THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤBài 4
B. MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
B0
B
M A0
A C
C0
h
4
3 Góc giữa A0B, A0C với đáy lần lượt là A‘0BA và
A‘0CA.
4 Góc giữaA0Bvới(AA0C0C)làBA‘0A.
5 Diện tích hình chiếuS4ABC=S4A0BC·cosϕ.
6 Góc giữa(A0BC) với (ABC)là ϕ =A’0MA; với M
là trung điểmBC.
• Trường hợpABCkhông phải là tam giác đều
thìMkhông là trung điểm củaBC.
Ví dụ 1
d
Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáyABCđều cạnh bằng avà
chu vi của mặt bênABB0A0bằng 6a. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A0B0C0.
Đáp số:V = a3√
3 2 .
. . . . . . . .
B A0
A B0
C C0
Ví dụ 2 d
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 với đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. BiếtAB=3a, góc giữa đường thẳngA0B và mặt đáy lăng trụ
bằng30◦. Tính thể tíchV của khối chópA0.ABC.
Đáp số:V = 3√
3a3 2 .
. . . . . . . . . . . .
B A0
A B0
C C0
Ví dụ 3
d
Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tạiA,
AB=a, AC=a√
3. Góc giữa(A0BC)và (ABC)bằng45◦. Tính thể tích khối lăng trụABC.A0B0C0.
Đáp số:V = 3a3
4 .
. . . . . . . . . . . . . . . .
B A0
A B0
C C0
Ví dụ 4 d
8 3. Góc giữa (A0BC) và (ABC) bằng60◦. Tính thể tích khối lăng trụABC.A0B0C0.
Đáp số:V =24√
3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B A
B0
C
Ví dụ 5
d
Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy ABClà tam giác đều
cạnha. Khoảng cách từ tâmOcủa tam giácABC đến mặt phẳng (A0BC)bằng a
6. Tính thể tích khối lăng trụ.
Đáp số:V = 3a3√
2 16 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B A0
A B0
C C0
p Dạng 4.12. Khối lăng trụ đứng tứ giác
Hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0.
B0 D0
A0
C M
A D
B C0
a b
c
1 Các mặt đáy và mặt bên là các hình chữ nhật.
2 Thể tíchV =AB·AD·AA0=abc.
3 Đường chéoA0C=√
a2+b2+c2.
4 Góc giữa A0B, A0D, A0C với (ABCD) lần lượt là
A‘0BA,’A0DAvàA‘0CA.
5 Góc giữa(A0BD)với(ABCD)làA’0MA.
6 Hình hộp chữ nhật có 3 mặt phẳng đối xứng
7 Trong trường hợp đáyABCD là hình vuông thì ta
gọiABCD.A0B0C0D0là lăng trụ tứ giác đều.
Hình lập phương
B0 D0
A0
C O A
D
B C0
a a
a
1 Các mặt của hình lập phương là hình vuông.
2 Thể tíchV =AB3=a3.
3 Đường chéoAC0=A0C=a√
3,AC=BD=a√ 2.
4 Góc giữa A0B, A0D, A0C với (ABCD) lần lượt là
A‘0BA,’A0DAvàA‘0CA.
5 Góc giữa(A0BD)với(ABCD)làA’0OA.
6 Hình lập phương có8mặt phẳng đối xứng
Ví dụ 1
d
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có độ dài đường chéo
A0C=3a. Tính thể tích khối lập phươngABCD.A0B0C0D0.
Đáp số:V =3a3√
3.
. . . . . . . . . . . .
B0 D0
A0
C A
D
B C0
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy bằnga. Góc
giữa đường chéo với đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ này
theoa.
Đáp số:V =a3√
6.
. . . . . . . . . . . .
B0 D0
A0
C A
D
B C0
Ví dụ 3
d
Khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có độ dài AD;AD0;AC0
lần lượt là1;2;3. Tính thể tíchV của khối chópA.A0B0C0D0.
Đáp số:V =
√ 15 3 .
. . . . . . . . . . . .
