng ký mơn bĩng đá, 25 em đăng ký mơn cầu lơng. Hỏi cĩ bao nhiêu em đăng ký cả hai mơn thể thao ?

BT 96. Cĩ 5 học sinh, trong đĩ cĩ An và Bình. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh này lên một đồn tàu gồm 8 toa, biết rằng:

a) 5 học sinh lên cùng một toa.

b) 5 học sinh lên 5 toa đầu và mỗi toa một người.

c) 5 học sinh lên 5 toa khác nhau.

d) An và Bình lên cùng toa đầu tiên.

e) An và Bình lên cùng một toa, ngồi ra khơng cĩ học sinh nào khác lên toa này.

BT 97. Tìm tất cả những số tự nhiên cĩ đúng năm chữ số, sao cho trong mỗi số đĩ: chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

BT 98. Cĩ 20 thẻ đựng trong hai hộp khác nhau, mỗi hộp chứa 10 thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 10. Cĩ bao nhiêu cách chọn hai thẻ (mỗi hộp một thẻ) sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn.

BT 99. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác nhau được lấy từ tập A



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6



_HỏiS cĩ bao nhiêu phần tử. Cĩ bao nhiêu cách lấy hai phần tử từ tập S sao cho tích của hai phần tử này là một số chẵn.

BT 100. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt sao cho tổng của tám chữ số này chia hết cho 9.

§ 2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP



1. Hốn vị

Ví dụ 1. Giả sử muốn xếp 3 bạn A B C, , ngồi vào bàn dài cĩ 3 ghế. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế ?

Giải: ...

...

 Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hốn vị vị trí của 3 bạn.

 Tổng quát:

— Cho tập A gồm n phần tử (n 1). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hốn vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hốn vị của A).

— Số hốn vị của một tập hợp cĩ n phần tử là: P_n n!n n.( 1).(n2)....3.2.1 .

Ví dụ 2. Cĩ 5 quyển sách tốn, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hĩa. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp số sách đĩ lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý. b) Các quyển sách cùng mơn được xếp cạnh nhau.

Giải: ...

...

2. Chỉnh hợp

Ví dụ 1. Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A B C D E, , , , và sắp 3 bạn này vào một bàn dài. Hỏi cĩ bao nhiêu cách ?

Giải: ...

...

 Mỗi cách chọn và sắp vị trí cho 3 bạn được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

 Tổng quát:

— Cho tập hợp A cĩ n phần tử và cho số nguyên k, (0 k n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n_{phần tử} của A, (gọi tắt là một chỉnh hợp n_chậpk của A).

— Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp cĩ n phần tử là: !

( )!

k n

A n

n k

 



— Một số qui ước: 0!1, A_n⁰ 1, A_nⁿ n!.

Ví dụ 2. Cho tập X 



1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9



 Cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho:

a) Đơi một khác nhau. b) Số tự nhiên lẻ và đơi một khác nhau.

Giải: ...

...

3. Tổ hợp

Ví dụ 1. Cĩ bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đồn cĩ 14 đồn viên ?

 Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người được gọi là một tổ hợp chập 3 của 14.

Ví dụ 2. Vịng chung kết bĩng đá Euro cĩ 24 đội bĩng thi đấu. Hỏi cĩ bao nhiêu cách dự đốn 4 đội bĩng vào chung kết ?

 Mỗi cách dự đốn 4 đội được gọi là một tổ hợp chập 4 của 24 đội.

 Tổng quát:

— Cho tập hợp A cĩ n phần tử và cho số nguyên k, (0 k n). Mỗi tập hợp con của A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

— Số các tổ hợp chập k của một tập hợp cĩ n phần tử là !

( )! ! !

k n

n A

C  n k k  k 



— Một số quy ước: C_n⁰ 1, A_n⁰ 1, với quy ước này, ta cĩ !

( )! !

k n

C n

n k k

  đúng với số

nguyên dương k,_thỏa:1 k n.

— Tính chất: C_n^k C_n^{n k}^ , (0 k n) và C_n^k_₁ C_n^k C_n^k^¹, (1 k n) : được gọi là hằng đẳng thức Pascal).

Giải ví dụ 1: ...

Giải ví dụ 2: ...

Ví dụ 3. Một lớp học cĩ 30 học sinh, cần lập ra một tổ cơng tác gồm 5 học sinh. Hỏi cĩ bao nhiêu cách ?

Giải: ...

Ví dụ 4. Trong khơng gian, cho tập hợp X gồm 10 điểm, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi:

a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng được tạo thành ? b) Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo thành ?

Giải: ...

...

Dạng toán 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình



 Phương pháp giải.

 Bước 1. Tìm điều kiện. Ta cĩ các điều kiện thường gặp sau:

Các kí hiệu và cơng thức Điều kiện

!n n n.( 1).(n2)...3.2.1.

 _n __

P_n n!

 n ^*

( )!

k n

A n

n k

 

 ,

0 n k

k n

 

  





( )! !

k n

C n

n k k

 

 ,

0 n k

k n

 

  





C_n^k C_n^{n k}^

 ,

0 n k

k n

 

  





C_n^k_1 C_n^k C_n^k^

 ,

1 n k

k n

 

  





 Bước 2. Thu gọn dựa vào những cơng thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến.

 Bước 3. So với điều kiện để nhận những giá trị cần tìm.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BT 101.Thu gọn các biểu thức sau:

a) 7 !4 ! 8! 9!

10! 3!5! 2!7 !

D    ^b)

2011! 2009

2010! 2009! 2011

D   



c) 5! ( 1)!

( 1) ( 1)!3!

D m

m m m

   

  ^d) ²

7 ! ( 2)!

4!( 1)!

( )

D m

m m m

   

 

e) 6! ( 1)!

( 1) 4 !( 1)!

D m

m m m

   

  ^f)

2 2

( 1)

n Cn

D n n

  

 BT 102. Giải các phương trình sau:

a) ( 1)!

( 1)! 72.

n n

 

 ^b)

! ( 1)! 1

( 1)! 6

x x

 

  

c) ! !

( 2)! ( 1)! 3.

n n

n  n 

  ^d)

3 !

( 2)! 10.

n n

 n 



BT 103. Giải các phương trình sau:

a) P x₂. ² –P x₃. 8. _b)A_n³ 20 .n c) C₂³_n 20 .C_n² _d)4C_x⁸ 5C_x⁷_₁.

e) C₁₀^x^_⁴_x C₁₀²^x_^_x¹⁰. _g)C₁₄^k C₁₄^k^² 2C₁₄^k^¹. h) C_x^x 2C_x^x^¹C_x^x^² C_x²_^x^₂³. _i)A_n³ 5A_n² 2(n 15).

j) A_n³ 2C_n² 16 .n _k)A_x³ C_x^x^² 14 .x l) A_x²_₂ C_x^x^² 101. _m)2C_x²_₁C_x¹ 79.

n) ¹

1 6

x x

P P P





   o)

3 4

24 23

n n

A_ C ^  



p) ₄²

1 3

. 210.

n n n

P A P





 _q)

2 28 2 4 24

225 52

x x

C ^   r) 72A_x¹A_x³_₁ 72. _s)2A_x² 50A₂²_x.

t) x²C x₄^x. C C₃². ₃¹ 0. _u)C_x^x_^₁² 2C_x³_₁ 7(x 1).

v) 6C_x² 6C_x³ 7x²7 .x _x)C_x¹ 6C_x² 6C_x³ 9x² 14 .x y) 2(A_n³ 3 )A_n² P_n_₁. _z)2P_n 6A_n² P A_n _n² 12.