B0 D0
A0
C A
D
B C0
Ví dụ 4
d
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 cóAA0=a√
3, A0C
hợp với(ABCD)một góc bằng30◦,(A0BC)hợp với(ABCD)
một góc bằng60◦. Tính thể tích khối hộpABCD.A0B0C0D0.
Đáp số:V =2a3√
6.
. . . . . . . . . . . .
B0 D0
A0
C A
D
B C0
Ví dụ 5
d
Một hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a , góc DAB‘ =120◦ và đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích của khối hộpABCD.A0B0C0D0.
Đáp số:V = a3√
6 2 .
. . . . . . . . . . . .
B0 D0
A0
C A
D
B C0
Ví dụ 6
d
Người ta cắt một phần của tấm nhôm hình chữ nhật có kích
thước 30 cm × 48 cm để làm thành một cái hộp có nắp
như hình vẽ. Tìmxđể thể tích của cái hộp lớn nhất.
Đáp số:x=6cm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x x
x x x
x x
x
30 cm
48 cm
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 4.13. Khối lăng trụ xiên
Cho hình lăng trụABC.A0B0C0có đáyABClà tam giác đều cạnh
bằng 2a√
3, AA0 =4a, AA0 tạo với (ABC) một góc bằng 30◦.
Tính thể tích khối lăng trụABC.A0B0C0.
Đáp số:V =6√
3a3.
. . . . . . . . . . . .
B A0
A
B0
C C0
Ví dụ 2
d
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC
là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết
A0A=A0B=A0C=a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0.
Đáp số:V = a3√
2 4 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B G
B0 A0
A C
C0
Ví dụ 3 d
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác
đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 xuống(ABC)
là trung điểm củaAB. Mặt bên(ACC0A0)tạo với đáy góc
45◦. Tính thể tích khối lăng trụABC.A0B0C0.
Đáp số:V = 3a2
16.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A0
B0
C0
I A
B
C M
H
Ví dụ 4
d
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy là
hình chữ nhật vớiAB=√
3, AD=√ 7. Hai mặt bên (ABB0A0)và (ADD0A0)lần lượt tạo
với đáy những góc45◦ và60◦. Tính thể tích
khối hộp nếu biết cạnh bên bằng1.
Đáp số:V =3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B0 C0
D0 A0
C
A K
B I
D
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 1. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao làhvà diện tích đáy bằngBlà A. V =Bh. B. V =3Bh. C. V = 1
6Bh. D. V = 1 3Bh.
Câu 2. Nếu tăng chiều dài hai cạnh đáy của khối hộp chữ nhật lên 10 lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần?
A. 100. B. 20. C. 10. D. 1000.
Câu 3. Cho khối lăng trụABC.A0B0C0có thể tích làV. Thể tích của khối tứ diệnCA0B0C0bằng A. 2V
3 . B. V
2. C. V
6. D. V
3. Câu 4. Thể tích hình lập phương cạnh√
3là A. √
3. B. 3. C. 6√
3. D. 3√
3.
Câu 5. Cho hình lập phương có thể tích bằng27.Diện tích toàn phần của hình lập phương là
A. 36. B. 72. C. 45. D. 54.
Câu 6. Tính thể tích của khối lập phương có diện tích toàn phần bằng24a2.
A. 8a3. B. 64a3. C. 4a3. D. a3. Câu 7. Tính thể tíchV của khối lập phươngABCD.A0B0C0D0có đường chéoAC0=√
6.
A. V =3√
3. B. V =2√
3. C. V =√
2. D. V =2√
2.
Câu 8. Tính thể tích hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0biếtAB=3a,AC=5a,AA0=2a.