BT 104. Giải các phương trình sau:

5 6 7

5 2 14

x x x

C C C  b)

4 5 6

1 1 1

x x x

C C C 

c) ₁ ₂ ₁

1 4

1 1 7

x x 6 x

C C _  C _  d) ⁴ ₁ ³ ₁ 5 ² ₂

4 0.

n n n

C _ C _  A_ 

e) ¹ ² ³ 7

2 .

x x x

C C C  x _g)C_x^x^¹ C_x^x^² C_x^x^³    C_x^x^¹⁰ 1023 BT 105. Giải các bất phương trình sau:

a) A_n³ 1515 .n b) 4n! ( n 1)!50.

c) A_n³ A_n² 12. d) 72A_x¹ A_x³_₁ 72.

e) A_n³ 5A_n² 21 .n g) 2C_x²_₁3A_x² 30.

h) ³ !

( 2)! 10.

n n

 n 

 ⁱ⁾

4 15

( 2)! ( 1)!

n n

  

 

4 42

( 1)!

x P

  

 ^k)

2 5

60 3.

( )!

k n

P A

n k

 

 



l) 2C_x²_₁3A_x²200. m) 1 ₂² ² 6 ³ 2A^x A^x C^x 10.

 x 

n) 12 ³ ² 1 ₂²

3 81.

x x 2 x

C A A

x    _o) ⁴ ₁ ³ ₁ 5 ² ₂

4 0.

x x x

C _ C _  A_  p)

2 1 2

2 .

n n

A P







 _q)

4 2

2 1

143 0.

n n

P P



 

 

BT 106.Giải các hệ phương trình sau:

a) 2 5 90

5 2 80

y y

x x

y y

x x

A C

  

 

  

 b) 2 180

y y

x x

y y

x x

A C A C

  

 

  



c) ₁

126 720

y y x

y x

A C

P P





  

 

 



1 1

6 5 2

y y y

x x x

C _ C ^ C ^

  

e) C_n^m_^₁¹ :C_n^m_^_1₁ :C_n^m_^₁¹ 5 : 5 : 3. _g)C_x^y_₁ :C_x^y^¹ :C_x^y^¹ 6 : 5 : 2.

h) ²

: 1

: 24

x x

y y

x x

y y

C C C A

  

 

 



1 1

1 1 1

5 3

m m

n n

m n m n

C C



 







 

 

 



2 1

5 _x^y 3 _x^y

y y

x x

C C

 



 

 

  k)

126 720

y y x

y x x

A C

P P



 



  

 

 



4 3 2

1 1 2

4 3

1 1

5 7 4 15

n n n

n n

C C A

C A

  



 

  

 

 



3 2

5 5

2 3

4 5

4 7

y y

x x

y y

x x

A A

C C

 

 

 

 



1 1

4 5 0

y y

x x

y y

x x

C C





  

 

  

 o)

1 2 1 2 1 1

1 3 1

( ) 2( ) 3 .

2( ) 1

x y x y

x y

C C A C

C A

   

 

  

 

  



Dạng toán 2: Các bài toán sử dụng hoán vị



BT 107.Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau ? ĐS: 5!8 !

BT 108.Trên một kệ sách dài cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tùy ý. ĐS: 12!

b) Theo từng mơn. ĐS: 3!(5! 4 !3!)

c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa. ĐS: 2!(5! 4! 3!)

BT 109.Cĩ hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, cĩ bao nhiêu cách, nếu xếp:

a) Nam và nữ được xếp tùy ý. ĐS: 10!

b) Nam một dãy ghế, nữ một dãy ghế. ĐS: 2.5!.5!

BT 110. Cho một bàn dài cĩ 10 ghế và 10 học sinh trong đĩ cĩ 5 học sinh nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho:

a) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau. ĐS: 2.5!.5!

b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau. ĐS: 2.5!.5!

BT 111. Một trường trung học phổ thơng cĩ 4 học sinh giỏi khối 12, cĩ 5 học sinh giỏi khối 11, cĩ 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên thành một hàng ngang để đĩn đồn đại biểu, nếu:

a) Các học sinh được xếp bất kì. ĐS: 15!

b) Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau. ĐS: 3!.4 !.5!.6!