A. 12a3. B. 30a3. C. 8a3. D. 24a3.
Câu 9. Biết thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 bằng2022. Thể tích khối tứ diệnA0ABC0 là
A. 764. B. 674. C. 1348. D. 1011.
Câu 10. Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là15cm2,24cm2,40cm2. Thể tích của khối hộp đó là
A. 120cm3. B. 100cm3. C. 140cm3. D. 150cm3.
Câu 11. Cho lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vuông tạiB. Biết AB=a, BC=2a, AA0=2a√
3. Tính thể tíchV của khối lăng trụABC.A0B0C0theoa.
A. V =2√
3a3. B. V =
√3
a3. C. V = 2√
3a3. D. V =4√ 3a3.
Câu 13. Cho lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằnga√
3. Diện tích toàn
phầnScủa lăng trụ là
A. S=3a2√
3. B. S= 7a2√ 3
2 . C. S=3a2√ 3
2 . D. S= 13a2√ 3 4 . Câu 14. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tíchV của khối lăng trụ đó theoa.
A. V = a3√ 3
12 . B. V =a3√ 3
6 . C. V = a3√ 3
2 . D. V = a3√ 3 4 .
Câu 15. Cho khối hộpABCD.A0B0C0D0có thể tích bằng60.Mlà một điểm thuộc mặt phẳng(ABCD).
Thể tích khối chópM.A0B0C0D0bằng bao nhiêu?
A. 10. B. 20. C. 30. D. 40.
Câu 16. Cho lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy tam giácABCvuông cân tạiB,BA=BC=a,A0Btạo với đáy(ABC)một góc60◦. Tính thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0.
A.
√3a3
2 . B.
√3a3
6 . C. √
3a3. D. a3
4 .
Câu 17. Cho lăng trụABC.A1B1C1 có diện tích mặt bênABB1A1 bằng4; khoảng cách giữa cạnhCC1 và mặt phẳng(ABB1A1)bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụABC.A1B1C1.
A. 14. B. 28
3 . C. 14
3 . D. 28.
Câu 18. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AC=a,ACB‘=60◦.
Đường chéoBC0của mặt bên(BB0C0C)tạo với mặt phẳng(AA0C0C)một góc30◦.Tính thể tích của khối
lăng trụ theoa.
A. V = 2a3√ 6
3 . B. V =a3√
6. C. V = a3√ 6
3 . D. V = 4a3√ 6 3 .
Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0có cạnh đáy bằnga, góc giữa mặt phẳng(A0BC)
và mặt phẳng(ABC)bằng45◦. Thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0bằng
A. a3√ 3
2 . B. 3a3
8 . C. a3√
3
8 . D. a3√
3 4 .
Câu 20. Cho khối lăng trụ và khối chóp có diện tích đáy bằng nhau, chiều cao của khổi lăng trụ bằng nửa chiều cao khối chóp. Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ và khối chóp đó là
A. 3
2. B. 1
2. C. 1
3. D. 1
6.
Câu 21. Cho khối lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0có cạnh đáy bằngavà khoảng cách từAđến mặt
phẳng(A0BC)bằng a
2. Tính thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0. A.
√2a3
16 . B. 3√
2a3
48 . C. 3√
2a3
16 . D. 3√
2a3 12 .
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BB0 vàCC0. Mặt phẳng
(AEF)chia khối trụ thành hai phần có thể tíchV1vàV2như hình vẽ. Tỉ sốV1
V2 là
A. 1. B. 1
. C. 1
. D. 1
.
3 A. 2a√3
2. B. √
2a. C. 2a. D. 2√
2a.
Câu 24. Cho lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vuông tạiB, AB=a,BC=2a.Góc
giữa đường thẳngA0Bvà mặt (ABC)bằng60◦. GọiGlà trọng tâm tam giác ACC0. Thể tích của khối tứ
diệnGABA0là
A.
√3
9 a3. B. 2√
3
3 a3. C. 2√ 3
9 a3. D.
√3
6 a3.
Câu 25. Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vuông tại B,AB=a,BC=a√ 3,
hình chiếu củaA0xuống mặt đáy(ABC)là trung điểmH của đoạnAC. Biết thể tích khối lăng trụ đã cho
là a3√ 3
6 . Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(A0BC).
A. a√ 13
13 . B. a√
3
3 . C. 2a√
3
3 . D. 2a√
3 13 .