BT 112. Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A B C D E, , , , vào một chiếc ghế dài sao cho:

a) Bạn C ngồi chính giữa ? ĐS: 1.4 !

b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ? ĐS: 2!3!

BT 113. Xếp 6 học sinh A B C D E F, , , , , vào một ghế dài, cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) 6 học sinh này ngồi bất kì. ĐS: 6!

b) A và F luơn ngồi ở hai đầu ghế. ĐS: 2!4 !

c) A và F luơn ngồi cạnh nhau. ĐS: 5!2!

d) A B C, , luơn ngồi cạnh nhau. ĐS: 4! 3!

e) A B C D, , , luơn ngồi cạnh nhau. ĐS: 3! 4!

BT 114. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn trịn thỏa:

a) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau. ĐS: 5!.6!

b) Mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình. ĐS: 5!.2⁶

BT 115. Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau ? ĐS: 4!5!5!4!6!4!

BT 116. Cho tập X 



1; 2; 3; 4; 7



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đơi một khác

nhau chia hết cho 3 được lập từ tập X ? ĐS: 24

BT 117. Cho tập E 



1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ ba chữ số khác nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9. ĐS: 18

BT 118. Cho tập E 



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số

khác nhau, biết tổng của 3 chữ số này bằng 18 ? ĐS: 3!.6

BT 119. Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5._Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số:

a) Bắt đầu bằng chữ số 5 ? ĐS: 4!

b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1_? _ĐS:5! 4 !

c) Bắt đầu bằng 23 ? ĐS: 3!

d) Khơng bắt đầu bằng 234 ? ĐS: 5! 2!

BT 120.Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 thiết lập tất cả các số cĩ sáu chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh

nhau ? ĐS: 480.

BT 121.Cho hai tập A



1; 2; 3; 4; 5; 6 ,



B 



0; 1; 2; 3; 4; 5



 Cĩ bao nhiêu số gồm sáu chữ số phân biệt sao cho:

a) Hai chữ số ¹ và ⁶ khơng đứng cạnh nhau được lập từ A. ĐS: 6! 2.5! b) Chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 được lập từ tập B. ĐS: 2(5! 4 !) BT 122. Cho các số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đĩ

chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số cịn lại cĩ mặt đúng một lần ? ĐS: 35820 3!  BT 123.Từ tập hợp A



0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 ,



lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5,

gồm năm chữ số đơi một khác nhau sao cho trong đĩ luơn cĩ mặt các chữ số 1, 2, 3

và chúng đứng cạnh nhau ? ĐS: 3630

BT 124.Cho tập A



1;2;3; 4;5;6



 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lấy từ tập A sao cho tổng các chữ số trong số này bằng 14 ? ĐS: 72

Dạng toán 3: Các bài toán sử dụng chỉnh hợp

BT 125.Trong khơng gian cho bốn điểm A B C D, , , . Từ các điểm trên ta lập các véctơ khác véctơ 0.

Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu véctơ ? ĐS: A₄²

BT 126.Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phĩ và 1

thư ký. Hỏi cĩ mấy cách chọn ? ĐS: A₂₀³

BT 127.Một nhĩm học sinh cĩ 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và khơng cĩ 2

em nữ nào ngồi cạnh nhau ? ĐS: 7 !.A₆³

BT 128.Cĩ 6 nam, 6 nữ trong đĩ cĩ ba bạn tên A B C, , . Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc để vào lớp sao cho:

a) Các bạn nữ khơng ai đứng cạnh nhau. ĐS: 6!.A₇⁶

b) Đầu hàng và cuối hàng luơn là nam. ĐS: A₆².10!

c) Đầu hàng và cuối hàng luơn cùng phái. ĐS: 2. .10!A₆²

d) Đầu hàng và cuối hàng luơn khác phái. ĐS: 2.6.6.10!

e) A B C, , luơn đứng gần nhau. ĐS: 10!.3!

f) A B, đứng cách nhau đúng một người. ĐS: 10.10!.2!

Trong tài liệu Đề cương học tập môn Toán học kỳ I lớp 11 – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 40-84)