Câu 26. Cho hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là3, 4,5. Nối tâm6mặt của hình hộp chữ nhật ta
được khối8mặt. Thể tích của khối8mặt đó là
A. 10. B. 10√
2. C. 12. D. 75
12. Câu 27.
Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáyABC là tam giác vuông,AB=
BC =a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC0) và (AB0C0) bằng 60◦ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối chópB0.ACC0A0.
A. a3
3 . B. a3
6 . C. a3
2. D. a3√ 3 3 .
B0
C0 B
C
A0 A
Câu 28. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Người ta ấn (đẩy) lăng trụ đó trở thành một lăng trụ xiên (vẫn giữ nguyên đáy và cạnh bên như hình vẽ) để thể tích giảm đi một nửa lúc ban đầu.
Hỏi cạnh bên của lăng trụ xiên lúc này tạo với đáy gócα bằng bao nhiêu?
H α
Câu 29.
Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm
bìa một hình vuông cạnh12cm rồi gấp lại thành một hình
hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của
cái hộp đó là4800cm3thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ
dài là bao nhiêu?
A. 44cm. B. 42cm. C. 36cm. D. 38cm.
Câu 30. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của khối lăng trụ làV . Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là
A. √3
V. B. √3
4V. C. √3
2V. D. √3
V6.
Câu 31. Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông và thể
tích khối hộp được tạo thành là10 m2. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế để diện tích toàn phần
đạt giá trị nhỏ nhất là A. √3
20m. B. √3
10m. C. √3
15m. D. √3
9m.
Câu 32. Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích thướcx,y,z(dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x:y=1 : 3, thể tích của hộp bằng18lít. Để tốn ít vật liệu nhất thì kích thước của thùng là
A. x=2;y=6;z=1.5. B. x=1;y=3;z=6.
C. x=1.5;y=4.5;z=2.5. D. x=0.5;y=1.5;z=24.
Câu 33. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC0 có diện tích là √ 3
và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc α. Tìmα để thể tích lăng trụABC.A0B0C0 đạt giá trị lớn
nhất.
A. α =arctan 1
√
6. B. α =arctan√
6. C. α=arctan√
2. D. α =arctan 1
√ 2. Câu 34. Cho hình lăng trụ tứ giác đềuABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy bằng1và chiều cao bằngx. Tìmx
để góc tạo bởi đường thẳngB1Dvà(B1D1C)lớn nhất.
A. x=1. B. x=0,5. C. x=2. D. x=√ 2.
Câu 35. Cho một tấm nhôm hình chữ nhậtABCDcóAD=60cm. Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnhMN
và PQ vào phía trong đến khi ABvà DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ
khuyết 2 đáy. Tìmxđể thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
A x N P x D A
N P
,D
A. x=30. B. x=20. C. x=15. D. x=25.
Câu 36. Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0có tổng diện tích của tất cả các mặt là36, độ dài đường chéoAC0bằng6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A. 8. B. 8√
2. C. 16√
2. D. 24√
3.
Câu 37 (THPT Quốc gia 2018). ÔngAdự định sử dụng hết6,5m2kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 2,26m3. B. 1,61m3. C. 1,33m3. D. 1,50m3.
Câu 38 (THPT Quốc gia 2018). Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy3 mm và
chiều cao bằng200mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có
dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính1mm. Giả định1m3
gỗ có giá trịa(triệu đồng), 1m3 than chì có giá trị8a(triệu đồng). khi đó giá nguyên vật liệu làm một
chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 9,7.a(đồng). B. 97,03.a(đồng). C. 90,7.a(đồng). D. 9,07.a(đồng).
Câu 39. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng200 m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là300nghìn
đồng/m2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh,
không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).
A. 36 triệu đồng. B. 75 triệu đồng. C. 46 triệu đồng. D. 51 triệu đồng.
Câu 40. Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là15cm
và 5cm. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm
khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng A. 1500ml. B. 750√
3ml. C. 600√
6ml. D. 1800ml.